L’insieme dei numeri Naturali (N)
Definizione di Numero Naturale
Definizione
Una corrispondenza fra due insiemi X e Y che sia del tipo asole-bottoni, cioè: tale che ad ogni
elemento di X corrisponde uno ed un solo elemento di Y, e viceversa, si dice "corrispondenza
biunivoca" (o "corrispondenza uno-a-uno").
Definizione
Si dice "numero cardinale" quel qualcosa, quell'entità astratta, quel "quid", che hanno in comune
tutti gli insiemi che possono essere posti in corrispondenza biunivoca con un insieme dato.
Per indicare che l'insieme A definisce il numero cardinale a, scriveremo card(A) = a
(leggi: "il numero cardinale dell'insieme A è a", o anche: "la cardinalità dell'insieme A è a").
Se due insiemi A, B possono essere posti in corrispondenza biunivoca, diremo che “individuano lo
stesso numero cardinale” o che “sono due ’rappresentanti’ del medesimo numero cardinale”.
Definizione
Si dice "numero naturale" il numero cardinale di un insieme finito (NOTA 1)
NOTA 1. - Occorre dunque una definizione di insieme "finito" che non faccia riferimento al
concetto di "numero" o all'operazione del "contare", altrimenti cadremmo in un circolo vizioso.
Già Galileo osservò che, sorprendentemente, l'insieme degli interi >0 può essere posto in
corrispondenza biunivoca con l' insieme degli interi pari, che è un suo sottoinsieme “proprio”.
Questa proprietà apparentemente paradossale può essere impiegata per caratterizzare gli insiemi
“infiniti” rispetto a quelli “finiti”.
Definizione
(insiemi finiti e infiniti):
Un insieme si dice
“infinito” se può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio;
“finito” in caso contrario.
Ci si potrebbe aspettare che, dati due insiemi entrambi infiniti, questi si possano sempre mettere in
corrispondenza biunivoca: cioè, che tutti gli insiemi infiniti esprimano un unico numero cardinale.
Cantor scoprì che questa congettura è falsa, perché esistono invece diversi "gradi" di infinito: dati
due insiemi A, B entrambi infiniti, può accadere che, ad esempio, A possa essere posto in
corrispondenza biunivoca con un sottoinsieme proprio di B, ma non con B.
In tal caso, i numeri cardinali di A e di B non coincidono; diremo che card(A) < card(B).
Le operazioni in N
Indicheremo con N l'insieme dei numeri naturali.
Dalle definizioni poste, il concetto di "numero naturale" è ricondotto a quello, semplicissimo, di
"corrispondenza biunivoca".
Definizione (confronto di due numeri naturali)
Dati due numeri naturali m, n, si dice che m è minore di n, e si scrive m<n, se esistono due insiemi
A e B tali che:
card(A) = m, card (B) = n, e A ⊂ B
(ricordiamo che il simbolo ⊂ indica "inclusione stretta").
Si può dimostrare che se m<n, allora non può essere, contemporaneamente, m=n e neppure n<m.
Definizione Si dice "somma" di due numeri naturali m, n, e si indica con m+n, il numero
naturale dell'insieme A U B, essendo A, B due insiemi disgiunti di cardinalità m, n rispettivamente.
Si può dimostrare che la definizione data è corretta, cioè che il valore di m+n non dipende dai
particolari insiemi scelti per rappresentare m ed n (NOTA 2).
NOTA 2.
Per la correttezza della definizione occorrerebbe anche dimostrare che l'unione di due insiemi finiti
è sempre un insieme finito. Omettiamo questa dimostrazione.
Definizione Si dice "prodotto" di due numeri naturali m, n, e si indica con m• n , il numero
naturale dell'insieme A X B (NOTA 3), essendo A, B due insiemi di cardinalità m, n
rispettivamente.
NOTA 3.
A X B = “prodotto cartesiano di A per B” =
Sottrazione e divisione vengono definite come operazioni inverse della somma e del prodotto
rispettivamente; tuttavia, queste operazioni non sempre ammettono risultato nell'insieme N:
Definizione
Viene definito "differenza" fra due numeri naturali a, b, e si indica con a - b,
quel numero naturale x (se esiste), tale che x + b = a
Definizione
Viene definito "quoziente" fra due numeri naturali a, b (con b diverso da 0), e si indica con a : b,
quel numero naturale x (se esiste), tale che x • b = a
Definizione
Si può dimostrare che, dati due numeri naturali a, b (con b diverso da 0), esistono sempre (e sono
unici) i due numeri naturali q, r tali che
a = q • b + r ed r<b.
Tali due numeri naturali q, r vengono detti rispettivamente "quoziente" e "resto" della "divisione
intera" (o "divisione aritmetica") di a per b.
Una definizione di N per via assiomatica
Per uno studio delle proprietà dell'insieme N, condotto coi metodi avanzati della logica matematica
moderna, alla definizione data sopra è preferibile sostituire una caratterizzazione di N (con le
operazioni di somma e prodotto), tramite il seguente sistema di assiomi ("assiomi di Peano", dal
nome del grande matematico italiano che visse dal 1858 al 1932):
1) 0 è un numero naturale.
2) Ad ogni numero naturale x corrisponde uno e un solo numero naturale x', detto "il successore" di
x, in modo che:
•
se i successori di due numeri naturali sono uguali, anche i numeri naturali di partenza sono
uguali;
•
0 non è il successore di alcun numero naturale.
3) SE una proprietà P(x), il cui insieme ambiente sia N:
•
vale per il numero 0,
•
e, nel caso valga per un numero naturale x, vale certamente anche per il successore x',
ALLORA quella proprietà vale per ogni numero naturale (Principio di induzione matematica).
4) x+0 = x per ogni numero naturale x
5) x+(y' ) = (x+y)’ per ogni coppia di numeri naturali x, y
6) x • 0 = 0 per ogni numero naturale x
7) x • (y') = (x • y)+x per ogni coppia di numeri naturali x, y
Applichiamo il Principio di induzione matematica.
Esso può servire a dimostrare la validità, su tutto N, di molte interessanti proprietà.
Per dimostrare, applicando tale Principio, che una data proprietà P(x) vale per ogni x appartenente
ad N,
si procede nel modo seguente:
a)si verifica che la proprietà P(x) vale con x=0;
b)si suppone, come ipotesi di lavoro, che la proprietà valga con x=k, e si dimostra che, sotto
questa ipotesi, la proprietà deve necessariamente valere anche con x=k+1.
a) e b) garantiscono, per il Principio di induzione matematica, che la proprietà P(x) vale su tutto N.
Tre esercizi. Dimostrare, mediante il Principio di Induzione matematica (o la sua ovvia variante
consistente nel “partire da 1” anziché “partire da 0”, che:
TEOREMI. Sia con l'impostazione delle "corrispondenze biunivoche", sia con l'impostazione di
Peano, è poi possibile dimostrare quei teoremi che esprimono le proprietà delle operazioni coi
numeri naturali. Ad esempio:
per ogni coppia di numeri naturali a, b,
a+b=b+a
per ogni terna di numeri naturali a, b, c,
(a+b)+c = a+(b+c)
per ogni coppia di numeri naturali a, b,
a•b=b•a
per ogni terna di numeri naturali a, b, c,
a • (b+c) = a • b + a • c
ecc. ecc. ecc. (le proprietà delle quattro operazioni sono tante!)
Come è ben comprensibile, i procedimenti dimostrativi saranno profondamente diversi a seconda
che si adotti l'una o l'altra impostazione.
L’Algebra di N
N ≡ {0, 1, 2, 3, ..., n, ...} è un insieme dotato di due operazioni interne, "+" e " • "
N è chiuso rispetto a queste due operazioni, cioè il risultato di ogni operazione su due numeri
naturali è ancora un numero naturale.
Le proprietà di queste operazioni nell’operare sugli elementi di N vengono definite in maniera
assiomatica come segue:
•
Entrambe le operazioni sono commutative e associative
N1) (a + b) + c = a + (b + c) (proprietà associativa dell'addizione).
N2) a + b = b + a (proprietà commutativa dell'addizione).
N3) (a • b) • c = a • (b • c) (proprietà associativa della moltiplicazione).
N4) a • b = b • a (proprietà commutativa della moltiplicazione).
•
Esiste ed è unico l'elemento neutro, 0 per la somma, 1 per il prodotto
N5) a + 0 = 0 + a = a.
N6) a • 1 = 1 • a = a.
•
Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione:
N7) a • (b + c) = (a • b) + (a • c)
Non vale la proprietà distributiva della addizione rispetto alla moltiplicazione, non è vero in
generale che
a + (b • c) = (a + b) • (a + c).
Anche gli elementi neutri non si comportano in modo simmetrico rispetto alle due operazioni: il
prodotto di ogni numero per 0 dà 0, ma non è vero che la somma di ogni numero con 1 dia 1.
Non è sempre così: le operazioni di unione e intersezione tra insiemi godono ciascuna della
proprietà distributiva rispetto all'altra: cioè se A, B, C sono insiemi allora
A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C), e A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C).
•
È possibile introdurre un ordinamento totale:
N8) Dati a ≠ b, esiste uno ed un solo numero naturale c ≠ 0 tale che
a = b + c (a > b), oppure b = a + c (a < b).
•
In N valgono le leggi di cancellazione rispetto alla somma e al prodotto:
N9) a + b = a + c se e solo se b = c.
N10) se a ≠ 0 allora: a • b = a • c se e solo se b = c.
(E’ importante ricordare che, per quanto comode, le leggi di cancellazione non necessitano di essere
introdotte come assiomi. Esse possono essere dimostrate agevolmente facendo uso degli assiomi
precedenti. Una semplice dimostrazione è riportata in appendice).
Appendice
1
•
Derivazione delle “leggi di cancellazione”
Cominciamo col dimostrare la legge di cancellazione per la somma, cioè che
a + b = a + c se e solo se b = c
consideriamo l’uguaglianza
a+b=a+c
Esistono solo tre possibilità riguardo ad a e b:
1. b = c
2. b > c
3. b < c
Dimostrando l’uguaglianza nel primo caso ed escludendo gli ultimi due casi dimostriamo che
l’unico caso (se e solo se) in cui a + b = a + c è che b = c.
Nel primo caso, operando la sostituzione b = c, si vede che
a+b=a+c
diventa
a+c=a+c
cioè se b = c l’uguaglianza è banalmente vera,
ma ci resta da dimostrare che questo è l’unico caso possibile.
Se b > c,
posso scrivere b = c + k e sostituirlo nell’uguaglianza considerata,
a+c+k=a+c
La proprietà associativa mi permette di scrivere
(a + c) + k = a + c
che ponendo (a + c) = n diventa
n+k=n
che per l’unicità dell’elemento neutro per la somma mi garantisce che
k=0
ma allora l’uguaglianza in grassetto diventa
b=c+0
Per l’esistenza dell’elemento neutro per la somma concludiamo che
b=c
Che esclude il secondo caso.
Se b < c la dimostrazione si conduce in maniera assolutamente analoga, portando alla medesima
conclusione, cioè che b deve necessariamente essere uguale a c.
•
Armati di questo risultato dimostriamo ora la legge di cancellazione per il prodotto, cioè che
a • b = a • c se e solo se b = c
con a ≠ 0
(altrimenti l’uguaglianza
sarebbe banalmente vera
per qualunque scelta di b
e c).
Consideriamo l’uguaglianza
a•b=a•c
Esistono solo tre possibilità riguardo ad a e b:
1. b = c
2. b > c
3. b < c
Anche questa volta, dimostrando l’uguaglianza nel primo caso ed escludendo gli ultimi due casi
dimostriamo che l’unico caso (se e solo se) in cui a • b = a • c è che b = c.
Nel primo caso, operando la sostituzione b = c, si vede che
a•b=a•c
diventa
a•c=a•c
cioè se b = c l’uguaglianza è vera,
ma ci resta da dimostrare che questo è l’unico caso possibile.
Se b > c,
posso scrivere b = c + k e sostituirlo nell’uguaglianza considerata,
a • (c + k) = a + c
La proprietà distributiva mi permette di scrivere
(a • c) + (a • k) = a + c
che ponendo (a + c) = n diventa
n + (a • k) = n
L’unicità dell’elemento neutro per la somma mi garantisce che
a•k=0
La legge di cancellazione della somma (che ricordiamo essere una doppia implicazione) mi
permette di scrivere
(a • k) + a = 0 + a
che per l’esistenza dell’elemento neutro per il prodotto diventa
(a • k) + (a • 1) = 0 + a
Applichiamo la proprietà distributiva,
a • (k + 1) = 0 + a
e utilizziamo l’esistenza dell’elemento neutro per la somma
a • (k + 1) = a
L’unicità dell’elemento neutro per il prodotto garantisce che
k+1=1
L’unicità dell’elemento neutro per la somma permette di dire che
k=0
ma allora l’uguaglianza in grassetto diventa
b=c+0
Per l’esistenza dell’elemento neutro per la somma concludiamo che
b=c
Che esclude il caso che b > c.
Se b < c la dimostrazione si conduce in maniera assolutamente analoga, portando alla medesima
conclusione, cioè che b deve necessariamente essere uguale a c.
2
Perché qualunque numero naturale moltiplicato per zero diventa zero
Tesi
Per ogni a∈ N,
a • 0 = 0.
Dimostrazione
a+0=a
per l’esistenza dell’elemento neutro della somma
a+0=a•1
per l’esistenza dell’elemento neutro del prodotto
a + 0 = a • (1 + 0)
per l’esistenza dell’elemento neutro della somma
a + 0 = (a • 1) + (a • 0)
per la proprietà distributiva
a + 0 = a + (a • 0)
per l’esistenza dell’elemento neutro del prodotto
e quindi, per la legge di cancellazione della somma
0 = a • 0.
