Riccardo Colamatteo
Matematica
volume primo: spazi numerici e geometrici,
trasformazioni lineari, Octave, LATEX.
Riccardo Colamatteo
“Matematica - Volume Primo”
Proprietà letteraria riservata
© Riccardo Colamatteo
© Kion Editrice, Terni
Prima Edizione aprile 2014
ISBN: 978-88-97355-59-5
Copertina: progetto grafico dell'autore
Stampa: Universal Book, Rende (CS)
www.kioneditrice.it
[email protected]
INDICE BREVE
1
2
3
4
5
Spazi numerici ordinati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1
Teoria degli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2
Naturali, interi assoluti e calcolo combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.3
Interi relativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.4
Razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.5
Reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Geometria e spazio numerico complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.1
Elementi d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.2
Strutture algebriche classiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
2.3
Geometria analitica elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.4
Goniometria e trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
2.5
Prodotti scalare, vettoriale e misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
2.6
Spazio numerico complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
Trasformazioni lineari e teoria dei grafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
3.1
Applicazioni lineari dirette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
3.2
Equazioni lineari e sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
3.3
Applicazioni lineari inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
3.4
Teoria dei grafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
3.5
Riducibilità di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
Octave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.1
Scalari, vettori, matrici, polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117
4.2
Operatori e funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
120
4.3
Grafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
LAT
EX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.1
Semplici documenti di testo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
5.2
Composizione matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144
5.3
Grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
150
5.4
Formattazione avanzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
Alfabeto greco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
1
I N D I C E D E T TA G L I AT O
1
Spazi numerici ordinati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Teoria degli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1
1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.1.4
1.1.5
1.1.6
1.1.7
1.1.8
1.2
Insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Relazioni, applicazioni, operatori . . . . . . . . . .
Enti numerici e logici . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quantificatori, connettivi, implicazioni . . . . . .
Operatori logici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Proprietà di relazioni, applicazioni, operatori .
Equivalenze ed ordinamenti . . . . . . . . . . . . . .
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Naturali, interi assoluti e calcolo combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Rappresentazione con la virgola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Razionali periodici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calcolo di radici a mano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Equazioni algebriche di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grafi di funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Applicazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
1.2.8
1.2.9
1.2.10
1.2.11
1.2.12
1.2.13
1.4.1
1.4.2
1.4.3
1.5
1.5.1
1.5.2
1.5.3
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3
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17
Razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.7
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16
1.4
1.2.6
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12
27
1.2.5
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9
10
Interi relativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4
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9
1.3
1.2.3
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9
17
1.2.2
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7
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1.2.1
Insieme dei naturali secondo Peano . . . . . . . . . . . . . .
Somma e sommazione in + . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Proprietà formali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Interi assoluti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Asse numerico naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Differenze in
.............................
Prodotto e produttoria in
....................
Quozienti in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elevamento a potenza in
....................
Radici e logaritmi in
.......................
Numeri primi e teorema fondamentale dell’aritmetica
Massimo comun divisore e minimo comune multiplo
Calcolo combinatorio e binomio di Newton . . . . . . . .
7
17
18
18
19
19
19
20
20
21
21
22
22
30
32
36
36
2
Geometria e spazio numerico complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Elementi d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.1
.
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39
Strutture algebriche classiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.4
2.1.5
2.1.6
2.2
2.2.6
2.2.7
2.2.8
2.2.9
2.3.6
2.3.7
2.4
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2.6.1
2.6.2
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4
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41
41
43
45
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46
47
47
48
48
49
49
49
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51
51
52
54
55
57
76
2.5.3
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Forma trigonometrica dei numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Somma e prodotto in
.......................................
2.5.2
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75
2.5.1
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Spazio numerico complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.8
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72
2.4.7
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2.4.6
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Prodotto scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prodotto vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prodotto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.5
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Prodotti scalare, vettoriale e misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4
Misura degli angoli . . . . . . . . . . . . . . .
Angoli tra rette incidenti . . . . . . . . . . .
Angoli interni ad un triangolo . . . . . . .
Seno, coseno, tangente e cotangente . . .
Periodicità, simmetrie e traslazioni . . . .
Funzioni iperboliche . . . . . . . . . . . . . .
Relazioni trigonometriche . . . . . . . . . .
Coordinate polari, cilindriche e sferiche
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2.4.3
2.6
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2.4.1
2.4.2
2.5
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59
2.3.5
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Goniometria e trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4
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51
2.3.3
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2.3.1
2.3.2
Luoghi geometrici . . . . . . . .
Norme e metriche numerate
Topologia . . . . . . . . . . . . . . .
Le rette . . . . . . . . . . . . . . . .
I piani . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le coniche . . . . . . . . . . . . . .
Le quadriche . . . . . . . . . . . .
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51
2.2.5
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Geometria analitica elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4
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46
2.2.3
Spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reticoli ed algebre di Boole . . . . . . . . . .
Gruppoidi, semigruppi, monoidi, gruppi
Anelloidi, semianelli, anelli, corpi, campi
Spazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spazi normati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spazi euclidei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spazi affini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Algebre lineari e di Lie . . . . . . . . . . . . .
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2.2.1
2.2.2
2.3
Le 23 definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I 5 postulati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I 5 assiomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I 48 teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geometria analitica e teorema di Pitagora
5° postulato e geometrie non euclidee . . .
62
63
64
67
67
68
70
72
73
76
78
Trasformazioni lineari e teoria dei grafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
Applicazioni lineari dirette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
2.6.5
3
�
Quozienti in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elevamento a potenza, radice e logaritmo di un numero complesso . . . . . .
Spazi hermitiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3
2.6.4
3.1
81
Equazioni lineari e sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
3.1.2
3.1.3
3.1.4
3.1.5
3.1.6
3.1.7
3.2
3.3
3.4
3.5
3.5.4
.
.
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.
Autodirezioni, autovettori ed autovalori . . . . . . . . . .
Equazioni algebriche non lineari in forma matriciale
Localizzazione degli autovalori . . . . . . . . . . . . . . . .
Forma canonica di Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
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82
84
86
87
88
88
108
3.5.3
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Riducibilità di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1
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105
3.5.2
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Grafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rappresentazione matriciale di un grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1
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105
3.4.2
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Teoria dei grafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2
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101
3.3.1
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101
3.2.6
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Rappresentazione algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrici inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5
.
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.
Applicazioni lineari inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4
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90
3.2.3
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3.2.1
3.2.2
Equazioni algebriche lineari . . . . . . .
Sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . .
Risoluzione geometrica . . . . . . . . . .
Risoluzione algebrica: i determinanti
Metodo di sostituzione . . . . . . . . . .
Metodo di Gauss - Jordan . . . . . . . .
.
.
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79
.
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3.1.1
Caratterizzazione delle applicazioni lineari dirette . . . . . .
Applicazioni lineari dirette in rappresentazione algebrica
Matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Applicazioni lineari dirette in rappresentazione matriciale
Somma tra applicazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prodotto d’una applicazione lineare per uno scalare . . . .
Prodotto di composizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
.
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90
91
93
98
99
102
107
108
112
112
114
4
Octave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.1
Scalari, vettori, matrici, polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117
Operatori e funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
120
4.1.2
4.1.3
4.1.4
4.2
5
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117
118
119
125
4.2.4
.
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Grafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3
.
.
.
.
.
.
.
.
120
4.2.2
Operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funzioni matematiche predefinite
Definizione di funzioni . . . . . . . .
Funzioni di controllo . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
4.2.1
4.3
Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Variabili: definizione ed assegnazione
Vettori e matrici . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117
.
.
.
.
4.1.1
121
122
123
LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.1
Semplici documenti di testo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Composizione matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144
Ambienti matematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Font matematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ambiente ����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144
Grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1
Inserimento di immagini esterne con �������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2
Inserimento di grafici esterni con ������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
150
5.1.3
5.1.4
5.1.5
5.1.6
5.1.7
5.1.8
5.2.1
5.2.2
5.2.3
5.3
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133
134
135
136
137
137
138
148
149
150
150
Contenuti grafici inusuali: gli scacchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
150
Formattazione avanzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
5.3.3
5.4
.
.
.
.
.
.
.
.
130
130
5.1.2
5.2
Struttura minimale di un documento LATEX
Inserimento del testo . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rappresentazione del testo . . . . . . . . . . . .
Titolo, autore e data . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sezionamento di un documento ed indici .
Liste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tabelle, tavole e riferimenti . . . . . . . . . . . .
Annotazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
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.
.
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5.1.1
5.4.1
5.4.2
5.4.3
5.4.4
Ri-definizione dei comandi . . .
Modifica dei margini di pagina
Numerazione delle pagine . . . .
Contenuti condizionati . . . . . . .
.
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153
153
153
153
Alfabeto greco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6
1
S PA Z I N U M E R I C I O R D I N AT I
Vedi [1]
1.1 Teoria degli insiemi
1.1.1 Insiemi
Chiamiamo insieme, classe, famiglia, gruppo o spazio ciascuna collezione di enti
generici detti elementi, membri, oggetti o punti. Distinguiamo tra spazi finiti od
infiniti a seconda sia possibile o meno definire finito il numero degli elementi ad essi
appartenenti; lo spazio privo di elementi è detto insieme vuoto ∅, e lo spazio di tutti
gli elementi insieme universo U. Un insieme è conosciuto quando risulta possibile
definire con certezza se un dato elemento vi appartiene o meno.
Per soli insiemi finiti possiamo semplicemente elencare i termini componenti, e
quindi servirci di una rappresentazione per estensione grazie a scritture del genere S = { a, b, c, d}; tra parentesi graffe indichiamo insiemi non ordinati, dunque
tali che { a, b, c, d} = {b, a, d, c}, e tra tonde insiemi ordinati, quindi per i quali
( a, b, c, d) �= (b, a, d, c); la rappresentazione di un insieme ordinato nasce considerando l’insieme delle parti componenti l’insieme, e quindi ponendo ( a, b, c, d) =
{{ a} , { a, b} , { a, b, c} , { a, b, c, d}}.
Alla rappresentazione per estensione si affianca una rappresentazione grafica, detta di Eulero-Venn, formata da cerchi o generiche poligonali chiuse rappresentanti gli
insiemi che contengono al loro interno punti introdotti ad indicare i membri dell’insieme stesso; nelle figg. 1 e 2 sono ad esempio date le rappresentazioni di Eulero-Venn
degli spazi non ordinato S = { a, b, c, d} ed ordinato S = ( a, b, c, d).
1.1.2 Relazioni, applicazioni, operatori
Non potendosi di certo formare nella pratica scritte infinitamente lunghe o grafi con
infiniti distinguibili punti, ricerchiamo un qualsiasi modo per rappresentare spazi ad
infiniti elementi.
Definiamo corrispondenza, relazione o legge ciascun modo � per associare tra
loro due o più enti generici dati x, y, z, . . ., e quindi equivalentemente lo spazio delle
varie ennuple d’elementi in relazione. Ciascuna relazione fissata tra enti matematici
7
a
b
c
d
S
Figura 1: Insieme non ordinato in rappresentazione
di Eulero-Venn.
a
c
b
d
S
Figura 2: Insieme ordinato in rappresentazione di
Eulero-Venn.
dati costituisce una proposizione, o predicato, di quello che è il linguaggio matematico; al fine di rendere questo quale linguaggio della necessità e sufficienza, ci
serviremo di soli predicati veri oppure falsi. Scriviamo quindi � ( x, y, z, . . .) per indi�
care che l’ennupla data verifica la relazione; all’opposto scriviamo �
� ( x, y, z, . . . ) se gli
elementi dati non verificano la relazione proposta. Si noti che le ennuple in relazione
risultano ordinate, e quindi le scritture � ( x, y, z, . . .) e � (y, x, z, . . .) non sono equivalenti. Grazie alle relazioni possiamo rappresentare compiutamente spazi infiniti; a
/, dimotale fine introduciamo le relazioni di appartenenza ∈ e non appartenenza ∈
doché una scrittura del genere x ∈ S sancisca l’appartenenza dell’elemento x allo
spazio S, e viceversa x ∈
/ S ne chiarisca la non appartenenza. Servendoci delle relazione di appartenenza possiamo inoltre dare un’ulteriore rappresentazione alle altre
generiche relazioni: possiamo infatti indicare relazioni � ( x, y, z, . . .) con la notazione
�
/ �; tali rappresen� ( x, y, z, . . . ) scrivendo ( x, y, z, . . .) ∈
( x, y, z, . . .) ∈ �, e relazioni �
tazioni sono date nell’ottica di poter considerare � come lo spazio delle ennuple in
relazione.
La rappresentazione � ( x, y, z, . . .) di una generica corrispondenza è detta implicita
per distinguerla dalla notazione {yi } = �� ( x, z, . . .) detta esplicita nella variabile y;
lo spazio {yi } può ammettere più valori ma, fissato l’argomento ( x, z, . . .), è comunque completamente determinato; le due rappresentazioni sono equivalenti, e dunque
8
