Didattica della matematica
Il teorema di Pitagora
Prof. ssa
Maria Rosa Casparriello
Scuola media Fontanarosa
Teorema di Pitagora
RIFERIMENTO AL PECUP: adoperare il linguaggio
ed i simboli della matematica per indagare con
metodo la causa di fenomeni problematici per
spiegarli e rappresentarli. Particolarmente
attraverso attività di risoluzione di problemi in
contesti vari; dare prova di competenze
progettuali ed immaginative. Osservare la realtà
per riconoscervi relazioni tra oggetti o grandezze,
regolarità, differenze, invarianze o modificazioni
nel tempo e nello spazio.
Teorema di Pitagora
PREREQUISITI
Conoscere le principali proprietà delle figure
piane;
Riconoscere figure uguali e descrivere le
isometrie necessarie per portarle a coincidere;
Concetto di equivalenza di figure piane;
Abilità operative in R (potenza e radice);
Saper calcolare l’area di una figura piana;
Conoscere i concetti di grandezza e unità di
misura;
Saper confrontare ed operare con segmenti ed
angoli;
Teorema di Pitagora
OBIETTIVI FORMATIVI
Conoscere il significato di terna pitagorica;
Conoscere e saper applicare il teorema di
Pitagora
Risolvere problemi geometrici con l’uso del
teorema di Pitagora
Usare un adeguato linguaggio scientifico
Un po’ di Storia
Pitagora nacque a Samo, un’isola della Grecia, probabilmente
nel 570 a.C.,
fu il primo filosofo-matematico della storia. Intorno a
Pitagora e alla sua scuola sorsero parecchie leggende che
esaltarono il carattere filosofico, religioso e scientifico della
sua grande figura e resero ancora più misteriosa l’attività
della scuola stessa . Il nucleo fondamentale su cui Pitagora
basava la sua concezione della matematica è il
“NUMERO”:”I numeri sono il principio di tutte le cose”,
recitava la sua dottrina filosofica.
Un po’ di Storia
Parecchie sono le scoperte che vengono attribuite alla scuola pitagorica,
anche se il merito veniva sempre dato all’illustre maestro. Per quanto
riguarda la geometria, ai pitagorici vengono attribuiti, fra le altre
scoperte :
a) Il teorema sulla somma degli angoli del triangolo.
b) Il cosiddetto “teorema di Pitagora”. Infatti scrive Proco: “Se
ricorriamo agli storici dell’antichità [Eudemo] troveremo che
essi attribuiscono questo teorema a Pitagora e asseriscono
avere egli sacrificato un bue per tale invenzione”.
c) La risoluzione di parecchi problemi sulle aree,allora ancora insoluti.
d) la costruzione dei poliedri regolari.
I pitagorici studiarono, con particolare interesse , i poligoni e i solidi
regolari; il pentagono e la stella pentagonale a cinque punte pare che
avessero affascinato talmente tanto il grande maestro che li pose a
simbolo della scuola
Teorema di Pitagora
• Gli antichi Egizi per costruire con
precisione un angolo retto
prendevano una fune e in essa
facevano 13 nodi alla stessa
distanza uno dall’alto (ottenendo
così 12 tratti di corda ); con dei
paletti , poi, tendevano la corda in
modo da formare un triangolo che
avesse i lati lunghi rispettivamente
3 volte, 4 volte e 5 volte la
distanza fra due nodi successivi.
L’angolo formato dai due lati più
corti era un angolo retto.
Teorema di Pitagora
•
•
•
Noi partiremo proprio da questa terna di numeri , 3, 4 e 5, così
importante presso gli egizi da essere considerata sacra, per
arrivare a uno dei più importanti teoremi della geometria : il
Teorema di Pitagora.
Gli Egizi non si chiesero mai quale fosse il legame tra i tre
numeri, ma la risposta fu trovata da Pitagora:
52 =32+42
Teorema di PItagora
… Si racconta, che Pitagora abbia scoperto il suo teorema nel
grande salone del palazzo del tiranno di Samo, osservando le
piastrelle quadrate del pavimento. Se avesse tagliato in due
una piastrella lungo una diagonale, avrebbe ottenuto due
triangoli rettangoli uguali. Inoltre l'area del quadrato costruito
sulla diagonale di uno dei due triangoli rettangoli risultava il
doppio dell'area di una piastrella. Questo quadrato risultava
infatti composto da quattro mezze piastrelle, cioè da due
piastrelle. Ma i quadrati costruiti sugli altri lati del triangolo
corrispondevano ognuno all'area di una piastrella.
Teorema di PItagora
•In altre parole il quadrato costruito sull'ipotenusa è
equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti.
Questo risultava evidente nel caso della piastrella quadrata,
cioè di un triangolo rettangolo isoscele: Ma poteva essere vero,
si chiese Pitagora, anche nel caso generale, con cateti di
lunghezza diversa?
Teorema di PItagora
Studiando meglio la figura ottenuta
dall'osservazione delle piastrelle,
Pitagora si accorse che il quadrato
formato da quattro piastrelle si
poteva scomporre in quattro triangoli
rettangoli equivalenti e in un
quadrato il cui lato era uguale alla
lunghezza dell'ipotenusa di uno dei
triangoli. Non fu quindi difficile
passare al caso generale di quattro
triangoli rettangoli qualsiasi, non più
isosceli.
In realtà la storia del teorema è molto
più complessa e le sue
Teorema di Pitagora
origini, come abbiamo già detto, risalgono almeno ad un
migliaio di anni prima che Pitagora si dedicasse allo studio
dei triangoli rettangoli. Per avviare la nostra indagine sul
teorema partiamo dalla formulazione che ne diede Euclide:
In ogni triangolo rettangolo il quadrato del lato opposto
all'angolo retto è uguale ai quadrati dei lati che contengono
l'angolo retto.
Se lo riscriviamo in termini più moderni abbiamo l'enunciato
riportato generalmente nei testi scolastici:
16 25
9 In ogni triangolo
rettangolo il
quadrato
dell'ipotenusa
(oppure: l'area del
quadrato costruito
sull'ipotenusa) è
equivalente alla
somma dei quadrati
dei due cateti
(oppure: alla somma
delle aree dei
quadrati costruiti sui
due cateti).
Teorema di Pitagora
Se c indica la lunghezza dell'ipotenusa e a e b quelle dei due cateti
possiamo scrivere il teorema in forma algebrica:
Il teorema di Pitagora era noto un tempo come "il ponte degli
asini", il ponte che riusciva a superare soltanto chi dimostrava di
possedere sufficienti attitudini per il pensiero astratto e per un
metodo deduttivo da applicare a procedimenti matematici quali
erano quelli proposti dai pitagorici.
Teorema di Pitagora
Vediamo una delle dimostrazioni più semplici, quella che
generalmente si trova sui testi scolastici e che riprende il
ragionamento che Pitagora potrebbe aver fatto osservando le
piastrelle quadrate nel palazzo di Policrate.
Dato il triangolo rettangolo ABC
di cateti a, b e ipotenusa c, costruiamo due quadrati equivalenti,
che abbiano come lato la somma dei due cateti, a + b .
Teorema di Pitagora
Scomponiamo il primo di questi quadrati nei due quadrati costruiti
sui cateti e nei quattro triangoli , equivalenti al triangolo dato.
Scomponiamo poi il secondo quadrato nel quadrato costruito
sull'ipotenusa e negli stessi quattro triangoli. Se ai due quadrati
grandi togliamo i quattro triangoli equivalenti, otteniamo due parti
equivalenti: i quadrati costruiti sui cateti e il quadrato costruito
sull'ipotenusa.
Teorema di Pitagora
Attenzione però: la dimostrazione non è ancora completa. E' necessario dimostrare
ancora che le parti più scure sono realmente i quadrati dei cateti e dell'ipotenusa del
triangolo dato. Per il primo quadrato a sinistra questo è evidente, dal modo in cui
abbiamo eseguito la scomposizione, cioè, come si dice, per costruzione. Per il secondo
quadrato a destra, sempre per costruzione, possiamo dire che i suoi lati sono uguali
all'ipotenusa del triangolo. Resta da dimostrare che i suoi angoli sono retti.
Consideriamo l'angolo a, che sommato agli altri due angoli aventi lo stesso vertice
forma un angolo piatto. Ma anche la somma degli angoli interni di un triangolo è
uguale a un angolo piatto, e quindi l'angolo a corrisponde al terzo angolo del triangolo,
che è retto. Allo stesso modo si dimostra che anche gli altri angoli sono retti e quindi
che la figura è un quadrato
Teorema di Pitagora
L'altra faccia del teorema di Pitagora. Finora abbiamo
parlato dell'aspetto geometrico del teorema, di triangoli
rettangoli. Vediamone ora l'aspetto aritmetico, cioè le
particolari terne numeriche, chiamate terne pitagoriche,
collegate al teorema stesso. Già sappiamo che in un
triangolo rettangolo di cateti a, b e di ipotenusa c si ha: a² +
b² = c². Esistono infinite terne con numeri interi che
soddisfano questa relazione.
Dicesi terna pitagorica qualunque terna
di numeri naturali che sono le misure dei
…
lati di un triangolo rettangolo; ovvero:
tali che il quadrato del più grande è
uguale alla somma dei quadrati degli
altri due.
32 4 2 9 16 25 52
52 12 2 25 144 169 132
82 152 64 225 289 17 2
Teorema di Pitagora
•Si può verificare la proprietà pitagorica
anche …. pesando!
Materiale occorrente:
bilancia a piatti;
foglio di compensato;
traforo o seghetto.
Teorema di Pitagora
Si disegna su di un foglio
di compensato un
triangolo rettangolo con i
cateti di 9 cm e 12 cm
l'ipotenusa di 15 cm. Si
disegnano i due quadrati i
cui lati erano i cateti e un
quadrato il cui lato era l'ipotenusa.
I tre quadrati vengono
ritagliati.
Teorema di Pitagora
Si pone su uno dei bracci
della bilancia il quadrato
costruito sull'ipotenusa:
la bilancia non è più in
equilibrio!
Ponendo i due quadrati
costruiti sui cateti sull'altro
braccio della bilancia, questa
ritorna ad essere in equilibrio. I
due quadrati costruiti sui due
cateti hanno un peso
equivalente al quadrato
costruito sull’ipotenusa
Abbiamo così dimostrato il TEOREMA DI
PITAGORA.
Teorema di Pitagora
Applicazioni del Teorema di PITAGORA
PROBLEMA
1
Le dimensioni di un rettangolo sono 12cm e 5cm .Determinare la
lunghezza della diagonale.
AB= 12cm
; BC= 15cm
A
B
D
C
Sappiamo che la diagonale divide il
rettangolo in due triangoli rettangoli
congruenti, ciascuno dei quali ha per cateti le
dimensioni del rettangolo stesso e per
ipotenusa la diagonale.
Possiamo applicare il Teorema di Pitagora ad
uno dei due triangoli per esempio ABC :
AC BC 2 AB 2 12 2 5 2 cm 144 25cm 169cm 13cm
Teorema di Pitagora
In generale, indicando le misure di base, altezza e diagonale
con b,h,d, si ha che
d
b h
2
2
Il teorema di Pitagora
•La prima dimostrazione di questo teorema è stata
attribuita al matematico greco Pitagora di Samo (570500 a. C.). Non si sa, però, come Pitagora abbia
condotto la sua dimostrazione perchè nulla è rimasto
delle sue opere. La prima dimostrazione che
conosciamo fu data da Euclide (300 a. C.) nei suoi
Elementi . Da quel momento molti matematici e non
matematici, sono stati così attratti da questo teorema
che hanno sentito il bisogno di elaborare un ingegnoso
e alternativo modo per dimostrarlo. Elisha Scott
Loomis nel suo libro The Pythagorean Proposition
pubblicato nel 1940, riporta ben 370 diverse
dimostrazioni di questo teorema. Nessun altro teorema
ha ricevuto tanta attenzione e tante dimostrazioni,
nonostante ciò ogni anno vengono pubblicate, dalle
riviste matematiche, nuove dimostrazioni.
Il teorema di Pitagora
•Perché c'è stato tanto interesse su questo teorema? Ha
un enunciato semplice e una facile dimostrazione e può
essere pienamente compreso da un ragazzo di tredici anni.
Ha numerose applicazioni e spesso è indispensabile per
risolvere molti tipi di problemi. Eppure questo teorema così
comprensibile ha cambiato radicalmente il corso della
matematica. Grazie a questo teorema la matematica, che
era nata per soddisfare esigenze concrete legate alla realtà
pratica, si è trasformata in una scienza che abitua a
ragionare. Nella geometria euclidea, questo teorema, è
fondamentale. Ha permesso di scoprire l'esistenza di
segmenti incommensurabili. Questa conoscenza ha fatto
capire che gli oggetti geometrici non possono essere
identificati come degli oggetti concreti e che il punto
geometrico non può avere dimensioni
Il teorema di Pitagora
E' un teorema geometrico, eppure ha permesso di scoprire
i numeri irrazionali. Da questa conoscenza si è capito che i
numeri naturali sono adatti a rappresentare solo grandezze
discrete. Per rappresentare grandezze continue occorrono
oltre ai numeri razionali anche i numeri "irrazionali". Gli
egiziani hanno usato questo teorema per costruire un
angolo retto, i greci l'hanno utilizzato per costruire una
vasta rete di idee matematiche. Nel corso dei secoli è stato
utilizzato per costruire alcune branche della matematica
moderna. E' stato il suggeritore di proficue ricerche nel
campo della teoria dei numeri.
•.
