slides delle lezioni - Dipartimento di Matematica

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MULTIPLI E DIVISORI
Definizione. Dati due interi a e b, si dice che b divide a e si
scrive
b|a
se esiste un numero intero q tale che
a = bq.
Se b|a, si dice anche che a è un multiplo di b oppure che a è
divisibile per b. Se b non divide a, si usa la notazione
b 6 |a.
ESERCIZIO PER CASA:
• 0 è l’unico intero divisibile per ogni altro intero;
• 1 e -1 sono gli unici interi che dividono ogni altro intero.
• 0 divide solo se stesso.
Proposizione Siano a e b due interi. Se a|b e b|a, allora
b = ±a.
Dimostrazione: Siano a e b tali che a|b e b|a. Osserviamo
che se a = 0, l’unica possibilità compatibile con l’ipotesi è che
anche b = 0. Quindi in tal caso a = b = 0. Consideriamo
quindi il caso in cui a 6= 0. Per ipotesi, esistono due interi q e
q 0 tali che
b = qa e a = q 0b.
Da queste relazioni segue che
a = q 0b = q 0(qa) = (q 0q)a.
Poiché a 6= 0 è necessariamente
q0q = 1
e quindi q = q 0 = 1 oppure q = q 0 = −1.
Nel primo caso concludiamo che a = b, mentre nel secondo
caso otteniamo che b = −a.2
Def. Siano a, b ∈ Z. Si dice combinazione lineare di a
e b ogni numero intero della forma
sa + tb
con s, t ∈ Z.
Proposizione Se c|a e c|b allora c divide ogni combinazione lineare di a e b.
Dimostrazione: Consideriamo una combinazione lineare del
tipo
z = sa + tb.
Tesi: c|z
Per ipotesi:
a = qc
e b = q0c
dove q e q 0 sono opportuni interi. Allora
sa + tb = s(qc) + t(q 0c) = (sq + tq 0)c
con (sq + tq 0) ∈ Z e quindi per definizione c|z.
DIVISIONE IN Z
Definizione.
Si definisce valore assoluto di un numero
intero a il mumero intero positivo |a| tale che:
a
se a ≥ 0
|a| =
−a se a < 0.
Se a e b sono due interi qualsiasi, allora valgono le seguenti:
|a · b| = |a| · |b|
|a + b| ≤ |a| + |b|.
Teorema (Divisione Euclidea) Siano a e b elementi di Z
con b 6= 0. Esistono e sono univocamente determinati due
interi q ed r tali che
a = bq + r e 0 ≤ r < |b|.
Gli interi q ed r sono detti rispettivamnte il quoziente ed
il resto della divisione di a per b.
DIMOSTRAZIONE DELL’ESISTENZA
DEL QUOZIENTE E DEL RESTO
Caso a ≥ 0, b > 0:
• Se a è multiplo di b allora
a = qb con q ∈ N.
Il quoziente è q ed il resto è 0.
• Se a non è multiplo di b allora sia qb il più grande1 multiplo
di b minore di a:
qb < a < (q + 1) b. (∗)
Poniamo
r := a − qb.
Quindi
a = qb + r.
La prima delle disuguaglianze (*) dà
r > 0.
La seconda delle disuguaglianze (*) dà:
r < b.
1
Tale multiplo eiste in forza del principio del buon ordinamento: ogni sottoinsieme non vuoto
A di N è dotato di minimo.
DIMOSTRAZIONE DELL’ESISTENZA
DEL QUOZIENTE E DEL RESTO
Caso generale:
Sappiamo che
|a| = q|b| + r con 0 ≤ r < |b|.
Se a ≥ 0:
a = q|b| + r con 0 ≤ r < |b|.
che possiamo riscrivere
a = (±1)qb + r.
Il quoziente che si ottiene è ±q a seconda del segno di b.
Il resto è r.
Se a < 0:
−a = q|b| + r con 0 ≤ r < |b|.
da cui
a = (−q) |b| − r
aggiungendo e sottraendo |b|:
a = (−q) |b| − |b| + |b| − r.
Poniamo
r0 := |b| − r
e otteniamo:
a = (−q − 1) |b| + r0
a = ±(q + 1) b + r0
Il resto ottenuto è r0 = |b| − r.
con 0 ≤ r0 < |b|.
REGOLA GENERALE:
Il resto della divisione di a per b è:
• uguale al resto r della divisione di |a| per |b|, se a ≥ 0
• uguale a |b| − r, se a < 0.
Esercizio: Determinare il quoziente ed il resto della divisione di a per b nei seguenti casi:
a = −36, b = 5
a = −7, b = 49.
MASSIMO COMUN DIVISORE
Definizione. Si dice divisore comune di due interi a e b ogni
intero c ∈ Z tale che
c|a e c|b.
Definizione. Siano a e b elementi di Z. Si dice massimo
comun divisore di a e b ogni intero d che soddisfi le condizioni
seguenti:
i) d è divisore comune di a e b: d|a e d|b;
ii) Se c è un divisore comune di a e b, allora c|d.
In altri termini, un massimo comune divisore è ogni divisore
comune di a e b che è multiplo di tutti gli altri divisori comuni.
Osservazione. Se a = b = 0 allora l’unico MCD è 0.
Per questo motivo, tratteremo il caso in cui a e b non sono
entrambi nulli. In tal caso 0 non è mai MCD tra a e b.
ESERCIZIO PER CASA:
1) Se b|a, allora b è un massimo comune divisore di a e b.
2) Per ogni a ∈ Z con a 6= 0, a è un MCD tra 0 ed a.
3) Se d è un MCD tra a e b, anche −d lo è.
Proposizione Siano a e b interi non entrambi nulli. Allora se d è un MCD tra a e b, allora è anche un MCD tra
−a e b.
Dimostrazione: Infatti, un qualunque intero c è divisore comune di a e b se e solo se è divisore comune di −a e b.
Conseguenza: Nel determinare un MCD tra due interi, li
si può sempre supporre entrambi positivi (a meno di
sostituirli con i valori assoluti).
Questioni:
• dati a, b ∈ Z, esiste un loro MCD?
• Quanti MCD tra a e b vi sono?
Risposta alla seconda domanda:
Teorema Siano a e b interi non entrambi nulli e sia d un
loro massimo comune divisore. Allora oltre d vi è solo un
altro massimo comune divisore tra a e b, che è −d.
Dimostrazione: Sia d un MCD tra a e b. È immediato verificare
che anche −d è un massimo comune divisore. Si tratta di
provare che non ve ne sono altri. Infatti, sia d0 un altro MCD;
applicando la proprietà ii) di d:
d0|d.
D’altra parte, applicando la stessa proprietà di d0:
d|d0.
Concludiamo che d0 = ±d.
Conseguenza: per due qualunque elementi a e b di Z, non
entrambi nulli, si può parlare di “un massimo comun divisore”
e non “del massimo comun divisore”. Per il “ massimo comun
divisore” di a e b si intenderà quello positivo.
Il massimo comun divisore positivo verrà denotato con
M CD(a, b).
Teorema (Esistenza di un massimo comun divisore) Se a e b
sono numeri interi non entrambi nulli, esiste un massimo
comun divisore di a e b. Inoltre esistono due interi s e t
tali che
d = sa + tb.
(1)
Un’espressione del tipo (1) si dice identità di Bézout.
Possiamo limitarci al caso a ≥ 0 e b > 0 e alla determinazione
del massimo comun divisore positivo.
La dimostrazione consiste nell’algoritmo di Euclide, che è
basato sui fatti seguenti:
A) se b|a allora b = M CD(a, b)
B) Dati due interi a, b con b 6= 0 si ha
M CD(a, b) = M CD(b, r)
dove
r= resto della divisione di a per b.
Dimostrazione di B): si verifica che i divisori comuni di a e b
sono tutti e soli i divisori comuni di b e di r.
Si eseguono le seguenti divisioni successive:
se r 6= 0 :
se r1 =
6 0:
se ri+1 6= 0
se rn−2 6= 0 :
se rn−1 6= 0 :
se rn =
6 0:
a = bq + r
b = rqo + r1
r = r 1 q1 + r 2
...
ri = ri+1qi+1 + ri+2
...
rn−3 = rn−2qn−2 + rn−1
...
rn−2 = rn−1qn−1 + rn
rn−1 = rnqn + 0.
0≤r<b
0 ≤ r1 < r
0 ≤ r2 < r 1
0 ≤ ri+2 < ri+1
0 ≤ rn−1 < rn−2
0 ≤ rn < rn−1
La successione termina quando si determina un resto nullo.
Notiamo che:
• la successione delle divisioni termina dopo un numero finito
di passi
• • rn = M CD(a, b) dove rn è l’ultimo resto non nullo.
Dimostrazione di •
Per costruzione:
b > r > r1 > r 2 > · · ·
ovvero r, r1, . . . è una successione strettamente decrescente di
numeri naturali.
Dimostrazione di ••
M CD(a, b) = M CD(b, r) = M CD(r, r1) = · · · =
= M CD(ri, ri+1) = · · · = M CD(rn−1, rn) = rn.
Dimostrazione dell’identità di Bèzout:
Per costruzione r è combinazione lineare di a e b:
r = a − qb
mentre, stante la seconda divisione, r1 è combinazione lineare
di b e di r; segue che anche r1 è combinazione lineare di a e b:
r1 = b − rqo = b − (a − qb)qo = −qoa + (qqo + 1)b.
In generale, ciascun resto ri, i ≥ 2 è una combinazione lineare
dei due resti precedenti ri−1 e ri−2.
Questo comporta che ciascun resto è a sua volta combinazione
lineare di a e b.
In particolare questo vale per l’ultimo resto non nullo rn =
M CD(a, b).
Osservazione: L’identità di Bézout dà la seguente interpretazione del MCD tra due numeri a, b ∈ Z: esso è il minimo
tra tutte le combinazioni lineari positive di a e b.
Esercizio Determinare il massimo comun divisore d tra 212
e 148 ed una identità di Bézout
d = s(212) + t(148),
Applicando l’algoritmo,
divisioni:
212
148
64
20
s, t ∈ Z.
si ottiene la seguente sequenza di 4
= 1 · 148 +
= 2 · 64 +
= 3 · 20 +
= 5·4 +
64
20
4
0
Si ha quindi d = 4 (ultimo resto non nullo). Ricavando ora i
resti:
64 = 212 − 148
20 = (148) − 2 · 64 = (148) − 2 · (212 − 148) = 3 · (148) − 2 · (212)
4
= 64 − 3 · 20 = 212 − 148 − 3 (148 − 2 · (212)) =
= 7 · 212 + (−10) · 148.
e quindi
4 = 7 · (212) + (−10) · 148.
che è l’identità voluta (con s = 7 e t = −10.)
Esercizio per casa: Determinare d = M CD(300, −368)
e due interi s, t tali che
d = s · 300 + t(−368).
NUMERI PRIMI TRA LORO
Def. Due numeri interi a, b ∈ Z si dicono primi tra loro
se
M CD(a, b) = 1.
In tal caso esistono sempre due interi s, t ∈ Z tali che
1 = sa + tb.
(∗)
Proposizione Siano a e b interi non entrambi nulli. Posto
d = M CD(a, b), allora gli interi
b
a
e b̄ :=
ā :=
d
d
sono primi tra loro.
Dimostrazione: esercizio per casa!
Proposizione Siano a, b ∈ Z interi primi tra loro e si
supponga che
a|bk
per un certo k ∈ Z. Allora
a|k.
Dimostrazione: basta provare che k è combinazione lineare di
a e di bk.
Infatti, per (*), motiplicando per k ambo i membri:
k = (sk)a + t(bk).2
EQUAZIONI DIOFANTEE
Dicesi equazione diofantea lineare un’equazione della forma
ax + by = c
(1)
dove i termini noti a, b, c e le incognite x, y sono tutti numeri
interi.
Una soluzione di (1) è ogni coppia (x0, y0) di numeri interi tale
che
ax0 + by0 = c.
Teorema L’equazione diofantea (1) ha almeno una soluzione
se e solo se
M CD(a, b)|c.
In tal caso, vi sono infinite soluzioni.
Precisamente, posto d = M CD(a, b), se (xo, yo) è una
soluzione qualsiasi, allora tutte le soluzioni sono
a
b
(xo + t , yo − t )
d
d
al variare di t ∈ Z.
METODO RISOLUTIVO
Per risolvere l’equazione
ax + by = c
(1)
nell’ipotesi M CD(a, b)|c, si determina un’indentità di Bézout
d = sa + tb
per d = M CD(a, b).
Supposto ora che
c = kd
moltiplicando ambo i membri di (*) per k:
c = (sk)a + (tk)b
e si ottiene la soluzione
(sk, tk).
(∗)
Esempio: Risolvere l’equazione diofantea:
7x + 11y = 3
Determinare inoltre una soluzione (α, β) con β > 0.
Applicando l’algoritmo euclideo:
11
7
4
3
=
=
=
=
1·7
1·4
1·3
1·3
+4
+ 3
+ 1
+0
otteniamo d = M CD(7, 11) = 1 e quindi l’equazione ha
soluzioni.
Ricaviamo l’identità di Bèzout:
4 = 11 − 7
3 = 7 − 4 = 7 − (11 − 7) = (2)7 − 11
1 = 4 − 3 = (11 − 7) − (2 · 7 − 11) = 2 · 11 − 3 · 7
1 = 2 · 11 − 3 · 7
Dall’identità di Bèzout, moltiplicando per 3:
3 = −9(7) + 6(11)
per cui una soluzione è (−9, 6). Tutte le soluzioni sono
(−9 + 11t, 6 − 7t)
Per t=1 (ad es.) otteniamo la soluzione (2, −1) la cui seconda
coordinata è negativa, come richiesto.
Esercizio:
fantea
Determinare una soluzione dell’equazione dio14x + 26y = −64
Stablire poi che, se (x, y) è una soluzione con x pari, allora
anche y è pari.
MINIMO COMUNE MULTIPLO
Definizione. Siano a e b elementi di Z. Si dice minimo
comune multiplo tra a e b e si denota con mcm(a, b) ogni
intero m che soddisfi le condizioni seguenti:
i) a|m e b|m;
ii) Se c ∈ Z è tale che a|c e b|c, allora m|c.
In altri termini un minimo comune multiplo è ogni multiplo
comune di a e b che è divisore di tutti gli altri multipli comuni.
In modo analogo a quanto visto per il massimo comun divisore
tra interi, sussistono i seguenti risultati:
se a e b sono due interi non entrambi nulli, allora:
• esiste un minimo comune multiplo di a e b;
• esistono esattamente due mcm(a,b), l’uno opposto dell’altro.
Quindi anche il tal caso vi è un unico minimo comune multiplo
positivo, denotato con
mcm(a, b).
Siano a, b due numeri interi non entrambi nulli. La relazione
che intercorre tra i numeri M CD(a, b) e mcm(a, b) è la seguente:
mcm(a, b) =
|a · b|
.
M CD(a, b)
(∗)
Quindi: per calcolare mcm(a, b) conviene calcolare prima M CD(a, b)
tramite l’algoritmo di Euclide e quindi utilizzare la (*).
Corollario: Se a e b sono interi coprimi, allora mcm(a, b) =
|ab|.
Dimostrazione della formula (*).
Supponiamo al solito che a e b siano entrambi positivi.
Posto d = M CD(a, b) e m = abd proviamo che m soddisfa le
due proprietà i) e ii) di minimo comune multiplo.
Prova di i): è sufficiente osservare che
m=
Ponendo
b
a
b, m = a
d
d
a
b
ā = , b̄ =
d
d
possiamo scrivere
m = (ā)b = (b̄)a
con ā e b̄ entrambi interi.
Prova di ii): sia c ∈ Z tale che a|c e b|c. Allora
c = ah = bk
per opportuni h, k ∈ Z. Segue
c = (ād)h = (b̄d)k
da cui
āh = b̄k.
Allo scopo di provare che m|c, mostreremo che
k è multiplo di ā.
Infatti, poichè ā e b̄ sono primi tra loro segue
ā|k.
Concludendo, k si può scrivere nella forma
k = āt t ∈ Z.
Sostituendo in (*):
c = bk = bāt = mt.
Ciò prova che m|c.
(∗)
NUMERI PRIMI
Definizione Un numero p ∈ Z con p 6= 0, p 6= ±1, si dice
primo se, qualunque siano a, b ∈ Z:
se p|ab, allora p|a oppure p|b.
Definizione Un numero p ∈ Z con p 6= 0, p 6= ±1, si dice
irriducibile se i suoi unici divisori sono 1, −1, p e −p. In altri
termini, p è irriducibile se per ogni c ∈ Z:
se c|p, allora c = ±1 oppure c = ±p.
Proposizione Sia p ∈ Z con p 6= 0, p 6= ±1. p è primo se
e solo se è irriducibile.
Dimostrazione:
A) Supponiamo p primo e proviamo che p è irriducible.
Sia c ∈ Z tale che c|p. Allora esiste h ∈ Z tale che
p = ch.
Dalla definizione di numero primo deduciamo che:
p|c oppure p|h.
Nel primo caso: poichè c|p, deduciamo che c = ±p .
(∗)
Nel secondo caso: abbiamo
p|h e h|p
che implica
h = ±p.
Quindi
p = ch = c(±p)
e quindi c = ±1.
B) Supponiamo che p sia irriducibile e proviamo che è primo.
Siano a, b ∈ Z tali che
p|ab.
Tesi: p|a oppure p|b.
Poniamo d = M CD(p, a), d > 0.
Essendo d divisore di p, necessariamente
d = 1 oppure d = ±p.
Se d = ±p, allora p|a. Esaminiamo quindi il caso in cui d = 1.
In tal caso p ed a sono primi tra loro, e quindi dalla relazione
p|ab
segue direttamente che p|b in forza di una proprietà dimostrata
in precedenza.
Teorema (fondamentale dell’aritmetica) Sia a un numero intero con a 6= 0, a 6= ±1. Allora a è primo oppure
può essere scritto come il prodotto di un numero finito di
numeri primi (non necessariamente distinti). Tale fattorizzazione è essenzialmente unica nel senso che, se
a = p 1 · p 2 · · · p s e a = q1 · q2 · · · qt
dove i numeri pi (1 ≤ i ≤ s) e qj (1 ≤ j ≤ t) sono primi,
allora s = t ed a meno di riordinare i fattori si ha
p1 = ±q1, p2 = ±q2, . . . , ps = ±qs.
Corollario: Ogni a ∈ Z, a 6= 0, a 6= ±1 si scrive in modo
essenzialmente unico nella forma
a = (p1)m1 · (p2)m2 · · · (ps)ms
dove i pi sono primi distinti tra loro e gli mi sono interi
positivi.
Teorema: Esistono infiniti numeri primi.
Supponiamo per assurdo che i numeri primi siano in numero
finito; siano essi p1, p2, . . . , pN . Consideriamo allora il numero
a = p1 · p2 · · · pN + 1.(∗)
Per il Teorema fondamentale, esiste un primo q che divide a.
Poichè q è uno dei pi, è chiaro che
q|(p1 · p2 · · · pN ).
Allora per (*) si ottiene q|1 il che è una contraddizione. 2
CONGRUENZE
Definizione: Fissato un intero n, diciamo che due interi
a, b ∈ Z sono congrui modulo n e scriviamo
a ≡ b (mod n)
o anche a ≡n b
se a − b è divisibile per n:
n|(a − b).
Note: I casi n = 0 e n = 1 sono banali:
1) a ≡ b (mod 0) ⇐⇒ a = b.
2) La relazione a ≡ b (mod 1) è sempre vera!
3) Un intero a soddisfa
a ≡ 0 (mod n)
se e solo se n|a.
Osservazione: Per ogni a, b risulta:
a ≡ b (mod n) ⇐⇒ a ≡ b (mod (−n))
Quindi possiamo limitarci a considerare il caso n > 0.
Proposizione Sia n > 0 e siano a, b in Z. Allora a e b
sono congrui modulo n se e solo se i resti delle divisioni
di a per n e di b per n coincidono.
Dimostrazione. Effettuando le due divisioni si ha
a = q1 n + r 1 0 ≤ r 1 < n
(∗)
b = q2n + r2 0 ≤ r2 < n.
(∗∗)
Supponiamo dapprima che a ≡ b (mod n). Allora
a = b + nh
per un opportuno h ∈ Z. Sostituendo nella (*) si ottiene
b + nh = q1n + r1
da cui
b = (q1 − h) n + r1.
Per l’unicità del resto, confrontando con la (**) segue che
r2 = r1 .
Viceversa, si assuma che r1 = r2. Sottraendo membro a membro le (*)-(**) segue
a − b = (q1 − q2)n
e quindi a e b sono congrui modulo n.2
Teorema Ogni intero a è congruo modulo n ad uno ed
un solo dei numeri
0, 1, 2, . . . , n − 1
Tale numero è il resto della divisione di a per n.
Es: Abbiamo
−37 ≡ 11 (mod 12)
Def. Sia a ∈ Z. Si dice classe di congruenza modulo n
o classe resto modulo n di a l’insieme di tutti gli interi b
che sono congrui ad a mod. n.
Tale insieme si denota con
[a]n
In simboli si scrive
[a]n := { b ∈ Z | a ≡ b (mod n) }.
Notiamo che il generico elemento di [a]n è un numero della
forma
a + hn
al variare di h ∈ Z.
Nota importante: Il più piccolo intero positivo nella
classe [a]n è il resto della divisione di a per n.
Corollario: Ogni intero a ∈ Z appartiene ad uno ed uno
solo dei sottoinsiemi:
[0]n, [1]n · · · , [n − 1]n
che coincide con [a]n.
Proprietà elementari delle congruenze
Sia n un fissato intero positivo.
La relazione di congruenza modulo n gode di molte delle proprietà soddisfatte dalla relazione di uguaglianza.
Proposizione
1) Per ogni a ∈ Z si ha a ≡ a (mod n); (riflessività)
2) Se a ≡ b (mod n), allora b ≡ a (mod n) (simmetria)
3) Se a ≡ b (mod n) e b ≡ c (mod n), allora a ≡ c (mod n).
(transitività).
Proposizione Per ogni a, b, c, d ∈ Z, se
a ≡ b (mod n) e c ≡ d (mod n)
allora risulta:
a + c ≡ b + d (mod n)
a · c ≡ b · d (mod n).
Conseguenza: In un’espressione della forma
h
a1xh1 1 + a2xh2 2 + · · · + ak xk k ≡ b (mod n)
dove h1, . . . , hk ∈ N, è lecito sostituire uno qualsiasi dei
numeri xi, ai o b con uno ad esso congruo mod. n.
Esempio: Ogni intero è congruo modulo 3 alla somma delle
sue cifre.
Ad esempio:
1317 ≡3 (1 + 3 + 1 + 7).
Ciò segue dal fatto ovvio che
10 ≡3 1.
Infatti, considerato un intero a, e posto:
a = ao + a1 · 10 + a2 · 102 + · · · + ak · 10k
(a ha k + 1 cifre), allora possiamo scrivere
a ≡3 ao + a1 · 10 + a2 · 102 + · · · + ak · 10k
e sostituendo 1 al posto di 10:
a ≡3 ao + a1 + a2 + · · · + ak .
Questo fatto fornisce una dimostrazione del criterio di divisibilità per 3:
Un numero a ∈ Z è divisibile per 3 se e solo se lo è la
somma delle sue cifre.
Il principio enunciato sopra può essere utile per ricavare facilmente il resto della divisione di un numero intero per 3.
Esempio: Per determinare il resto della divisione di 210734
per 3 consideriamo la catena di congruenze:
210734 ≡3 (2 + 1 + 0 + 7 + 3 + 4) ≡3 17 ≡3 8 ≡3 2
da cui deduciamo che il resto è 2. Dunque:
[210734]3 = [2]3 = {2 + 3h| h ∈ Z}.
Esercizio: Determinare il rappresentante k della classe [−7643]3
con 0 ≤ k < 3.
Abbiamo
7643 ≡ (7 + 6 + 4 + 3) ≡ 20 ≡ 2
per cui −7643 ≡ −2 ≡ 1. Conclusione
[−7643]3 = [1]3.
Esercizio per casa:
per 5 e per 11.
Provare i criteri di divisibilità per 2,
LEGGE DI CANCELLAZIONE
Notiamo che la proprietà di cancellazione valida in Z:
se a · c = b · c e c 6= 0, allora a = b
non ha un perfetto analogo se sostituiamo ≡n al posto dell’uguaglianza.
Ad esempio nella relazione
3 · 2 ≡ 4 · 2 (mod 2)
non è lecito “semplificare il 2” in quanto non è vero che
3 ≡ 4 (mod 2).
Bensı̀ si può dimostrare quanto segue:
Proposizione: Siano a, b, c ∈ Z. Se
a · c ≡ b · c (mod n)
ed inoltre M CD(c, n) = 1, allora
a ≡ b (mod n).
Dimostrazione. Per ipotesi
n|(a − b) · c.
Ma n e c sono primi tra loro, e quindi per una proprietà vista
in precedenza n|(a − b).2
Es. Dalla relazione
148 ≡ 4 (mod 9)
otteniamo, “dividendo per 2”:
74 ≡ 2 (mod 9).
Questo è corretto perchè M CD(2, 9) = 1.
Nel caso in cui M CD(c, n) 6= 1 è possibile semplificare la
congruenza
ac ≡ bc (mod n)
a patto di cambiarne il modulo, utilizzando il risultato
seguente:
Proposizione: Sia n > 0 e siano a, b, c ∈ Z tali che
ac ≡ bc (mod n).
Allora si ha
a ≡ b (mod
n
)
d
dove d = M CD(c, n).2
Dimostrazione. Dalla congruenza
ac ≡ bc (mod n)
si deduce subito la seguente:
c
n
c
a ≡ b (mod ).
d
d
d
Ricordiamo ora che M CD( dc , nd ) = 1 per cui a questa congruenza si può applicare la legge di cancellazione provata in
precedenza. Se ne deduce quindi
n
a ≡ b (mod ).2
d
Es. Dalla congruenza
30 ≡ 48 (mod 9)
se ne deduce l’altra
5 ≡ 8 (mod 3).
Infatti possiamo riscrivere la prima come
6 · 5 ≡ 6 · 8 (mod 9)
e quindi semplificare il 6, cambiando però il modulo in 3 = 39 ,
tenendo conto che M CD(9, 6) = 3.
CAMBIAMENTO DI MODULO
Sia n > 0 un intero e p > 0 un suo divisore. La proprietà
seguente stabilisce che legame sussiste tra le classi [a]p e [a]n
dove a è un intero qualsiasi.
Proposizione Posto q =
n
p
risulta2
[a]p = [a]n ∪ [a + p]n ∪ [a + 2p]n ∪ · · · ∪ [a + (q − 1)p]n.
Dunque [a]p è l’unione di q classi resto modulo n.
Esempi: Abbiamo
[5]3 = [5]6 ∪ [5 + 3]6 = [5]6 ∪ [8]6 = [5]6 ∪ [2]6
mentre
[2]7 = [2]21 ∪ [2 + 7]21 ∪ [2 + 14]21 = [2]21 ∪ [9]21 ∪ [16]21.
Nel primo esempio p = 3, n = 6 e q = 2, mentre nel secondo
p = 7, n = 21 e q = 3.
2
Il simbolo ∪ è l’unione insiemistica. Si veda più avanti per un riepilogo delle notazioni per gli
insiemi.
CONGRUENZE LINEARI
Una congruenza lineare è un’equazione del tipo
ax ≡ b (mod m)
dove x ∈ Z è l’incognita e a, b, m sono noti.
Attenzione: una congruenza lineare può non avere soluzioni.
Es: Questa congruenza
15x ≡ 4 (mod 3)
non ha soluzioni perchè 15 ≡3 0.
Teorema: a) La congruenza lineare:
ax ≡ b (mod m)
ha soluzioni se e solo se M CD(a, m) | b.
In tal caso, posto d := M CD(a, m), vi sono esattamente d
soluzioni nell’insieme {0, 1, . . . , n − 1} ovviamente a due a
due incongrue modulo m.
b)Se xo è una una soluzione arbitraria, allora
m
x0 + h , h = 0, . . . , d − 1
d
sono d soluzioni incongrue mod. n e ogni altra soluzione
è congrua ad una di queste modulo n.
c) L’insieme S di tutte le soluzioni è dato da
m
S = [xo] md = {x0 + h | h ∈ Z}.
d
Infine S é anche l’unione delle d classi distinte:
m
m
m
S = [x0]m ∪ [x0 + ]m ∪ [x0 + 2 ]m · · · ∪ [x0 + (d − 1) ]m.
d
d
d
METODO PER DETERMINARE
UNA SOLUZIONE
Determinare una soluzione xo della congruenza lineare
ax ≡ b (mod m)
è equivalente a determinare una soluzione (xo, yo) dell’equazione
diofantea:
ax + my = b.(∗)
Infatti,
axo ≡ b (mod m)
significa che esiste un intero h tale che
axo − b = mh
ovvero
ax0 − hm = b.
Quindi, se xo risolve la congruenza, (xo, yo) con yo = −h è
soluzione di (*) e viceversa se (xo, yo) risolve (∗), allora xo è
soluzione della congruenza.
Esercizio. Risolvere il seguente quesito: su un lato di una
strada è previsto un turno di pulizia ogni 26 giorni, per cui
è divieto sostare. Se oggi (mercoledı̀) è giorno di divieto, tra
quanti giorni non sarà possibile parcheggiare di lunedı̀?
Esercizio: Dire se la seguente congruenza
4x ≡ 3 (mod 319)
ammette soluzione ed in caso affermativo trovare la più piccola
soluzione positiva.
Esercizio: Per ciascuna delle seguenti congruenze, determinare un insieme di soluzioni incongrue più grande possibile.
1) 3x ≡ 7 (mod 19)
2) 21x ≡ 18 (mod 12)
3) 8x ≡ 12 (mod 28).
TORNEI ALL’ITALIANA
Vi è un semplice metodo basato sulle congruenze lineari per
organizzare tornei (o “gironi”) all’italiana.
Ad un tale torneo partecipano n squadre, con n pari. Vi sono
n − 1 turni di n/2 incontri, di modo che alla fine del torneo
ogni squadra avrà incontrato tutte le altre, ciascuna una sola
volta.
Algoritmo per costruire il tabellone degli incontri:
• Si identifichino le squadre con i numeri 1, 2, . . . , n
• Al turno r-mo, la squadra a (< n) incontra la squadra b
dove b è dato dalla regola seguente:
b=n
b ≡(n−1) (r − a)
se 2a ≡ r mod (n − 1)
altrimenti.
Ad esempio, per n = 4 si ottiene il seguente tabellone
Primo turno Secondo turno Terzo turno
1vs3
1vs4
1vs2
2vs4
2vs3
3vs4
Nota: Il fatto che in ogni turno r una sola squadra incontra la
n è garantito dal fatto che la congruenza
2x ≡ r mod (n − 1)
ha una sola soluzione (perchè?).
Esercizio: Consideriamo il girone di andata di un campionato di calcio con 20 squadre, tra cui Juventus e Inter. A
ciascuna squadra si deve assegnare un numero da 1 a 20, in
modo da comporre il girone col metodo descritto sopra. Assegnare opportunamente i numeri in modo che Juvenuts e Inter
si incontrino alla 15-ma giornata.
SISTEMI DI CONGRUENZE
Teorema cinese del resto: Il sistema di congruenze


a1x ≡ b1 ( mod r1)



a2x ≡ b2 ( mod r2)
···



 a x ≡ b ( mod r )
k
k
k
con M CD(ai, ri) = 1 e M CD(ri, rj ) = 1, ammette una ed
una sola soluzione modulo R = r1 · r2 · · · rk .
In altri termini, esso ammette soluzioni e, se xo è una
soluzione, allora l’insieme di tutte le soluzioni è
[xo]R
ESEMPIO: Da un cesto di uova, togliendone due alla volta
ne rimane una; togliendo invece tre uova alla volta dallo stesso
cesto ne rimangono due, mentre se si tolgono cinque uova alla
volta, ne rimangono 3.
Dire quante uova ci sono nel cesto.
ESERCIZIO: Risolvere il sistema di congruenze
3x ≡ 2 ( mod 8)
2x ≡ 9 ( mod 15)
e determinare la più piccola soluzione positiva.
ESERCIZIO: Determinare tutte le soluzioni del sistema
4x ≡ 8 ( mod 6)
3x ≡ 5 ( mod 7)
ESERCIZIO per casa: Risolvere il sistema

 x ≡ 3 ( mod 7)
x ≡ 2 ( mod 5)

x ≡ 7 ( mod 2)
IL PICCOLO TEOREMA DI FERMAT
Teorema Sia p > 0 un numero primo e a un intero non
divisibile per p. Allora si ha:
ap−1 ≡ 1 (mod p).
CONSEGUENZA: Se p è primo, ed a non è multiplo di p,
le potenze ak modulo p (con k ∈ N) si calcolano agevolmente
sostituendo a k il resto r della divisione di k per p − 1.
Infatti, se k = q(p − 1) + r allora:
ak = a(q(p−1)+r) ≡ (ap−1)q · ar ≡ (1)q · ar ≡ ar .
Pertanto le potenze di a modulo p sono tutte riconducibili alle
prime p − 1:
a0, a1, . . . , ap−2.
Esercizio:
1)Verificare che 1464 ≡ 1 (mod 3).
2) Stabilire se (−453)32 ≡ 4 (mod 11).
IL PRINCIPIO DI INDUZIONE
Il principio di induzione è basato su un postulato fondamentale riguardante i numeri naturali:
Sia A ⊂ N e un sottoinsieme di A tale che:
i) 0 ∈ A;
ii) per ogni n ∈ N: se n ∈ A, allora (n + 1) ∈ A.
In tali ipotesi A = N.
Da questo assioma segue il seguente principio:
Sia P (n) un enunciato che ha senso per tutti i numeri
naturali maggiori o uguali ad un certo no ∈ N. Se sono
soddisfatte le condizioni seguenti:
i) P (no) è vero;
ii) Per ogni n ≥ no, se P (n) è vero, anche P (n + 1) è vero;
allora P (n) è vero per tutti gli n ≥ no.
Esempio: Dimostriamo che, per ogni n ≥ 1, la somma dei
primi n interi è pari a
n(n + 1)
.
2
Nota: La ii) si può sostituire con la seguente:
ii’) Per ogni n > no, se P (n − 1) è vero, anche P (n) è vero.
RICHIAMO: Se n ∈ N, chiamasi fattoriale di n il numero
naturale n! cosı̀ definito:
n! = 1 se n = 0, 1
n! = n(n − 1)(n − 2) · · · 2 · 1 se n > 1.
ESERCIZIO: Provare che, per ogni n ≥ 1 si ha:
n
X
k=1
kk! = (n + 1)! − 1.
Esempio: Se X = {x1, . . . , xn} è un insieme con n elementi,
(eventualmente vuoto), allora i sottoinsiemi di X sono in numero di 2n.
ESERCIZIO per casa:
1) Verificare che, per ogni n ∈ N, n ≥ 1, la somma dei primi
n numeri naturali dispari è n2.
2) Dimostrare che per ogni n ≥ 0:
n
X
(−1)k k 2 = (−1)n ·
k=0
3) Dimostrare che per ogni n ≥ 1:
2n−1 ≤ n!
n(n + 1)
.
2
Seconda forma del principio di induzione:
Sia P (n) un enunciato che ha senso per tutti i numeri
naturali maggiori o uguali ad un certo no ∈ N.
Supponiamo soddisfatte le condizioni seguenti:
i) P (no) è vero;
ii) Per ogni n > no, se P (k) è vero per tutti i numeri
k ∈ {no, no + 1, ..., n − 1}, anche P (n) è vero.
Allora P (n) è vero per tutti gli n ≥ no.
NUMERAZIONE IN BASI DIVERSE
Sappiamo che (in base 10) un numero a si scrive nella forma
a = a0 + a1 · 10 + a2 · 102 + · · · + ak · 10k
e 0 ≤ aj < 10.
In generale, assegnato b ≥ 2, ogni numero a ∈ N si può scrivere
in modo analogo in base b:
TEOREMA: Fissato b ∈ N, b ≥ 2, per ogni a ∈ N si ha
a = a0 + a1 · b + a2 · b2 + · · · + ak · bk
dove gli ai sono numeri naturali, univocamente determinati, tali che
0 ≤ ai < b.
La dimostrazione procede per induzione su a (seconda forma).
Per a = 0 ho a = a0 con a0 = 0.
Sia a > 0 e supponiamo vero l’asserto per tutti i numeri q < a.
Dividendo a per b ho
a = a0 + qb,
0 ≤ a0 < b.
Per l’ipotesi induttiva applicata a q posso scrivere
q = q 0 + q 1 · b + q 2 · b 2 + · · · + qk · b k
e quindi
a = a0 + q0b + q1 · b2 + q2 · b3 + · · · + qk · bk+1.
ESERCIZIO per casa:
1) Scrivere 2000 in base 4 ed in base 2.
2) Effettuare la somma (11001001)2 + (111100)2.
Alcune notazioni per gli insiemi
• a ∈ A: a è elemento di A, ossia a appartiene all’insieme A.
• a 6∈ A: a non è elemento di A, ossia a non appartiene
all’insieme A.
• ∅: L’insieme vuoto. È l’insieme privo di elementi.
Siano A e B due insiemi.
• A ⊂ B: A è sottoinsieme di B, o A è contenuto in B.
Ogni elemento di A è anche elemento di B.
• A = B: Gli insiemi A e B coincidono, ossia essi hanno gli
stessi elementi. In altri termini:
A ⊂ B e B ⊂ A.
• A ∪ B: unione di A e B. È l’insieme
A ∪ B = {x | x ∈ A oppure x ∈ B}
di tutti gli elementi che appartengono ad A oppure a B (o
ad entrambi).
• A ∩ B: intersezione di A e B. È l’insieme
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
di tutti gli elementi che appartengono sia ad A che a B.
• P(A): Insieme delle parti dell’insieme A. È l’insieme di
tutti i sottoinsiemi di A.
• Se X è un insieme finito,
|X|
denota il numero dei suoi elementi, detto cardinalità di X.
|X| = 0 ⇐⇒ X = ∅.
Coppie ordinate
Siano A e B due insiemi. Considerati due elementi a ∈ A e
b ∈ B, si dice che
(a, b)
è la coppia ordinata di prima coordinata (primo elemento)
a e seconda coordinata (secondo elemento) b.
Due coppie ordinate (a, b) e (a0, b0) sono uguali se e solo se:
a = a0 e b = b 0 .
Quindi in generale
(a, b) 6= (b, a).
Attenzione: Non si deve confondere (a, b) con l’insieme
{a, b}.
Es.: Si considerino gli elementi 1 e −1 dell’insieme Z; allora
• (−1, 1) 6= (1, −1)
• {−1, 1} = {1, −1}.
• La coppia (−1, −1) ha l’elemento −1 sia come prima che
come seconda coordinata.
Si osservi che l’insieme {−1, −1} è costituito dal solo elemento
−1: pertanto {−1, −1} = {−1}.
TERNE E N-PLE ORDINATE
Se A, B, C sono tre insiemi ed a ∈ A, b ∈ B e c ∈ C, allora
(a, b, c)
denota la terna ordinata di primo elemento a, secondo elemento b e terzo elemento c.
Più in generale, dati n insiemi A1, A2, . . . , An, n ≥ 2, e dati
n elementi a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, . . . , an ∈ An, allora
(a1, a2, . . . , an)
è la n-pla ordinata di primo elemento a1, secondo elemento
a2, . . . , n-esimo elemento an.
Il criterio di uguaglianza per n-ple ordinate è il seguente:
fissato un intero n ≥ 2, date le n-ple (a1, . . . , an) e (b1, . . . , bn),
allora
(a1, . . . , an) = (b1, . . . , bn) se e solo se a1 = b1, a2 = b2, . . . , an = bn.
Attenzione: non ha senso confrontare una n-pla con una
m-pla se n 6= m.
PRODOTTO CARTESIANO DI INSIEMI
Definizione: Siano A e B due insiemi. Si dice prodotto
cartesiano (o semplicemente prodotto) di A per B l’insieme
di tutte le coppie ordinate (a, b) la cui prima coordinata a
appartiene ad A e la cui seconda coordinata b appartiene a B.
Il prodotto cartesiano di A per B si denota col simbolo
A × B.
Dunque
A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.
Notazione: Nel caso in cui A = B, il prodotto A × A viene
anche denotato con A2.
Osserviamo che, per ogni insieme A risulta:
A × ∅ = ∅ = ∅ × A.
Attenzione: in generale A × B 6= B × A.
Es. Siano A = {3, 4, 7} e B = {a, b}. Allora
A × B = {(3, a), (3, b), (4, a), (4, b), (7, a), (7, b)}
B × A = {(a, 3), (a, 4), (a, 7), (b, 3), (b, 4), (b, 7)}
A × A = {(3, 3), (3, 4), (3, 7), (4, 3), (4, 4), (4, 7), (7, 3), (7, 4), (7, 7)}
B × B = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}.
In generale, se A1, A2, . . . , An sono n insiemi n ≥ 2 si definisce
il prodotto cartesiano
A1 × A 2 × · · · × An
come l’insieme delle n-ple ordinate (a1, a2, . . . , an) tali che ai ∈
Ai per ogni i = 1, 2, . . . , n. Dunque
A1×A2×· · ·×An = {(a1, a2, . . . , an) | a1 ∈ A1, . . . , an ∈ An}.
Nel caso in cui gli insiemi Ai coincidono tutti col medesimo
insieme A, si scrive
An = A × A × · · · × A.
Es. Sia A = {0, 1}. Allora
A2 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}
A3 = {(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0),
(0, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1)}.
Proposizione: Se l’insieme A ha n elementi e B ha m
elementi, allora il numero di elementi di A × B è n · m.
Quindi Ak contiene nk elementi.
Dimostrazione: Per contare tutte le coppie (a, b) osserviamo
che a può essere scelto in n modi: per ciascuna scelta, vi sono
m possibilità per scegliere b.
Definizione: Siano A e B due insiemi. Una relazione o
corrispondenza da A a B è un qualsiasi sottoinsieme di
A × B.
Nel caso in cui A=B, una relazione da A ad A prende il nome
di relazione su A.
Attenzione: Se A 6= B, una relazione da A a B non è una
relazione da B in A!
Esempio: Siano A = {1, 2, 5, 7, 8} e B = {a, b, r, s}.
Sono relazioni:
{(1, a), (1, s), (5, b), (8, s), (2, r)} da A in B
{(2, a), (5, s)} da A in B
{(a, 1)} da B in A
Non sono invece relazioni, nè da A a B, nè da B in A, gli
insiemi:
{(a, 1), (8, s), (2, r)}
{(2, 5), (7, s)}.
Esempio: Si consideri la seguente relazione su N:
≤ = {(n, m) ∈ N × N | ∃t ∈ N tale che m = n + t}.
Questa è l’usuale relazione d’ordine su N, con la quale siamo
abituati a confrontare tra loro i numeri naturali.
Esempio:
relazione
Sappiamo che ogni intero n determina su Z la
≡n
definita da:
≡n = { (a, b) ∈ Z × Z | n|(a − b) }.
Esempio: Sia A un insieme e si consideri l’insieme P(A) delle
parti di A. Allora su P(A) abbiamo la relazione di inclusione
⊂ definita da:
⊂ = {(X, Y ) ∈ P(A) × P(A) | ∀x ∈ X x ∈ Y }.
Sia R una relazione da un insieme A ad un insieme B, cioè
R ⊆ A × B. Allora, invece di scrivere (a, b) ∈ R , si usa
scrivere
a R b.
Questa scrittura si legge “a è nella relazione R con b”.
Qualora (a, b) 6∈ R , si usa la notazione
a 6R b
che si legge “a non è in relazione con b.”
Es: Sia A = {1, 2, 3, 4, 5}. Allora
R = {(1, 1), (1, 3), (4, 5), (2, 3)}
è una relazione su A; per tale relazione possiamo scrivere:
1 R 1, 1 R 3, 4 R 5
e
1 6 R 2.
Osservazione: Giacchè ogni sottoinsieme R di A × B è
una relazione dall’insieme A all’insieme B, non si escludono i
casi estremi, ossia:
• R = ∅: nessun elemento di A è in relazione con elementi di
B;
• R = A × B: ogni elemento di A è in relazione con ogni
elemento di B.
Principali proprietà delle relazioni
In Matematica esistono diversi tipi di relazioni che godono di
alcune proprietà speciali. Distingueremo in seguito tre classi
fondamentali di relazioni: relazioni di equivalenza, di ordine
e relazioni funzionali.
Definizione: Una relazione R su un insieme A si dice:
• riflessiva: se per ogni a ∈ A è a R a;
• simmetrica: se per ogni a, b ∈ A da a R b segue che b R a;
• transitiva: se per ogni a, b, c ∈ A da a R b e b R c segue che
a R c.
• antisimmetrica se, per ogni a, b ∈ A con a 6= b, sussiste al
più una sola delle relazioni a R b e b R a.
Esempio: Sappiamo che, per ogni intero n, la relazione di
congruenza ∼
=n su Z è riflessiva, simmetrica e transitiva. Non
è antisimmetrica!
Esempio: Consideriamo la relazione su Z:
R = { (n, n + 1) | n ∈ Z }.
Questa relazione non è: transitiva, simmetrica, riflessiva.
R è invece antisimmetrica.
Esercizio: Posto A = {1, 2, 3, 4}, consideriamo la relazione
R su P(A) definita come segue:
∀X, Y ∈ P(A) X R Y ⇐⇒ X ∩ Y = {4}.
Di quali delle proprietà fondamentali gode R?
RELAZIONI DI EQUIVALENZA
Definizione: Sia A un insieme non vuoto. Una relazione
su A che sia riflessiva, simmetrica e transitiva si dice relazione
di equivalenza su A.
Es: Su ogni insieme A, la relazione di uguaglianza = è una
relazione di equivalenza.
Es: Per ogni n ∈ Z, la relazione di congruenza modulo n è
di equivalenza su Z.
Es: Consideriamo la relazione R su Q cosı̀ definita:
∀a, b ∈ Q a R b se e solo se ∃n ∈ Z tale che a = 2n · b.
Si tratta di una relazione di equivalenza su Q.
Per le relazioni di equivalenza, la scrittura a R b si legge spesso
“a è equivalente a b” oppure “a e b sono equivalenti”.
Classi di equivalenza
Sia assegnata una relazione di equivalenza su un insieme non
vuoto A.
Definizione: Per ogni elemento a ∈ A, si dice classe di
equivalenza di a rispetto ad R l’insieme, denotato con [a] R ,
di tutti gli elementi di A che sono nella relazione R con a:
[a] R = { b ∈ A | b R a }.
Spesso si sottintende R e si scrive [a] in luogo di [a] R .
Osservazione: Per la proprietà riflessiva, [a] R contiene
sempre l’elemento a stesso!
Teorema:
1) Per ogni a, b ∈ A: a R b se e solo se [a] R = [b] R
2) Per ogni a, b ∈ A: a 6 R b se e solo se [a] R ∩ [b] R = ∅.
3) Ogni elemento di A appartiene ad una sola classe di
equivalenza che è [a].
Dimostrazione:
1) Supponiamo che a R b e proviamo che [a] R = [b] R .
Infatti, gli insiemi [a] R e [b] R hanno gli stessi elementi per la
proprietà transitiva.
Viceversa, supponiamo [a] R = [b] R e proviamo che a R b.
Infatti, dal fatto che a ∈ [a] R segue per ipotesi che a ∈ [b] R ;
pertanto a R b.
2) Chiaramente, se [a] R ∩ [b] R = ∅, allora a e b non sono in
relazione per la 2).
Viceversa, se a 6 R b, allora non può esistere alcun z ∈ [a] R ∩
[b] R perchè un tale z sarebbe in relazione sia con a che con b,
onde a R b per transitività.2
Nota importante: Per la 3) del Teorema, qualunque sia
b ∈ [a] R , si ha [a] R = [b] R . Quindi la classe di equivalenza
[a] R può essere rappresentata mediante uno qualsiasi dei
suoi elementi.
Esempio: Torniamo all’esempio della relazione R su Q:
∀a, b ∈ Q a R b se e solo se ∃n ∈ Z tale che a = 2n · b.
Allora rispetto ad R abbiamo, ad esempio:
1
, [−1] = [−8].
[0] = {0}, [1] = { 2k | k ∈ Z } =
2
Notiamo che in questo caso vi sono infinite classi distinte: ad
esempio, sono tutte distinte tra loro le classi dei numeri:
3, 32, 33, . . . , 3h, . . .
Insieme quoziente
Definizione: Siano A un insieme non vuoto ed R una relazione di equivalenza su A. Si dice insieme quoziente di A
rispetto ad R , e lo si denota con
A/ R
l’insieme di tutte le classi di equivalenza di A rispetto ad
R , ossia
A/ R = { [a] R | a ∈ A }.
Osserviamo che A/ R è un sottoinsieme di P(A); in simboli
A/ R ⊂ P(A).
Ciò perchè ogni classe di equivalenza, per definizione, è un
sottoinsieme di A.
Notiamo che: ∅ 6∈ A/ R . Le classi di equivalenza sono tutte
non vuote!
Esempio: Consideriamo la relazione binaria su A = {0, 3, 5, 7, 9, 11, 13}
definita nel modo seguente:
x R y ⇐⇒ 3 | 2x + y.
R è di equivalenza e risulta:
[0] = {0, 3, 9}
[5] = {5, 11}
[7] = {7, 13}
Quindi
A/ R = {{0, 3, 9}, {5, 11}, {7, 13}}.
Esercizio: Date le relazioni binarie R1 ed R2
su Z∗ = {x ∈ Z | x 6= 0} definite da
x R1 y ⇐⇒ xy = 1
x R2 y ⇐⇒ xy > 0
verificare che soltanto una di esse è una relazione di equivalenza. Determinare il corrispondente insieme quoziente.
Esercizio: Verificare che la relazione binaria R sull’insieme
Z × Z definita da:
(a, b) R (x, y) ⇐⇒ 2a + 3y = 2x + 3b
è una relazione d’equivalenza.
Determinare tutti gli elementi della classe [(1, 0)]R.
Esercizio: Posto X = {{1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4, 5}, {3, 6, 7, 8, 9}},
si consideri la relazione R su X definita da:
A R B ⇐⇒ |A ∩ B| ≥ 2.
Verificare che è una relazione d’equivalenza e calcolare X/ R .
L’insieme Zn
Fissato un intero n > 0, l’insieme quoziente
Z/ ≡n
si denoterà col simbolo
Zn.
Teorema: L’insieme Zn ha esattamente n elementi. Precisamente:
Zn = {[0]n, [1]n, . . . , [n − 1]n}.
Dim: Lo sappiamo già !
PARTIZIONI DI UN INSIEME
Definizione: Sia A un insieme non vuoto e sia L un insieme
di sottoinsiemi non vuoti di A. L è detto partizione di A se
ogni elemento di A appartiene ad uno ed uno solo di questi
sottoinsiemi.
Gli elementi di una partizione L sono detti blocchi di L.
Es: Sia A = {1, 2, · · · , 9, 10}.
Considerati i sottoinsiemi X1 = {1, 4, 7, 8},X2 = {2, 3, 5},
X3 = {6, 9} e X4 = {10} allora
L = {X1, . . . , X4}
è una partizione di A.
Teorema: Se R è una relazione di equivalenza su A,
allora A/ R è una partizione di A.
Dimostrazione: è la 3) del Teorema sulle classi di equivalenza!
Teorema (inverso) Ogni partizione L dell’insieme A determina una ed una sola relazione di equivalenza R le cui
classi di equivalenza sono i blocchi della partizione stessa,
ovvero tale che
A/ R = L.
Dimostrazione (cenno): Si definisce la relazione in questione
ponendo:
a R b ⇐⇒ a e b sono nel medesimo blocco di L.
Esempio: A = {a, b, c, d}: Data la partizione {{a, b}, {c}, {d}}
allora la relazione d’equivalenza corrispondente è
R = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, a)}.
Esempio: Sia ancora A = {a, b, c, d}. Quante sono tutte le
possibili relazioni di equivalenza su A?
A questa domanda è più agevole rispondere stabilendo quante
sono le partizioni possibili di A. Infatti, i Teoremi precedenti garantiscono che queste sono tante quante sono le prime.
Non è difficile elencare tutte le partizioni di A: conviene procedere ordinandole in base al massimo delle cardinalità
dei blocchi.
Dim. max dei blocchi =1 : C’è una sola partizione L1 con
questa proprietà, ed è
L1 = {{a}, {b}, {c}, {d}}.
Dim. max dei blocchi =2: Le partizioni sono
L2
L3
L4
L5
L6
L7
= {{a, b}, {c, d}}
= {{a, c}, {b, d}}
= {{a, d}, {b, c}}
= {{a, b}, {c}, {d}}
= {{a, c}, {b}, {d}}
= {{a, d}, {b}, {c}}
Dim. max dei blocchi =3: in questa categoria rientrano le
partizioni
L8 = {{a, b, c}, {d}}
L9 = {{a, b, d}, {c}}
L10 = {{b, c, d}, {a}}
L11 = {{a, c, d}, {b}}
Dim. max dei blocchi =4: l’unica partizione è
L12 = {{a, b, c, d}}.
In totale su A vi sono 12 relazioni di equivalenza.
Esercizio: Sia A = {a, b, c}. Quali sono le relazioni di
equivalenza su A tali che a 6 R b?
RELAZIONI FUNZIONALI E APPLICAZIONI
Definizione: Siano A e B due insiemi non vuoti e sia f una
relazione da A a B. Si dice che f è una relazione funzionale o
un’applicazione da A in B se verifica la seguente condizione:
ciascun a ∈ A è in relazione con uno ed un solo elemento
b ∈ B.
In altri termini: ciascun elemento di A compare come
primo elemento di una ed una sola coppia di f .
In tal caso, dati un elemento x di A e b ∈ B, invece che xf b
si scrive
b = f (x)
oppure
f : x 7→ b.
Es: Dati A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {5, 6, 7, 9, 11} si consideri
la relazione f da A a B:
f = {(1, 5), (2, 6), (2, 9), (3, 11), (5, 9)}.
Questa relazione non è un’applicazione. Infatti, vi sono le
seguenti due eccezioni alla proprietà della definizione:
-l’elemento 2 è in relazione con due elementi di B (compare in
due coppie);
–l’elemento 4 non è in relazione con alcun elemento di B (non
compare in alcuna coppia).
Invece
R = {(1, 5), (2, 6), (3, 11), (5, 9), (4, 9)}
è un’applicazione.
Attenzione: Il fatto che 4 e 5 corrispondano allo stesso elemento 9 di B non è vietato dalla definizione!
Per indicare che una corrispondenza f dall’insieme A all’insieme
B è un’applicazione si usa la notazione:
f : A → B.
Nota importante: Si è soliti definire un’applicazione f :
A → B stabilendo una legge che determina, in modo univoco, per ogni x ∈ A chi è f (x).
Esempio Possiamo definire un’applicazione f : Z → Z ponendo:
∀x ∈ Z f (x) := 2x
In questo caso f altri non è che la relazione
f = { (x, 2x) | x ∈ Z }.
Abbiamo ad esempio
f (−4) = −8, f : 5 7→ 10.
Esempio: La legge f : R → R data da
1
x 7→
x
non definisce un’applicazione perchè 0 non ha immagine!
Infatti, l’espressione 1/x perde di significato per x = 0.
Invece, se si sceglie come primo insieme R∗, allora si può
definire l’applicazione g : R∗ → R tale che
1
∀x ∈ R∗ g(x) = .
x
Definizione: Sia f : A → B un’applicazione. L’insieme A
è detto dominio di f , mentre l’insieme B si dice insieme di
arrivo. Dato un elemento a ∈ A, l’elemento b = f (a) di B si
dice l’immagine di a mediante f , od anche valore assunto da
f in a.
Se y ∈ B, ogni elemento x di A tale che f (x) = y si dice una
preimmagine dell’elemento y.
È importante fissare l’attenzione sui seguenti fatti:
• assegnato a ∈ A, l’immagine di a tramite f è unica;
• un elemento qualsiasi b ∈ B può avere nessuna, una o
più preimmagini in A.
Esempio: Consideriamo la funzione f : N → Q tale che
∀x ∈ N f (x) = 0.
Allora tutti gli interi sono preimmagini di 0. Se x ∈ Q e x 6= 0,
allora non esistono preimmagini di x.
In generale, una funzione f : A → B si dice costante se
esiste un bo ∈ B tale che
∀x ∈ A f (x) = bo.
Uguaglianza di applicazioni
Siano f : A → B e f 0 : A0 → B 0 due applicazioni. Allora f
ed f 0 sono uguali (si scrive come di solito f = f 0) se
• A = A0
• B = B0
• f (x) = f 0(x) per ogni x ∈ A.
Es: Consideriamo le applicazioni
f : Z → N, g : Z → Z
tali che per ogni x ∈ Z
f (x) = x2 = g(x).
Allora f e g sono diverse in quanto hanno insiemi di arrivo
diversi.
Posto A = {−1, 0, 1}, siano f, g : A → R le due applicazioni
definite dalle formule
f (x) = −x + 8, g(x) = x3 − 2x + 8 per ogni x ∈ A.
Queste funzioni hanno lo stesso dominio e lo stesso insieme di
arrivo. Inoltre
f (−1) = 9, f (0) = 8, f (1) = 7
g(−1) = 9, g(0) = 8, g(1) = 7
il che garantisce che f = g.
Si tratta cioè di due modi di descrivere la relazione:
{(−1, 9), (0, 8), (1, 7)}.
Quindi:
Attenzione: Due applicazioni possono coincidere a prescindere dall’eventuale “formulazione” della legge che descrive
l’immagine del generico elemento x del dominio.
Definizione: Data un’applicazione f : A → B, si chiama
Immagine di f il sottoinsieme di B formato da tutte le immagini f (x) al variare di x ∈ A.
In simboli:
Im(f ) = { f (x) | x ∈ A }.
Applicazioni ingettive, surgettive e bigettive
Definizione: Siano A e B insiemi non vuoti. Un’applicazione
f : A → B si dice ingettiva o ingezione se
o equivalentemente
per ogni a, a0 ∈ A, a 6= a0 implica f (a) 6= f (a0).
Pertanto un’applicazione è ingettiva se e solo se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte.
Nota: Equivalentemente, f è ingettiva se ogni elemento di B
ha nessuna o al massimo una sola preimmagine in A.
Nota importante: La proprietà di cui sopra si può anche
formulare:
per ogni a, a0 ∈ A, f (a) = f (a0) implica a = a0
Es: Dati A = {1, 2, 3} e B = {4, 5, 7, 9, 10}, l’applicazione
f : A → B tale che
f (1) = 4, f (2) = 5, f (3) = 10
è ingettiva, mentre l’applicazione g : A → B
g(1) = 4, g(2) = 5, g(3) = 4
non è ingettiva avendosi g(1) = g(3).
Es: Sia f : N → Z l’applicazione data da
f (n) = −n
per ogni n ∈ N.
f è ingettiva. Infatti, siano n, n0 ∈ N tali che f (n) = f (n0).
Allora
−n = −n0
da cui deduciamo
n = n0 .
Es: Sia f : Z → N l’applicazione tale che
f (x) = x2
per ogni x ∈ Z.
f non è ingettiva. Infatti, ad esempio, risulta f (2) = f (−2).
Esercizio:
applicazioni
Posto A = {0, 1, 2, . . . , 24}, si considerino le
f : A → Z25, g : A → Z25
tali che
f (x) = [7x]25, g(x) = [5x]25.
Stabilire se sono o non sono ingettive.
Definizione: Un’applicazione f : A → B si dice surgettiva
o surgezione se ogni b ∈ B ha almeno una preimmagine in A.
elemento a ∈ A tale che f (a) = b.
Nota: Una formulazione equivalente di questa condizione è :
Im(f ) = B.
Es: Dati A = {1, 2, 3} e B = {0, 5}, l’applicazione f : A →
B tale che
f (1) = 0, f (2) = 0, f (3) = 5
è surgettiva. Nessuna applicazione g : B → A è surgettiva,
perchè Im(g) = {g(0), g(5)} può essere costituito da al più
due elementi distinti, per cui certamente Im(f ) 6= B.
Es: Sia f : N → Z l’applicazione tale che
f (n) = −n
per ogni x ∈ N.
f non è ingettiva. Infatti, ad esempio, non esiste alcun n ∈ N
tale che f (n) = 1. Più in generale, la controimmagine f −1(x)
è vuota per tutti gli x ∈ Z tali che x > 0.
Es: Se B contiene almeno due elementi, ogni applicazione
costante A → B non è surgettiva.
Definizione: Un’applicazione si dice bigettiva o bigezione o
corrispondenza biunivoca se è contemporaneamente ingettiva e surgettiva.
Definizione: Dati due insiemi A e B, si dice che essi sono in
corrispondenza biunivoca se esiste una bigezione f : A → B.
Es: L’applicazione f : Z → Z definita da
f (x) = 4 − x
per ogni x ∈ Z
è una bigezione. Infatti: f è ingettiva perchè, per ogni x, y ∈ Z
se f (x) = f (y) allora
4−x=4−y
da cui x = y.
f è surgettiva: dato un qualsiasi y ∈ Z esiste x ∈ Z tale che
f (x) = y; infatti l’equazione
4−x=y
ha l’unica soluzione intera x = 4 − y.
Es: L’applicazione f : Q → Q definita da:
f (x) =
4
x2 + 1
per ogni x ∈ Q
non è bigettiva, anzi non è ingettiva e non è surgettiva. Infatti,
per ogni x risulta f (x) = f (−x) per cui f non è ingettiva.
Inoltre, osservato che x24+1 è un numero positivo qualunque sia
x ∈ Q, certamente f (Q) 6= Q.
BIGEZIONE INVERSA
Definizione: Sia f : A → B una bigezione.
Si chiama inversa di f l’applicazione f −1 : B → A che associa
ad ogni y ∈ B la sua unica preimmagine in A.
Quindi per ogni y in B:
f (f −1(y)) = y
Esempio: f : Q → Q definita da:
3x − 1
per ogni x ∈ Q
2
è una corrisponenza biunivoca.
f (x) =
Infatti.....
L’inversa è data da
f −1(y) =
2y + 1
.
3
Proposizione: Se f : A → B è una bigezione, anche
l’inversa lo è e l’inversa di quest’ultima è f .
Esempio: Z ed N sono in corrispondenza biunivoca:
0 1 2 3 4 ···
l l l l l
0 −1 1 −2 2 · · ·
Le bigezioni illustrate si possono esprimere in formule:
2n
se n ≥ 0
∀n ∈ Z f (n) =
2|n| − 1 se n < 0.
L’inversa f −1 : N → Z è
∀k ∈ N f
−1
(k) =
k
2
− k+1
2
se k è pari
se k è dispari.
Composizione di applicazioni
Definizione: Siano A, B e C insiemi non vuoti e siano
f : A → B e g : B → C applicazioni.
Si dice applicazione composta di f e g e si denota con g ◦ f ,
l’applicazione
g◦f :A→C
definita ponendo
(g ◦ f )(a) = g(f (a))
per ogni a ∈ A.
(∗)
Talvolta g ◦ f viene denotata con gf e chiamata applicazione
prodotto di f per g.
Es: Sia f : N → Z definita da f (x) = 2x per ogni x ∈ N, e
sia g : N → Z definita da g(x) = −x2 per ogni x ∈ N.
Allora ha senso considerare g ◦ f : Z → Z e risulta
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2x) = −(2x)2 = −4x2.
Nota: La notazione g ◦ f è corente col fatto che f è la
prima applicazione ad essere usata nel calcolare l’immagine
di un elemento di A.
Es: Consideriamo le applicazioni f : Z → Z definita da
f (x) = x2 e g : Z → Z definita da g(x) = 2 per ogni x ∈
Z. In tal caso si possono considerare entrambe le applicazioni
composte f ◦ g e g ◦ f . Risulta
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2) = 2
e
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (2) = (2)2 = 4.
Def. Dato un insieme X, la funzione identica di X è l’applicazione
iX : X → X definita come segue:
∀x ∈ X iX (x) = x.
Nota importante: Se f : X → Y è una bigezione, allora
f ◦ f −1 = idY
f −1 ◦ f = idX .
Teorema.Sia f un’applicazione. Allora sono proprietà
equivalenti:
a) f è una bigezione;
b) Esiste un’applicazione g : Y → X tale che
f ◦ g = idY
g ◦ f = idX .
Inoltre, vera a) ovvero b), risulta g = f −1.
Esercizio: Verificare che f : Q → Q definita da
f (x) = 5x − 2 per ogni x ∈ Q
è bigettiva e che l’inversa di f è g : Q → Q definita da
g(x) =
x+2
per ogni x ∈ Q.
5
Proposizione:Siano f : A → B e g : B → C applicazioni.
Sussistono le seguenti proprietà:
i) Se f e g sono ingettive, anche g ◦ f è ingettiva;
ii) Se f e g sono surgettive, anche g ◦ f è surgettiva;
iii) Se f e g sono bigettive, anche g ◦ f è bigettiva.
Dimostrazione: i) Supposto che f e g siano entrambe ingettive,
siano a, b ∈ A e supponiamo che
(g ◦ f )(a) = (g ◦ f )(b).
Vogliamo dedurne che a = b. Infatti, la relazione precedente
implica che
g(f (a)) = g(f (b)).
Quindi, per l’ingettività di g otteniamo che
f (a) = f (b)
ed utilizzando l’ingettività di f segue
a = b.
Poichè ciò vale per arbitrari elementi a, b di A resta verificato
che g ◦ f è ingettiva.
ii) Supposto che f e g siano entrambe surgettive, si vuol provare
che per ogni c ∈ C esiste a ∈ A tale che
(g ◦ f )(a) = c.
Sia quindi c ∈ C un elemento qualsiasi. Poichè g è surgettiva,
esiste b ∈ B tale che
g(b) = c.
Ora, b ∈ B e anche f è surgettiva, per cui esiste a ∈ A tale
che
f (a) = b.
Allora
(g ◦ f )(a) = g(f (a)) = g(b) = c
e quindi l’asserto.
Proposizione: Siano f : A → B e g : B → C applicazioni. Allora:
i) Se g ◦ f è ingettiva, allora f è ingettiva;
i) Se g ◦ f è surgettiva, allora g è surgettiva.
Dimostrazione: i) Supponiamo che g ◦ f sia ingettiva. Dobbiamo provare che f è ingettiva. Supposto infatti che
f (a) = f (b)
allora applicando g consegue
g(f (a)) = g(f (b))
o il che è lo stesso
(g ◦ f )(a) = (g ◦ f )(b).
Ora, poichè g ◦ f è ingettiva, da ciò segue a = b.
ii) Per ipotesi, g ◦ f sia surgettiva. Dobbiamo dedurne che per
ogni c ∈ C esiste b ∈ B tale che
g(b) = c.
Fissato dunque c ∈ C, in virtù della surgettività di g ◦f , esiste
a ∈ A tale che
(g ◦ f )(a) = c.
Questa uguaglianza si riscrive
g(f (a)) = c
e quindi l’elemento b = f (a) di B è tale che g(b) = c. 2
RELAZIONE DI EQUIVALENZA
DETERMINATA DA UN’APPLICAZIONE
Sia f : A → B un’applicazione tra due insiemi.
Essa determina in modo naturale una relazione di equivalenza Rf sull’insieme A definita come segue:
due elementi a, b ∈ A sono in relazione se e solo se f (a) =
f (b).
In simboli
aRf b ⇐⇒ f (a) = f (b).
Ogni classe di equivalenza è quindi formata da elementi aventi
tutti la medesima immagine mediante f .
Ricordiamo che l’insieme quoziente A/Rf è una partizione di
A: essa si dirà la partizione di A determinata da f (o
associata ad f ).
Esempi:
a) Consideriamo l’applicazione
f :Q→Q
tale che
f (x) = x2 + 1.
Allora si ha
xRf y ⇐⇒ x = ±y.
Quindi l’insieme quoziente Q/Rf (partizione) determinata da
f è
{{−x, x}|x ∈ Q}.
b) Data f : Z → Z9 definita da f (x) = [3x + 1]9 abbiamo
che la relazione determinata da f è la congruenza modulo 3
(perchè?).
APPLICAZIONI TRA INSIEMI FINITI.
Siano A e B due insiemi finiti.
Teorema: Siano A e B insiemi finiti. Sia B A l’insieme
delle applicazioni f : A → B. Allora
|B A| = |B||A|.
Dimostrazione: Poniamo
n := |A|, m := |B|
di modo che
A = {x1, . . . , xn},
B = {y1, . . . , ym}.
Assegnare un’applicazione f : A → B equivale a scegliere, per
ogni xi, i = 1, . . . , n un elemento yj ∈ B. Ciascuna scelta
può essere fatta in m modi diversi; quindi il numero totale
delle applicazioni da A in B è:
m
· · m} = mn = |B||A|.
| ·{z
n volte
Dati gli insiemi finiti
A = {x1, . . . , xn},
B = {y1, . . . , ym}
la generica applicazione f : A → B si può rappresentare mediante una tabella con due colonne, in cui in ogni riga sono
elencati gli elementi x1, . . . , xn di A ed in corrispondenza le
immagini f (x1), . . . , f (xn).
Esempio: L’applicazione f : {14, 7, 27, 19, 5} → {0, 1, 2, 3, 4}
definita da
f (x) = resto della divisione di x per 5
è data da
14
7
27
19
5
4
2
2
4
0
Un altro modo è quello di utilizzare una tabella in cui vengono
evidenziati i blocchi della partizione di A determinata da
f : ciascun blocco viene “etichettato” mediante l’elemento
di B immagine di ciascun elemento del blocco. Il numero di
righe è quindi pari a |f (A)|.
L’applicazione f di cui sopra corrisponde alla seguente tabella:
5
0
7 27 2
14 19 4
Teorema: Se A è un insieme finito e f : A → A, allora
f è ingettiva se e solo se è surgettiva.
Dimostrazione: Sia A = {x1, . . . , xn}. Se f è ingettiva, le
immagini
f (x1), . . . , f (xn)
sono tutte diverse, quindi sono n elementi di A. Quindi necessariamente
Im(f ) = {f (x1), . . . , f (xn)} = A
(∗)
ovvero f è surgettiva.
Viceversa, se f è surgettiva, vale la (*), quindi gli f (xi) sono
n elementi distinti; ciò significa che f è ingettiva. 2
Def. Una bigezione di un insieme finito si dice una permutazione dell’insieme.
Teorema: Siano A e B insiemi finiti, con n = |A| ed
m = |B|.
Il numero i(A, B) delle applicazioni ingettive da A in B è
dato da:
(
0
se n > m
i(A, B) =
m!
(m−n)! se n ≤ m.
La Dimostrazione procede come nel calcolo di |B A| con la differenza che non si può scegliere due volte lo stesso elemento di
B.
Corollario: Il numero delle permutazioni di un insieme
finito A è pari a
n!
dove n = |A|.
Esercizio: Posto A = {a, b, c} e B = {1, 2, . . . , 10}, stabilire quante sono le applicazioni ingettive f : A → B verificanti le condizioni seguenti:
i) f (a) > 5
ii) f (b) < f (a)
iii) f (c) = f (a) + 1.
Esercizio: Si ponga X := {a, b, c}, Y = {1, 2, . . . , 6}.
Dire, giustificando la risposta, quante sono le applicazioni ingettive f : X → Y tali che
f (c) = 1, f (a) < 4.
COEFFICIENTI BINOMIALI
Teorema:
Sia X un insieme finito. Sia n = |X| e
sia 0 ≤ k ≤ n. Allora il numero di parti di X aventi
cardinalità k è pari a
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
n
n!
=
.
:=
k!(n − k)!
k!
k
Il numero intero
n
k
si chiama coefficiente binomiale.
Esempio: Quante sottocomissioni con 3 membri si possono
formare da una commissione di 10 persone?
Nota: Per ogni n ≥ 1 e 1 ≤ k ≤ n vale la relazione:
n−1
n−1
n
+
=
.
k−1
k
k
Questa formula permette di calcolare i coefficienti binomiali
mediante il triangolo di Tartaglia.
Esercizio: Calcolare il numero delle partizioni di un insieme
A con 20 elementi, aventi 5 blocchi tutti formati da 4 elementi.
NUMERI DI BELL E DI STIRLING
Def: Il mumero di tutte le partizioni con k blocchi di un
insieme avente n elementi si denota con
S(n, k)
e si chiama numero di Stirling di indici n, k. Qui n ≥ 1 e
k ≥ 1.
Nota: Osserviamo che
S(n, 1) = S(n, n) = 1
e S(n, k) = 0 per k > n.
Teorema: I numeri di Stirling verificano la relazione ricorsiva:
S(n, k) = S(n − 1, k − 1) + k S(n − 1, k).
Esempio: Il numero delle relazioni di equivalenza R su
{a, b, c, d, e} tali che |A/R| = 3 è pari a S(5, 3) = 25.
Def: Il mumero di tutte le partizioni di un insieme avente
n ≥ 1 elementi si denota con
B(n)
e si chiama numero di Bell di indice n.
Vale la relazione
B(n) =
n
X
S(n, k).
k=1
Teorema: I numeri di Bell verificano la relazione di ricorrenza:
n X
n−1
B(n) =
B(n − i).
i
−
1
i=1
ESERCIZIO: Sia X = {1, . . . , 11}. Calcolare il numero di
relazioni di equivalenza su X verificanti le condizioni:
1) 1 R 2
2) Gli elementi che non sono in relazione con 1 sono cinque.
NUMERO DELLE APPLICAZIONI SURGETTIVE
Siano A e B due insiemi finiti, con n = |A| e |B| = m.
Osserviamo che se n < m non esistono applicazioni surgettive f : A → B.
Supponiamo quindi n ≥ m.
Teorema. Il numero delle applicazioni surgettive da A in B
è dato da
S(n, m) · m!
Dimostrazione: Per costruire una funzione surgettiva f : A →
B, si sceglie una partizione {X1, . . . , Xm} di A con m blocchi,
e si sceglie una m-pla ordinata di elementi (b1, . . . , bm) di B
tutti distinti. Quindi si definisce f ponendo
f (x) = bi se x ∈ Xi
per ogni x ∈ A.
Esempio: Scriviamo tutte le funzioni surgettive da A =
{a, b, c, d} in B = {x, y, z} tali che
f (a) = x.
Esercizio: Stabilire quante sono le applicazioni surgettive
da A = {1, 2, . . . , 6} in B = {0, 1, 2, 3} tali che
f (1) 6= f (2).
Esercizio: Si considerino gli insiemi X = {1, 2, . . . , 7} e
Y = {a, b, c}. Stabilire quante sono le applicazioni surgettive
f : X → Y verificante la condizione seguente: gli elementi di
X la cui immagine mediante f è a oppure b sono esattamente
quattro.
PROPRIETÀ DELLE PERMUTAZIONI
Studieremo le permutazioni di In = {1, 2, . . . , n}, n ≥ 1.
L’insieme di queste si denota con
Sn
e si chiama gruppo simmetrico su n oggetti.
Una permutazione si denota con una tabella (o matrice) del
tipo:
1
2
3 ··· n
f (1) f (2) f (3) · · · f (n)
Esempio: Ad esempio
1 2 3 4
3 4 2 1
è la permutazione In → In tale che
1 7→ 3, 2 7→ 4, 3 7→ 2, 4 7→ 1.
La sua inversa è :
1 2 3 4
.
4 3 1 2
Un classe importante di permutazioni è costituita dalle permutazioni cicliche:
Definizione: Una permutazione f ∈ Sn si chiama CICLO
di lunghezza s, s ≥ 1, se esistono a1, . . . , as ∈ In tali che
f (a1) = a2 f (a2) = a3 . . . . . . f (as−1) = as f (as) = a1
e
f (a) = a per tutti gli a ∈ In \ {a1, . . . , as}
In tal caso si scrive
f = (a1 a2 · · · as).
Esempio: Il ciclo di S8
(7 6 4 3)
è
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 7 3 5 4 6 8
I cicli di lunghezza 1 coincidono con la permutazione identica
I cicli di lunghezza 2 si dicono SCAMBI.
Definizione: Due cicli (a1 a2 · · · as) e (b1 b2 · · · bt) di Sn
si dicono DISGIUNTI se
{a1, . . . , as} ∩ {b1, . . . , bt} = ∅.
Nota importante: Due cicli disgiunti commutano, nel
senso che se f e g sono cicli disgiunti, allora
f ◦ g = g ◦ f.
Teorema: Ogni permutazione f ∈ Sn diversa dall’identità
o è un ciclo, o si scrive come composizione di un numero
finito di cicli a due a due disgiunti di lunghezza ≥ 2. Tale
scrittura è unica a meno dell’ordine dei fattori.
Corollario: Ogni permutazione di Sn è prodotto di scambi
(non in modo unico).
DIMOSTRAZIONE: Basta provare che ogni ciclo è prodotto
di scambi; infatti se il ciclo è (a1 a2 · · · as) ho:
(a1 a2 · · · as) = (a1 as) ◦ (a1as−1) ◦ · · · ◦ (a1a2).
Esempio: In S6 abbiamo
1 4 3 5 = 1 5 ◦ 1 3 ◦ 1 4 .
Esempio: La decomposizione in cicli disgiunti della permutazione di S5:
1 2 3 4 5
f=
3 4 5 2 1
è
f= 1 3 5 ◦ 2 4
ed una decomposizione di f in scambi è
f= 1 5 ◦ 1 3 ◦ 2 4 .
ESERCIZIO: Trovare la decomposizione in cicli disgiunti della
permutazione di S8:
1 2 3 4 5 6 7 8
f=
3 5 4 1 6 8 7 2
ed una decomposizione di f in scambi.
Ripetere l’esercizio per la permutazione composta f ◦ g dove
1 2 3 4 5 6 7 8
g=
5 4 3 1 6 7 8 2
MONOIDI
Sia X un qualsiasi insieme non vuoto.
Def.
Si chiama operazione interna (o semplicemente
operazione) su X ogni applicazione ∗ : X × X → X.
Se ∗ è un’operazione su X, la coppia (X, ∗) prende il nome di
struttura algebrica.
Dati a, b ∈ X, piuttosto che scrivere
∗(a, b)
si scrive
a ∗ b.
Esempio: Sono operazioni interne la somma + ed il prodotto
· sugli insiemi numerici N, Z, Q, R.
Esempio: Dato un insieme A, consideriamo l’insieme AA
di tutte le applicazioni A → A. Allora l’operazione di composizione ◦ è un’operazione su AA.
Esempio:
P(A):
Dato un insieme A, abbiamo le operazioni su
∩ : P(A) × P(A) → P(A) e ∪ : P(A) × P(A) → P(A)
Se X = {x1 . . . , xn} è finito, ogni operazione su X si può
descrivere mediante una tabella con n2 elementi:
e la corrispondente tabella è:
x1
x2
∗
x1
x1 ∗ x1
x1 ∗ x2
x2
x2 ∗ x1
x2 ∗ x2
...
···
···
xn−1 xn−1 ∗ x1 xn−1 ∗ x2
xn
xn ∗ x1
xn ∗ x2
···
xn−1
xn
· · · x1 ∗ xn−1
x1 ∗ xn
· · · x2 ∗ xn−1
x2 ∗ xn
···
···
···
· · · xn−1 ∗ xn−1 xn−1 ∗ xn
· · · xn ∗ xn−1
xn ∗ xn
Ad esempio, la tabella per la struttura algebrica (P({a, b}), ∩)
è :
∩
∅
{a}
{b}
{a,b}
∅ {a} {b} {a,b}
∅ ∅
∅
∅
∅ {a} ∅
{a}
∅ ∅ {b} {b}
∅ {a} {b} {a,b}
Definizione:
Un’operazione ∗ : X × X → X si dice
associativa se per ogni x, y, z ∈ X risulta
x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z.
In tal caso la struttura algebrica (X, ∗) si chiama semigruppo.
Es: (X, +) e (X, ·) sono semigruppi dove X è uno degli insiemi
numerici N, Z, Q, R.
Definizione: Si dice che una struttura algebrica è dotata di
elemento neutro se esiste un elemento u ∈ X tale che
∀x ∈ X u ∗ x = x = x ∗ u.
Proposizione: Se (X, ∗) è dotata di elemento neutro,
questo è unico.
Dimostrazione: infatti, ammettendo che e ed f siano entrambi
neutri, risulta
e = e ∗ f = f.2
Esempio: In (P(A), ∩) l’elemento neutro è l’insieme A stesso.
In (P(A), ∪) l’elemento neutro è l’insieme vuoto ∅.
Esercizio: Verificare che (Z, ∗) con
x ∗ y := x + 3y
non ha l’elemento neutro.
Definizione: Si chiama monoide ogni semigruppo dotato
di elemento neutro.
(X, +) è un monoide, essendo X è uno degli insiemi numerici
N, Z, Q, R. L’elemento neutro è 0.
(X, ·) è un monoide, essendo X è uno degli insiemi numerici
N, Z, Q, R. L’elemento neutro è 1.
Esempio:
monoide.
Infatti:
Per ogni insieme A, la struttura (AA, ◦) è un
◦ è associativa:
f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h
perchè per ogni a ∈ A:
f ◦(g◦h)(a) = f ((g◦h)(a)) = f (g(h(a))) = (f ◦g)(h(a)) = (f ◦g)◦h(a)
L’elemento neutro per ◦ è la funzione identica iA. Infatti
f ◦ iA = f = i A ◦ f
Esempio: Sono monoidi anche (P(A), ∩) e (P(A), ∪).
Definizione:
Sia (X, ∗) un monoide. Una relazione di
equivalenza R su X si dice compatibile con l’operazione
∗ se per ogni a, b, c, d ∈ X, ammesso che
aRb e cRd
segue che
(a ∗ c) R (b ∗ d).
Esempio fondamentale: Sappiamo che, per ogni n ∈ N,
la relazione di congruenza modulo n su Z è compatibile sia con
la somma che con il prodotto.
La compatibilità permette di passare al quoziente A/ R
l’operazione:
Definizione Sia (X, ∗) un monoide e sia R una relazione di
equivalenza su X compatibile con ∗. Si chiama operazione ottenuta per passaggio al quoziente l’operazione ∗ su X/ R
cosı̀ definita
[a] ∗ [b] := [a ∗ b].
Nota importante: Questa definizione ha senso solo perchè
R è compatibile con ∗!! Senza questa ipotesi, la ∗ non si può
passare al quoziente.
Teorema: Siano (X, ∗) un monoide e R una relazione di
equivalenza su X compatibile con ∗. Allora anche (X/ R , ∗)
è un monoide.
Dimostrazione: è facile verificare che l’operazione sul quoziente
è associativa, perchè è definita tramite * che lo è .
L’elemento neutro in (X/ R , ∗) è
[u]
dove u ∈ X è l’elemento neutro del monoide.2
Corollario:
Sia n ∈ N, n > 0. Sull’insieme Zn vi
sono due strutture di monoide, ottenute per passaggio al
quoziente delle operazioni di somma e prodotto di Z.
É bene ricordare che:
In (Zn, +) l’elemento neutro è [0]n
In (Zn, ·) l’elemento neutro è [1]n.
Ad esempio, la tabella che rappresenta il monoide (Z4, +) è :
+
[0]
[1]
[2]
[3]
[0]
[0]
[1]
[2]
[3]
[1]
[1]
[2]
[3]
[0]
[2]
[2]
[3]
[0]
[1]
[3]
[3]
[0]
[1]
[2]
Esercizio per casa: scrivere la tabella di (Z4, ·).
Esercizio: Stabilire quali tra le seguenti è una relazione
di equivalenza su Z e tra queste quali sono compatibili con la
somma in Z e/o col prodotto.
1) a R b ⇐⇒ 2a = b.
2) a R 0b ⇐⇒ ab = 5.
3) a R 00b ⇐⇒ |a| = |b|.
ESERCIZIO: Mostrare che (Q, ∗) con l’operazione
a ∗ b := a + b − ab
è un monoide.
ESERCIZIO: Verificare che la relazione R su Z definita da
aRb ⇐⇒ ∃m, n ∈ N t.c. 2na = 2mb
è una relazione di equivalenza compatibile col prodotto.
Definizione: Siano (X, ∗) e (Y, ♦) due monoidi.
Un’applicazione f : X → Y si dice un omomorfismo se
∀x, y ∈ X f (x ∗ y) = f (x) ♦f (y)
f (1X ) = 1Y
dove 1X è l’elemento neutro di X mentre 1Y è l’elemento neutro
di Y . Un omomorfismo bigettivo si dice un isomorfismo.
Nota: Due monoidi isomorfi rappresentano due “forme” o
“rappresentazioni” dello stesso oggetto matematico.
Esempio: L’applicazione f : (N, +) → (N, ·) definita da
f (n) = 2n
è un omomorfismo di monoidi. Non è un isomorfismo perchè
non è surgettiva.
Esercizio:
Verificare che l’applicazione f : (Q, +) →
(Q, +) definita da
5
f (x) = x
3
è un isomorfismo di monoidi.
Definizione: Siano (X, ∗) un monoide e A ⊂ X un sottoinsieme di X. Si dice che A è chiuso per ∗ se per ogni a, b ∈ A
è anche
a ∗ b ∈ A.
Se inoltre l’elemento neutro u di X appartiene ad A, A si dice
un sottomonoide.
Nota importante:
Se A è chiuso, si può considerare
l’operazione ∗ come operazione interna ad A (indotta o ereditata dall’operazione di X).
Risulta che (A, ∗) è un semigruppo.
• Se A è un sottomonoide, allora è esso stesso un monoide per
l’operazione indotta su di esso.
Esempi: L’insieme dei numeri pari è un sottomonoide di
(Z, +) ma è solo chiuso in (Z, ·).
L’insieme dei numeri dispari è un sottomonoide di (Z, ·) ma
non è neanche chiuso in (Z, +).
L’insieme delle applicazioni ingettive di un insieme A in sè
è sottomonoide di (AA, ◦).
L’insieme delle applicazioni surgettive di un insieme A in sè
è sottomonoide di (AA, ◦).
Idem per le bigezioni.
Caso particolare:
(Sn, ◦) è sottomonoide del monoide
A
(A , ◦) dove A = {1, 2, . . . , n}.
GRUPPI
Sia (X, ∗) un monoide con elemento neutro u.
Def. Un elemento a ∈ X si dice invertibile se esiste un altro
elmento x in X tale che
a ∗ x = u = x ∗ a.
In tal caso x è unico si dice l’inverso di a.
Esempio: In (Z, +) tutti gli elementi sono invertibili! Infatti
l’inverso di m ∈ Z è −m:
m + (−m) = 0 = (−m) + m.
In (Z, ·) gli unici elementi invertibili sono +1 e -1 ed entrambi
coincidono col proprio inverso.
Infatti:
ax = 1
è possibile sono se a e x sono entrambi 1 o -1.
Def. Si chiama gruppo ogni monoide nel quale tutti gli
elementi sono invertibili.
Nota importante: Sono gruppi:
(X, +) dove X è uno degli insiemi numerici Z, Q, R.
(Q∗, ·) e (R∗, ·) dove ∗ indica l’insieme privato di 0.
DUE ESEMPI IMPORTANTI
1) (Zn, +) è un gruppo.
Infatti, sappiamo già che è un monoide, ottenuto come monoide
quoziente di (Z, +) con elemento neutro [0]n.
Per ogni elemento [a]n di Zn, l’inverso è dato da [−a]n. Infatti
[a]n + [−a]n = [a − a]n = [0]n = [−a]n + [a]n.
2) (Sn, ◦) è un gruppo.
Sappiamo che è un monoide, con elemento neutro la permutazione identica Id.
L’elemento inverso di una permutazione f ∈ Sn è la sua
bigezione inversa f −1 perchè, come sappiamo, si ha:
f ◦ f −1 = Id = f −1 ◦ f.
Attenzione: Il monoide (Zn, ·) non è un gruppo! L’elemento
[0]n non è invertibile!
Esercizio: Chi è l’inverso di [8]10 in (Z10, +)? E l’inverso di
[45]10?
Notazione per i gruppi: Dato un gruppo (G, +) la cui
operazione è denotata con notazione additiva, si usano le
seguenti convenzioni:
L’elemento neutro si denota con 0
L’inverso di a ∈ X si denota con −a.
Dato un gruppo (G, ·) la cui operazione è denotata con notazione moltiplicativa, si usano le seguenti convenzioni:
L’elemento neutro si denota con 1
L’inverso di a ∈ X si denota con a−1.
Definizione: Un gruppo (G, ∗) si dice abeliano se l’operazione
∗ gode della proprietà commutativa:
∀a, b ∈ G a ∗ b = b ∗ a.
Esempi:
abeliani.
I gruppi (X, +) dove X = Z, Q, R sono tutti
I gruppi (Q∗, ·) e (R∗, ·) sono abeliani.
I gruppi (Zn, +) sono tutti abeliani.
Il gruppo (Sn, ◦) non è abeliano.
Esercizio: Sia (G, ·) un gruppo e sia x ∈ G. Se a1, . . . , an
sono elementi distinti di G, allora anche
x · a1, . . . , x · an
sono elementi distinti.
Esempio: Il gruppo di Klein è il gruppo con 4 elementi
1, a, b, c la cui operazione · è data dalla tabella
·
1
a
b
c
1
1
a
b
c
a
a
1
c
b
b
b
c
1
a
c
c
b
a
1
Osserviamo che 1 è l’elemento neutro, che
a2 = b 2 = c 2 = 1
e che il prodotto di due elementi distinti entrambi diversi da 1
è il rimanente elemento diverso da 1.
Questo gruppo è abeliano. Si denota con K4.
OMOMORFISMI
Def: Siano (G, ·) e (H, ∗) due gruppi.
Un omomorfismo di G in H è un’applicazione f : G → H
tale che
∀x, y ∈ G f (x · y) = f (x) ∗ f (y).
Un isomorfismo tra G e H è un omomorfismo bigettivo.
Un isomorfismo di un gruppo G su se stesso si chiama automorfismo di G.
TeoremaSia f : (G, ·) → (H, ·) un omomorfismo di gruppi.
Allora si ha
1) f (1G) = 1H
2) Per ogni x ∈ G si ha f (x−1) = f (x)−1.
1) Segue dall’identità
1G · 1G = 1G
applicando f ad ambo i membri.
2) segue dall’identità
x · x−1 = 1G = x−1 · x
applicando f ad ambo i membri.
Prodotto Diretto di Gruppi
Siano (G, ·) e (H, ∗) due gruppi.
Il prodotto cartesiano G × H può essere munito in modo naturale di una struttura di gruppo la cui operazione è la seguente:
(a, x)(b, y) := (a · b, x ∗ y) ∀a, b ∈ G ∀x, y ∈ H.
Questo gruppo si chiama PRODOTTO DIRETTO di G e H.
Verifica che è un gruppo:
-L’associatività dell’operazione è conseguenza del fatto che · e
∗ sono associative.
-L’elemento neutro è (uG, uH ).
-L’inverso di (a, x) ∈ G × H è (a−1, x−1).
Se G e H sono due gruppi abeliani si usa la notazione G ⊕ H
per il loro prodotto diretto.
Esempio: L’opposto di ([2]5, [3]7) in Z5 ⊕ Z7 è ....
Esercizio:
Z2 ⊕ Z2.
Provare che il gruppo di Klein K4 è isomorfo a
GRUPPO DEGLI AUTOMORFISMI
Dato un gruppo G, un automorfismo di G → G é un isomorfismo di G su sé stesso.
L’insieme degli automorfismi si denota con Aut(G).
Poichè la composizione f ◦ g : G → G di due automorfismi è
ancora un automoorfismo (cosa di semplice verifica!), ed anche
l’inverso f −1 di un automorfismo è ancora un automorfismo,
si ottiene che (Aut(G), ◦) è un gruppo.
SOTTOGRUPPI
Sia (G, ·) un gruppo. Un sottoinsieme non vuoto H ⊂ G si
dice un sottogruppo se:
i) H è un sottomonoide;
ii) Per ogni x ∈ H risulta x−1 ∈ H.
Notiamo che in tal caso, H è esso stesso un gruppo, rispetto
all’operazione indotta da G.
Esempi: L’insieme dei numeri pari è un sottogruppo di (Z, +)
Per stabilire se un sottoinsieme H ⊂ G è un sottogruppo, è
utile il seguente criterio:
Teorema:Siano (G, ·) un gruppo e H ⊂ G un sottoinsieme
non vuoto. Allora H è sottogruppo di G se e solo se per
ogni a, b ∈ H risulta
a · b−1 ∈ H.
Esempio: Verificare che H = {[0]6, [2]6, [4]6} è sottogruppo
di (Z6, +).
Esempio: Se H e K sono sottogruppi di G, allora anche
H ∩ K lo è .
Esercizio: Posto G = Z × Z , si consideri l’operazione su G
definita come segue:
(a, b) ∗ (c, d) := (a + c, (−1)c b + d).
1) Provare che (G, ∗) è un gruppo.
2) Posto H = { (a, 0) | a ∈ Z } e K = { (1, b) | b ∈ Z },
stabilire se H e K sono sottogruppi di (G, ∗).
ESERCIZIO: Si consideri il seguente sottoinsieme H di S4:
H = {Id, (1 2)(3 4), (13)(24), (1 4)(2 3)}.
Verificare che H è un sottogruppo di S4, e individuare tre
sottogruppi distinti di H.
GRUPPO ALTERNO An
Sappiamo che ogni elemento del gruppo simmetrico (Sn◦) si
scrive come prodotto di scambi (=cicli di lunghezza 2).
Teorema: Le rappresentazioni di ogni f ∈ Sn come prodotto
di scambi hanno tutte un numero pari o tutte un numero
dispari di fattori.
Ad esempio, la permutazione di S7
f = (13)(12)(45)(67)
si può anche scrivere
f = (13)(12)(67)(23)(45)(32)
In entrambi casi ho un numero pari di scambi, ed f non si
può scrivere come prodotto di un numero dispari di scambi.
Def: Una permutazione f ∈ Sn si dice di classe pari (risp.
dispari) se si scrive come prodotto di un numero pari (risp.
dispari) trasposizioni.
Si pone
An := { permutazioni pari di Sn}
Teorema: An è sottogruppo di Sn.
Dimostrazione: è un esercizio.
Il gruppo (An, ◦) si chiama Gruppo Alterno di grado n.
Teorema:
|An| =
n!
2
=
|Sn |
2
Dimostrazione: Supponiamo che
An = {f1, . . . , fm}
e che
Sn − An = {permutazioni dispari} ={g1, . . . , gs}
Si tratta di provare che m = s.
Sia t un qualunque scambio. Allora
f1t, · · · , fmt
sono m permutazioni dispari distinte. Quindi
s ≥ m.
D’altra parte
g1t, . . . , gst
sono s permutazioni pari distinte.
Quindi
m ≥ s.
Concludiamo che s = m2.
TEOREMA DI LAGRANGE
Sia (G, ·) un gruppo finito e sia n := |G|.
n si chiama ordine del gruppo.
L’ordine di un gruppo e l’ordine dei suoi sottogruppi sono correlati secondo il seguente risultato:
Teorema (Lagrange) Se H è un sottogruppo di G, allora
l’ordine di H divide l’ordine di G.
Dimostrazione: Poniamo s := |H|. Dobbiamo provare che
s|n, ovvero che n è multiplo di s. Posto H = {a1, . . . , as},
per ogni x ∈ G, l’insieme
xH = {xa1, . . . , xas}
ha s elementi. Si può dimostrare che gli insiemi xH al variare
di x in G costituiscono una partizione di G. Siccome ciascun
blocco ha ordine s, segue che
|G| = sk
dove k é il numero dei blocchi.2
Corollario: Se (G, ·) è un gruppo finito il cui ordine è un
numero primo, gli unici sottogruppi sono quelli banali {1}
e G.
POTENZE
Sia (G, ·) un gruppo e sia a ∈ G.
Per ogni m ∈ N∗ si pone
am = a
| · a{z· · · a}
m volte
mentre per m = 0 si pone
a0 = 1.
Se m ∈ Z con m < 0 allora, per definizione:
am = (a−1)|m|.
Teorema:Siano (G, ·) un gruppo, a ∈ G ed n, m numeri
interi. Allora
am · an = an+m.
(am)n = am·n.
Proposizione: Siano a, b elementi di un gruppo (G, ·). Se
ab = ba, allora risulta
(ab)n = an · bn
per ogni n ∈ Z.
Attenzione: Questa proprietà non è valida se ab 6= ba.
Def: Un gruppo si dice abeliano se per ogni a, b ∈ G si ha
ab = ba.
Esercizio: Sia (G, ·) un gruppo e siano x, y ∈ G tali che
x · y = y · x.
Provare per induzione su n che
xn · y = y · xn
per ogni n ∈ N.
Nota importante: In un gruppo G la cui operazione è denotata con +, la potenza di un elemento
an
prende il nome di multiplo secondo n di a e si denota con
na.
Quindi, cambiando opportunamente la simobologia, se m ∈ N,
m > 0:
ma = a
· · · + a}
| + a{z
m volte
mentre per m = 0
0a = 0.
Se m ∈ Z con m < 0 allora, per definizione:
ma = |m| (−a).
Esempio: Chi è in Z9 il multiplo (−31)[6]9?
SOTTOGRUPPO GENERATO DA UN ELEMENTO
Siano (G, ·) un gruppo e a ∈ G.
Si pone
< a >:= { am | m ∈ Z }
Cioè < a > è l’insieme di tutte le potenze di a.
Proposizione: < a > è un sottogruppo di G. Si chiama
sottogruppo generato da a.
Dimostrazione: infatti date due potenze ah e ak allora
(ah) · (ak )−1 = ah−k
quindi < a > soddisfa il criterio enunciato in precedenza per
determinare i sottogruppi.
Nota: Se a = 1 allora < a >= {1}.
Nota: < a > contiene sempre gli elementi 1 ed a.
Esempio: In (Z, +) abbiamo
< 1 >=< −1 >= Z
< 2 >= {numeri pari }.
In (Q∗, ·):
< −1 >= {1, −1} <
1
>=< 3 >= { 3k | k ∈ Z }.
3
ORDINE DI UN ELEMENTO
Siano (G, ·) un gruppo e a ∈ G.
Diremo che a ha periodo (o ordine) finito se il sottogruppo
< a > è finito. L’ordine di < a > si denota con o(a).
Se < a > è infinito (questo può accadere solo se G lo è ), si
dice che a ha periodo infinito. Si scrive o(a) = ∞.
Quindi, ad esempio in (Q∗, ·) abbiamo o(−1) = 2, mentre
o(3) = ∞.
Il significato dell’ordine è dato dal seguente teorema:
Teorema:
1) Se a ha periodo infinito, allora tutte le potenze di a sono
distinte tra loro.
2) Se a ha periodo finito, allora si ha:
< a >= {1, a, a2, . . . , an−1}
dove n = o(a).
Inoltre le potenze di a si ripetono secondo il seguente schema:
as = at ⇐⇒ s ≡n t.
In particolare, n = o(a) è il più piccolo intero positivo tale
che
an = 1.
Nota: In ogni gruppo l’elemento neutro ha periodo 1 ed è
l’unico di elemento di periodo 1.
Osservazione importante: Se o(a) = n allora l’inverso di
a è an−1. Infatti,
an−1 · a = an = 1 = an−1 · a.
Esempio: Se o(a) = 5 allora
a−3 = a2, a18 = a3.
Esempio: Calcoliamo o([3]6) in Z6 ....
Proposizione: Se o(a) = n, il periodo di una sua potenza
ak è
n
o(ak ) =
.
M CD(n, k)
Infatti, detto x il periodo di ak , esso è il piú piccolo intero
positivo tale che
(ak )x = 1.
Per le proprietà delle potenze, ció equivale a
akx = 1.
Quindi
kx ≡ 0 mod n.
Da qui ricaviamo, per la legge di cancellazione nelle congruenze:
n
x ≡ 0 mod
.
M CD(k, n)
n
La più piccola soluzione positiva è quindi M CD(k,n)
2
ESEMPI
In (Zn, +):
• Il periodo di [m]n è
n
M CD(m,n)
In (Sn, ◦):
• Il periodo di f ∈ Sn è il m.c.m delle lunghezze dei cicli
disgiunti in cui f si decompone.
In un prodotto diretto G × H:
∀(g, h) ∈ G × H o((g, h)) = m.c.m(o(g), o(h)).
Esempio: Calcolare il periodo di a := [10]15 e il sottogruppo
generato da a in Z15.
Esercizio: Determinare tutti gli elementi di Z12 aventi periodo 4. Vi sono elementi di periodo 5?
Esempio: L’inverso di (2768) in S8 è ....
Teorema: Se (G, ·) è finito, allora per ogni a ∈ G l’ordine
di a è un divisore dell’ordine di G.
Dim: Si tratta di un corollario del Teorema di Lagrange!
Teorema di Fermat astratto: Sia (G, ·) un gruppo finito
di ordine k. Allora per ogni elemento x di G si ha
xk = 1.
Dimostrazione: Posto n := o(x), abbiamo che n|k ovvero k ≡n
0 e quindi
xk = x0 = 1.2
Esempio:
Se |G| è un numero primo p, allora tutti gli
elementi diversi da 1 hanno periodo p.
Esercizio: Provare che S7 non ha sottogruppi di ordine 11,
e determinare due diversi sottogruppi di S7 di ordine 5, determinandone tutti gli elementi.
Esercizio: Dimostrare che l’unico elemento di A5 tale che
f 7 = Id è la permutazione identica Id.
GRUPPI CICLICI
Def: Un gruppo (G, ·) si dice ciclico se vi è un elemento
a ∈ G tale che
G =< a > .
In tal caso, a si dice un generatore di G.
N.B: Se G è finito, dire che a è generatore significa che
o(a) = |G|. In tal caso:
G = {1, a, a2, . . . , an−1}.
Esempi fondamentali:
• (Z, +) è ciclico e ha due soli generatori: +1 e -1.
• Tutti i gruppi (Zn, +) sono ciclici e ammettono come generatori [1]n e tutte le classi [a]n dove
M CD(a, n) = 1.
Ciò segue dalla formula per il periodo in Zn.
• Ogni gruppo finito G di ordine p con p primo è ciclico:
sono generatori tutti gli elementi diversi da 1.
• In ogni gruppo G, dato a ∈ G, il sottogruppo < a > è un
gruppo ciclico, con generatori a e a−1.
Esempio:
fatti,
Il gruppo di Klein {1, a, b, c} non è ciclico. Ino(a) = o(b) = o(c) = 2 6= 4.
Esempio: Z8 è ciclico con generatori [1]8, [3]8, [5]8 e [7]8.
Esercizio: Dire quali dei seguenti gruppi sono ciclici:
Z2 ⊕ Z5, Z4 ⊕ Z4.
Esercizio: Provare che il sottoinsieme H di S5
H = {Id, (15)(34), (1453), (1354)}
è un sottogruppo ciclico di S5. Provare inoltre che il sottoinsieme
K = {Id, (1467), (1647), (16)(47), (17)(46)}
non è un sottogruppo di S7.
FUNZIONE DI EULERO
Sia (G, ·) un gruppo ciclico finito di ordine n con generatore
a. Dunque
G = {1, a, a2, . . . , an−1}
Teorema: I generatori di G sono tutte e sole le potenze ak
con M CD(k, n) = 1.
Dim: É sufficiente applicare la formula o(ak ) =
n
M CD(n,k) .
Quindi il numero dei generatori è il numero degli interi k
positivi, minori di n e primi con n.
Tale numero si denota con ϕ(n). Resta definita una funzione
ϕ : N∗ → N
che prende il nome di funzione di Eulero.
Es: ϕ(8) = 4.
Nota la scomposizione di n in fattori primi, il calcolo di ϕ(n)
è agevolato dalle seguenti proprietà della funzione ϕ:
Proposizione:
1) Se p è un primo, allora ϕ(pk ) = pk − pk−1.
2) Se n = a1 · · · an con gli ai a due a due primi tra loro,
allora ϕ(n) = ϕ(a1) · · · ϕ(an).
Esempio: Calcoliamo ϕ(18) = ϕ(32)·ϕ(2) = (9−3)·1 = 6.
Esercizio: Un gruppo G contiene un elemento g di periodo
90. Calcolare il periodo di h = g −82 ed il numero dei generatori
di < h >.
Esercizio: Determinare tutti i generatori di < f > dove f è
la permutazione di S9:
f = (246)(93).
Quanti sono i generatori di < f 4 >?
SOTTOGRUPPI DI GRUPPI CICLICI
Il seguente teorema permette facilmente di determinare tutti i
sottogruppi di un gruppo ciclico.
Teorema: sia (G, ·) un gruppo ciclico. Allora
1) Tutti i sottogruppi di G sono ciclici.
2) Se G è finito, allora per ogni divisore di n = |G| vi è
uno ed un solo sottogruppo di G di ordine k.
3) Se G è infinito, ogni sottogruppo di G diverso da {1} è
infinito.
Esempio: Z5 ha solo due sottogruppi: {[0]5} e Z5.
Esercizio: Determinare tutti i sottogruppi di Z8.
Esercizio: Determinare tutti i sottogruppi di < f > dove
f è la permutazione di S6 data da
1 2 3 4 5 6
f=
1 5 4 6 2 3
Esercizio: Determinare il sottogruppo K di Z90 di ordine
6, tutti i generatori di K e tutti i sottogruppi di K.
Omomorfismi G → H con G ciclico
Siano G un gruppo ciclico ed H un gruppo qualsiasi.
Fissiamo un generatore g di G.
Teorema. 1) Se f : G → H è un omomorfismo, allora
Im(f ) =< f (g) > .
2) Se G è finito, anche Im(f ) lo è e l’ordine di Im(f )
divide l’ordine di G.
Dimostrazione:
1) Per ipotesi G =< g >, cioè
G = {g k | k ∈ Z}.
Segue
Im(f ) = f (G) = f ({g k | k ∈ Z}) =
= {f (g k ) | k ∈ Z} = {f (g)k | k ∈ Z} =
=< f (g) > .
2) Chiaramente Im(f ) è finito. Posto k = |G| abbiamo:
g k = 1G ⇒ f (g k ) = f (1G) ⇒ f (g)k = 1H
per cui, per una nota proprietà del periodo di un elemento, k
è un multiplo del periodo di f (g).2
COSTRUZIONE DI OMOMORFISMI
Siano ancora G =< g > gruppo ciclico e H gruppo qualsiasi.
Teorema:
1) Se G è infinito, dato un qualunque elemento y di H
esiste uno ed un solo omomorfismo f : G → H tale che
f (g) = y.
Tutti gli omomorfismi G → H si ottengono in questo modo
a partire dalla scelta di un elemento di H.
2) Se G è finito e k := |G|, dato un qualunque elemento
y di H il cui periodo è finito e divide k, esiste uno ed
un solo omomorfismo f : G → H tale che
f (g) = y.
(∗)
Tutti gli omomorfismi G → H si ottengono in questo modo
a partire dalla scelta di un elemento di H il cui periodo
divide k.
Dimostrazione: In entrambi i casi l’applicazione f si definisce
ponendo
f (g k ) = y k .2
Nota importante: Se G ed H sono entrambi finiti, l’ omomorfismo definito dalla condizione (*) è :
surgettivo se e solo se o(y) = |H|
ingettivo se e solo se o(y) = |G|.
L’omomorfismo costante x ∈ G → 1H si ottiene sempre in
corrispondenza di y = 1H (l’unico elemento di periodo 1 in
H).
Esempio: Vi sono esattamente 4 omomorfismi Z → K4
dove K4 = {1, a, b, c} è il gruppo di Klein. Essi sono determinati da
f1(1) = 1, f2(1) = a, f3(1) = b, f4(1) = c.
Abbiamo, ad esempio:
f3(7) = b7 = b
e
f4(8) = c8 = 1.
Nessuno di questi è ingettivo (ovviamente!), e nessuno è surgettivo.
L’applicazione f2 si puó rappresentare mediante la seguente
tabella:
[0]2 1
[1]2 a
Si osservi che Im(f ) =< a >= {1, a}.
Esempio: L’unico omomorfismo Z5 → K4 è quello costante,
perchè tutti gli elementi di K4 diversi da 1 hanno periodo 2
che non divide 5 = |Z5|.
Vi sono invece quattro omomorfismi Z4 → K4:
0 1 2 3 1
Esempio:
da
0 2 1
1 3 a
0 2 1
1 3 b
0 2 1
1 3 c
Vi sono infiniti omomorfismi fm : Z → Z, dati
fm(1) = m
al variare di m ∈ Z.
Ad esempio, f11 : Z → Z è l’applicazione definita da
f11(n) = n · 11.
Poichè gli unici generatori di Z sono 1 e −1, gli unici tra questi
ad essere surgettivi sono f1 e f−1.
Tranne f0 che è l’omomorfismo costante di valore 0, gli fm
sono tuti ingettivi.
Esempio: Vi è un solo omomorfismo Zn → Z che è quello
costante
f ([a]) = 0 ∀[a] ∈ Zn.
Infatti, 0 è l’unico elemento di periodo finito di Z.
Esempio: Gli omomorfismi Z4 → Z4 sono i seguenti:
0 1 2 3 0
0
1
2
3
0
1
2
3
0 2 0
1 3 2
0
1
2
3
0
3
2
1
Il primo è l’omomorfismo costante, il secondo è la funzione
identica, che si ottiene in corrispondenza di y = 1 in accordo
col Teorema di cui sopra (nel caso in esame g = 1).
Il terzo corrisponde alla scelta di y = 2 in accordo con il Teorema precedente, ed ha immagine < 2 >= {0, 2}.
L’ultimo corrisponde invece alla scelta di y = 3 ed è surgettivo, ovvero ha per immagine tutto il gruppo Z4 perchè 3 è
generatore di Z4. Tale omomorfismo è anzi un isomorfismo.
GRUPPO AU T (G) CON G CICLICO
Dato un gruppo G gli isomorfismi G → G si chiamano automorfismi. L’insieme di tali automorfismi si denota con
Aut(G).
Nota importante: Se G è finito, Aut(G) è un sottogruppo
di Sn.
Nel caso ciclico si ha:
Gli automorfismi di un gruppo ciclico G di ordine n
sono ϕ(n).
Infatti se ne puó costruire uno per ciascun generatore di G.
Ad esempio,gli automorfismi di Z8 sono quattro: essi sono
deteminati da
f1([1]8) = [1]8, f2([1]8) = [3]8, f3([1]8) = [5]8, f4([1]8) = [7]8.
Ciascuno di questi è una permutazione su 8 oggetti, ovvero è
un elemento di S8.
Il gruppo (Aut(Z8), ◦) costituisce quindi un sottogruppo di S8
di ordine 4.
Esercizio: Determinare l’omomorfismo
f : Z → Z3
tale che
f (5) = f (2) = [1]3.
Dire se f è surgettivo e/o ingettivo. Calcolare tutte le preimmagini di [0]3, di [1]3 e di [2]3.
Esercizio:
a) Stabilire quanti sono gli omomorfismi Z18 → Z12. Stabilire
se ve ne sono di surgettivi.
b) Determinare gli omomorfismi surgettivi Z18 → Z6 tali che
[2]18 7→ [4]6.
Esercizio: Sia g ∈ S6 la permutazione g = (123)(456).
Dato l’omomorfismo f : Z9 → S6 tale che
f ([8]9) = g
a) Calcolare f ([12]9)
b) Determinare Im(f ).
CLASSIFICAZIONE DEI GRUPPI CICLICI
Teorema: 1) Ogni gruppo ciclico infinito è isomorfo a Z.
2) Ogni gruppo ciclico finito è isomorfo a Zn dove n è
l’ordine del gruppo.
Dimostrazione: Fissiamo un generatore g di G.
Caso 1): un isomorfismo f : Z → G si ottiene considerando
l’omomorfismo tale che
f (1) = g.
Si osservi che: f è ingettivo perchè le potenze g n sono tutte
distinte.
Caso 2): un isomorfismo f : Zn → G è l’omomorfismo tale
che
f ([1]n) = g.
In entrambi i casi, f è surgettivo perchè g è generatore:
Im(f ) =< g >= G.2
Esercizio: Verificare che il gruppo (Aut(Z5), ◦) degli automorfismi di Z5 è isomorfo a Z4.
ANELLI
Def: Si chiama Anello ogni struttura algebrica (A, +, ·)
consistente di un insieme A e di due operazioni su A verificanti
le seguenti condizioni:
a) (A, +) è un gruppo abeliano.
b) (A, ·) è un monoide.
c) Valgono le proprietà distributive del prodotto rispetto
alla somma: per ogni a, b, c ∈ A
(a + b) · c = a · c + b · c
c · (a + b) = c · a + c · b.
Se (A, +, ·) è un anello, l’elemento neutro del gruppo soggiacente (A, +) si denota con 0 e si chiama zero dell’anello
A. L’elemento neutro del monoide (A, ·) si denota con 1 e si
chiama unità dell’anello A.
Def: Un anello (A, +, ·) si dice commutativo se l’operazione
· è commutativa.
Esempi: • Un anello banale è A = {0} dove
0 + 0 := 0, 0 · 0 = 0
(in questo caso 0 = 1 ).
• Sono anelli gli insiemi numerici (X, +, ·) dove X = Z, Q, R
e +, · sono le usuali operazioni di somma e prodotto.
• Per ogni n ∈ N, (Zn, +, ·) è un anello. Qui + e · sono al
solito le operazioni ottenute per passaggio al quoziente dalle
corrispondenti operazioni di Z.
ESEMPIO: ANELLO DEGLI ENDOMORFISMI
DI UN GRUPPO ABELIANO
Una tipologia importante di anelli è la seguente:
sia (G, +) un gruppo abeliano. Denotiamo con End(G) l’insieme
degli omomorfismi f : G → G. Questi prendono il nome di
endomorfismi del gruppo G.
Possiamo dotare End(G) di una struttura di anello, definendo
le due operazioni + e · come segue:
• La somma di due endomorfismi f e g è definita da
f +g :G→G
tale che
(f + g)(x) := f (x) + g(x)
N.B: L’operazione che figura al secondo membro è quella di G!
• · è l’operazione ◦ di composizione di applicazioni.
Lo zero dell’anello (End(G), +, ·) è l’endomorfismo costante
G → G:
x 7→ 0
L’unità è l’automorfismo identico Id : G → G:
x 7→ x.
Esercizio per casa: Verificare le proprietà distributive!!
Esempio: L’anello End(Z6) ha 6 elementi che sono tutti gli
endomorfismi Z6 → Z6:
0
1
2
1=
3
4
5
0= 0 1 2 3 4 5 0
0 2 4 0
g=
1 3 5 3
0
1
2
3
4
5
0 3 0
h= 1 4 4
2 5 2
0 3 0
f= 1 4 2
2 5 4
0
1
2
i=
3
4
5
0
5
4
3
2
1
Si osservi ad esempio che valgono le relazioni seguenti:
−g = g
f + h = 0,
f +g =i
f · g = 0, g · f = 0
h·i=f
i2 = 1
LEGAME TRA SOMMA E PRODOTTO
Sia (A, +, ·) un anello. La proposizione seguente fornisce le relazioni fondamentali tra la somma e il prodotto che si deducono
dagli assiomi a), b) e c):
Proposizione:
1) Tranne che nel caso banale A = {0}, si ha 0 6= 1.
2) Per ogni a, b ∈ A si ha
a · 0 = 0 = 0 · a.
a · (−b) = −(a · b) = (−a) · b.
3) Per ogni n ∈ N e a, b ∈ A:
(na) · b = n(a · b) = a · (nb).
A titolo di esempio, proviamo la prima delle 2):
a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0
da cui si può semplificare, ottenendo
a · 0 = 0.
Questa semplificazione è possibile perchè (A, +) è un gruppo.
ELEMENTI INVERTIBILI
Sia (A, +, ·) un anello. Nel seguito porremo
A∗ = {a ∈ A | a 6= 0}.
Def: Un elemento a ∈ A si dice invertibile o unitario
se è invertibile rispetto al prodotto. Ciò significa che esiste
a0 ∈ A tale che
a · a0 = 1 = a0 · a.
In tal caso, a0 è unico e si chiama l’inverso di a; viene denotato con il simbolo a−1.
Esempio: Nell’anello Z gli unici elementi invertibili sono 1 e
−1.
Negli anelli Q e R sono invertibili tutti gli elementi diversi
da zero.
Osservazione: Tranne che nell’anello banale {0} si ha:
a invertibile ⇒ a 6= 0.
Esempio: In Z6, l’elemento [5]6 è invertibile con inverso se
stesso.
Def: L’insieme di tutti gli elementi unitari si denota con U (A).
Proposizione:U (A) è un sottomonoide di (A, ·) e (U (A), ·)
è un gruppo.
Dimostrazione: L’unità 1 ∈ U (A) ammettendo se stesso come
inverso. Si deve poi verificare che, se a, b ∈ U (A) anche il loro
prodotto a · b è invertibile. Infatti ha come inverso b−1 · a−1.
Teorema: Nell’anello Zn, un elemento [a]n è invertibile
se e solo se M CD(a, n) = 1. Quindi il gruppo U (Zn) ha
ordine ϕ(n).
Dimostrazione: L’invertibilità di [a] si traduce nell’esistenza di
[x] ∈ Zn tale che
[a] · [x] = [1]
cioè , per com’è definito il prodotto in Zn:
[ax] = [1]
Questa relazione, per il significato di classe di equivalenza, vuol
dire
ax ≡ 1 mod n.
Sappiamo che questa congruenza ha soluzione (unica modulo
n) se e solo se M CD(a, n) = 1.2
Dunque questo Teorema afferma che U (Zn) coincide con l’insieme
dei generatori del gruppo ciclico (Zn, +).
Esempio: Se p è un numero primo, allora tutti gli elementi diversi da zero in Zp sono invertibili.
Dunque in questo caso: U (Zp) = Z∗p .
Esercizio:
1) Stabilire se il gruppo U (Z8) è ciclico.
2) Calcolare il periodo di 9 in U (Z11).
Esempio: Nell’anello End(Zn), gli elementi invertibili sono
gli automorfismi del gruppo (Zn, +). Ad esempio in End(Z6)
essi sono due e corrispondono ai generatori di [1] e [5].
IL TEOREMA DI FERMAT-EULERO
Come applicazione del Teorema precedente si ottiene il seguente:
Teorema (Fermat-Eulero)Siano n ∈ N, n 6= 0 ed a un
intero primo con n. Allora
aϕ(n) ≡ 1 mod n.
Dimostrazione: Se a è primo con n, allora [a]n ∈ U (Zn).
D’altra parte sappiamo che il gruppo U (Zn) ha ordine ϕ(n).
Quindi applicando il Teorema di Fermat astratto:
([a]n)ϕ(n) = [1]n.
Ma ciò vuol dire esattamente che
aϕ(n) ≡ 1 mod n.2
Come caso particolare si ottiene il piccolo Teorema di Fermat:
Teorema Sia p > 0 un numero primo e a un intero non
divisibile per p. Allora si ha:
ap−1 ≡ 1 (mod p).
Infatti in questo caso ϕ(p) = p − 1.
Corollario:Per ogni primo p e per ogni intero a si ha
ap ≡ a mod p.
Dimostrazione: Se a è multiplo di p è ovvio essendo a ≡p 0.
Altrimenti, si ottiene dal Piccolo Teorema di Fermat moltiplicando ambo i membri per a2.
Nota importante: Il piccolo Teorema di Fermat ci dà un
modo per calcolare [a]−1 dove [a] ∈ U (Zn). Infatti otteniamo
[a]−1 = [aϕ(n)−1].
Esempio: L’inverso di [9] in Z11 è [99] = [5].
Alternativamente, per trovare [a]−1, si risolve la congruenza
ax ≡ 1 mod n.
DIVISORI DELLO ZERO
Sia (A, +, ·) un anello.
Def: Un elemento a ∈ A si dice divisore dello zero se a 6= 0
ed esiste b ∈ A, b 6= 0, tale che
a · b = 0 oppure b · a = 0.
Esempio: In Z6 abbiamo che [2] è divisore dello zero avendosi
[2] · [3] = [0].
Proposizione: Se a ∈ A è divisore dello zero, allora a
non è invertibile.
Infatti, per ipotesi abbiamo ad esempio a · b = 0 con b 6= 0. Se
a fosse invertibile, moltiplicando per a−1 si otterrebbe
a−1 · ab = a−1 · 0
e quindi
b=0
il che è una contraddizione.
Il viceversa non è vero in generale! Ad esempio, in Z, abbiamo che 3 non è invertibile, ma non è divisore dello zero.
Nel caso finito però :
Teorema:Sia A un anello commutativo e finito. Allora
un elemento a 6= 0 è divisore dello zero se e solo se non è
invertibile.
Quindi in Zn i divisori dello zero sono esattamente le classi [a]n
tali che a 6= 0 e M CD(a, n) 6= 1.
Proposizione:
Un anello (A, +, ·) è privo di divisori
dello zero se e soltanto se in esso valgono le seguenti leggi
di cancellazione rispetto al prodotto:
ax = ay, a 6= 0 ⇒ x = y
xa = ya, a 6= 0 ⇒ x = y.
Dimostrazione: esercizio per casa!
Esercizio: Stabilire che End(Z7) è privo di divisori dello
zero.
SOTTOANELLI
Sia (A, +, ·) un anello e sia S un sottoinsieme non vuoto di A.
Def: Diremo che S è un sottoanello di A se
i) S è un sottogruppo di (A, +);
ii) S è un sottomonoide di (A, ·).
In tal caso anche (S, +·) è un anello! (Le proprietà distributive
vengono ereditate da A.)
Nota importante: Per il criterio di caratterizzazione dei
sottogruppi, queste condizioni equivalgono alle seguente:
i’) Per ogni a, b ∈ S a − b ∈ S.
ii) Per ogni a, b ∈ S, a · b ∈ S;
iii) 1 ∈ S.
h
| h, k ∈ Z }
Esercizio per casa: Verificare che S = { 2k+1
è un sottoanello di Q.
CORPI E CAMPI
Def: Si chiama corpo ogni anello (A, +, ·) nel quale tutti
gli elementi diversi da zero sono invertibili. In altri termini, A
corpo significa che
U (A) = A∗
dove A∗ = { a ∈ A | a 6= 0 }.
Un corpo commutativo si chiama campo.
Esempi: Sono campi Q ed R.
Attenzione: Z non è un campo!
Dall’analisi fatta in precedenza sugli elementi invertibili di Zn
segue:
Teorema:L’anello Zn è un campo se e solo se n è un numero primo.
Dimostrazione: infatti, sappiamo che U (Zn) contiene ϕ(n) elementi. Dunque U (Zn) = Z∗n se e solo se ϕ(n) = n − 1 ovvero
n è primo.2
Un importante risultato è il seguente:
Teorema di Weddeburn:Ogni corpo finito è un campo.
Esercizio: Si consideri il sottogruppo ciclico S :=< [4] > di
(Z28, +). Mostrare che S non è sottoanello di Z28, ma che S è
comunque stabile per il prodotto.
Provare poi che con le operazioni indotte da Zn, (S, +, ·) è un
campo, la cui unità è diversa da [1].
TEOREMA DELL’ELEMENTO PRIMITIVO
Il seguenti risultato è notevole:
Teorema:Sia (K, +, ·) un campo. Sia H un sottogruppo
finito del gruppo U (K) = K∗. Allora H è ciclico.
In particolare:
Corollario:Per ogni campo finito K, il gruppo K∗ è ciclico.
Quindi per ogni primo p, il gruppo (Z∗p , ·) è un gruppo ciclico.
Se K è un campo finito, ogni generatore di K∗ si chiama un
elemento primitivo del campo.
Attenzione: In generale, U (Zn) può non essere ciclico!
Esempio: Un elemento primitivo di Z11 è [2]. Infatti, [2] ha
periodo 10 perchè
[2]2 = [4], [2]5 = [6].
(ricordarsi che il periodo di un elemento di Z∗11 può essere solo
1,2,5 o 10)
In generale, non si conosce alcuna formula per calcolare un
elemento primitivo in Zp.
È stato dimostrato che [2] è primitivo nei campi Zp dove
p = 4q + 1 q primo .
POLINOMI
Sia (A, +, ·) un anello commutativo, A 6= {0}.
Def: Un polinomio a coefficienti in A è un’espressione della
forma
p = a0 + a1x + · · · + anxn
dove a0, a1, . . . , an sono elementi di A e x è un simbolo formale,
detto indeterminata.
Def: Se p = a0 + a1x + · · · + anxn con an 6= 0, si dice che p ha
grado n. Il coefficiente an si chiama coefficiente direttivo
di p.
Se an = 1, il polinomio si dice monico.
Esempio: p = a0 con a0 ∈ A∗ è un polinomio di grado
zero.
Un tale polinomio si dice costante.
Il polinomio p = x + x3 ha grado 3.
• Si conviene che lo zero 0 è l’unico polinomio di grado -1.
Il grado di un polinomio p si denota con gr(p) oppure con
deg(p).
L’ANELLO A[X]
L’insieme di tutti i polinomi nell’indeterminata x si denota con
A[x].
Su A[x] si definiscono le operazioni interne di somma e prodotto,
utilizzando le corrispondenti operazioni di A:
Def: Dati p = a0 +a1x+· · ·+anxn e q = b0 +a1x+· · ·+anxn
con an 6= 0, con n ≤ m. La somma p + q è il polinomio
p+q := (a0+b0)+(a1+b1) x+· · ·+(an+bn) xn+bn+1xn+1+· · ·+bmxm.
Se m ≤ n, la definizione è analoga.
Il prodotto p · q è il polinomio:
p·q := (a0b0)+(a0b1+a1b0) x+· · ·+(
X
aibj ) xk +· · ·+anbmxn+m.
i+j=k
Proposizione: (A[x], +, ·) è un anello commutativo, contenente A come sottoanello, costituito dai polinomi di grado
≤ 0.
Proposizione: Siano p, q ∈ A[x]. Allora:
i) gr(p + q) ≤ max{gr(p), gr(q)}.
ii)
gr(p · q) ≤ gr(p) + gr(q).
iii) Se A è privo di divisori dello zero, allora:
gr(p · q) = gr(p) + gr(q).
In ii) può non valere l’uguaglianza, se A ha divisori dello zero:
ad esempio, con p = 2x3 + 1 e q = 2x in Z4[x] abbiamo
p · q = 2x
e quindi gr(pq) 6= gr(p) + gr(q).
Proposizione: Se A è privo di divisori dello zero, allora
a) Anche A[x] è privo di divisori dello zero.
b) U (A[x]) = U (A).
Dimostraziome:
a) Se pq = 0, allora otteniamo per la iii):
gr(p) + gr(q) = −1
e quindi uno dei due polinomi ha grado -1, l’altro ha grado
zero. Concludiamo che p = 0 oppure q = 0.
La dimostrazione di b) è simile.2
DIVISIONE
Sia K un campo.
Nell’anello K[x] si può sviluppare un’aritmetica simile a quella
di Z.
Teorema:Siano a, b ∈ K[x] con b 6= 0. Esistono e sono
univocamente determinati due polinomi q ed r tali che
a = bq + r e gr(r) < gr(b).
I polinomi q ed r sono detti rispettivamnte il quoziente
ed il resto della divisione di a per b.
L’algoritmo per effettuare la divisione è perfettamente analogo
a quello che si utilizza in Z.
Esempio: Se gr(a) < gr(b), allora q = 0 e r = a.
Esempio: Calcolare il quoziente ed il resto della divisione
di a = x4 − 2x3 + x − 1 per b = 3x3 − 5 in Q[x].
Ripetere l’esercizio per a = x5 − x2 e b = x − 1.
Esercizio: Calcolare in Z5[x] il quoziente ed il resto della
divisione di a = x3 + x2 + 3x + 1 per b = x2 − 2.
Ripetere l’esercizio considerando i polinomi a = x4 + x2 + 1 e
b = 3x3 − 2 di Z7[x].
MASSIMO COMUN DIVISORE
Sia K un campo.
Definizione. Dati due polinomi a e b in K[x], si dice che b
divide a e si scrive
b|a
se esiste un polinomio q ∈ K[x] tale che
a = bq.
Se b|a, si dice anche che a è un multiplo di b oppure che a è
divisibile per b.
Definizione. Siano a e b elementi di K[x]. Si dice massimo
comun divisore di a e b ogni polinomio d ∈ K[x] che soddisfi
le condizioni seguenti:
i) d è divisore comune di a e b: d|a e d|b;
ii) Se c è un divisore comune di a e b, allora c|d.
Teorema (Esistenza di un massimo comun divisore) Se a
e b sono polinomi entrambi non nulli, esiste un massimo
comun divisore di a e b. Inoltre esistono due polinomi
s, t ∈ K[x] tali che
d = sa + tb.
Nota importante: L’algoritmo delle divisioni successive è
applicabile anche in K[x]!
Riguardo l’unicità del massimo comun divisore si ha:
Teorema:Siano a, b ∈ K[x]∗ e sia d un massimo comun
divisore tra a e b.
Allora tutti e soli i massimi comun divisori sono i polinomi
d0 = c · d
dove c è una costante non nulla.
Conseguenza: Vi è un solo massimo comun divisore monico che si denota con M CD(a, b).
Nota: Due polinomi f e g si dicono associati se
f =c·g
dove c ∈ K∗ è una costante non nulla.
Ogni polinomio f 6= 0 è associato ad un unico polinomio
monico.
Esercizio: Calcolare in Z5[x]:
M CD(x6 + 4x5 − 12x + 1, x3 + 4x + 1).
Esercizio: Esprimere il M CD(a, b) nella forma sa + tb, essendo a = x3 + x2 + 1 e b = 3x2 + 2x + 2 in Z5[x].
CONGRUENZE
Siano K[x] un campo e p ∈ K[x], p 6= 0.
Def: Si dice che due polinomi f, g ∈ K[x] sono congrui
modulo p e si scrive
f ≡ g mod p
se p|(f − g).
Nota importante: Come nel caso di Z, la condizione
f ≡ g mod p
è equivalente a
r = r0
dove r (risp. r0) è il resto della divisione di f (risp. di g) per
p.
Teorema:La relazione di congruenza modulo p è una relazione di equivalenza compatibile con la somma ed il prodotto
di K[x].
L’insieme quoziente K[x]/ ≡p si denota con K[x]/(p). Esso
ha una struttura di anello, le cui operazioni sono ottenute
dalla somma e dal prodotto di K[x] per passaggio al quoziente.
Quindi
[f ] + [g] := [f + g], [f ] · [g] := [f g].
Lo zero di K[x]/(p) è [0] = { hp | h ∈ K[x] }
L’unità di K[x]/(p) è [1] = { 1 + hp | h ∈ K[x] }.
Teorema: Sia p ∈ K[x], p 6= 0. La congruenza
af ≡ b mod p
nell’incognita f ha soluzioni se e solo se M CD(a, p)|b.
Il metodo risolutivo è formalmente identico a quello valido in
Z: si utilizza l’identità di Bezout!
Esercizio: Risolvere, se possibile, le congruenze in Q[x]:
(x3 − 1) f ≡ (x4 − x3 + x − 1) mod (x2 − 1).
x9f ≡ 1 mod (x2 + 1)
ed in Z3[x]:
(2x + 1) f ≡ x2 + x + 1 mod (x4 + 1).
POLINOMI IRRIDUCIBILI
Def: Un polinomio a ∈ K[x] di grado n > 0 si dice irriducibile se ammette come divisori solo le costanti e i polinomi ka con k ∈ K∗.
Atrimenti a si dice riducibile.
Esempio: Ogni polinomio di grado 1 è irriducibile.
Esempio: Il polinomio x2 + 1 è irriducibile in R[x].
Invece, lo stesso polinomio in Z2[x] è riducibile:
x2 + 1 = (x + 1)(x + 1).
Teorema (di fattorizzazione unica): Ogni polinomio
non costante f ∈ K[x] può essere scritto come il prodotto
di un numero finito di polinomi irriducibli (non necessariamente distinti). Tale fattorizzazione è essenzialmente
unica nel senso che, se
f = p 1 · p 2 · · · p s e f = q1 · q2 · · · qt
dove i polinomi pi (1 ≤ i ≤ s) e qj (1 ≤ j ≤ t) sono
irriducibili, allora s = t ed a meno di riordinare i fattori
si ha
p 1 = k 1 · q1 , p 2 = k 2 · q2 , . . . , p s = k s · qs
dove i ki ∈ K∗ sono costanti.
RADICI DI UN POLINOMIO
Siano K un campo e p ∈ K[x] un polinomio
p = a0 + a1 x + · · · + an x n .
Def: La funzione polinomiale di p è l’applicazione
K→K
tale che:
α 7→ a0 + a1α + · · · + anαn.
Il valore che questa funzione assume in un elemento α ∈ K si
denota con p(α).
Attenzione: p e la funzione α 7→ p(α) non sono la stessa
cosa!
Def: Dato p ∈ K[x] e α ∈ K, si dice che α è una radice di
p o uno zero di p se
p(α) = 0.
Esempio: 1 è una radice del polinomio 1+x3 di Z2[x] mentre
0 non lo è .
√
2
Esempio:
Le radici del polinomio x − 2 di R[x] sono 2 e
√
− 2. Lo stesso polinomio, considerato come elemento di Q[x]
non ha radici.
Teorema (di Ruffini) Siano p ∈ K[x] e α ∈ K. Allora α
è una radice di p se e solo se (x − α)|p.
Dimostrazione:
Se (x − α)|p, allora
p = (x − α) · q
con q ∈ K[x]. Allora
p(α) = (α − α) · q(α) = 0.
Viceversa, si assuma che α sia radice di p.
Dividendo p per x − α otteniamo
p = (x − α) · q + r
con gr(r) ≤ 0. Quindi r ∈ K. Segue che
0 = p(α) = r(α) = r
e quindi x − α divide p.2
Corollario:Se p ∈ K[x] di grado ≥ 2 ha almeno una
radice, allora è riducibile.
Attenzione: Il viceversa è falso!
Il polinomio (x2 + 1)(x2 + 3) di Q[x] non ha radici, però è
riducibile!
Osservazione utile: Un polinomio p ∈ K[x] di grado ≤ 3
è riducibile se e solo se ha almeno una radice.
Teorema:Un polinomio di grado d ≥ 0 in K[x] possiede al
massimo d radici distinte.
Dimostrazione: si fa facilmente per induzione sul grado d, utilizzando il Teorema di Ruffini.
Corollario (principio di identità ) Siano f, g ∈ K[x] di
grado ≤ n. Se esistono n + 1 elementi di K tali che
f (αi) = g(αi)
allora f = g.
Infatti, f − g ha grado al massimo n ma ha n + 1 radici, e
quindi è il polinomio nullo.
Esercizio: Stabilire se il polinomio f = x5 +x2 +1 è riducibile
in Z2[x].
RADICI DI POLINOMI IN Q
Sia f = a0 + a1x + · · · anxn un polinomio di grado n > 0 di
Q[x].
Allo scopo di determinare le radici di f oppure di stabilire se
f è irriducibile, si può supporre che i coefficienti ai siano tutti
interi.
Infatti, f è associato al polinomio g dato da
g = mf
dove g è a coefficienti in Z ed m è il m.c.m dei denominatori
dei coefficienti ai.
Ad esempio: f = 1 + 32 x − 32 x2 è associato al polinomio a
coefficienti interi g = 6 + 4x − 9x2.
Proposizione: Se z = ab è una radice di f con M CD(a, b) =
1, allora
a|a0 e b|an.
Questo fatto implica che per cercare le radici di f occorre solo
un numero finito di tentativi.
Nota: Se f è monico, allora le radici sono tutte in Z.
Esercizio: Determinare, se esistono, le radici in Q del polinomio f = 2x3 − 3x2 + 2x − 3 e di g = x4 + x3 + 3x2 + 2x + 2.
DUE CRITERI DI IRRIDUCIBILITÀ IN Q[X]
Teorema di Eisenstein Sia f = a0 + a1x + · · · + anxn un
polinomio di grado n > 0 a coefficienti in Z. Se esiste un
primo p tale che
p|ai per i = 0, . . . , n − 1 e p 6 |an, p2 6 |ao
allora f è irriducibile in Q[x].
Ad esempio, per ogni n ≥ 1 abbiamo che xn − 2 è irriducibile
in Q[x].
Esempio: Verificare che 2x5 − 3x4 + 15x2 − 3x + 30 è irriducibile in Q[x].
Attenzione: Il criterio dà solo una condizione sufficiente per
l’irriducibilità !
Ad esempio, x2 + 1 è irriducibile, ma ciò non è conseguenza
del teorema.
Un altro metodo consiste nel ridursi al problema in qualche
campo finito Zn:
Teorema: Sia f = a0 + a1x + · · · + anxn un polinomio di
grado n > 0 a coefficienti in Z. Sia p un numero primo che
non divide an. Se il polinomio f¯ = [a0]+[a1]x+· · ·+[an]xn
di Zp[x] è irriducibile, allora f è irriducibile in Q[x].
Esercizio: Stabilire che il polinomio f = x5 + x4 + 2x3 +
3x2 − x + 5 di Q[x] è irriducibile.
Nota importante: Esistono polinomi f ∈ Q[x] irriducibili,
che tuttavia sono riducibili in tutti i campi finiti Zp.
Ad esempio, si dimostra che
Teorema: Per ogni primo p, ogni polinomio del tipo
x4 + ax2 + b2
con a, b ∈ Z è riducibile in Zp[x].
Allo scopo di provare l’irriducibilità di un polinomio di Q[x]
senza ricorrere alla riduzione modulo p, si può far uso del
seguente:
Lemma di Gauss:
supponga che
Sia f ∈ Q[x] a coefficienti interi. Si
f = pq
con p, q ∈ Q[x]. Allora esistono p1 e q1 a coefficienti interi
tali che
f = p 1 q1 .
Esercizio: Si provi che il polinomio
f = x4 + 2x2 + 4
è irriducibile in Q[x].
COSTRUZIONE DI CAMPI
Siano K un campo e p ∈ K[x].
Teorema: p è irriducibile se e soltanto se
K[x]/(p)
è un campo.
Dimostrazione: Sappiamo già che K[x]/(p) è un anello commutativo.
Supponiamo p irriducibile. Sia [a] un elemento non nullo di
K[x]/(p). Dobbiamo provare che esso è invertibile.
Possiamo supporre 0 ≤ deg(a) < deg(p). Allora
M CD(a, p) = 1.
Quindi la congruenza
af ≡ 1 mod p
nell’incognita f ∈ K[x] ha sempre una soluzione f . Quindi [f ]
è l’inverso di [a]. Pertanto K[x]/(p) è un campo.
Viceversa, se K[x]/(p) è un campo, per ogni polinomio non
nullo a con deg(a) < deg(p) la congruenza precedente ha
soluzione, e quindi M CD(a, p) = 1. Pertanto gli unici divisori di p non costanti sono cp con c ∈ K∗.2
Def:Se p ∈ K[x] è irriducibile, il campo K[x]/(p) si chiama
una estensione semplice di K.
Un caso rilevante: K = Zp con p > 0 numero primo.
Se q ∈ Zp[x] è irriducibile di grado n, l’estensione semplice
Zp[x]/(q) è un campo finito con pn elementi.
Infatti, le classi di equivalenza distinte [a] sono tante quanti
sono i polinomi di Zp[x] di grado < n.2
Perchè si chiama estensione semplice:
• Il campo K si può riguardare come sottocampo di K[x]/(p).
Ciò si ottiene identificando ogni costante a ∈ K con la corrispondente classe [a] modulo p.
• Il polinomio p, visto come polinomio in K[x]/(p), ha sempre almeno una radice, data dall’elemento z = [x]. In
particolare, p risulta riducibile nell’estensione.
Infatti, se p = a0 + a1x + · · · + anxn allora
p ≡ 0 mod p
e quindi
[a0 + a1x + · · · + anxn] = [0]
cioè , per come sono definite le operazioni sulle classi:
[a0] + [a1][x] + · · · + [an][x]n = 0
ovvero
[a0] + [a1]z + · · · + [an]z n = 0.
Esempio: Il campo dei numeri complessi.
Si consideri il campo C = R[x]/(x2 + 1).
Si ponga
i = [x]
Identificando ogni polinomio costante a ∈ R con [a], otteniamo
che
i) R è sottocampo di C;
ii) Il polinomio x2 + 1 ha in C le radici i e −i.
Ogni elemento di C è quindi della forma
a + bi a, b ∈ R.
Nella pratica, la somma e il prodotto tra due numeri complessi
si effettuano utilizzando le proprietà dei campi, semplificando
le espressioni mediante la condizione
i2 = −1.
Esempio: (2 + i)(3 − i) = 6 − 2i + 3i − i2 = 7 + i.
Esercizio: a) Calcolare il periodo dell’elemento i nel gruppo
C∗ .
b) Risolvere nel campo C l’equazione
(1 + 2i) · z = 5.
Esercizio:
1) Stabilire che l’anello K = Z2[x]/(x3 + x + 1) è un campo.
Dire quanti elementi ha K.
2) Verificare che [x] è un elemento primitivo di K.
3) Determinare il periodo dell’elemento [x2 + 1] nel gruppo
(K∗, ·).
4) Calcolare [x2 + x] · [x + 1]−1.
Esercizio: a) Stabilire che l’anello
K = Z2[x]/(x4 + x + 1)
è un campo
b) Dire quanti sono gli elementi di K;
c) Verificare che [x] è un elemento primitivo di K;
d) Calcolare [x3 + x]−1.
e) Determinare tutti i sottogruppi di K∗.
Esercizio: a) Determinare gli elementi primitivi del campo
K = Z3[x]/(x2 + 1).
b) Dire da quanti elementi è costituito il gruppo Aut(K∗) e
stabilire se si tratta di un gruppo ciclico.
c) Detto f l’endomorfismo del gruppo K∗ tale che
f ([x + 1]) = [2x]
calcolare f ([x]).
Esercizio: Dato il polinomio a coefficienti in Z7
p = x3 + ax2 + 5x + 3
stabilire per quali dei valori a = 4, a = 5 di a ∈ Z7 l’anello
Z7/(p) è un campo. In tale campo si calcoli l’inverso di [x + 2].
Per a = 0, stabilire quali tra gli elementi [x] e [x − 2] sono
divisori dello zero nell’anello Z7/(p).
OMOMORFISMI E ISOMORFISMI
Siano (A, +, ·) e (B, +, ·) due anelli.
Un omomorfismo da A in B è un’applicazione f : A → B tale
che
∀x, y ∈ A f (x + y) = f (x) + f (y).
∀x, y ∈ A f (x · y) = f (x) · f (y).
f (1A) = 1B .
Un isomorfismo tra A e B è un omomorfismo bigettivo.
Se esso esiste , A e B si dicono isomorfi e si scrive
A∼
= B.
Al solito, se A = B si parla di endomorfismi e di automorfismi.
Esempio: L’unico endomorfismo dell’anello Z è l’indentità :
x 7→ x.
Infatti, ogni endomorfismo f : Z → Z è determinato da
f (1)
essendo (Z, +) ciclico con generatore 1.....
Esempio: Il campo K[x]/(x) è isomorfo a K.
Un isomorfismo è l’applicazione
a ∈ K 7→ [a] ∈ K[x]/(x).
LA CLASSIFICAZIONE DEI CAMPI FINITI
Il Teorema seguente afferma che le estensioni semplici Zp/(q)
sono, a meno di isomorfismo, tutti e soli i campi finiti:
Teorema: Sia K un campo finito.
1) K ha pn elementi, con p > 0 primo e n > 0.
2) Esiste un polinomio irriducibile q in Zp[x] di grado n,
tale che
K∼
= Zp[x]/(q).
Viceversa, dato un numero della forma pn esiste, a meno
di isomorfismo, uno ed un solo campo con pn elementi.
Esempio: I campi con n ≤ 16 elementi sono
Z2
2
3
Z3
4 Z2[x]/(x2 + x + 1)
5
Z5
6
nessuno
7
Z7
8 Z2[x]/(x3 + x + 1)
9
Z3[x]/(x2 + 1)
10
nessuno
11
Z11
12
nessuno
13
Z13
14
nessuno
15
nessuno
16 Z2[x]/(x4 + x + 1).
Esercizio: Verificare che il campo di ordine 8 si può anche
rappresentare come Z2[x]/(x3 + x2 + 1).
a) Quali sono gli elementi primitivi?
b) Determinare l’inverso di [x2 + 1] senza risolvere una congruenza.
Esercizio: Verificare che [x] è un elemento primitivo del
campo Z3[x]/(x2 + x + 2), e determinare tutti gli elementi
primitivi.
COSTRUZIONE DI CAMPI DI ORDINE P 2
Un principio utile per la costruzione di campi è il seguente:
Proposizione: Se p è un primo tale che
p ≡ 3 mod 4
allora x2 + 1 è irriducibile in Zp.
Quindi Zp[x]/(x2 + 1) è un campo con p2 elementi.
Infatti, è sufficiente verificare che il polinomio q = x2 + 1 non
ha radici in Zp (e quindi è irriducibile, avendo grado 2).
Se α ∈ Zp fosse una radice di q si avrebbe
α2 ≡ −1 mod p
e quindi α sarebbe un elemento di periodo 4 in Z∗p , da cui
4|(p − 1)
ovvero
p ≡ 1 mod 4
contro l’ipotesi.
Esercizio: Costruire un campo K con 49 elementi. Determinare i sottogruppi di K∗ di ordine 3, di ordine 4 e di ordine
12.
Esercizio: Si consideri il sottogruppo S =< 5 > di Z30.
1) Verificare che il semigruppo (S, · ) è un monoide.
2) Dire se l’anello (S, +, · ) è un campo.

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