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Milano, 8 maggio 2007
Calcolo Numerico - 2° TEST
COGNOME
NOME
n. matricola
TEMA A
1. Data la funzione f(x) = (x2 -1)ex calcolarne il polinomio interpolatore nella
forma di Lagrange nei nodi x0 = -1, x1 = 0, x2 = 1. Scrivere la formula
dell’errore e fornirne una maggiorazione nell’intervallo [-1, 1] sapendo che il
massimo modulo della derivata terza di f in [-1, 1] è < 36.
2. Data la tabella:
xi
yi
-2
1
-1
1.5
0
0.9
1
1.3
2
1.1
si costruisca la retta dei minimi quadrati.
3. Data l’equazione e x  ( x 2  1)  0
a.
b.
c.
d.
si verifichi l’esistenza di una radice nell’intervallo [-2, 0];
si scriva la formula del metodo di Newton per l’approssimazione della
radice;
se ne calcoli un valore approssimato con 2 passi del metodo di Newton (si
prenda x0 = 1);
si dia una stima sperimentale dell’errore commesso.
N.B. Consegnare il foglio compilato (anche in caso di ritiro)
Milano, 8 maggio 2007
Calcolo Numerico - 2° TEST
COGNOME
NOME
n. matricola
TEMA C
1. Data la funzione f(x) = (x2 -1)ex calcolarne il polinomio interpolatore nella
forma di Newton nei nodi x0 = -1, x1 = 0, x2 = 1. Scrivere la formula dell’errore
e fornirne una maggiorazione nell’intervallo [-1, 1] sapendo che il massimo
modulo della derivata terza di f in [-1, 1] è < 36.
2. Data la tabella:
xi
yi
-4
1.1
-2
1.2
0
0.9
2
1.3
4
1
si costruisca la retta dei minimi quadrati.
3. Data l’equazione e x  ( x 2  1)  0
a. si verifichi l’esistenza di una radice nell’intervallo [-2, 0];
b. se ne calcolino le due approssimazioni successive x0 e x1 ottenute con il
metodo di Bisezione;
c. si stabilisca il numero di iterazioni del metodo di Bisezione necessario a
garantire un errore stimato < 2-8
N.B. Consegnare il foglio compilato (anche in caso di ritiro)
Milano, 8 maggio 2007
Calcolo Numerico - 2° TEST
COGNOME
NOME
n. matricola
TEMA B
1. Data la tabella:
xi
yi
-4
1.1
-2
1.2
0
0.9
2
1.3
Se ne costruisca il polinomio interpolatore con il metodo di Newton.
2. Si stabilisca se la seguente funzione è una spline cubica in [0, 2]. In caso
affermativo verificarne la naturalità.
 1 3 7
x  [0,1)
  2 x  2 x  1,
S(x) =  1
3
 ( x  1) 3  ( x  1) 2  2( x  1)  2, x  [1, 2]
2
2
3. Data l’equazione e x  2sen (x )  0 :
a. si verifichi l’esistenza di una radice nell’intervallo [0, 1/2];
b. se ne calcolino le due approssimazioni successive x0 e x1 ottenute con il
metodo di Bisezione;
c. si stabilisca il numero di iterazioni del metodo di Bisezione necessario a
garantire un errore stimato < 2-12
N.B. Consegnare il foglio compilato (anche in caso di ritiro)
Milano, 8 maggio 2007
Calcolo Numerico - 2° TEST
COGNOME
NOME
n. matricola
TEMA D
1. Data la tabella:
xi
yi
0
1.1
1
1.3
3
0.9
Se ne costruisca il polinomio interpolatore con il metodo di Lagrange
2. Si stabilisca se la seguente funzione è una spline cubica in [-1, 2]. In caso
affermativo verificarne la naturalità.
9
3
 3
3
2

(
x

1
)

(
x

1
)

( x  1)  1, x  [1,1)
 2
2
2
S(x) = 
9
3
 3( x  1) 3  ( x  1) 2  ( x  1)  2,
x  [1, 2]
2
2

3. Data l’equazione e x  2sen (x )  0
a.
b.
c.
d.
si verifichi l’esistenza di una radice nell’intervallo [0, 1/2];
si scriva la formula del metodo di Newton per l’approssimazione della
radice;
se ne calcoli un valore approssimato con 2 passi del metodo di Newton (si
prenda x0 = 0);
si dia una stima sperimentale dell’errore commesso.
N.B. Consegnare il foglio compilato (anche in caso di ritiro)