MONOMI
MONOMIO: espressione letterale scritta come prodotto tra un numero e alcune lettere .Il numero si
dice coefficiente del monomio , le lettere costituiscono la parte letterale.
Esempio : -2a3b4x6 ;
3
xyt ; a3b2c
5
MONOMIO NULLO : è il monomio di coefficiente 0
MONOMIO RIDOTTO IN FORMA NORMALE : è scritto come prodotto di un numero e una o più lettre
tutte diverse tra loro .
Esempio : -2a3b4x6
è ridotto in forma normale
10 ab3a3b2c non è ridotto in forma normale
GRADO DI UN MONOMIO: è la somma degli esponenti di tutte le lettere che compaiono nel monomio
Esempio : 4 a3b2c è un monomio di grado 6 , perché 3+2+1 = 6
GRADO DI UN MONOMIO RISPETTO AD UNA LETTERA : è l’esponente al quale è elevata la lettera
considerata , purchè il monomio sia scritto in forma normale
Esempio : -7x3y2t rispetto alla lettera x ha grado 3 ;
rispetto alla lettera y ha grado 2 ;
rispetto alla lettera t ha grado 1 .
MONOMI SIMILI : due o più monomi sono simili quando hanno la stessa parte letterale
Esempio : 2ab ; - 3ab ; 5ba
MONOMI OPPOSTI : SONO DUE MONOMI SIMILI , MA CON COEFFICIENTI OPPOSTI
Esempio : - 2ab e + 2ab
La somma di 2 monomi opposti è il monomio 0
OPERAZIONI TRA MONOMI
a) ADDIZIONE E SOTTRAZIONE DI MONOMI
L’addizione e sottrazione tra monomi si può eseguire solo tra monomi simili.
Il risultato è un monomio simile , avente la stessa parte letterale e come coefficiente la somma algebrica dei
coefficienti
Esempio : -3ac + 5ac – 6a + 2a = ( -3 + 5) ac + (- 6 + 2 ) a = 2ac – 4°
b) MOLTIPLICAZIONE DI MONOMI
Il prodotto tra 2 o più monomi è un monomio avente per coefficiente il prodotto dei coefficienti e come parte
letterale il prodotto delle lettere
NB per il prodotto delle lettere uguali applicare la proprietà delle potenze con ugual base ( addizione degli
esponenti delle lettere uguali)
per il prodotto dei coefficienti ricordare le regole del segno del prodotto di 2 numeri relativi.
Esempio : 2ax3. ( -3x2y4) .(
5 5
5 6 5 4
a )=axy
12
2
c) DIVISIONE DI MONOMI
Il quoziente tra 2 monomi è un monomio avente per coefficiente il quoziente dei coefficienti e come parte
letterale il quoziente delle lettere
NB per il quoziente delle lettere uguali applicare la proprietà delle potenze con ugual base ( sottrazione
degli esponenti delle lettere uguali)
per il quoziente dei coefficienti ricordare le regole del segno del quoziente di 2 numeri relativi.
Esempio : 5ax3: ( -2x2y4) = -
5 1-0 3-2 0-4
5
5ax
a x y = - a1x1y -4 = 2
2
2y4
1
NB Se in un monomio qualche lettera compare al denominatore , tale monomio si dice FRATTO.
d) POTENZA DI UN MONOMIO : per elevare a potenza un monomio , basta elevare a quella
potenza sia il coefficiente che tutte le lettere della parte letterale.
Esempio : ( - 3a2b3xy5 ) 2 = ( - 3 ) 2 (a2 ) 2( b3 ) 2(x ) 2( y5 ) 2 = 9a4b6x2y10
M.C.D. e m.c.m. TRA MONOMI
a) Il M.C.D. tra 2 o più monomi è il monomio che ha :
per coefficiente il M.C.D. dei valori assoluti dei coefficienti , se essi sono tutti numeri interi ,
altrimenti il coefficiente è sempre + 1
per parte letterale solo le lettere comuni con l’esponente minore
b) b) Il m.c.m. tra 2 o più monomi è il monomio che ha :
per coefficiente il m.c.m. dei valori assoluti dei coefficienti , se essi sono tutti numeri interi ,
altrimenti il coefficiente è sempre + 1
per parte letterale tutte le lettere, comuni e non comuni , prese una sola volta , con
l’esponente maggiore
POLINOMI
POLINOMIO : somma algebrica di 2 o più monomi non simili ( i monomi che compaiono in un
polinomio si dicono TERMINI del polinomio )
Esempio : 2a + 3b ; 4axy – 3x + 5 a ;
GRADO COMPLESSIVO DI UN POLINOMIO : è il grado del suo monomio di grado maggiore
Esempio : il polinomio ( 3a4xy5 – 2x) ha grado complessivo 10 , perché tra i 2 monomi che formano
il polinomio , il 1° monomio ha grado maggiore e vale 10
GRADO DI UN POLINOMIO RISPETTO AD UNA LETTERA è il massimo esponente con cui compare
quella lettera
Esempio : il polinomio -
5 2 3 4 5 3
a bc xy z
7
9
è un polinomio di grado complessivo 9
è di 1° grado rispetto alle lettere b e x
è di 2° grado rispetto alla lettera a
è di 3° grado rispetto alle lettere c e z
è di 5° grado rispetto alle lettere y
POLINOMIO ORDINATO IN MODO CRESCENTE RISPETTO A UNA LETTERA : se i suoi termini sono
disposti in modo tale che gli esponenti di quella lettera sono in ordine crescente
Esempio : 8x5y – 5x6y2 + 7 x8 è ordinato secondo potenze crescenti di x
POLINOMIO ORDINATO IN MODO DECRESCENTE RISPETTO A UNA LETTERA : se i suoi termini
sono disposti in modo tale che gli esponenti di quella lettera sono in ordine decrescente
Esempio : 8x6y3 – 5x2y2 + 7 xy1
POLINOMIO COMPLETO RISPETTO AD UNA LETTERA : se per tale lettera si presentano tutte le
potenze dal grado massimo fino al grado 0
Esempio : 2a3 + a2 – 7a + 8
POLINOMIO OMOGENEO : se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado
Esempio : 2a3 + a2b – 7ab2 + 8 b3
2
OPERAZIONI TRA POLINOMI
a) ADDIZIONE E SOTTRAZIONE TRA POLINOMI
Per addizionare o sottrarre 2 o più polinomi si scrivono uno di seguito all’altro eliminando le
parentesi e sommando i termini simili
Per eliminare le parentesi si applicano le regole già note:
se la parentesi è preceduta da un segno + , i termini in essa contenuti non cambiano
segno
se la parentesi è preceduta da un segno - , i termini in essa contenuti cambiano segno
b) MOLTIPLICAZIONE DI UN MONOMIO PER UN POLINOMIO
Basta applicare la proprietà distributiva della moltiplicazione , moltiplicando ogni termine del polinomio per
il monomio ( ricordando la proprietà della moltiplicazione tra potenze di lettere uguali ……)
Esempio : ( 3a - b + 5ab ) . ( - 3a2b ) = - 9 a2b + 3 a2 b2 – 15 a3 b2
c) DIVISIONE DI UN POLINOMIO PER UN MONOMIO
Basta applicare la proprietà distributiva della divisione, dividendo ogni termine del polinomio per il
monomio ( ricordando la proprietà della divisione tra potenze di lettere uguali ……)
Es1) (12a2 – 9ab + 6a ) : ( - 3 a ) = - 4 a + 3b – 2
Es2)
( x + 3y – 4 ) : 2x =
1 3y 2
+
2
2x x
c) MOLTIPLICAZIONE TRA DUE POLINOMI
Basta moltiplicare ogni termine del primo polinomio , per ogni termine del secondo polinomio
Esempio : ( 2a - 3b ) . ( -3ab + 5ax + 1 ) = - 6a2b + 10 a2x + 2a + 9ab2- 15abx – 3b
DIVISIONE TRA DUE POLINOMI
Dati due polinomi A e B , il loro quoziente Q , è quel polinomio per cui si ha
A : B = Q se Q . B = A
Q è il quoziente esatto della divisione tra 2 polinomi
Se Q non è il quoziente esatto della divisione tra i polinomi A e B , allora :
Q . B + R = A dividendo
divisore resto
Esempio ( 2 a3 – 1 + 3a – 5a2 + a4 ) : ( 3 – 2a+ a2 )
Per calcolare il quoziente Q si deve :
a) ordinare in modo decrescente i polinomi A e B
b) dividere il 1° termine di A per il 1° termine di B si ottiene il 1° termine del quoziente
c) moltiplicare il quoziente ottenuto per ogni termine del divisore B , scrivendo il risultato del prodotto ,
cambiato di segno , sotto il dividendo e si esegue la somma
d) dividere il 1° termine del 1° resto parziale ( + 4a 3 ) per il 1° termine del divisore ( a2 ) e si ottiene il 2°
termine del quoziente
e) procedere come nel punto c)
NB: la divisione finisce quando il grado del resto parziale è minore del grado del polinomio divisore.
VERIFICA del risultato ottenuto : se Q . B + R = A allora il risultato è esatto.
3
DIVISIONE TRA POLINOMI CON REGOLA DI RUFFINI
Serve per risolvere più rapidamente la divisione tra polinomi , quando il polinomio divisore è un BINOMIO
DI 1° GRADO del tipo ( x + k ) o ( x – k ) , con k R
Esempio
( 2 x4 – 3x3 + 5x2 – x + 1 ) : ( x – 4 )
a) si predispone uno schema come questo , in cui si sistemano solo i coefficienti del dividendo ,
separati dal termine noto del dividendo
+4
.
2 -3 5
8
2 5
-1
1
b) in basso a sinistra si scrive il termine noto del divisore, cambiato di segno , quindi + 4
c) si abbassa il 1° coefficiente del dividendo , lo si moltiplica per il numero scritto in basso a sinistra
e si scrive il loro prodotto sotto il 2° coefficiente del dividendo
d) si esegue la somma tra i due termini che occupano il 2° posto , si ottiene 5 che si scrive in
colonna
e) si moltiplica l’ultimo risultato 5 per il numero in basso a sinistra ( + 4) , si scrive il prodotto sotto
il 3° coefficiente de dividendo e si esegue la somma , ottenendo 25
f) si prosegue sempre così , fino ad arrivare all’ultima somma del termine noto.
Dallo schema finale si ricavano i coefficienti del Quoziente e il resto della divisione.
Il grado del quoziente è ( 4 – 1 ) = 3 , pertanto il quoziente è : Q = 2x3 + 5x2 +25x +99 R = 397
PRODOTTI NOTEVOLI
Nel calcolo algebrico si presentano particolari moltiplicazioni tra due polinomi i cui risultati si possono
ottenere rapidamente applicando determinate regole .
Questi prodotti vengono detti PRODOTTI NOTEVOLI.
SCHEMA RIEPILOGATIVO
Tipo di prodotto
Prodotto della somma di 2 monomi per la loro
differenza
Quadrato di un binomio
Cubo di un binomio
Quadrato di un trinomio
PRODOTTI NOTEVOLI
(A + B)(A – B)
Risultato
(A2 – B2)
(A+B)2
(A - B)2
(A+B)3
(A - B)3
(A+B+C)2
(A2 +2AB+B2)
(A2 -2AB+B2)
(A3 +3A2B+3AB2+B3)
(A3 -3A2B+3AB2-B3)
(A2 +B2++C2+2AB+2AC+2BC)
SCHEDA DI RIEPILOGO SULLA SCOMPOSIZIONE DI POLINOMI
Suggerimenti utili per la scomposizione dei polinomi .
a) Controllare sempre se è possibile applicare il raccoglimento a fattor comune !!!!!
ab + ac + a = a .( b + c + 1)
b) Sulla base del numero dei termini che figurano nel polinomio da scomporre , dopo che è stato
fatto l’eventuale raccoglimento a fattor comune , si possono seguire le indicazioni riportate nella
seguente tabella :
4
il polinomio da
scomporre ha :
può essere ricondotto a :
a
2 termini (binomio) b
c
d
3 termini (trinomio ) e
f
g
Differenza di 2 quadrati
Differenza di 2 cubi
Somma di 2 cubi
Quadrato di un binomio
Trinomio di 2° grado del tipo:
x2 + sx + p (falso quadrato)
Cubo di un binomio
h
Differenza tra 2 quadrati
( 3 termini sono il quadrato di
un binomio )
Raccoglimento Parziale a 2 a 2
i
Quadrato di un trinomio
4 termini
6 termini
m Raccoglimento Parziale a 3 a 3
a2 – b2 = (a – b) . (a + b)
a3 – b3 = (a – b) . (a2 + ab + b2 )
a3 + b3 = (a + b) . (a2 – ab + b2)
a2 2ab + b2 = ( a b) 2
x2 + sx + p = (x + n1 ).(x + n2)
Ove s = n1 + n2 ; p = n1. n2
a3 + 3a2 b + 3a b2 + b3= (a + b) 3
a3 - 3a2 b + 3a b2 - b3= (a - b) 3
a2 2ab + b2 – c2 =
(a b) 2 – c2
ax+ay+bx+by = a(x+y) + b(x+y) =
(x + y).(a + b)
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc =
( a + b + c )2
ax + ay + ab + 2x + 2y + 2b =
a(x + y+ b) + 2(x + y + b) =
( x + y + b) . (a + 2)
SCOMPOSIZIONE MEDIANTE LA REGOLA DI RUFFINI
Quando nessuna delle regole viste per la scomposizione di un polinomio si può applicare , si può
ricorrere alla regola di Ruffini , procedendo come spiegato nel seguente esempio.
Supponiamo di dover scomporre il polinomio 2a3 + a2 – 25a + 12
Si cercano i divisori del termine noto (+ 12 ) , essi sono : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12
Per tentativi si determina quel divisore che sostituito ad a , nel polinomio lo rende uguale a 0 ;
Si prova a sostituire -1 P(-1) = 2.(-1)3 + (-1)2 - 25.(-1) + 12 = 36 0
Si prova a sostituire 1 P(1) = 2.(1)3 + (1)2 - 25.1 + 12 = -10 0
Si prova a sostituire -2 P(-2) = 2.(-2)3 + (-2)2 - 25.(-2) + 12 = 50 0
Si prova a sostituire 2 P(2) = 2.(2 )3 + (2)2 - 25.(2) + 12 = -18 0
Si prova a sostituire +3 P(3) = 2.(3)3 + (3)2 - 25. (3) + 12 = 54 + 9 – 75 +12 = 0
Il numero cercato è +3 ; allora il polinomio 2a3 + a2 – 25a + 12 è divisibile per a – ( +3) = a – 3.
A questo punto si esegue la divisione tra il polinomio dato ed il binomio ( a – 3 ) , con il metodo di
Ruffini .
E il polinomio risulta così scomposto : ( 2a3 + a2 – 25a + 12 ) = ( a – 3 ) (2a 2 + 7 a – 4 )
Anche il polinomio (2a 2 + 7 a – 4 ) si può ulteriormente scomporre applicando ancora la regola di
Ruffini , perché si trova il numero – 4 , che sostituito alla a nel polinomio (2a 2 + 7 a – 4 ) , lo rende
uguale a zero.
P(- 4) = 32 – 28 – 4 = 0
(2a 2 + 7 a – 4 ) è divisibile per ( a + 4 ) , e dalla divisione con il metodo di Ruffini , risulta :
(2a 2 + 7 a – 4 ) = ( a + 4 ) ( 2 a - 1 )
Alla fine avremo : ( 2a3 + a2 – 25a + 12 ) = ( a – 3) ( a + 4 ) ( 2 a - 1 )
5
Seguendo le indicazioni date , scomponi i seguenti polinomi :
1.
5m4x – 5x =
Raccoglimento totale
Differenza di 2 quadrati
2.
4a2 – 24ax + 36x2
Raccoglimento totale
Quadrato di binomio
3.
m2 +4n2+ 4mn - 4m -8n +4
Quadrato di trinomio
4.
2 3 16 3
y +
z
3
3
Raccoglimento totale
Somma di 2 cubi
5.
x6y6 – 1
Differenza di 2 quadrati
Somma di 2 cubi e differenza di 2 cubi
6.
x6y6 – 1
Differenza di 2 cubi
Differenza di 2 quadrati
7.
x7- x5 – x3 + x
Raccoglimento parziale a 2 a 2
Differenza di 2 quadrati
8.
x2 – 5ax – 14 a2
Falso quadrato
9.
x6 – 9x3 + 20
Somma e prodotto
10. 3x2 – 15 x + 12
Raccoglimento totale
Falso quadrato
6
7
