L`oscillatore armonico nella meccanica

Capitolo 1
L’oscillatore armonico nella
meccanica
Tratto da L. Pauling, E.B. Wilson, Introduzione alla Meccanica Quantistica,
Piccin Editore.
1.1
Risoluzione dell’equazione d’onda
Come primo esempio della risoluzione dell’equazione d’onda di Schrödinger per
un sistema dinamico sceglieremo l’oscillatore armonico monodimensionale, non
solo perché tale sistema fornisce una buona illustrazione dei metodi usati nell’applicazione dell’equazione d’onda, ma anche perché esso è di notevole importanza
in applicazioni che saranno discusse in seguito, come il calcolo dell’energia vibrazionale delle molecole.
L’energia potenziale può essere scritta, nella forma V (x) = 1/2kx2 = 1/2mω 2 x2 =
2π 2 mν02 x2 dove x è lo spostamento della particella di massa m dalla sua posizione di equilibrio x = 0. Introducendo questa funzione energia potenziale
nell’equazione d’onda generale per un sistema monodimensionale
−
h2 d2 ψ
+ V (x)ψ = W ψ
8π 2 m dx2
(1.1)
si ottiene l’equazione
d2 ψ 8π 2 m
+
(W − 2π 2 mν02 x2 )ψ = 0
dx2
h2
(1.2)
che, ponendo per comodità
λ = 8π 2 mW/h2
(1.3)
α = 4π 2 mν0 /h
(1.4)
d2 ψ
+ (λ − α2 x2 )ψ = 0
dx2
(1.5)
e
diviene
1
2
CAPITOLO 1. L’OSCILLATORE ARMONICO NELLA MECCANICA
Vogliamo ora trovare le funzioni ψ(x) che soddisfino tale equazione per tutti i
valori di x fra -∞ e +∞ e che siano funzioni d’onda accettabili, e cioè continue,
univoche e finite ovunque. Un metodo di risoluzione diretto è l’impiego di uno
sviluppo di ψ in serie di potenze di x, i cui coefficienti vengono determinati
mediante sostituzione della serie rappresentativa di ψ nell’equazione d’onda.
Esiste tuttavia un procedimento molto utile, che può essere utilizzato in questo
ed in altri problemi, e che consiste nel determinare la forma di ψ nelle regioni
dei valori elevati, positivi e negativi, di x, e nel discutere poi il comportamento
di ψ per |x| piccolo introducendo un fattore sotto forma di una serie di potenze
(che si riduce poi ad un polinomio). Questo procedimento può essere chiamato
il metodo polinomiale.
Il primo stadio consiste nella risoluzione asintotica dell’equazione d’onda per |x|
molto grande. Per qualsiasi valore della costante W si può trovare un valore di
|x| tale che per valori di |x| eguali o maggiori di tale valore, λ sia trascurabile
nei confronti di α2 x2 . La forma asintotica dell’equazione d’onda diviene quindi
d2 ψ
= α 2 x2 ψ
dx2
(1.6)
Questa equazione è soddisfatta asintoticamente dalle funzioni esponenziali
α
2
ψ = e± 2 x
in quanto le derivate di ψ hanno come valore
α 2
dψ
= ±αxe± 2 x
dx
e
α 2
α 2
d2 ψ
= α2 x2 e± 2 x ± αe± 2 x
dx2
2
e il secondo addendo di ddxψ2 è trascurabile rispetto al primo nella regione considerata.
α 2
α 2
Delle due soluzioni asintotiche e− 2 x e e+ 2 x , la seconda non è una funzione
d’onda soddisfacente dato che tende rapidamente ad infinito al crescere di |x|:
la prima invece consente una trattazione soddisfacente del problema.
Per ottenere una soluzione esatta dell’equazione d’onda basata sulla soluzione asintotica e valida nell’intero spazio delle configurazioni (−∞ < x < +∞)
introduciamo ora come fattore una serie di potenze di x e determiniamone i
coefficienti introducendo la funzione cosı̀ ottenuta nell’equazione d’onda.
α 2
Sia ψ = e− 2 x f (x). Allora
α 2
d2 ψ
= e− 2 x {α2 x2 f − αf − 2αxf 0 + f 00 }
2
dx
dove f 0 e f 00 rappresentano rispettivamente
α 2
dividendo per e− 2 x , si ottiene
df
dx
e
d2 f
dx2 .
f 00 − 2αxf 0 + (λ − α)f = 0
Sostituendo in 1.5 e
(1.7)
(i termini in α2 x2 f si elidono). Conviene ora introdurre una nuova variabile ξ,
legata a x dall’equazione
√
ξ = αx
(1.8)
1.1. RISOLUZIONE DELL’EQUAZIONE D’ONDA
3
√
e rappresentare la funzione f ( αx) con il simbolo H(ξ). L’equazione differenziale 1.7 diviene allora
dH
d2 H
λ
− 2ξ
+
−1 H =0
(1.9)
dξ 2
dξ
α
Rappresentiamo ora H(ξ) come una serie di potenze e calcoliamone le derivate
X
H(ξ) =
aν ξ ν = a0 + a1 ξ + a2 ξ 2 + a3 ξ 3 + ...
ν
X
dH
=
νaν ξ ν−1 = a1 + 2a2 ξ + 3a3 ξ 2 + ...
dξ
ν
X
d2 H
=
ν(ν − 1)aν ξ ν−2 = 1 · 2a2 + 2 · 3a3 ξ + ...
2
dξ
ν
Sostituendo queste espressioni, l’equazione 1.9 assume la forma
1 · 2a2 + 2 · 3a3 ξ + 3 · 4a4 ξ 2 + 4 · 5a5 ξ 3 + ...
−2a1 ξ − 2 · 2a2 ξ 2 − 2 · 3a3 ξ 3 − ....
λ
λ
λ
λ
+
− 1 a0 +
− 1 a1 ξ +
− 1 a2 ξ 2 +
− 1 a3 ξ 3 + .... = 0
α
α
α
α
Perché questa serie si annulli per tutti i valori di ξ, cioè perché H(ξ) sia
una soluzione di 1.9, i coefficienti di ciascuna potenza di ξ devono annullarsi
separatamente:
λ
1 · 2a2 +
− 1 a0 = 0,
α
λ
− 1 − 2 a1 = 0,
2 · 3a3 +
α
λ
− 1 − 2 · 2 a2 = 0,
3 · 4a4 +
α
λ
4 · 5a5 +
− 1 − 2 · 3 a3 = 0,
α
o, in generale, per il coefficiente di ξ ν ,
(ν + 1)(ν + 2)aν+2 +
o anche
aν+2
λ
α
λ
− 1 − 2ν aν = 0
α
− 2ν − 1 ν
=−
a
(ν + 1)(ν + 2)
(1.10)
Questa espressione è una formula ricorrente che permette di calcolare successivamente i coefficienti a2 , a3 , a4 , ... in funzione di a0 e a1 , che sono arbitrari. Se
si pone a0 eguale a zero, compaiono solo potenze dispari: con a1 eguale a zero,
solo potenze pari.
Per valori arbitrari del parametreo λ le serie cosı̀ trovate contengono un numero
infinito di termini e non corrispondono a funzioni d’onda soddisfacenti perchè,
4
CAPITOLO 1. L’OSCILLATORE ARMONICO NELLA MECCANICA
Figura 1.1: Livelli energetici per l’oscillatore armonico secondo la meccanica
ondulatoria.
come vedremo, il valore delle serie cresce troppo rapidamente con x e quindi la
funzione completa, pur contenendo come fattore l’esponenziale negativo, cresce
oltre ogni limite al crescere di x. Per dimostrare questa affermazione si confronti
2
la serie che rappresenta H con quella per eξ ,
2
eξ = 1 + ξ 2 +
ξ4
ξ6
ξν
+
+ ... + ν +
2!
3!
2 !
ξ ν+2
+ ...
+1 !
ν
2
(1.11)
Per valori di ξ elevati i primi termini delle due serie sono trascurabili. Indichiamo
con c il rapporto fra i coefficienti del termine ν-esimo nello sviluppo di H(ξ) e
2
dell’analogo termine ξ ν nello sviluppo di eξ , cioè aν /bν = c. Per valori di ν
abbastanza grandi da 1.10 e 1.11 si ottengono le relazioni asintotiche
aν+2 =
cosicché
2
aν
ν
e
bν+2 =
2
bν
ν
aν+2
aν
=
=c
bν+2
bν
se ν è abbastanza grande. Pertanto i termini superiori dello sviluppo in serie
2
di H differiscono da quelli dello sviluppo di eξ solo per un fattore costante e
quindi per valori elevati di |ξ|, quando i primi termini sono trascurabili, H si
2
2
comporterà come eξ e il prodotto e− ξ2 H si comporterà in tale regione come
2
e+ ξ2 , dando quindi luogo a una funzione d’onda inaccettabile perché divergente.
Dobbiamo quindi scegliere quei valori del parametro λ che fanno sı̀ che lo sviluppo di H si interrompa dopo un numero finito di termini, dando luogo ad
un polinomio. Si ottiene in questo modo una funzione d’onda soddisfacente
2
perchè il fattore esponenziale negativo e− ξ2 fa tendere la funzione a zero per
valori di |ξ| elevati. Dall’equazione 1.10 risulta che il valore di λ che provoca
l’interruzione della serie dopo il termine n-esimo è
λ = (2n + 1)α
(1.12)
1.2. LE FUNZIONI D’ONDA PER L’OSCILLATORE ARMONICO
5
è inoltre necessario porre uguale a zero il valore di a0 o di a1 , a seconda che n
sia dispari o pari, dato che la scelta opportuna del valore di λ può provocare
l’interruzione della serie pari o dispari, ma non di entrambe. Le soluzioni sono
quindi o funzioni pari o funzioni dispari di ξ. Questa condizione è sufficiente
a garantire che l’equazione d’onda 1.5 abbia soluzioni soddisfacenti ed è anche
una condizione necessaria: nessun altro valore di λ conduce a soluzioni soddisfacenti. Per ogni valore intero 0, 1, 2, 3,... di n, che possiamo chiamare il
numero quantico del corrispondente stato dell’oscillatore, esiste una soluzione
soddisfacente dell’equazione d’onda. Il modo diretto nel quale il numero quantico compare nella trattazione dell’equazione d’onda, come grado di polinomio
H(ξ), è particolarmente soddisfacente, mentre non lo è l’arbitraria introduzione
di multipli interi o semi-interi di h per l’integrale d’azione della vecchia teoria
quantistica.
La condizione per l’esistenza della funzione d’onda n-esima diviene
W = Wn = (n + 1/2)hν0 ,
n = 0, 1, 2, ...
(1.13)
se al posto di λ e di α si sostituiscono i rispettivi valori (vedi equazioni 1.3 e
1.4). La sola differenza rispetto al risultato W = nhν0 ottenuto mediante la
vecchia teoria quantistica consiste nel fatto che tutti i livelli energetici sono spostati verso l’alto, come mostrato in fig. 1.1, di una quantità pari alla metà della
separazione fra i livelli stessi, la cosiddetta energia del punto zero 1/2hν0 .
Si vede quindi che anche nel suo stato più basso il sistema possiede un’energia superiore a quella che avrebbe se si trovasse a riposo nella sua posizione di
equilibrio. L’esistenza di un’energia del punto zero, che conduce ad un miglior
accordo con i dati sperimentali, è un aspetto importante della meccanica quantistica, e si presenta in numerosi problemi. Esattamente come nella trattazione
della vecchia teoria quantistica, la frequenza emessa o assorbita in una transizione fra livelli energetici adiacenti è uguale alla frequenza di vibrazione classica
ν0 .
1.2
Le funzioni d’onda per l’oscillatore armonico
e la loro interpretazione fisica
Per ognuno degli autovalori Wn dell’energia è possibile costruire mediante la
formula ricorrente 1.10 una soluzione soddisfacente dell’equazione d’onda 1.2.
I livelli energetici di questo tipo, ad ognuno dei quali corrisponde solo una
funzione d’onda indipendente, vengono detti non degeneri per distinguerli
dai livelli energetici degeneri, ai quali corrisponde più d’una funzione d’onda
indipendente. La soluzione dell’equazione 1.2 può essere scritta nella formula
ψn (x) = Nn e−
ξ2
2
Hn (ξ)
(1.14)
√
dove ξ = αx. Hn (ξ) è un polinomio di grado n nella variabile ξ e Nn è una
costante il cui valore viene scelto in modo da normalizzare la ψn , cioè in modo
tale che ψn soddisfi la relazione
Z
+∞
−∞
ψn∗ (x)ψn (x)dx = 1
(1.15)
6
CAPITOLO 1. L’OSCILLATORE ARMONICO NELLA MECCANICA
Figura 1.2: La funzione d’onda ψ0 (ξ) per lo stato fondamentale dell’oscillatore armonico (a sinistra) e la funzione d’onda di distribuzione della probabilità |ψ0 (ξ)|2 (a destra). La funzione di distribuzione classica per un oscillatore
armonico avente la stessa energia totale è data dalla curva tratteggiata.
dove ψn∗ è la complessa coniugata di ψn (in questo caso identica a ψn ). Nel prossimo paragrafo discuteremo più particolareggiatamente la natura e le proprietà
di queste soluzioni ψn . La prima soluzione, che corrisponde allo stato di minima
energia per il sistema, è
α 14
α 14
ξ2
α 2
e− 2 =
e− 2 x
(1.16)
ψ0 (x) =
π
π
ed è rappresentata in fig. 1.2. In base al postulato discusso in precedenza,
ψ0∗ ψ0 = ψ02 , anche questa rappresentata in fig. 1.2, e costituisce la funzione
di distribuzione della probabilità per la coordinata x. In altre parole la quantità ψ02 (x)dx in un qualsiasi punto x dà la probabilità di trovare la particella
nell’intorno dx di quel punto. Si vede dalla figura che in questo caso il risultato della meccanica quantistica è in completo disaccordo con la distribuzione
di propabilità che si calcola secondo la meccanica classica per un oscillatore armonico avente la medesima energia. Dal punto di vista classico è più probabile
trovare la particella ai punti estremi del suo moto (dove la particella rallenta,
si ferma, riprende il suo moto in senso inverso), che sono punti esattamente
definiti (la distribuzione di probabilità classica è data dalla linea tratteggiata in
fig. 1.2), mentre ψ02 possiede un massimo nell’origine delle x e inoltre si ha una
probabilità rapidamente decrescente ma finita di trovare la particella al di fuori
della regione consentita classicamente. Questo sorprendente risultato, e cioè la
possibilità di una particella di penetrare in una regione in cui la sua energia
totale è inferiore all’energia potenziale, è strettamente connesso col principio di
indeterminazione di Heisenberg, che conduce alla conclusione che non è possibile misurare esattamente tanto la posizione quanto la velocità di una particella
nel medesimo istante. Si può tuttavia dire fin d’ora che il fatto che la funzione
di distribuzione della probabilità si estenda nella regione delle energie cinetiche
negative non comporta l’abbandono della legge della conservazione dell’energia.
La forma di ψn per valori di n più elevati è mostrata in fig. 1.3. Dato che Hn è
un polinomio di grado n, ψn avrà n zeri (punti in cui ψn attraversa l’asse delle
ascisse). La probabilità di trovare la paticella in tali punti è nulla. Dall’esame
della fig. 1.3 si vede che tutte le soluzioni rappresentate hanno un comportamento generale: all’interno della regione del moto consentita classicamente
(nella quale V (x) è minore di Wn ) la funzione d’onda oscilla e possiede n zeri,
mentre al di fuori di tale regione la funzione d’onda tende rapidamente a zero
1.2. LE FUNZIONI D’ONDA PER L’OSCILLATORE ARMONICO
7
Figura 1.3: funzione d’onda ψn (ξ), n = 1 ÷ 6 per l’oscillatore armonico. La
linea orizzontale a tratto grosso indica in ciascun caso la regione percorsa da un
oscillatore armonico classico avente la stessa energia totale.
in modo esponenziale e non possiede zeri. In questo esempio si vede anche l’illustrazione di un altro principio generale: quanto più il valore di n è elevato,
tanto più strettamente la funzione di distribuzione della probabilità data dalla
meccanica ondulatoria si approssima all’espressione classica per una particella
con la medesima energia. La fig. 1.4 confronta ψ 2 (x) per lo stato con n = 10
con la curva di probabilitá classica per l’oscillatore armonico avente il medesimo
valore 21
2 hν0 per l’energia. Si vede che, a parte la rapida fluttuazione della curva
data dalla meccanica ondulatoria, l’accordo generale fra le due funzioni è buono.
Questo accordo ci permette di visualizzare il moto della particella in un oscillatore armonico quantomeccanico con un moto simile a quello classico, avanti e
indietro, con una velocità che è massima al centro dell’orbita e che diminuisce a
mano a mano che questa si avvicina alla posizione di massimo scostamento dalla
posizione di equilibrio. L’ampiezza dell’oscillazione non può essere considerata costante, come per l’oscillatore classico; possiamo invece immaginarci che la
particella oscilli talora con ampiezza molto grande e talora con ampiezza molto
piccola, ma di solito con un’ampiezza prossima al valore classico per un oscillatore avente la medesima energia. Anche altre proprietà dell’oscillatore sono
compatibili con questa rappresentazione; ad esempio il valore medio quadratico
del momento dato dalla meccanica ondulatoria è uguale al valore classico.
Una rappresentazione di questo tipo è utile per sviluppare una visione intuitiva
delle equazioni della meccanica ondulatoria ma non deve essere presa troppo
sul serio in quanto non è completamente soddisfacente. Ad esempio tale rappresentazione non può essere riconciliata con l’esistenza di zeri nella funzione
d’onda per gli stati stazionari, che corrispondono a punti nei quali la funzione
di distribuzione della probabilità si annulla.
8
CAPITOLO 1. L’OSCILLATORE ARMONICO NELLA MECCANICA
Figura 1.4: Funzione di distribuizone della probabilità |ψ10 (ξ)|2 per lo stato
n = 10 dell’oscillatore armonico. Si osservi che il valore medio della funzione è
molto prossimo alla funzione di distribuzione della probabilità per l’oscillatore
armonico classico avente la stessa energia totale (curva tratteggiata).
1.3
Proprietà matematiche delle funzioni d’onda per l’oscillatore armonico
ξ2
I polinomi Hn (ξ) e le funzioni e− 2 Hn (ξ) ottenute nella risoluzione dell’equazione d’onda per l’oscillatore armonico non hanno avuto origine dal lavoro di
Schrödinger ma erano ben note ai matematici in relazione ad altri problemi e le
loro proprietà sono state studiate a fondo.
Per il nostro scopo invece di sviluppare la teoria dei polinomi Hn (ξ), detti polinomi di Hermite, dalla relazione fra i coefficienti successivi data dall’equazione
1.10, è più conveniente definirli mediante un’altra relazione:
dn e−ξ
Hn (ξ) = (−1) e
dξ n
2
n ξ2
(1.17)
Dimostreremo nel seguito che questa definizione conduce alla medesima funzione
che si ricava dall’equazione 1.10. Una terza definizione comporta l’impiego di
una funzione generatrice, un metodo utile in molti calcoli e che è applicabile
ad altre funzioni. La funzione generatrice dei polinomi di Hermite è
S(ξ, s) ≡ eξ
2
−(s−ξ)2
≡
∞
X
Hn (ξ) n
s
n!
n=0
(1.18)
2
2
Questa identità nella variabile ausiliaria s significa che se la funzione eξ −(s−ξ)
viene sviluppata in serie di potenze di s, i coefficienti delle successive potenze di
s sono proprio i polinomi di Hermite Hn (ξ) moltiplicati per 1/n!. Per mostrare
l’equivalenza delle due definizioni 1.17 e 1.18 deriviamo n volte rispetto a s e
facciamo quindi tendere a zero s usando una e poi l’altra espressione per S. I
1.3. PROPRIETÀ MATEMATICHE DELLE FUNZIONI D’ONDA
9
termini con ν < n si annullano nella derivazione e quelli con ν > n si annullano
per s → 0 lasciando solo il termine con ν = n:
!
n ∂ S
∂ n X Hν (ξ)sν
=
= Hν (ξ)
∂sn s→0
∂sn ν
ν!
s→0
e
∂nS
∂sn
2
=
s→0
∂ n eξ −(s−ξ)
∂sn
2
!
=e
s→0
2
ξ2
= e (−1)
n
2
∂ n e−(s−ξ)
∂ξ n
ξ2
∂ n e−(s−ξ)
∂(s − ξ)n
!
= (−1)n eξ
s→0
2
!
dn e−ξ
dξ n
=
s→0
2
Confrontando queste due equazioni vediamo che si ottiene l’equazione 1.17: le
due definizioni di Hn (ξ) sono quindi equivalenti. L’equazione 1.17 è utile per
ottenere le singole funzioni mentre l’equazione 1.18 è spesso utile per ricavare
le loro proprietà, come nel caso che discuteremo ora.
Per dimostrare che le funzioni ora definite sono identiche a quelle usate nella
risoluzione del problema dell’oscillatore armonico cerchiamo l’equazione differenziale soddisfatta dalle Hn (ξ). E’ conveniente innanzitutto ottenere alcune
relazioni tra i polinomi di Hermite successivi e le loro derivate. Si osservi che,
2
2
essendo S = eξ −(s−ξ) , la sua derivata parziale rispetto a s è data dall’equazione
∂S
= −2(s − ξ)S
∂s
P Hn (ξ) n
derivando analogalmente la serie S =
n! s ed eguagliando le due diverse
espressioni per ∂S/∂s , si ottiene l’equazione
X Hn (ξ)
X Hn (ξ)
sn−1 = −2(s − ξ)
sn
(n
−
1)!
n!
n
n
o, raccogliendo i termini corrispondenti alla medesima potenza di s:
X Hn+1 (ξ)
Hn−1 (ξ)
Hn (ξ)
+2
− 2ξ
sn = 0
n!
(n
−
1)!
n!
n
Dato che questa equazione è vera per tutti i valori di s, i coefficienti di ciascuna
potenza di s devono essere zero; si ottiene cosı̀ la seguente formula ricorrente
per i polinomi di Hermite
Hn+1 (ξ) − 2ξHn (ξ) + 2nHn−1 (ξ) = 0
Analogalmente, derivando rispetto a ξ, si ottiene l’equazione
∂S
= 2sS
∂ξ
che dà, esattamente nello stesso modo visto più sopra, l’equazione
X H 0 (ξ)
Hn (ξ) n+1
n
n
s −2
s
=0
n!
n!
n
(1.19)
10
CAPITOLO 1. L’OSCILLATORE ARMONICO NELLA MECCANICA
o anche
Hn0 (ξ) =
dHn (ξ)
= 2nHn−1 (ξ)
dξ
(1.20)
che contiene la derivata prima dei polinomi di Hermite. Questa equazione può
essere ulteriormente derivata rispetto a ξ per ottenere espressioni contenenti
derivate superiori.
Le equazioni 1.19 ed 1.20 conducono all’equazione differenziale per Hn (ξ): dalla
1.20 si ottiene infatti
0
Hn00 (ξ) = 2nHn−1
(ξ) = 4n(n − 1)Hn−2 (ξ)
(1.21)
mentre la 1.19 può essere trascritta nella forma
Hn (ξ) − 2(ξ)Hn−1 (ξ) + 2(n − 1)Hn−2 (ξ) = 0
(1.22)
che facendo uso delle equazioni 1.20 e 1.21, diviene
Hn (ξ) −
1 00
2ξ 0
H (ξ) +
H (ξ) = 0
2n n
2n n
o anche
Hn00 (ξ) − 2ξHn0 (ξ) + 2nHn (ξ) = 0
(1.23)
Se si pone 2n al posto di αλ − 1, come risulta dall’equazione 1.12, la 1.23 risulta
identica all’equazione 1.9 ottenuta nella trattazione del problema dell’oscillatore
armonico. Dato che questa equazione ha per ogni valore di n un’unica soluzione
che si comporta correttamente all’infinito, i polinomi Hn (ξ) sono proprio polinomi di Hermite.
Le funzioni
√
ξ2
Ψn (x) = Nn · e− 2 · Hn (ξ), ξ = αx
(1.24)
sono chiamate funzioni ortogonali di Hermite; come si è visto esse sono
le
funzioni d’onda per l’oscillatore armonico. Il valore di Nn che fa sı̀ che sia
R +∞
ψn2 (x)dx = 1, cioè che normalizza ψn , è
−∞
1/2
α 1/2 1
Nn =
π
2n n!
(1.25)
Le funzioni sono mutuamente ortogonali se l’integrale del prodotto di due qualsiasi di esse esteso all’intero spazio delle configurazioni si annulla:
Z
+∞
ψn (x)ψm (x)dx = 0
n 6= m
(1.26)
−∞
Per dimostrare l’ortogonalità delle funzioni e per calcolare la costante di normalizzazione data dall’equazione 1.25, è conveniente considerare due funzioni
generatrici:
X Hn (ξ)
2
2
S(ξ, s) =
sn = eξ −(s−ξ)
n!
n
T (ξ, s) =
X Hm (ξ)
m
m!
tm = eξ
2
−(t−ξ)2
1.3. PROPRIETÀ MATEMATICHE DELLE FUNZIONI D’ONDA
11
Utilizzando tali funzioni si ottengo le relazioni
+∞
Z
2
ST e−ξ dξ =
XX
−∞
Z
+∞
e
n
−s2 −t2 +2sξ+2tξ−ξ 2
sn tm
Z
+∞
Hn (ξ)Hm (ξ) −ξ2
e dξ
n!m!
−∞
m
dξ = e
2st
Z
+∞
2
e−(ξ−s−t) d(ξ − s − t) =
−∞
−∞
√
πe2st =
√
π 1+
2st 22 s2 t2
2n sn tn
+
+ .... +
+ .....
1!
2!
n!
considerando
i coefficienti di sn tm nei due sviluppi in serie equivalenti si vede che
R +∞
2
H (ξ)Hm (ξ)e−ξ dξ si deve annullare per n 6= m e deve prendere il valore
−∞ √ n
2n n! π per m = n; di conseguenza le funzioni sono ortogonali e la costante di
normalizzazione ha il valore prima visto.
I primi polinomi di Hermite sono (provare a ricavarli dalla 1.17, o dalla 1.19
ponendo H0 (ξ) = 1):
H0 (ξ)
=1
H1 (ξ)
= 2ξ
H2 (ξ)
= 4ξ 2 − 2
H3 (ξ)
= 8ξ 3 − 12ξ
H4 (ξ)
= 16ξ 4 − 48ξ 2 + 12
H5 (ξ)
= 32ξ 5 − 160ξ 3 + 120ξ
6
4
(1.27)
2
H6 (ξ)
= 64ξ − 480ξ + 720ξ − 120
H7 (ξ)
= 128ξ 7 − 1344ξ 5 + 3360ξ 3 − 1680ξ
H8 (ξ)
= 256ξ 8 − 3584ξ 6 + 13440ξ 4 − 13440ξ 2 + 1680
H9 (ξ)
= 512ξ 9 − 9216ξ 7 + 48384ξ 5 − 80640ξ 3 + 30240ξ
H10 (ξ)
= 1024ξ 10 − 23040ξ 8 + 161280ξ 6 − 403200ξ 4 + 302400ξ 2 − 30240
La lista può facilmente essere estesa facendo uso della formula ricorrente data
dall’equazione 1.19. La fig. 1.3 mostra alcune delle prime funzioni d’onda, cioè
le funzioni date dall’equazione 1.24.
Mediante le funzioni generatrici S e T possiamo calcolare alcuni importanti
integrali implicanti ψn . possiamo ad esempio studiare l’integrale che, come si
vedrà, determina la probabilità della transizione dallo stato n allo stato m. Tale
integrale è
Z
+∞
xnm =
Nn Nm
α
ψn ψm xdx =
−∞
Usando S e T si ottiene la relazione
Z +∞
XX
2
ST e−ξ ξdξ =
−∞
= e2st
Z
+∞
−∞
n
2
m
e−(ξ−s−t) ξdξ = e2st
Z
+∞
−∞
2
Hn Hm e−ξ ξdξ
(1.28)
−∞
1 n m
s t
n!m!
Z
+∞
Z
+∞
2
Hn Hm e−ξ ξdξ
−∞
2
e−(ξ−s−t) (ξ − s − t)d(ξ − s − t)
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CAPITOLO 1. L’OSCILLATORE ARMONICO NELLA MECCANICA
+e
2st
Z
+∞
(s + t)
2
e−(ξ−s−t) d(ξ − s − t)
−∞
√
Il primo integrale si annulla e il secondo vale π. Sviluppando l’esponenziale si
ottiene
√ 22 s3 t2
2n sn+1 tn
π s + 2s2 t +
+ .... +
+ ....
2!
n!
22 s2 t3
2n sn tn+1
+t + 2st2 +
+ ..... +
+ ....
(1.29)
2!
n!
Confrontando i coefficienti di sn tm si vede quindi che xnm deve essere zero tranne
che per m = n ± 1 (nella 1.29 compaiono solo termini con potenze m = n ± 1,
questo significa che tutte le altre potenze con m 6= n ± 1 hanno coefficiente
nullo); in quest’ultimo caso il suo valore è
r
n+1
(1.30)
xn,n+1 =
2α
r
n
xn,n−1 =
(1.31)
2α
Si vedrà nel seguito che questo risultato comporta che per l’oscillatore armonico
sono possibili solo transizioni fra livelli energetici adiacenti.