Le equivalenze
1
Resistenza equivalente
Req è la resistenza equivalente di un bipolo se possiede la
stessa relazione tensione-corrente ai terminali
I
V
I
V
Req
V = Req I
¾Resistori in serie
¾Resistori in parallelo
¾Trasformazione stella triangolo
2
Resistori in serie
V1
I
A
R1
VAB = R1 I
V2
B
R2
VBC = R2 I
V3
C
VAD
R3
D
VCD = R3 I
VAD = VAB + VBC + VCD = R1 I + R2 I + R3 I
Sono connessi uno di seguito
all’altro in modo che debbano
essere
attraversati
necessariamente dalla stessa
corrente
Al passaggio della corrente si localizza agli
estremi di ciascun bipolo una d.d.p., detta
caduta di tensione (c.d.t.) relativa al bipolo
considerato
Resistenza equivalente: la resistenza del bipolo passivo che
sotto la stessa tensione VAD assorbe la stessa corrente I
VAD VAB VBC VCD
=
+
+
= R1 + R2 + R3 = ∑k Rk
Req =
I
I
I
I
La resistenza equivalente di un bipolo equivalente a più bipoli
collegati in serie è uguale alla somma delle singole resistenze.
3
La corrente che percorre il circuito è
V
I=
=
R1 + R2 + R3
V
∑
k
Rk
La tensione in ciascun resistore è,
VAB
R1
= R1 I =
VAD
Req
VBC
R2
= R2 I =
VAD
Req
Partitore di tensione
La tensione si ripartisce nei singoli resistori in parti
direttamente proporzionali alle loro resistenze
4
Resistori in parallelo
A
Sono tutti collegati a due nodi A e B.
A
A I
A
La somma delle correnti dei circuiti derivati è
I1
R1
V1
I2
R2
V2
I3
R3
uguale alla corrente del circuito principale
V3
I = I1 + I 2 + I 3
La resistenza equivalente al complesso
dei bipoli in parallelo è quella resistenza
B
B
B
che sottoposta a VAB assorbe la stessa
B
corrente I
VAB
VAB
VAB
1
Req =
=
=
=
V
V
V
1
1
1
I
I1 + I 2 + I 3
AB
AB
AB
+
+
+
+
R1
R2
R3
R1 R2 R3
La resistenza equivalente di un bipolo equivalente a più bipoli
collegati in parallelo è uguale all’inverso della somma degli
5
inversi delle singole resistenze.
Considerando le conduttanze
1
G1 =
R1
1
G2 =
R2
1
G3 =
R3
1
Geq =
→
Req
Geq = G1 + G2 + G3
La conduttanza equivalente di un bipolo equivalente a più bipoli
collegati in parallelo è uguale alla somma delle singole
conduttanze.
La corrente derivata in ciascun ramo,
Req
V
R2
I1 = AB =
I=
I
R1
R1
R1 + R2
=
G1
I
Geq
=
Req
V
R1
I 2 = AB =
I=
R2
R2
R1 + R2
Partitore di corrente
G2
I
Geq
La corrente si ripartisce nei rami derivati in parti inversamente
proporzionali alle loro resistenze.
Cosa fare nel caso del parallelo di n>2 resistori?
6
Trasformazioni stella triangolo
Problema dell’equivalenza
Collegamenti interessanti (3 punti di accesso):
A
A
RCA
C
RA
RAB
RBC
RC
B
Collegamento chiuso o a triangolo
C
0
RB
B
Collegamento aperto o a stella
0, centro stella (non accessibile)
E’ sempre possibile sostituire 3 resistori a triangolo con 3 a
stella facenti capo agli stessi punti, senza alterare il regime
7
della restante rete elettrica.
Trasformazione triangolo-stella e stella-triangolo
A
A
RA
RC
0
C
RAB RCA
=
R
A
RAB + RBC + RCA
RBC RAB
=
R
B
RAB + RBC + RCA
RCA RBC
=
R
C R +R +R
AB
BC
CA
RCA
RAB
RB
B
C
RBC
B
RA RC + RB RC + RA RB
=
R
AB
RC
RA RC + RB RC + RA RB
RBC =
RA
R = RA RC + RB RC + RA RB
CA
RB
Nel caso di tre resistenze uguali sarà: RY =
R∆
3
8
Le formule si ottengono dalla risoluzione di un sistema di 3
equazioni.
Ogni equazione esprime l’uguaglianza della resistenza
equivalente che si ha tra una coppia di morsetti del triangolo
e la corrispondente coppia di morsetti della stella.
A
RAB ( RCA + RBC )
RA + RB =
RAB + RBC + RCA
RBC ( RCA + RAB )
+
=
R
R
B
C
RAB + RBC + RCA
RCA ( RAB + RBC )
RA + RC = R + R + R
AB
BC
CA
RA
RC
C
0
A
RCA
C
RB
B
RAB
RBC
B9
Generatori di tensione in serie
I
E2
E1
E3
Si attribuisce segno + alle tensioni
concordi con un senso di
riferimento (arbitrario)
La tensione complessiva è la
somma algebrica delle singole
f.e.m. prese col loro segno
convenzionale
Eeq = ∑ k ± E k =E1 + E 2 − E3
La serie dei generatori equivale ad un unico generatore Eeq
I
Eeq
10
Generatori di corrente in parallelo
Il collegamento in parallelo di 2 o piu` generatori si effettua
collegando tra loro i poli positivi e fra loro i poli negativi.
A
I
I2
I1
I = I1 + I 2 = ∑ ± I k
k
B
Il generatore equivalente a piu` generatori in parallelo eroga
una corrente pari alla somma algebrica delle correnti dei singoli
generatori.
A
I
B
11
Il collegamento serie o parallelo di generatori non è sempre
lecito
I1 I I2
A
I
E2
E1
B
VAB = ?
Il circuito è plausibile solo se
E1 = E2
altrimenti violo la LKT
I=?
Il circuito è plausibile solo se
I1=I2
altrimenti violo la LKC
12
Principio di sostituzione
I
V
A
B
Sostituendo B con un
generatore di tensione V
tutte le tensioni e le
correnti in A (compresa I)
rimangono costanti
Interessa studiare solo la parte A
Sostituendo B con un
generatore di corrente I tutte
le correnti e le tensioni in A
(compresa V) rimangono
costanti
I
A
V
V
A
V
I
13
Esempio
I
A
I
0
B
A
0
A
0
0
V
B
A
V
14
Trasformazione di generatori indipendenti
R
Vg
I
I
V
Ig
RV
Un generatore di tensione con un resistore in serie è
equivalente ad un generatore di corrente con una resistenza in
parallelo.
LKT Vg+RI –V = 0
V = Vg +RI
LKC Ig –V/R + I = 0
V = RIg + RI
Le relazioni coincidono se Vg =RIg
In tal caso i 2 bipoli sono equivalenti dal punto di vista esterno
15
