Le leggi di Keplero Johannes Kepler (Weil der Stadt1571

Le leggi di Keplero
Johannes Kepler (Weil der Stadt1571- Ratisbona 1630) fu un matematico e
astronomo tedesco discepolo dell’astronomo danese Tycho Brahe (15461601).
Utilizzò la grandissima quantità di misure astronomiche registrate da Brahe
per perfezionare il modello eliocentrico copernicano. Sulla base di questi dati
abbandona il dogma aristotelico del moto circolare uniforme dei moti
planetari.
Egli scrisse tre leggi che portano il suo nome.
I legge di Keplero: Tutti i Pianeti descrivono orbite ellittiche intorno al Sole, di cui lo stesso Sole
occupa uno dei due fuochi.
L’ellisse è come una circonferenza imperfetta schiacciata. Geometricamente essa è il luogo dei
punti del piano tali che, la somma dei quadrati delle
distanze di un punto P da due punti fissi c e -c è sempre
costante al variare del punto P.
I punti di coordinate –c e +c si chiamano fuochi, il
segmento (–a;a) si chiama asse maggiore, il segmento (b;b) si chiama asse minore.
𝑥2
𝑦2
La sua equazione è 𝑎2 + 𝑏2 = 1
𝑐
Ogni ellisse è caratterizzata da un numero particolare, detto eccentricità 𝑒 = 𝑎 rapporto tra la
distanza focale e il semiasse maggiore. L’eccentricità ci dice di quanto l’ellisse si discosta dalla
figura perfetta la circonferenza che ha e=1.
Il punto più distante dal Sole si chiama Afelio e il punto più
vicino Perielio.
Questa legge consente di fare previsioni, cioè di sapere a
priori dove si trova un pianeta in un certo istante.
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II legge di Keplero: Il raggio vettore congiungente il Sole con un Pianeta descrive aree uguali in
tempi uguali.
Cioè la velocità areolare è costante.
Nella figura se gli archi AB e CD sono percorsi in
tempi uguali allora le aree ABS e CDS sono uguali.
Cerchiamo di spiegare questa Legge.
Supponiamo che i due archi AB e CD siano percorsi in
un intervallo di tempo t piccolo rispetto al tempo
impiegato per percorre l’intera orbita. In tal modo gli
archi AB e CD possono essere considerati archi di due
circonferenze di raggi r1=AS=BS ed r2=CS=DS.
Per lo stesso motivo possiamo considerare i due archi di circonferenza come dei sementi e possiamo
supporre che anche le velocità dei pianeti nei due archi siano costanti 𝑣1 =
𝐴𝐵
Δ𝑡
e 𝑣2 =
𝐶𝐷
Δ𝑡
Osserviamo che stiamo considerando il sistema Pianeta-Sole come un sistema isolato, cioè un
Sistema in cui le influenze di forze esterne al sistema è trascurabile. Quindi vale il principio di
conservazione del Momento Angolare:
𝑚𝑣1 𝑟1 = 𝑚𝑣2 𝑟2
𝑣1 𝑟1 = 𝑣2 𝑟2
𝐴𝐵
𝐶𝐷
𝑟1 =
𝑟
Δ𝑡
Δ𝑡 2
𝐴𝐵𝑟1 = 𝐶𝐷𝑟2
Dividendo per due
𝐴𝐵
𝐶𝐷
𝑟1 =
𝑟
2
2 2
Poiché gli archi sono molto piccoli e sono per questo stati approssimati da segmenti, essi possono al
limite essere considerati delle basi due triangoli di altezze rispettivamente r1 ed r2
Quindi la precedente relazione esprime l’uguaglianza delle aree spazzate dal raggio vettore PS, che
è appunto l’affermazione contenuta nella II legge di Keplero.
Ribadiamo il fatto che Keplero giunse a questo risultato solo attraverso l’analisi dei dati di Brahe.
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Veniamo all’ultima legge
III legge di Keplero: i cubi dei semiassi maggiori delle orbite dei pianeti sono direttamente
proporzionali ai quadrati dei loro periodi di rivoluzione.
𝑎3
= 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑇2
Due
grandezze
direttamente
proporzionali individuano una retta
passante per l’origine; ogni pianeta
del sistema solare è individuato nel
grafico dalle coordinate (𝑇 2 ; 𝑎3 ) si
osserva che tali corpi celesti sono
allineati e attraversati da una stessa
retta.
Nel grafico l’unità di misura delle
distanze è l’Unità Astronomica (AU)
1 AU = distanza media Terra-Sole 150.000.000 km
L’unità di misura temporale è l’anno (yr)
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