Questionario di geometria piana
1. Spiega il significato dei termini: assioma – teorema – dimostrazione.
2. Cosa sono l’ipotesi e la tesi di un teorema?
3. Individua ipotesi e tesi nei seguenti teoremi, dopo averli riformulati sotto forma di implicazioni
(Se <ipotesi> allora <tesi>):
- Ogni triangolo equilatero ha tre assi di simmetria
- La somma di due numeri dispari è un numero pari
- Un numero divisibile per 6 è divisibile anche per 3
- L’area di un quadrilatero con le diagonali perpendicolari è uguale al semiprodotto delle
lunghezze delle sue diagonali.
4. Spiega il significato di teorema inverso. Scrivi i teoremi inversi dei precedenti e cerca di capire
se sono veri (Nota: per stabilire che un teorema non è vero basta trovarne un controesempio, cioè un
caso in cui il teorema non vale).
5. Condizioni necessarie – condizioni sufficienti: spiega il significato di queste espressioni con
riferimento alla seguente implicazione: “Se due numeri sono dispari allora hanno per somma un
numero pari”.
6. Enuncia con parole tue l’assioma di ordinamento. Quali caratteristiche assume la retta in virtù di
questo assioma? Quali nuovi enti geometrici possono ora essere definiti?
7. Enuncia con parole tue le seguenti definizioni corredandole con qualche esempio grafico:
- angolo convesso
- angolo concavo
- angolo piatto
- angolo giro
- angoli supplementari
- angoli adiacenti
- angoli consecutivi
- regione piana convessa
- poligono
8. Cosa si intende per diagonale di un poligono? Quante sono le diagonali di un poligono di n lati?
9. Considera due punti distinti A e B di una stessa retta: quanti segmenti e quante semirette possono
essere definiti? E se i punti sono tre? Giustifica la risposta.
10. Quale assioma permette di definire la retta come un insieme denso e illimitato e attraverso quale
proprietà caratteristica dei suoi punti?
11. Cosa dice l'assioma della parallela? In quali modi può essere negato?
12. Se in un poligono convesso ci sono 90 diagonali, quanti sono i suoi lati? Giustifica la risposta.
13. Qual è la proprietà che caratterizza le figure piane convesse? Dopo averne scritto la definizione,
disegna alcune figure piane convesse.
14. Riassumi in sintesi il contenuto degli assiomi di incidenza e un primo teorema sulle rette che ne
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è diretta conseguenza.
15. Se si considera l'intersezione di due semirette di una stessa retta quali risultati si possono avere?
Affianca alla spiegazione un disegno.
16. Cosa dice l'assioma di partizione del piano?
17. Quante sono le diagonali in un poligono convesso di 30 lati? Giustifica la risposta.
18. Volendo dimostrare per assurdo il teorema: “Se un oggetto è un propoli allora non è un
quacchero”, quale ipotesi dovresti aggiungere?
19. Come si dimostra la congruenza delle coppie di angoli opposti al vertice?
20. Enuncia i criteri di congruenza dei triangoli.
21. Metti nel giusto ordine la sequenza di deduzioni necessarie alla dimostrazione del teorema: “In
ogni triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti”.
Con riferimento alla figura:
Hp: BC = AC
Th: <CAB = < ABC
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
consideriamo i triangoli ADB e AEB; in essi:
AD = BE perché …….
BD = AE perché …….
<ADB = <AEB perché……
quindi i due triangoli sono congruenti per il ….
criterio di congruenza
di conseguenza sono congruenti: <DAB e < EBA
sul prolungamento dei lati BC e AC si costruiscono i segmenti congruenti BE e AD
consideriamo i triangoli BCD e AEC ; in essi:
BC = AC perché ……
CD = CE perché ……
<ACB è in comune
quindi i due triangoli sono congruenti per il .... criterio di congruenza
di conseguenza sono congruenti i segmenti BD e AE e gli angoli <CDB e <AEC
<CAB = <ABC (tesi) perché ….
22. Trova un controesempio per dimostrare che non è un teorema il seguente enunciato: “ Se due
triangoli hanno gli angoli congruenti allora sono congruenti”.
23. Spiega la costruzione per disegnare la bisettrice di un angolo convesso. Analogamente per un
angolo piatto.
24. Con riferimento alla figura, dimostra che dall’essere
congruenti i triangoli ABC e A’B’C’ discende che sono
congruenti anche le bisettrici di angoli interni
rispettivamente congruenti; nel caso specifico le bisettrici
degli angoli <ABC e <A’B’C’.
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25. Teorema dell’angolo esterno (di un triangolo): con
riferimento alla figura, completa la dimostrazione.
Hp: <CBD angolo esterno del triangolo ABC
TH: ………….
Costruzioni:
M ……………….
ME ………………
Ne deriva che i triangoli …………………….. sono congruenti per il ………… criterio di
congruenza, perché:
……………………
…………………....
……………………
Di conseguenza <CBD ………..; si procede in modo analogo per dimostrare che <CBD ………….
26. Con riferimento alla figura, indica tutti le
coppie di angoli che corrispondono alle seguenti
definizioni:
- angoli alterni interni:……………………….
- angoli alterni esterni:……………………….
- angoli corrispondenti:………………………
- angoli coniugati interni:…………………….
- angoli coniugati esterni:…………………….
27. Unicità della perpendicolare da un punto ad una retta;
dimostrazione per assurdo:
Hp: PH è perpendicolare a r
TH: PH è l’unica perpendicolare per P a r
Ipotesi contraria:……………………….
(completare il disegno accanto)
da cui ne consegue ……………………
contro quanto previsto dal teorema…………..
