Calcolo algebrico

Calcolo algebrico
Maria Simonetta Bernabei &
Horst Thaler
CALCOLO LETTERALE
• Perché?
E’ opportuno rappresentare i numeri con
lettere dell’alfabeto per fare affermazioni
che valgono indipendentemente dal valore
dei numeri.
POTENZE
• Dato un numero reale 𝑎 ed un numero
naturale 𝑛, si dice potenza ennesima di 𝑎
𝑎𝑛 = 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ ⋯ ⋅ 𝑎
𝑛 volte
Esempio:
32 = 3 ⋅ 3 = 9
−2 2 = −2 ⋅ −2 = 4
−2 3 = −2 ⋅ −2 ⋅ −2 = −8.
PROPRIETA’ DELLE POTENZE
Dati a, b  R, m, n  Z
• 𝑎𝑛 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚 ,
• 𝑎
•
•
•
•
•
−𝑛
=
1
,
𝑛
𝑎
𝑎𝑛 : 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚 ,
𝑎: 𝑏 𝑛 = 𝑎𝑛 : 𝑏 𝑛 ,
(𝑎𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 𝑏 𝑛 ,
(𝑎𝑛 )𝑚 = 𝑎𝑛𝑚 ,
𝑎0 = 1,
a0
a0
b0
a0
ESEMPI
32 ⋅ 33 = 35
34 : 33 = 31 = 3
3 2
2
= 26
5 ⋅ 2 2 : 50 = 52 ⋅ 22
80 = 1
3−4 = 1/34
𝑒 2 ⋅ 𝑒 3 ⋅ 𝑒 −4 = 𝑒
−2 2 ⋅ −2 3 = −2 2+3 = −2
5
= −32.
RADICALI
• Si dice radice n-sima (n  N) del numero
reale a il numero b tale che bn = a. Si
scrive:
n
b a
La radice ennesima (n  N) della potenza am
si scrive:
6
PROPRIETA’ DEI RADICALI
kn
a
km

m
an
mn
a  b  ab
n
n
n
n
a 
a 
m
mn
a
 a
n
m
a b  a b
n
n
m
n
a na

n
b
b
n m
b0
7
ESERCIZI
4
3
a 
3
3
a4
3 2
2 4  8 2
3
3
2 3  23
2
3
3
2
5 35

3
4
4
2 3
4
a  a
6
a 
5
1

5 3
 a
4
1
3
5
5
ESPRESSIONE NUMERICA E LETTERALE
• Una espressione numerica è un insieme di operazioni da
eseguire su determinati numeri secondo un determinato
ordine:
−1 + 3
2
⋅8 + 5⋅4
∶2=
• Una espressione letterale è una espressione numerica in
cui i numeri sono in tutto o in parte rappresentati da
lettere:
−𝑎 + 𝑏
2
⋅𝑐 + 𝑑⋅𝑒
∶2=
MONOMIO
Definizione e caratteristiche
• Una espressione letterale in cui sono presenti solo
le operazioni di moltiplicazione, divisione ed
elevamento a potenza:
Esempio:
3𝑎𝑏 2
3 = coefficiente; 𝑎𝑏 2 = parte letterale
ESEMPI
2𝑎𝑏 2
è un monomio
𝑥 − 3𝑦
non è un monomio
Diciamo che un monomio è scritto in forma normale se è il
prodotto di un coefficiente numerico per una o più lettere,
ciascuna con il proprio esponente e tutte diverse tra loro.
ESEMPI
3𝑏 3 𝑦 3 è in forma normale
3𝑏 2 𝑦 3 𝑏 non è in forma
normale
11
Grado di un monomio
• Grado complessivo del monomio è la somma
degli esponenti delle lettere del monomio
• Grado del monomio rispetto a una lettera è
l’esponente con cui tale lettera compare nel
monomio
• Due monomi si dicono simili se hanno la stessa
parte letterale (lettere ed esponenti):
2𝑎𝑏 è simile con −3𝑎𝑏
• Esempio: 3𝑎𝑏 2 è un monomio di grado
complessivo 3, di grado 1 rispetto ad 𝑎, di grado 2
rispetto a 𝑏.
Operazioni tra monomi: somma
La somma di due monomi simili è un monomio simile a
quelli dati il cui coefficiente numerico è la somma
algebrica dei coefficienti dei due monomi.
ESEMPIO
−2𝑏 2 𝑦 5 + 12𝑏 2 𝑦 5 = −2 + 12 𝑏 2 𝑦 5 =
10𝑏 2 𝑦 5
Se i monomi non sono simili, la somma non si può
esprimere come un unico monomio.
ESEMPIO
1
1 2
1
1 2
𝑎𝑏 −
𝑥𝑦 = 𝑎𝑏 − 𝑥𝑦
4
3
4
3
13
Operazioni tra monomi: differenza
• Per sottrarre due monomi si somma il primo con
l’opposto del secondo.
• L’ opposto di un monomio si ottiene cambiandolo di
segno. Es.: −2𝑎𝑏 è l’opposto di 2𝑎𝑏
ESEMPI:
− 3𝑥 4 − 2𝑥 4 = −3𝑥 4 − 2𝑥 4 = −5𝑥 4
2𝑎3 𝑦 − −6𝑎𝑥 = 2𝑎3 𝑦 + 6𝑎𝑥
ADDIZIONE di
monomi
SOTTRAZIONE
di monomi
SOMMA ALGEBRICA di
monomi
14
Operazioni tra monomi: moltiplicazione
Per moltiplicare due o più monomi, usiamo le proprietà
commutativa ed associativa del prodotto per raggruppare la
parte numerica e quella letterale. Per la parte letterale
vengono applicate le proprietà delle potenze.
Esercizi
Svolgere le seguenti moltiplicazioni tra monomi
a.
 2 x  7 x 
= −14 𝑥 2
b.
= −8c 7 d4 e
c.
1 4 10
= 𝑎 𝑏
4
d.
e.
−5𝑢𝑣 3 2𝑢2 𝑣 4 = −10𝑢3 𝑣 7
2 3
4 2

x
y
6
x

 y  = −6𝑥 6𝑦5
Operazioni tra monomi: divisione
Dati due monomi 𝐴 e 𝐵 , con 𝐵 ≠ 0, si dice loro quoziente il
monomio 𝐶 , se esiste, che moltiplicato per 𝐵 dà il monomio
𝐴.
ESEMPIO
2
8𝑥 𝑦 : − 𝑥𝑦 = −12𝑥 2 𝑦
3
3 2
Il primo monomio è divisibile per il secondo monomio.
17
Operazioni tra monomi: potenza
La potenza di un monomio si ottiene facendo la potenza del
coefficiente e della sua parte letterale
ESEMPI
2 2 3
𝑎 𝑏
3
2
1
− 𝑎 𝑏3
3
4 4 6
= 𝑎 𝑏
9
3
1 3 9
=− 𝑎 𝑏
27
18
Massimo Comun Divisore di più monomi
Il massimo comun divisore tra due o più monomi (M.C.D.) è il
monomio di grado più alto che li divide tutti.
Per calcolare il
M.C.D.
•Si calcola il M.C.D. dei coefficienti se sono
interi e si pone uguale a 1 negli altri casi (il
segno è sempre positivo).
•Si calcola il prodotto dei fattori comuni ai
monomi dati, presi una sola volta con il
minimo esponente.
19
Esempi:
M.C.D. 9𝑎2 𝑏 2 ; 3𝑎2 𝑏 4 𝑐 2 ; 12𝑎2 𝑏 2 = 3𝑎2 𝑏 2
M.C.D. 𝑥 2 𝑦; −𝑥 3 𝑦 3 ; 2𝑥 2 𝑦 3 𝑧 = 𝑥 2 𝑦
Minimo comune multiplo di più monomi
Il minimo comune multiplo tra due o più monomi (m.c.m.) è il
monomio di grado minimo che è multiplo di tutti.
Per calcolare il
m.c.m.
•Si calcola il m.c.m. dei coefficienti se sono
interi e si pone uguale a 1 negli altri casi (il
segno è sempre positivo)
•Si calcola il prodotto di tutti i fattori,
comuni e non comuni, presi una sola volta
con il massimo esponente.
21
Esempi:
m.c.m. 9𝑎2 𝑏 2 ; 3𝑎2 𝑏 4 𝑐 2 ; 12𝑎6 𝑏 2 = 36𝑎6 𝑏 4 𝑐 2
m.c.m. (𝑥 2 𝑦; −𝑥 3 𝑦 3 ; 2𝑥 2 𝑦 3 𝑧) = 2 𝑥 3 𝑦 3 𝑧
Esercizi
1. Semplificare la seguente espressione
1 2
𝑎
2
4
− 𝑎𝑏
3
−
3 2
1
− 𝑎𝑏 : 𝑏 2
3
3
2. Semplificare la seguente espressione
3
4
− 𝑥𝑦
1
3
𝑥𝑦 2
3
4
−9𝑥 2 𝑦 2 + 𝑥 3 𝑦 − 𝑥𝑦 4
3. Semplificare la seguente espressione
𝑎𝑏
2
11 3
[− 𝑎 𝑏]
18
3 4 5
𝑥 𝑦
2
3𝑎2 𝑏 − 5 𝑎2 𝑏 2𝑏 + 4𝑎𝑏 −2𝑎3 𝑏 2
[−5𝑎4 𝑏 3 − 10 𝑎2 𝑏 2 ]
Polinomi
• Un polinomio è la somma algebrica di più
monomi
• Il grado di un polinomio è il massimo grado
dei monomi che lo compongono.
• Esempio:
3𝑎𝑏 2 − 2𝑎𝑏 + 𝑎2
• È un polinomio di grado 3.
Somma di polinomi
• La somma tra più polinomi si effettua
sommando tra loro i monomi simili.
• Esempio:
3𝑎2 𝑏 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 − 𝑎2 𝑏 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 =
3𝑎2 𝑏 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 − 𝑎2 𝑏 − 2𝑎𝑏 − 𝑏 2 =
3 − 1 𝑎2 𝑏 + (−2 − 2)𝑎𝑏 =
2𝑎2 𝑏 − 4𝑎𝑏
Esempi

 
4x 2  3x  5  x 3  3x  7

4x 2  3x  5  x3  3x  7
4x 2  3x  5  x3  3x  7
x3  4x 2  2

 
3x 2  7x  2  2x 3  5x 2  x  8
3x 2  7x  2  2x3  5x 2  x  8
3x 2  7x  2  2x3  5x 2  x  8
2x3  8x 2  8x  10

Moltiplicazione di un polinomio per un monomio

3y 6x 2  3y  7

6x 2  3y   3y  3y   7  3y 
18x 2 y  9y 2  21y

2x 3x 4  7x 2  2x  7

3x 4  2x   7x 2  2x   2x  2x   7  2x 
6x5  14x3  4x 2  14x
Moltiplicazione di un polinomio con un
monomio
• Nella moltiplicazione tra un polinomio ed un
monomio viene applicata la proprietà
distributiva:
Esercizi
a.
b.
c.
d.
= 8 𝑡2 − 6 𝑡
= 12 𝑎4 − 6 𝑎3 + 𝑎2
2ab  3ab  5a  b  = −6 𝑎2 𝑏2 + 10𝑎2 𝑏 − 2𝑎 𝑏 2
2
3
y
  y  5 3 y  = 9 𝑦3 − 3 𝑦2 − 15 𝑦
Moltiplicazione di Polinomi
Di nuovo la proprietà distributiva sarà per moltiplicare tra
loro polinomi contenenti più di un termine.
Usando la proprietà distributiva il prodotto di due polinomi
si ottiene moltiplicando ogni termine del primo polinomio
con ogni termine del secondo.
Esempio
Moltiplicare i polinomi
Moltiplicare ogni termine del primo
polinomio con ogni termine del secondo.
Applicare cioè la proprietà distributiva.
Semplificare raccogliendo
i termini simili.
Esercizi
Moltiplicare i polinomi.
= 20 𝑥 2 − 34 𝑥𝑦 − 12 𝑦 2
= 3 𝑦 3 − 5 𝑦 2 − 7𝑦 + 10
(𝑎2 − 2𝑏 2 ) (3𝑎2 − 𝑎𝑏 + 2𝑏 2 ) = 3𝑎4 − 𝑎3 𝑏 − 4𝑎2 𝑏 2 + 2𝑎𝑏 3 − 4𝑏 4
Prodotti notevoli
• In alcuni casi il prodotto di due polinomi può
essere svolta senza bisogno di fare tutti i
passaggi:
• Differenza di due quadrati
• Quadrato di un binomio
DIFFERENZA DI QUADRATI
Moltiplicare (x – 3)(x + 3)
Primi termini: x2
Termini esterni: +3x
Termi interni:
-3x
Ultimi termini: -9
Semplificando:
x2 – 9
I termini
centrali si
elidono
x
-3
x2
-3x
+3 +3x
-9
x
Differenza di quadrati.
DIFFERENZA DI QUADRATI
(x + y) • (x - y) = (x2 - y2)
Infatti
(x + y) • (x - y) = x2 – xy + xy - y2= (x2 - y2)
Esempi:
(2x + y) • (2x - y) = (4x2 – y2)
(2ab3 + c) • (2ab3 - c) = (4a2b6 – c2)
(3xy + 2ab) • (3xy - 2ab) = (9x2y2 – 4a2b2)
Esempio: (y – 2)(y + 2)
(y)2 – (2)2
y2 – 4
Esempio: (5a + 6b)(5a – 6b)
(5a)2 – (6b)2
25a2 – 36b2
QUADRATO DI UN BINOMIO
Moltiplicare (a + b)(a + b)
Primi termini:
Termini esterni:
Termini interni:
Ultimi termini:
Sommando
𝒂+𝒃
𝟐
=a2
a2
+ab
+ab
b2
+2ab +
b2
I termini
non si
elidono
a
b
a
a2
+ab
b
+ab
b2
QUADRATO DI UN BINOMIO
(x + y)2= x2 + 2xy + y2
(x - y)2= x2 - 2xy + y2
Esempi:
(a – 3b)2= a2 – 6ab +9b2
(a + 2b)2= a2 + 4ab +4b2
((3/2)a + b2)2= (9/4)a2 + 3ab2 + b4
Esempio: (x + 4)2
usando (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a è il primo termine, b è il secondo termine
(x + 4)2
a=xeb=4
Sostituzione nella formula
a2 + 2ab + b2
(x)2 + 2(x)(4) + (4)2
Semplificare.
x2 + 8x+ 16
Esempio: (3x + 2y)2
usando (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(3x + 2y)2
a = 3x e b = 2y
Sostituzione nella formula
a2 + 2ab + b2
(3x)2 + 2(3x)(2y) + (2y)2
Semplificando
9x2 + 12xy +4y2
Esempio: (x – 5)2
usando (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
cambia solo il segno!
•
•
•
•
•
•
(x – 5) 2 =
(x)2 – 2(x)(5) + (5)2
x2 – 10x + 25
(4x – y)2 =
(4x)2 – 2(4x)(y) + (y)2
16x2 – 8xy + y2
Esercizi
Calcolare le seguenti espressioni tra polinomi (applicare
le operazioni della somma, differenza, del prodotto e
semplificare dove possibile).

1.  7x  2   x 2  7  9x




 
2. 7x 4  3  2x 3  x  4


3. 3x 2  2x  5 3x
4. 5y 2 6y  4  11y 3
5.  7  2x  5x  4 
6. 2x 2  3 2x 2  3
7.  8  5x 
8. 2x  3  x   4x  7  x 
2





1.  7x  2   x 2  7  9x

7x  2  x 2  7  9x

 
2. 7x 4  3  2x 3  x  4

7x 4  2x 3  x  1
7x  2  x 2  7  9 x
 x 2  2x  5
3. 3𝑥 2 + 2𝑥 − 5 3𝑥 =
9𝑥 3 + 6𝑥 2 − 15𝑥
4. 5𝑦 2 6𝑦 − 4 + 11𝑦 3 =
30𝑦 3 − 20𝑦 2 + 55𝑦 5
5.
7 − 2𝑥 5𝑥 + 4 =
= 35𝑥 + 28 − 10𝑥 2 − 8𝑥 =
= 27𝑥 + 28 − 10𝑥 2
6.
2𝑥 2 − 3 2𝑥 2 + 3 =
= 4 𝑥4 − 9
7.
8 − 5𝑥 2 =
64 − 80𝑥 + 25𝑥 2
8. 2𝑥 3 − 𝑥 + 4𝑥(7 + 𝑥) =
6𝑥 − 2𝑥 2 + 28𝑥 + 4𝑥 2 =
2𝑥 2 + 34𝑥
SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
• Raccoglimenti a fattore comune:
• Mediante l’uso dei prodotti notevoli
• Trinomio notevole
Raccoglimento a fattor comune
Se i termini di un polinomio hanno tutti in comune uno o più fattori,
questi possono, per la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla
somma, venir raccolti (o messi in evidenza). Il polinomio risulterà
allora scomposto nel prodotto tra il monomio formato da tutti i fattori
comuni (cioè il monomio M.C.D. dei termini del polinomio) ed il
polinomio quoziente tra il polinomio dato ed monomio raccolto. In
altri casi si può mettere in evidenza un polinomio.
Esempi:
𝑎𝑏 2 − 3𝑎2 − 𝑎𝑏 = 𝑎(𝑏 2 − 3𝑎 − 𝑏)
6𝑐 3 𝑑 − 12𝑐 2 𝑑2 + 3𝑐𝑑 = 3𝑐𝑑 2𝑐 2 − 4𝑐𝑑 + 1 .
Esercizi
Mettere in evidenza, se possibile, i fattori comuni.
1.
6𝑥 3 + 3𝑥 2 − 12𝑥 = 3𝑥(2 𝑥 2 + 𝑥 − 4)
2.
5𝑥 2 − 10𝑥 + 35 = 5(𝑥 2 − 2𝑥 + 7)
3. 16𝑥 3 𝑦 4 𝑧 − 8𝑥 2 𝑦 2 𝑧 3 + 12𝑥𝑦 3 𝑧 2 =
= 4 𝑥 𝑦 2 𝑧(4𝑥 2 𝑦 2 − 2𝑥 𝑧 2 + 3𝑦 𝑧)
Scomposizione con i prodotti notevoli:
Differenza di due quadrati
𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
Esempio: 𝑥 2 − 4
Notiamo che entrambi i termini sono quadrati
perfetti ed una differenza
𝑥 2 − 4 = 𝑥 2 − 22 = 𝑥 − 2 𝑥 + 2
𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
Esempio: 𝑦 6 − 25
𝑦6 = 𝑦3
2
e 25 = 52
𝑦 6 − 25 = (𝑦 3 )2 −52 = 𝑦 3 − 5 𝑦 3 + 5
𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
Esempi:
1. 𝑥 2 − 16 = 𝑥 2 − 42 = 𝑥 + 4 𝑥 − 4
2.
1 2
𝑥
49
− 81 =
2
1
𝑥
7
2
−9 =
1
𝑥
7
+9
1
𝑥
7
−9
Esercizi
1. 𝑥 2 − 121 = (𝑥 + 11)(𝑥 − 11)
2. 9𝑦 2 − 169𝑥 2 = (3𝑦 − 13𝑥)(3𝑦 + 13𝑥)
3. 𝑥 4 − 16 = 𝑥 2 + 4 𝑥 2 − 4 =
= (𝑥 2 + 4)(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
QUADRATO DI UN BINOMIO
x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
x2 - 2xy + y2 = (x - y)2
Esempi:
a2 – 6ab +9b2 = (a – 3b)2
a2 + 4ab +4b2 =(a + 2b)2
(9/4)a2 + 3ab2 + b4 = ((3/2)a + b2)2
Approfondimento
Guida agli errori da evitare
2x2-9y2 =
Errato, il primo coefficiente non è un
quadrato perfetto
(2x+3y2)(2x-3y2)
4a2+25b2 = (2a+5b)(2a-5b)
Errato, la somma dei quadrati non
è scomponibile
49s2t4-16r2 = (49st2+16r)(49st2-16r)
Errato, si sono
scomposte le lettere e non i numeri.
4t2-9s4 = (2t-3s2)2
Errato, si è scambiata la differenza di
quadrati con il quadrato del binomio
Fattorizzazione di un trinomio
Fattorizzazione di un trinomio della forma:
𝑥 2 + 𝑎 + 𝑏 𝑥 + 𝑎𝑏 = (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏)
Esempio:
𝑥 2 + 5𝑥 + 6 =
𝑥 2 + 2 + 3 + 2 ⋅ 3 = (𝑥 + 2)(𝑥 + 3)
Esempio:
Il problema è trovare due numeri la cui somma è −6 e
il cui prodotto è 8.
Il fatto che il prodotto è positivo significa che entrambi i numeri
sono positivi o entrambi negativi.
x2 -6x + 8 = (x - 2)(x - 4)
-6 = -4-2
8 = (-4) ⋅(-2)
Il fatto che la somma è negativa significa che entrambi i numeri
sono negativi.
Il prodotto 8 può essere scomposto come 4 ⋅ 2 o −4 ⋅ (−2).
Esercizi. Scomporre in fattori i seguenti
polinomi
1. 𝑥 2 − 5𝑥 − 6 = (𝑥 − 6)(𝑥 + 1)
2. 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 = 𝑥 − 2 2
3. 9𝑥 2 − 25 = (3𝑥 + 5)(3𝑥 − 5)
4. 𝑎3 𝑏 − 6𝑎2 𝑏2 + 9𝑎𝑏 3 =
𝑎𝑏 𝑎2 − 6𝑎𝑏 + 9𝑏 2 = 𝑎𝑏 𝑎 − 3𝑏 2
5. 2𝑎3 − 8𝑎2 + 6𝑎 = 2𝑎 𝑎2 − 4𝑎 + 3 =
2𝑎(𝑎 − 3)(𝑎 − 1).
Massimo Comun Divisore di più polinomi
Il massimo comun divisore tra due o più polinomi (M.C.D.) è il
polinomio di grado più alto che li divide tutti.
Per calcolare il
M.C.D.
ESEMPI
•Si scompongono in fattori i polinomi
•Si calcola il prodotto dei fattori comuni ai
polinomi dati, presi una sola volta con il
minimo esponente.
M.C.D.
𝑥 𝑥+1 ; 𝑥+1
2
=𝑥+1
57
Minimo comune multiplo di più polinomi
Il minimo comune multiplo tra due o più polinomi (m.c.m.) è il
polinomio di grado più basso che è divisibile per tutti i
polinomi dati.
Per calcolare il •Si scompongono in fattori i polinomi
m.c.m.:
ESEMPI
𝑚. 𝑐. 𝑚.
•Si calcola il prodotto dei fattori comuni e
non comuni ai polinomi dati, presi una sola
volta con il massimo esponente.
4𝑥 𝑥 + 1 ; 𝑥 3 ; 2 𝑥 + 1
2
= 4𝑥 3 𝑥 + 1
2
58
Frazioni Algebriche
Una frazione algebrica è un’espressione letterale
𝐴
del tipo
𝐵
con 𝐴 e 𝐵 monomi o polinomi e 𝐵 ≠ 0.
Esempi:
3𝑦−1
;
2
4𝑥
𝑎𝑏3 −𝑏2
𝑎2 −𝑏
Semplificazione di una frazione algebrica
L’algoritmo per semplificare una frazione è il seguente:
• si scompongono numeratore e denominatore
• si individuano i divisori comuni, cioè il M.C.D.
• si dividono il numeratore e il denominatore per il loro M.C.D.
Se il numeratore e il denominatore non hanno
divisori comuni si dice che la frazione è irriducibile.
60
Semplificazione di una frazione algebrica
Esempio:
3𝑎2 𝑥 2 − 9𝑎3 𝑥 3𝑎2 𝑥(𝑥 − 3𝑎 ) 3𝑎
=
=
3
2
2
2
𝑎𝑥 − 3𝑎 𝑥
𝑎𝑥 (𝑥 − 3𝑎)
𝑥
61
Somma di frazioni algebriche
Per sommare o sottrarre due o più frazioni algebriche, si deve
seguire questa procedura:
• scomporre i denominatori delle frazioni e porre le condizioni di
esistenza
• semplificare le frazioni che non sono irriducibili
• trovare il m.c.m. fra i denominatori
• ridurre tutte le frazioni allo stesso denominatore
• eseguire le addizioni e le sottrazioni e semplificare la frazione
ottenuta se necessario
Somma di frazioni algebriche
Esempio.1:
5
2𝑥
−
3
4𝑥 2
=
1. trovare il m.c.m. dei denominatori per ridurre la
frazione ad uno stesso denominatore:
m.c.m. 2𝑥; 4𝑥 2 = 4𝑥 2 ;
2. Dividere il m.c.m. trovato al passo 1) per ciascun
denominatore e moltiplicare il risultato ottenuto per il
corrispondente numeratore della frazione. Ad esempio:
4𝑥 2 : 2𝑥 = 2𝑥. Quindi 5 va moltiplicato per 2𝑥 , e così
via.
Frazioni Algebriche
Es.1:
5
2𝑥
−
3
4𝑥 2
=
5 2𝑥 −3⋅1
4𝑥 2
=
10𝑥−3
4𝑥 2
;
3. Semplificare il numeratore dell’ unica frazione
ottenuta;
4. Semplificare i fattori comuni tra numeratore e
denominatore, dopo aver scomposto in fattori.
Frazioni Algebriche
Esempio.2:
=
3
𝑥
−
2
𝑥+1
+
2
𝑥2
3𝑥 𝑥+1 −2𝑥 2 +2 𝑥+1
𝑥 2 𝑥+1
=
𝑥 2 +5𝑥+2
𝑥 2 (𝑥+1)
.
=
=
Moltiplicazione di frazioni algebriche
La moltiplicazione di due frazioni algebriche si esegue
moltiplicando tra loro i numeratori e i denominatori e
semplificando poi la frazione ottenuta.
In pratica, come nel caso di frazioni numeriche, prima si
scompone, si semplifica se possibile e poi si moltiplica.
Esempio:
 con le frazioni
numeriche
1
2
3
4

8
=
9
1
2
3
3
 con le frazioni algebriche
4x2 – y2
x2 + 2xy + y2

3x + 3y
2x − y
=
(2x – y) (2x + y)
(x + y)2

3 (x + y) =
2x − y
3 (2x + y)
x+y
66
Divisione tra frazioni algebriche
La divisione di due frazioni algebriche si esegue moltiplicando
la prima frazione per il reciproco della seconda.
ESEMPIO
x–y
x
:
2
x + 3y
=
x–y
x

x + 3y
2
=
(x – y) (x + 3y)
2x
67
Potenza di una frazione algebrica
L’elevamento a potenza di una frazione algebrica si ottiene
elevando a quella potenza il numeratore e il denominatore.
ESEMPIO
2a
a – 3b
2
=
(2a)2
(a –
3b)2
=
4a2
(a – 3b)2
68
Esercizi
Semplificare le seguenti espressioni letterali:
1.
3.
4.
2
5

x3 x4
2.
2x  1
3x  2

3
2x  3

x  3 ( x  2)( x  3)
x2  5x  6 x2  x  6
x3
4
 2
2
x 1 x  x
Soluzione:
1.
2
5

x3 x4
2( x  4)  5( x  3)

( x  3)( x  4)
2 x  8  5 x  15

( x  3)( x  4)
7x  7

( x  3)( x  4)
7( x  1)

( x  3)( x  4)
Soluzione:
2.
3
2x  3

x  3 ( x  2)( x  3)
3( x  2)  ( 2 x  3)

( x  3)( x  2)
3x  6  2x  3

( x  3)( x  2)
1
x3

( x  3)( x  2)
1

x2
Soluzione:
2x  1
3.

3x  2
x  5x  6 x2  x  6
2x  1
3x  2


( x  2)( x  3) ( x  2)( x  3)
2
( 2 x  1)( x  2)  ( 3 x  2)( x  2)

( x  2)( x  3)( x  2)
2x2  3x  2  3x2  4x  4

( x  2)( x  3)( x  2)
5x2  x  6

( x  2)( x  3)( x  2)
Soluzione:
4.
x3

4
x  1 x2  x
x3
4


( x  1)( x  1) x( x  1)
2
x( x  3)  4( x  1)

x( x  1)( x  1)
2
x  3x  4x  4

x( x  1)( x  1)
x2  x  4

x( x  1)( x  1)
Esercizio
Soluzione:
x2  x  2

x2  x  2
x 4
x2  3x  2
x2  x  2
x2  x  2
 2
2
x 4
x  3x  2
2
( x  1)( x  2)


( x  2)( x  2)
x 1

x2
( x  1)( x  2)
( x  1)( x  2)
x2  4
Esercizio
x  x6
2
x2  4
Soluzione:
x  x6
x2  4
2




x2  5x  6
x2  9
x2  5x  6
x2  9
x2  9
x  x6
x2  5x  6
( x  2)( x  2)
( x  3)( x  3)


( x  2)( x  3)
( x  2)( x  3)
2
x2

x2
Esercizi
Semplificare le seguenti espressioni letterali:
1.
2.
4x  8
x  7 x  12
2

x  5x  6
2
x  10 x  24
2
x 2  16
x2  2x  8

x  x2
2
x  4x
2
4
𝑥−3
𝑥
𝑥−2
Soluzione:
1.
4x  8
x  7 x  12
2

x 2  16
x2  2x  8
4( x  2)
( x  4)( x  4)


( x  3)( x  4) ( x  4)( x  2)
4

( x  3)
x  5x  6
2
2.
x  10 x  24
2

x2  5x  6
x  10 x  24
2


x  x2
2
x  4x
2
x2  4x
x  x2
2
( x  1)( x  6)
x ( x  4)


( x  4)( x  6) ( x  1)( x  2)
x

x2