RAPPRESENTAZIONI TABULARI E GRAFICHE DI FORMULE
I problemi presentati in questa sezione hanno come obiettivi comuni quelli di abituare gli alunni a
tradurre in modo adeguato una situazione in termini di formule e grafici e di saper trarre
informazioni da queste rappresentazioni. In quasi tutti la possibilità di una duplice schematizzazione
matematica (formula/grafico) aiuta nella risoluzione del problema. Ed è proprio l’abilità di passare
continuamente da un frame all’altro a favorire la comprensione della situazione e a risolverla.
Problemi
1) Se un bene si deprezza linearmente per un periodo di n anni, il suo valore y, in lire, dopo x anni,
è dato da: y = c(1-(x/n)), dove c rappresenta in lire il valore originario del bene. Un impianto
costruito nel 1990 e valutato in origine lire 400000000, si deprezza linearmente per 40 anni.
Disegna un grafico che dia il valore y, in lire, dell’impianto x anni dopo la sua realizzazione e
determinane il valore corrispondente all’anno 2010.
2) Nel 1999 una società ha un utile di 13500 lire per azione e prevede di poter incrementare questo
valore di 1250 lire all’anno. Se l’anno 1999 corrisponde a x=0 e gli anni successivi a
x=1,2,3,…., determina l’equazione che permette alla società di prevedere il suo utile y, in lire,
per ogni azione, relativo agli anni futuri. Rappresenta graficamente l’equazione e determina
l’utile per azione previsto per l’anno 2007. Se la società avesse nel 1999 un utile di 7500 lire per
azione, di quanto dovrebbe incrementare questo valore all’anno per ottenere lo stesso utile del
caso precedente nel 2007?
3) Le analisi eseguite nel 1998 in un certo lago hanno rilevato la presenza di 7 milligrammi di
composti di mercurio ogni 1000 litri di acqua. Si rende quindi necessaria una depurazione delle
acque; si stima che il livello di inquinamento potrebbe diminuire di 0,75 milligrammi di
composti di mercurio ogni 1000 litri di acqua all’anno se saranno seguite scrupolosamente certe
norme. Se l’anno 1998 corrisponde a x = 0 e gli anni successivi a x= 1,2,3,…, trova l’equazione
che permetta di fare previsioni sul livello di inquinamento y del lago negli anni seguenti,
disegna il grafico dell’equazione e determina l’anno in cui nel lago non si riscontreranno più
tracce di mercurio.
In questo problema il campo di variazione della variabile x è discreto, risulta quindi necessario
“arrotondare” all’intero per rispondere alla seconda domanda.
4) In una carta aeronautica si legge che le temperature, in gradi centigradi, corrispondenti alle
altezze h=15000 piedi e h=20000 piedi sono rispettivamente T= 20°C e T= 26°C.
Supponendo che la temperatura vari linearmente con l’altezza h, scrivi l’equazione che definisce
il legame tra temperatura ed altezza, disegnane il grafico e calcola a quale quota la temperatura
vale –38°C.
5) La direzione di un parcheggio sotterraneo di una grande città ha fissato la seguente tariffa per la
sosta: lire 1000 per ogni ora o frazione di ora, partendo da un minimo di lire 2000 fino ad un
massimo di lire 10000. Se C(x) indica il costo del parcheggio in lire per x ore, disegna il grafico
della funzione C(x) per 0x12 ore.
6) Il prezzo p dell’affrancatura di un pacco dipende dal peso k, secondo una legge di questo tipo:
Se il peso è inferiore al chilo il prezzo è di 8000 lire;
Ogni 100 grammi in più rispetto a tale peso si aggiunge al prezzo di base un sovrapprezzo di
400 lire.
E’ una legge lineare? Costruisci il grafico.
Assegna alcuni valori numerici al prezzo base, corrispondente a un peso al di sotto del quale il costo
dell’affrancatura è costante, e al sovrapprezzo che si aggiunge per ogni 100 grammi in più,
rappresenta graficamente tale legge ed esprimila attraverso una o più formule. E’ una funzione? E’
possibile affermare che il prezzo è direttamente proporzionale al peso del pacco?
7) Un tariffario, in generale, stabilisce quanto si deve pagare per l’acquisto di una determinata
quantità o di un determinato servizio. Di quale tipo deve essere la corrispondenza stabilita da un
tariffario? Che cosa succederebbe se non fosse una funzione?
Analizza quali tra le seguenti tariffe dipendono da una sola variabile e quali da più variabili,
individuando le variabili coinvolte:
Prezzo di una corsa in taxi
Prezzo di un biglietto ferroviario
Prezzo dell’energia elettrica
8) La tariffa dei telegrammi è calcolata in base al numero delle parole del testo del messaggio: per
i telegrammi in qualsiasi località italiana si pagano L.5000 fino a 10 parole e L.150 per ogni
parola in più. E’ una legge lineare? Disegnane il grafico. E’ una funzione? Determina una
formula che esprima la tariffa t in funzione del numero p di parole.
9) Un negoziante acquista 12 cartoni, ognuno contenente 16 barattoli di marmellata a 25600 lire a
cartone. Poiché alcuni cartoni cadono e k barattoli si rompono, il negoziante rivende ogni
barattolo di marmellata a 3000 lire. Scrivi una formula che esprima il guadagno y in funzione
del numero k di barattoli invendibili, nell’ipotesi che tutti gli altri barattoli siano venduti,
rappresentala graficamente e stabilisci qual è il numero massimo di barattoli che si possono
rompere, affinché il negoziante non risulti necessariamente in perdita.
10) Si vuole pavimentare un pavimento con piastrelle uguali a forma di poligoni regolari. Quali
tipi di poligoni possono essere utilizzati?
Gli allievi hanno a disposizione cartoncino e forbici. Possono costruire con riga e compasso
triangoli rettangoli, quadrati ed esagoni; possono disegnare con Cabri altri poligoni regolari ,
stamparli e ritagliarli per simulare la piastrellatura.
Generalmente giungono abbastanza in fretta a dare la risposta giusta, ma hanno difficoltà a
giustificare verbalmente la propria intuizione. Può essere interessante chiedere che mettano per
scritto le loro argomentazioni, da commentare subito in una discussione comune e da confrontare
successivamente con i prodotti finali dell'esperienza.
Si noterà che soltanto con la costruzione della formula della somma degli angoli interni di un
poligono le osservazioni assumeranno un preciso carattere quantitativo. L'insegnante potrà mettere
in evidenza con quanta semplicità e concisione una formula permette di esprimere ciò che con
difficoltà veniva espresso a parole.
Una tabella, costruita sulla formula citata, mette bene in evidenza la situazione
numero
lati
misura di
un angolo (in gradi)
3
4
5
6
60
90
108
120
quante volte l'angolo
è contenuto
nell'angolo giro
6
4
3,333333
3
7
8
9
10
11
12
13
14
15
128,5714
135
140
144
147,2727
150
152,3077
154,2857
156
2,8
2,666667
2,571429
2,5
2,444444
2,4
2,363636
2,333333
2,307692
