Bilancio energetico riferito ad un volume di controllo

Bilancio energetico riferito ad un volume di controllo
L’applicazione della conservazione dell’energia, diretta conseguenza del I
Principio della Termodinamica, richiede in primo luogo l’identificazione di un
volume di controllo delimitato da una superficie di controllo attraverso la quale si
attuano gli scambi di energia (calore e lavoro meccanico nell’impostazione
classica) e di massa. La conservazione dell’energia deve essere verificata sia in
ogni istante di tempo e, in tal caso gli addendi energetici sono espressi come
potenze, sia con riferimento ad un intervallo di tempo finito e, in tal caso i
termini del bilancio sono riferiti a grandezze energetiche integrate in tale
intervallo.
dE
E in  E g  E out  st  E st
dt
Con riferimento all’unità di tempo la conservazione dell’energia afferma che
la potenza entrante
E in
più quella che eventualmente viene generata
E g all’interno del sistema (per esempio una dissipazione jouleiana) meno quella
uscente
E out è uguale alla variazione nell’unità di tempo dell’energia
immagazzinata nel sistema E st . Per un sistema chiuso (assenza di scambi di
massa) e in quiete (assenza di energia cinetica, potenziale) E st coincide con la
variazione dell’energia interna del sistema U .
Con riferimento invece ad un intervallo di tempo finito t si avrà:
Ein  E g  Eout  E st
Si noti come le energie entranti e uscenti interessano la superficie di
controllo, mentre le energie generata ed immagazzinata interessano il volume di
controllo.
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Esempio 1
Un conduttore cilindrico infinitamente lungo, di resistenza elettrica per unità
di lunghezza R’, diametro D è in equlibrio termico con l’ambiente circostante . Il
passaggio di una corrente I perturba questo equilibrio. Si determini un’equazione
che consenta di valutare la variazione della temperatura del conduttore durante il
passaggio di corrente.
Soluzione
Dati:
Sono noti la temperatura iniziale, il diametro, la resistenza per unità di
lunghezza e la corrente elettrica che l’attraversa
Obiettivo:
Trovare l’equazione che descrive l’andamento della temperatura del
conduttore al variare del tempo.
Schema:
Ipotesi:
 La temperatura del conduttore è uniforme in ogni istante
 Proprietà termofisiche costanti ()
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 Gli scambi per irraggiamento sono quelli tra una superficie modesta
rispetto alle dimensioni dell’ambiente
Analisi:
Il bilancio riferito in un generico istante fornisce:
E g  E out  E st
Esplicitando i termini del bilancio:
E g  I 2 Re' L

4
E out  h  D L T  T      D L  T 4  Tsur

dU d
E st 
  c V T 
dt
dt
sostituendo:
  D 2  dT
4
 L
I 2 Re' L  h  D L T  T      D L  T 4  Tsur
  c 
4

 dt


da cui:

4
dT I 2 Re'  h  D T  T      D  T 4  Tsur

dt
 D2 

 c 
 4 

Commenti:
L’equazione differenziale si risolve numericamente. Tuttavia, volendo
ricavare il valore raggiunto in condizioni stazionarie, è sufficiente esprimere la
condizione che tutta la potenza generata dovrà essere smaltita all’esterno:
3

4
E g  E out  I 2 Re'   D h T  T    D   T 4  Tsur

L’equazione può utilmente essere graficata in funzione della corrente I.
Assumendo i seguenti valori: D=1mm, =0.8, R’e=0.4 /m, h = 100 W/m2K,
Tsur = T = 300 K si ottiene:
150
125
T (°C)
100
75
50
25
0
0
2
4
6
8
10
I (Ampere)
Se la massima temperatura ammissibile è per esempio di 60°C, la corrente
non dovrà superare 5.2 A. Volendo aumentare quest’ultimo valore sarà
necessario aumentare il coefficiente di convezione mediante ventilazione forzata;
ad esempio per h=250 W/m2K, Imax = 8.1 A.
Esempio 2
Una massa M di ghiaccio viene introdotta alla temperatura di fusione Tf in un
involucro cubico di lato W. Siano L lo spessore delle pareti e k la conducibilità.
Se la temperatura T1 dell’involucro è maggiore di Tf, si trovi una relazione che
permetta di calcolare il tempo necessario ad ottenere la completa fusione del
ghiaccio.
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Soluzione
Dati:
Si conoscono la massa di ghiaccio, le dimensioni, la conducibilità e la
temperatura dell’involucro.
Obiettivo:
La relazione che permette di calcolare il tempo occorrente per fondere la
massa di ghiaccio
Schema:
Ipotesi semplificative
 La temperatura interna delle pareti dell’involucro è sempre uguale a Tf
 Proprietà termofisiche costanti
 Condizioni stazionarie e flusso conduttivo monodimensionale
 L’area conduttiva di ciascuna faccia è W2 in quanto L<< W
Analisi:
Si riferisca il bilancio energetico al tempo t = tm richiesto per la fusione del
ghiaccio:
Ein  E st  U lat
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dove la variazione di energia interna dipende esclusivamente dal cambiamento di
stato che avviene a temperatura costante.Tf: L’energia entrante proviene dalla
conduzione attraverso le pareti dell’involucro tra e cui facce esiste la differenza
di temperatura (T1–Tf ):

Ein  k 6W 2
T
1
 Tf
L
tm
Detto hf il calore latente di fusione del ghiaccio, l’energia richiesta per il
cambiamento di stato è data da.
U lat  M h f
Sostituendo le ultime due relazioni nell’equazione di bilancio e risolvendo
rispetto a t m si ottiene:
tm 
M h f L
6W 2 k T1  T f

Commenti:
Più complessa sarebbe stata la soluzione del problema ove il ghiaccio fosse
stato introdotto ad una temperatura inferiore a quella di fusione. In questo caso si
sarebbe dovuto considerare anche la variazione di energia interna dovuta al
calore cosiddetto sensibile. Durante questo processo non stazionario all’interno
della massa di ghiaccio si svilupperebbero dei gradienti di temperatura non
trascurabili.
Il bilancio energetico di una superficie
S’incontra spesso nella pratica l’esigenza di dover eseguire un bilancio
energetico relativamente ad una superficie di un mezzo prescindendo dalla massa
o dal volume (v. figura).
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L’equazione di bilancio in assenza dei termini E g e E st assume la forma
semplice:
E in  E out  0
Questa relazione è valida anche se nel mezzo vi fosse generazione di calore
perché il bilancio è riferito alla sola superficie di controllo ed è valido sia in
regime stazionario sia in regime variabile. Esplicitando il bilancio in termini di
"
potenze, che sono il flusso conduttivo qcond
k
(T1  T2 )
in ingresso e i flussi
L
"
"
4
 in
 h T2  T  e lo scambio netto radiante q rad
   T24  Tsur
convettivo qconv
uscita, si ha:
"
"
"
qcond
 qconv
 q rad
0
Esempio 3
I prodotti della combustione di una fornace sono separati dall’aria ambiente e
dai corpi circostanti, che sono mantenuti a 25°C, da una parete di mattoni
refrattari di 15 cm. La conducibilità e l’emissività della parete sono k=1.2 W/mK
ed  = 0.8. La temperatura superficiale è stata rilevata sperimentalmente in
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condizioni stazionarie ed è risultata pari a 100 °C. Il coefficiente di convezione
naturale è stimato in h=20W/m2K. Quanto vale la temperatura interna T1?
Soluzione
Dati:
La temperatura superficiale esterna, le proprietà termofisiche della parete di
mattoni, le condizioni dell’ambiente esterno.
Obiettivo:
Calcolare la temperatura della faccia interna della parete.
Schema:
Ipotesi semplificative
 Condizioni stazionarie
 Flusso conduttivo monodimensionale
 Scambio radiativo tra una piccola superficie ed un ambiente di grandi
dimensioni
Analisi:
La temperatura interna della parete si ricava dall’equazione di bilancio
esplicitata nei suoi addendi:
k
T1  T2
4
 h T2  T     T24  Tsur
0
L


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Risolvendo rispetto a T1, dopo aver sostituito i valori numerici, si ottiene:
T1  373(K) 
 



0.15 m
x 20 W/m 2 K 373  298 K   0.8x5.67x 3.73 4  2.98 4  625 K 
1.2 W/mK
Commenti:
1. Si osservi dai calcoli come il contributo radiativo sia prevalente
rispetto a quello convettivo sia per l’elevata temperatura T2 sia per il
modesto valore del coefficiente di convezione h.
2. E’ buona regola quando ci sono scambi radianti esprimere tutte le
temperature in K non solo per questi, ma anche per tutti gli altri
addendi del bilancio energetico.
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