Appunti di geometria A.s. 2013-2014
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Prof. Luigi Cai
APPUNTI
Angoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale (alterni interni ed
esterni, corrispondenti, coniugati).
In un triangolo l’angolo esterno è congruente alla somma degli angoli interni
non adiacenti ad esso.
Somma degli angoli interni ed esterni di un poligono di n lati:
Si = (n – 2)∙180°
Se = 360°
In un triangolo il segmento che congiunge i punti medi di due lati è parallelo al
terzo lato e congruente alla sua metà.
A
o
EF // BC
E
EF = ½ BC
F
o
B
C
Luoghi geometrici
Insiemi di punti che soddisfano tutti ad una stessa proprietà.
Asse di un segmento (retta perpendicolare al segmento e passante per il suo punto medio)
Luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi di un segmento.
o
P
o
PA = PB
A
B
Bisettrice di un angolo (semiretta uscente dal vertice che divide l’angolo in due parti
congruenti).
Luogo geometrico dei punti equidistante dai lati dell’angolo.
A
o P
O
o
B
AOˆ P POˆ B
AP = PB
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Punti notevoli dei triangoli
Circocentro
Punto in cui si incontrano i tre assi di un triangolo
È equidistante dai vertici del triangolo (luogo geometrico)
È il centro della circonferenza circoscritta al triangolo
Può essere interno o esterno al triangolo
A
B
C
Incentro
Punto in cui si incontrano le tre bisettrici di un triangolo
È equidistante dai lati del triangolo (luogo geometrico)
È il centro della circonferenza inscritta al triangolo
È sempre interno al triangolo.
A
B
C
Ortocentro
Punto di incontro delle tre altezze del triangolo
Può essere interno o esterno al triangolo
Baricentro
Punto di incontro delle tre mediane di un triangolo
Divide ciascuna mediana in due parti: quella che contiene il vertice è doppia della
altra.
Circonferenza
Luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso detto centro.
La perpendicolare condotta dal centro ad una corda divide sia la corda, sia l’arco, sia
l’angolo al centro in due parti congruenti.
A
o
O◦
o
B
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Corde congruenti equidistano dal centro e viceversa.
Retta tangente ad una circonferenza
È una retta che tocca la circonferenza in due punti coincidenti
La retta tangente è perpendicolare al raggio nel punto di tangenza.
O◦
A
Angoli al centro
Angoli aventi il vertice nel centro di una circonferenza
A
O◦
B
Angoli alla circonferenza
Angoli aventi il vertice sulla circonferenza e i lati o entrambi secanti o uno secante e l’altro
tangente.
V
V
A
A
B
In una circonferenza l’angolo al centro è sempre il doppio del corrispondente angolo alla
circonferenza.
V
AOˆ B 2 AVˆB
◦O
B
A
Angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco o su archi congruenti sono
congruenti
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Angoli alla circonferenza che insistono su una semicirconferenza sono retti
C
◦
A
B
I segmenti di tangente condotti ad una circonferenza da un punto P esterno ad essa sono
congruenti.
A
P
O◦
B
Inoltre PO è bisettrice degli angoli AOˆ B e APˆ B .
Quadrilateri
Se un quadrilatero è circoscritto ad una circonferenza allora la somma di due lati opposti è
congruente alla somma degli altri due.
A
B
D
O◦
AB + DC = BC + AD
C
Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza allora gli angoli opposti sono
supplementari.
A
Aˆ Cˆ 180 0
B
O◦
D
C
Bˆ Dˆ 180 0
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Teoremi di Euclide
A
H
B
C
1° Euclide:
AB2 = AH∙AC
BC2 = CH∙AC
2° Euclide:
BH2 = AH∙HC
I teoremi di Euclide possono anche essere enunciati nel modo seguente:
Un cateto è medio proporzionale tra
la sua proiezione sull’ipotenusa e
l’ipotenusa stessa:
L’altezza relativa all’ipotenusa è media
proporzionale tra le proiezioni dei
cateti sull’ipotenusa:
AH : AB = AB : AC
oppure
CH : BC = BC : AC
AH : BH = BH : HC
Teorema di Talete
Un fascio di rette parallele determina su due trasversali due classi di segmenti direttamente
proporzionali, cioè il rapporto tra due segmenti sulla prima trasversale è uguale al rapporto dei
segmenti corrispondenti sull’altra trasversale.
t
t’
A
A’
Ad esempio : AB : CD = A’B’ : C’D’
B
B’
C
C’
D
D’
Il teorema di Talete trova applicazione nei triangoli :
Una retta parallela ad un lato di un triangolo divide gli altri due in parti direttamente proporzionali.
A
E
B
Hp:
Th:
F
C
EF // BC
AE : EB = AF : FC
oppure
AE : AB = AF : AC
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TEOREMA DELLA BISETTRICE DELL’ANGOLO INTERNO
In un triangolo la bisettrice di un angolo interno divide il lato opposto in due parti direttamente
proporzionali agli altri due lati.
A
AD : DC = AB : BC
D
B
C
FIGURE PARTICOLARI
Triangolo isoscele inscritto in una circonferenza
Si prolunga l’altezza CH fino ad incontrare la
circonferenza in D. Si ottiene il triangolo rettangolo CBD
al quale si possono applicare i teoremi di Euclide.
Trapezio circoscritto ad una circonferenza
A
Si hanno le seguenti proprietà:
I segmenti di tangenza sono congruenti
AB+DC = AD+BC (proprietà dei quadrilateri
circoscritti ad una circonferenza)
COB e AOD sono triangoli rettangoli, ai quali si
possono applicare i teoremi di Euclide
Trapezio circoscritto ad una semicirconferenza
I triangoli ADK e AHO sono congruenti AD = AO
I triangoli CMB e LBO sono congruenti CB = BO
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Trapezio o rettangolo inscritto in una semicirconferenza
semicirconferenza
oppure un punto preso sulla
Si congiunge un punto che si trova sulla
semicirconferenza con gli estremi del diametro ,
ottenendo così un triangolo rettangolo, al quale
applicare i teoremi di Euclide.
Triangolo isoscele circoscritto ad una semicirconferenza
Al triangolo COB si possono applicare i teoremi di
Euclide
Triangolo isoscele circoscritto ad una circonferenza
I triangoli CHB e COD sono simili, pertanto
si possono applicare le proprietà della
similitudine.
TRIANGOLI RETTANGOLI CON GLI ANGOLI PARTICOLARI DI 30° , 60° , 45°
A
F
G
o
0
60
45
30o
B
450
C
1
AC
2
3
AC
BC = cateto opposto all’angolo di 60° è :
2
2
EF
DE = cateto opposto all’angolo di 45° è :
2
quindi : EF lato 2
D
E
AB = cateto opposto all’angolo di 30° è :
oppure EF diagonale del quadrato DEGF e
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RELAZIONI TRA I LATI E I RAGGI DEI POLIGONI REGOLARI INSCRITTI IN UNA
CIRCONFERENZA
Quadrato inscritto
ABC è un triangolo rettangolo con gli angoli di 45° ,
pertanto:
2
2
l4
AC
2r r 2
l4 r 2
2
2
Triangolo equilatero inscritto
Si prolunga l’altezza CH, ottenendo il triangolo
rettangolo CBD con gli angoli particolari di 30° e
60° :
3
3
l3
DC
2r r 3 l 3 r 3
2
2
Esagono inscritto
A
r
l6
60°
60°
O
Il triangolo AOB è equilatero, pertanto
ha i lati congruenti:
l6 r
60°
r
B
OSSERVAZIONI
Le tre proprietà appena descritte si ritrovano nei problemi sotto la seguente forma:
In una circonferenza di raggio r si chiede di tracciare una corda congruente al lato del
triangolo equilatero inscritto.
B
30°
A
C
Si hanno due informazioni:
AB = r 3
La corda AB forma con il diametro AC
un angolo di 30°
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In una circonferenza di raggio r si chiede di tracciare una corda congruente al lato
dell’esagono inscritto.
B
Si hanno due informazioni:
AB = r
La corda AB forma con il diametro AC
un angolo di 60°
60°
A
C
In una circonferenza di raggio r si chiede di tracciare una corda congruente al lato del
quadrato inscritto.
B
Si hanno due informazioni:
AB = r 2
La corda AB forma con il diametro
AC un angolo di 45°
45°
A
C
O
SEZIONE AUREA DI UN SEGMENTO
E’ la parte di segmento che è media proporzionale tra l’intero segmento e la sua parte restante.
a
A
B
x
C a-x
AC = x è la sezione aurea di AB AB : AC = AC : CB
Sostituendo nella proporzione i valori in figura: a : x = x : (a-x) x2=a(a-x) x2 + ax –a2 = 0
Risolvendo l’equazione si trova che la sezione aurea è:
x=
5 1
a 0,61803... a
2
RAPPORTO AUREO
E’ il rapporto tra la misura del segmento e la sua sezione aurea (si indica con la lettera ):
5 1
1,61803...
2
Osservazione: il rapporto aureo è un numero puro.
LATO DEL DECAGONO REGOLARE INSCRITTO AD UNA CIRCONFERENZA
Il lato di un decagono regolare è la sezione aurea del raggio della circonferenza circoscritta
5 1
l10
r
2
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RAGGIO DELLA CIRCONFERENZA INSCRITTA IN UN TRIANGOLO
di cui si conoscono le misure dei lati
Dati:
AB = c
BC = a
Verificare che r
Dove
AC = b
A
p
p = semiperimetro
A = area del triangolo da calcolare con la
formula di Erone
RAGGIO DELLA CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA AD UN TRIANGOLO
di cui si conoscono le misure dei lati
Dati:
AB = c
BC = a
Verificare che r
AC = b
a bc
4 A
Dove
A = area del triangolo da calcolare con la
formula di Erone
SIMILITUDINE DEI TRIANGOLI
Definizione: Due triangoli si dicono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati,
opposti agli angoli congruenti, in proporzione.
C
C’
A
ABC
B
A’B’C’
A’
Aˆ Aˆ ' , Bˆ Bˆ ' , Cˆ Cˆ '
B’
AB : A' B' BC : B' C' AC : A' C'
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In due triangoli simili si dicono corrispondenti o omologhi i lati opposti agli angoli
congruenti
Si chiama rapporto di similitudine il rapporto tra due lati omologhi.
Criteri di similitudine
Permettono di stabilire se due triangoli sono simili.
1° criterio: Due triangoli sono simili se hanno due angoli rispettivamente congruenti.
2° criterio: Due triangoli sono simili se hanno un angolo rispettivamente congruente compreso tra
lati proporzionali (ad esempio: Aˆ Aˆ ' e AB : A' B' AC : A' C' ).
3° criterio: Due triangoli sono simili se hanno i tre lati rispettivamente proporzionali
.
AB : A' B' BC : B' C' AC : A' C'
Proprietà dei triangoli simili
1) In due triangoli simili le basi stanno fra loro come le rispettive altezze
C
C’
Hp:
ABC
A’B’C’
Th: AB : A’B’ = CH : C’H’
B
A
A’
H
B’
H’
2) In due triangoli simili i perimetri stanno fra loro come due lati omologhi.
C
C’
Hp: ABC
Th:
A
B
A’
A’B’C’
2p : 2p’ = AB : A’B’
B’
3) In due triangoli simili le aree stanno fra loro come i quadrati di due lati omologhi.
C
C’
Hp: ABC
Th:
A
B
A’
B’
A’B’C’
A : A’ = AB : A’B’
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4) Teorema delle corde
Se due corde di una circonferenza si intersecano, i segmenti che si formano su una di esse
sono i medi di una proporzione e i segmenti sull’altra sono gli estremi della stessa
proporzione.
A
Hp : AB e CD corde
D
Th:
AE : DE = EC : BE
E
C
B
5) Teorema delle secanti
Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono due secanti, la parte esterna e
l’intera secante di una secante sono i medi di una proporzione e la parte esterna e l’intera
secante dell’altra secante sono gli estremi della stessa proporzione.
A
Hp: PC e PA secanti
B
P
Th:
PB : PD = PC : PA
D
C
6) Teorema della secante e della tangente
Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono una tangente e una secante, il
segmento di tangenza è medio proporzionale tra l’intera secante e la sua parte esterna.
T
Hp: PA secante e PT tangente
P
B
A
Th:
PB : PT = PT : PA
