CORSO DI FISICA ASPERIMENTALE II ESERCIZI SU RESISTENZE IN SERIE E PARALLELO Docente: Claudio Melis 1) Un generatore di tensione reale da 20 V provvisto di resistenza interna r pari a 2 Ω è connesso in serie a tre resistenze rispettivamente di 20 Ω, 30 Ω e 40 Ω. Calcolare la corrente che circola nel circuito e la differenza di potenziale ai capi di ciascuna resistenza.
r = 2 Ω R1 = 20 Ω R2 = 30 Ω R3 = 40 Ω V = 20 V Risolvendo il circuito, troviamo un'unica resistenza equivalente alle tre connesse in serie e alla resistenza interna presente nel generatore, che risulta anch'essa connessa in serie a tutti gli altri resistori. Per cui: Req = R1 + R2 + R3 + r = 20 + 30 + 40 + 2 = 92 Ω La corrente che circola nel circuito, ed attraversa ogni singola resistenza, è data da: i = V / Req = 20/92 = 0,217 A Per calcolare le differenze di potenziale applicata ai capi di ogni singola resistenza utilizziamo la prima legge di Ohm per ciascuna: V1 = R1 · i = 20 · 0,217 = 4,348 V V2 = R2 · i = 30 · 0,217 = 6,522 V V3 = R3 · i = 40 · 0,217 = 8,969 V Verifichiamo la correttezza di quanto ricavato attraverso la seconda legge di Kirchhoff : in ogni maglia del circuito la somma delle forze elettromotrici contenute è pari alla somma delle tensioni ai capi di ciascun resistore presente nella maglia, per cui possiamo scrivere che: V = V1 + V2 + V3 + Vr = 4,348 + 6,522 + 8,969 + 2· 0,217 ≈ 20 V In definitiva la differenza di potenziale ai capi di ciascuna resistenza vale: 4,348 V, 6,522 V e 8,969 V. 2) Due resistenze da 10 Ω e 30 Ω sono collegati in parallelo ed alimentate da una pila che fornisce una tensione al circuito pari a 12 V. Calcolare la corrente che scorre globalmente nel circuito ed in ogni singola resistenza. Calcolare inoltre la tensione ai capi di ogni resistenza. Calcoliamo la resistenza equivalente al sistema delle due resistenze in parallelo. Quando due resistenze sono connesse in parallelo si ha che: 1/Req = 1/R1 + 1/R2 Eseguendo il minimo comune multiplo: Sostituendo i dati in nostro possesso si ha che: Dunque per la prima legge di Ohm la corrente che circola globalmente nel circuito è pari a: i = V/Req =12/7,5 = 1,6 A Ora, dalla prima legge di Kirchhoff sappiamo che in ogni nodo del circuito la somma delle correnti entranti è uguale alla somma delle correnti uscenti. Prendiamo in esame il nodo in cui i entra nel parallelo e si smista in i1 ed i2. Per quanto affermato poc'anzi possiamo scrivere che: i = i1 + i2 Inoltre per la seconda legge di Kirchhoff le tensioni sui due resistori sono le medesime e pari alla tensione presente sulla Req, per cui: V1 = V2 = V = 12 V Applicando la prima legge di Ohm otteniamo dunque: i1 = V / R1= 12 / 10 = 1,2 A ed infine: i2 = i -­‐ i1 = 1,6 -­‐ 1,2 = 0,4 A In definitiva dunque: la corrente che scorre globalmente nel circuito vale 1,6 A; la corrente che scorre in ogni singola resistenza vale rispettivamente 1,2 A e 0,4 A; la tensione ai capi di ogni resistenza vale 12 V. 3) Un circuito elettrico è costituito da due resistenze poste in parallelo tra di loro rispettivamente di 10 Ω e 20 Ω ed a loro volte po ste in serie ad una resistenza da 5 Ω.
Se la differenza di potenziale tra i punti A e B del circuito vale 4,5 V, calcolare: 1) la resistenza equivalente del circuito; 2) la corrente che circola in ogni resistore; 3) la potenza dissipata da ognuno di essi; 4) la potenza dissipata in generale dal circuito. Svolgimento Scriviamo anzitutto i dati a nostra disposizione: R1 = 10 Ω R2 = 20 Ω R3 = 5 Ω VAB = 4,5 V Cominciamo col calcolare la resistenza equivalente del circuito. Il parallelo tra R1 e R2 è equivalente ad un'unica resistenza R12 pari a: Mentre la resistenza equivalente del circuito, considerate le resistenze R3 ed R12 in serie è data da: Req = R3 + R12 = 5 + 6,67 = 11,67 Ω Dunque la resistenza equivalente del circuito vale 11,67 Ω. Ora consideriamo il parallelo tra i punti A e B del circuito. Per la seconda legge di Kirchhoff, possiamo concludere che le due resistenze, essendo collegate in parallelo, avranno la stessa tensione: VAB = V1 = V2 = 4,5 V Per cui, per la prima legge di Ohm, considerata la loro resistenza equivalente R12, avremo che la corrente che circola in essa è pari a: i12 = VAB / R12 = 4,5 / 6,67 = 0,675 A Per la prima legge di Kirchoff, sappiamo che: i12 = i1 + i2 e sempre per la prima legge di Ohm: i1 = V1 / R1 = 4,5 / 10 = 0,45 A mentre i2 = i12 -­‐ i1 = 0,675 -­‐ 0,45 = 0,225 A La corrente che scorre in R3 è pari alla stessa che entra nel parallelo: i3 = i12 = 0,675 A Per calcolare la potenza dissipata da ogni resistore: P1 = V1 · i1 = 4,5 · 0,45 = 2 W P2 = V2 · i2 = 4,5 · 0,225 = 1 W P3 = R3 · i32 = 5 · 0,6752 = 2,3 W La potenza dissipata dal circuito totale è invece: Ptot = Req · i2 In cui la corrente i che scorre nel circuito è quella che scorre nella resistenza 3: Ptot = 11,67 · 0,6752 = 5,3 W Ovviamente la potenza totale era calcolabile anche come somma di P1, P2 e P3. In definitiva dunque: la resistenza equivalente del circuito vale 11,67 Ω; le intensità di corrente che scorrono all'interno di ogni resistenza valgono rispettivamente 0,45 A, 0,225 A e 0,675 A; le potenze dissipate da ciascun resistore: 1 W, 2 W e 2,3 W; la potenza dissipata complessivamente dal circuito 5,3 W. 4) Una resistenza di valore incognito è connessa in serie al parallelo di due resistenze rispettivamente di 25 Ω e 100 Ω. Se la corrente che scorre nel circuito è pari a 1 A e il generatore di tensione a cui sono connesse tutte le resistenze eroga una ddp di 22 V, calcolare: 1) la resistenza incognita; 2) la corrente che scorre in ogni ramo del parallelo; 3) la tensione delle resistenze in parallelo. Il problema ci propone un circuito elettrico in cui una resistenza incognita che chiameremo x è collegata in serie al parallelo di altre due resistenza del valore rispettivamente di R1 = 25 Ω R2 = 100 Ω. La corrente che circola nel circuito vale: i = 1 A e la tensione ai capi del generatore è: V = 22 V Il circuito è schematizzabile dunque come segue: Calcoliamo anzitutto la resistenza equivalente delle due resistenze collegate in parallelo: Mentre la resistenza equivalente del circuito, considerate le resistenze x ed R12 in serie è data da: Req = Rx + R12 = x + 20 Per la prima legge di Ohm sappiamo che: i = V / Req Ovvero 1 = 22 / (20 + x) 20 + x = 22 x = 22 -­‐ 20 = 2 Ω Dunque la resistenza incognita vale 2 Ω. La tensione ai capi di Rx vale: Vx = Rx · i = 2 · 1 = 2 V Per la seconda legge di Kirchoff, considerata la maglia comprendente il generatore, Rx ed R12, avremo che: V = Vx + V12 da cui V12 = V -­‐ Vx = 22 -­‐ 2 = 20 V Dunque la tensione ai capi di ciascuna resistenza posta in parallelo è 20 V V1 = V2 = 20 V Per calcolare la corrente che scorre in ogni resistenza: i1 = V1 / R1 = 20 / 25 = 0,8 A mentre i2: i2 = i -­‐ i1 = 1 -­‐ 0,8 = 0,2 A Ricapitolando: la resistenza incognita vale 2 Ω; la corrente che scorre in ogni resistenza del parallelo vale rispettivamente 0,8 A e 0,2 A; la tensione ai capi di ciascuna resistenza posta in parallelo è 20 V. 5) Nel circuito elettrico mostrato in figura i valori delle 4 resistenze sono: R1 = 1,5 Ω R2 = 4 Ω R3 = 6 Ω R4 = 4 Ω Se il generatore di tensione eroga una ddp pari a 12 V, calcolare l'intensità di corrente che attraversa ogni resistenza Svolgimento Risolviamo anzitutto il circuito presentatoci dal problema. Risolvere un circuito vuol dire essenzialmente ridurre tutte le resistenze presenti ad un'unica resistenza equivalente. La resistenza R1 è collegata in serie al parallelo tra R2, R3 ed R4. Infatti applicando la seconda legge di Kirchhoff alle maglie contenenti rispettivamente R3 ed R4 ed a quella contenente R2 ed R4 possiamo scrivere: V3 -­‐ V4 = 0 da cui V3 = V4 Ed anche V4 -­‐ V2 = 0 V4 = V2 Per transitività dunque: V2 = V3 = V4 Abbiamo dunque dimostrato che avendo la stessa tensione le tre resistenze sono connesse in parallelo tra di loro. La resistenza equivalente del parallelo sarà tale per cui: Dunque la resistenza equivalente del parallelo è data da: R2,3,4 = 3/2 = 1,5 Ω La resistenza equivalente del parallelo è connessa in serie con R1, per cui la resistenza equivalente del circuito è: Req = R2,3,4 + R1 = 1,5 + 1,5 = 3 Ω Applichiamo ora la legge di Ohm al circuito risolto composto da Req e dal generatore: i = V / Req = 12 / 3 = 4 A La corrente che scorre in R1 è dunque i e vale 4 A. Per la prima legge di Kirchhoff: nel nodo tra la resistenza R1 ed il parallelo, la corrente entrante è i mentre quelle uscenti sono i2, i3 ed i4 che vanno rispettivamente verso le proprie resistenze. Per cui: i = i2 + i3 + i4 La tensione ai capi di ciascuna resistenza nel parallelo, è pari alla tensione presente ai capi di R2,3,4. Applichiamo dunque la legge di Ohm a questa resistenza, considerando che su essa scorre la stessa corrente che scorre in R1: V2,3,4 = R2,3,4 · i = 1,5 · 4 = 6 V Adesso applicando la prima legge di Ohm ad ogni resistenza del parallelo possiamo così calcolare ogni singola corrente: i2 = V2 / R2 = 6 / 4 = 1,5 A essendo R2 = R3 allora i3 = i2 = 1,5 A ed infine poichè come abbiamo detto prima: i = i2 + i3 + i4 allora i4 = i -­‐ i2 -­‐ i3 = 4 -­‐ 1,5 -­‐ 1,5 = 1 A In definitiva, le correnti che attraversano le resistenze del circuito sono rispettivamente: 4A ; 1,5 A ; 1 A ed 1,5 A.
