APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA Parte Prima

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA
Parte Prima
Versione preliminare del 24 settembre 2008
Pierpaolo Omari
Dipartimento di Matematica e Informatica
Università degli Studi di Trieste
Maurizio Trombetta
Dipartimento di Matematica e Informatica
Università degli Studi di Udine
Indice
1 Logica, insiemi, applicazioni, relazioni
1.1 Logica delle proposizioni . . . . . . . .
1.2 Gli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Operazioni fra insiemi . . . . . . . . .
1.4 Logica dei predicati . . . . . . . . . . .
1.5 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Relazioni binarie . . . . . . . . . . . .
1.7 Relazioni di equivalenza . . . . . . . .
1.8 Relazioni d’ordine . . . . . . . . . . . .
1.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
9
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31
34
2 Gli
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
insiemi numerici
I numeri naturali . . . . . . . .
Il Principio di induzione . . . .
Gli interi relativi . . . . . . . .
I numeri razionali . . . . . . . .
Insufficienze di Q. I numeri reali
Proprietà fondamentali di R . .
Intervalli e intorni . . . . . . . .
I numeri complessi . . . . . . .
Esercizi . . . . . . . . . . . . .
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73
3 Calcolo Combinatorio
3.1 Introduzione, insieme prodotto .
3.2 Permutazioni semplici . . . . .
3.3 Disposizioni semplici . . . . . .
3.4 Combinazioni semplici . . . . .
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77
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i
INDICE
ii
3.5
3.6
3.7
La formula di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Permutazioni e disposizioni con ripetizione . . . . . . . . . . 96
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4 Le funzioni elementari
4.1 Funzioni reali di variabile reale . . .
4.2 Polinomi e funzioni razionali . . . .
4.3 La funzione esponenziale . . . . . .
4.4 La funzione logaritmo . . . . . . . .
4.5 Il numero e . . . . . . . . . . . . .
4.6 Le funzioni goniometriche . . . . .
4.7 La forma trigonometrica dei numeri
4.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . .
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complessi
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136
5 Limiti e continuità
5.1 Limite di una successione . . . . . . . . . . .
5.2 Limiti delle funzioni . . . . . . . . . . . . .
5.3 I teoremi sui limiti . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Le funzioni continue . . . . . . . . . . . . .
5.5 Continuità delle funzioni elementari . . . . .
5.6 Limiti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Teoremi fondamentali sulle funzioni continue
5.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Infiniti e infinitesimi
6.1 Ordini di infinito . . . . . . . . . . .
6.2 Ordini di infinitesimo . . . . . . . . .
6.3 Operazioni e ordini . . . . . . . . . .
6.4 Classificazione di infiniti e infinitesimi
6.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . .
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209
209
215
219
226
228
230
7 Calcolo differenziale in R
7.1 Il rapporto incrementale e la derivata
7.2 Regole di derivazione . . . . . . . . .
7.3 Derivate delle funzioni elementari . .
7.4 Le funzioni iperboliche . . . . . . . .
7.5 Approssimante lineare . . . . . . . .
7.6 Proprietà locali del primo ordine . . .
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iii
7.7
7.8
7.9
7.10
Funzioni derivabili su un intervallo
La formula di Taylor . . . . . . . .
Concavità, convessità, flessi . . . .
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . .
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239
247
255
264
8 L’integrale indefinito
8.1 Primitiva di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Integrale indefinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Metodi di integrazione indefinita . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Integrale indefinito delle funzioni razionali . . . . . . . . . .
8.5 Integrazione di alcune classi di funzioni irrazionali e trascendenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
271
271
274
275
285
9 Integrale di Riemann
9.1 La definizione di integrale . .
9.2 Proprietà dell’integrale . . . .
9.3 La funzione integrale . . . . .
9.4 Integrali impropri . . . . . . .
9.4.0.1 Secondo tipo
9.5 Esercizi . . . . . . . . . . . .
295
295
298
305
311
317
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290
294
1
Logica, insiemi, applicazioni, relazioni
1.1
Logica delle proposizioni
La logica è quella disciplina che analizza e formalizza i metodi di ragionamento. Essa è di fondamentale importanza per la matematica, assicurando
chiarezza e non ambiguità. Qui ci limiteremo a dare qualche cenno della
logica delle proposizioni e, nel Paragrafo 1.4, della logica dei predicati.
La nozione di proposizione è assunta come primitiva (cfr. Paragrafo 1.2
sulla nozione di insieme). Un po’ alla buona possiamo dire che:
Una proposizione è un enunciato (o affermazione) sintatticamente corretto al quale sia possibile attribuire, in un determinato contesto, un valore
di verità o falsità.
Non sono dunque proposizioni frasi come le seguenti: Studia!, Che
ore sono?, perché non sono delle affermazioni.
Sono, invece, proposizioni le seguenti affermazioni: 3 è un numero primo; 3 è un numero pari; Il numero 12343847 + 9876751276 − 1 è primo.
Infatti, se si opera (come appare ragionevole) nell’ambito dei numeri naturali, la prima affermazione è vera, la seconda è falsa, mentre la terza ha
certamente un suo valore di verità anche se noi non sappiamo quale sia;
sappiamo però che esistono delle tecniche per stabilire oggettivamente se il
numero sopra scritto è o non è primo.
Sono proposizioni anche affermazioni come: Carla è una bella ragazza
o 7 è un numero fortunato, anche se il loro valore di verità dipende dal
1
2
Logica, insiemi, applicazioni, relazioni
contesto in cui si opera e richiede che vengano dati dei metodi oggettivi per
decidere chi è Carla e quando una persona di sesso femminile è una “bella
ragazza” o quando un numero è “fortunato”.
Le proposizioni si indicano solitamente con lettere latine minuscole: p,
q, r, s, . . .
Accetteremo i due seguenti principi (che fra poco ritroveremo per altra
via):
∗ Non contradditorietà. Una proposizione non può essere allo stesso
tempo vera e falsa.
∗ Terzo escluso. Se una proposizione è falsa, allora la sua negazione
è vera e viceversa (non c’è una terza possibilità).
Come nel linguaggio comune, cosı́ anche in logica le proposizioni semplici
(atomiche), ossia quelle con un solo predicato verbale, possono essere unite
a formare altre proposizioni piú complesse (proposizioni composte). Nel
linguaggio comune il collegamento avviene per mezzo di congiunzioni; in
logica i termini di collegamento si chiamano connettivi logici.
Introdurremo cinque connettivi fondamentali. Uno di essi coinvolge una
sola proposizione ed è perciò detto unario; gli altri legano due proposizioni
ciascuno e sono quindi detti binari.
Il valore di verità di una proposizione composta si deduce dai valori di
verità delle proposizioni semplici che le compongono. Per ottenere questo
risultato si possono utilizzare le cosiddette tavole di verità. L’uso di queste
tavole apparirà chiaro dagli esempi prodotti. Per esprimere il valore di verità
di una proposizione, si usano solitamente i simboli “V ” o “1” per “vero” e
“F ” o “0” per “falso”.
Definizione 1.1. Negazione (¬). Data una proposizione p, si definisce
negazione di p o “non p” la proposizione ¬p che è vera se p è falsa ed è falsa
se p è vera. La sua tavola di verità è dunque quella riportata qui sotto.
p
V
F
¬p
F
V
1.1. Logica delle proposizioni
3
Definizione 1.2. Congiunzione (∧). Date due proposizioni p e q, si chiama
loro congiunzione la proposizione p ∧ q (“p e q”) che è vera se p e q sono
entrambi vere ed è falsa in ogni altro caso.
Definizione 1.3. Disgiunzione (∨). Date due proposizioni p e q, si chiama
loro disgiunzione la proposizione p ∨ q (“p o q”) che è vera se è vera almeno
una delle proposizioni p e q mentre è falsa se p e q sono entrambe false.
Le tavole di verità delle proposizioni ottenute con ∧ e ∨ sono le seguenti:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∧q
V
F
F
F
p∨q
V
V
V
F
Osservazione 1.4. Nella lingua italiana, la “o” può avere almeno due
significati diversi.
∗ Significato esclusivo (latino aut), come nella frase: Se sostengo un
esame, o sono promosso o sono bocciato. (Le due cose non possono
verificarsi entrambi.)
∗ Significato inclusivo (latino vel ), come nella frase: Se alla prossima
sessione d’esami riesco a dare Analisi o Matematica Discreta, sono
contento. (Se li do tutti due, tanto meglio!)
In Matematica, salvo esplicito avviso del contrario, la “o” ha sempre quest’ultimo significato.
Esempio 1.5. Consideriamo le due proposizioni: p = 6 è un numero pari
e q = Milano è la capitale d’Italia. Naturalmente p è vera e q (almeno
per ora) è falsa. Ne viene che p ∧ q = 6 è un numero pari e Milano è la
capitale d’Italia è falsa, mentre p ∨ q = 6 è un numero pari o Milano è la
capitale d’Italia è vera.
4
Logica, insiemi, applicazioni, relazioni
Esempio 1.6. Siano p e q le proposizioni dell’esempio precedente. La
proposizione ¬q = Non è vero che Milano è la capitale d’Italia è vera.
Ciò si esprime piú comodamente dicendo ¬q = Milano non è la capitale
d’Italia. Le proposizioni p ∧ (¬q) e p ∨ (¬q) sono entrambe vere.
Naturalmente, a partire da proposizioni atomiche assegnate, si possono
ottenere nuove proposizioni composte di varia complessità combinando in
modi diversi i connettivi logici. In questo caso, converrà usare parentesi per
specificare l’ordine in cui i connettivi vengono usati.
Esempio 1.7. Date le proposizioni p, q, r, consideriamo le proposizioni
t = (p ∧ (¬q)) ∨ r,
s = (¬q) ∨ p
e ricaviamo le loro tavole di verità.
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
¬q
F
F
V
V
F
F
V
V
p ∧ (¬q)
F
F
V
V
F
F
F
F
t
V
F
V
V
V
F
V
F
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
¬q
F
V
F
V
¬q ∨ p
V
V
F
V
Definizione 1.8. Una proposizione composta è detta tautologia se è sempre vera, quali che siano i valori di verità delle proposizioni elementari
componenti.
Una proposizione composta è detta contraddizione se è sempre falsa,
quali che siano i valori di verità delle proposizioni elementari componenti.
Esempio 1.9. Dalla definizione di ¬p, si ha immediatamente che p ∧ (¬p)
è una contraddizione (principio di non contradditorietà), mentre p ∨ (¬p) è
una tautologia (principio del terzo escluso).
Esempio 1.10. Si constata facilmente che (p ∨ (¬q)) ∨ q è una tautologia,
mentre (p ∧ (¬q)) ∧ q è una contraddizione.