Facoltà di Ingegneria Università degli studi di Pavia Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Elettronica e Informatica Campi Elettromagnetici e Circuiti I Sinusoidi e fasori Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2014/15 Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 1 Sommario • • • • • • • • Motivazione Segnali sinusoidali Fasori Relazioni tra fasori di tensione e di corrente Impedenza e ammettenza KCL e KVL per i fasori Impedenze in serie e in parallelo Trasformazioni stella/triangolo per le impedenze Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2014/15 Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 2 Motivazione La distribuzione dell’energia elettrica avviene utilizzando tensioni e correnti che variano con legge sinusoidale. Grazie all’analisi di Fourier, qualunque segnale variabile nel tempo può essere scomposto in una somma si contributi sinusoidali (serie di Fourier o integrale di Fourier) Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2014/15 Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 3 Nomenclatura Un segnale sinusoidale ha la forma della funzione seno o coseno. Una corrente (tensione) sinusoidale è anche detta corrente (tensione) alternata (o ac dall’inglese alternate current che si contrappone a dc direct current) Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2014/15 Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 4 Segnali sinusoidali Data la funzione v(t ) A cos t B sin t è sempre possibile scrivere v(t ) C cos (t ) Dimostrazione: v(t ) C cos (t ) C cos t cos C sin t sin da cui C cos A C sin B Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2014/15 2 C A B Prof. Luca Perregrini 2 B arctg A Sinusoidi e fasori, pag. 5 Segnali sinusoidali v(t ) V cos (t ) ampiezza della sinusoide frequenza angolare o pulsazione (rad/s) argomento della sinusoide fase della sinusoide V t+ V v 2 3 4 t V Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2014/15 Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 6 Segnali sinusoidali 2 Il periodo T è tempo impiegato per compiere un ciclo t v(t nT ) v(t ) v(t ) V cos (2 ) T v V T T2 T 3T2 2T t V 1 La frequenza f è il numero di cicli per secondo e si T misura in Hertz (1 Hz = 1 s–1). Si ha = 2 f. Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2014/15 Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 7 Segnali sinusoidali V v1 (t ) V cos t 2 v2 (t ) V cos (t ) V v2 è in anticipo su v1 Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2014/15 Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 8 Segnali sinusoidali v1 (t ) A cos t A B C v2 (t ) C cos t v3 (t ) B cos (t ) 2 C B A v1 e v2 sono in fase, v1 e v3 sono in controfase Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2014/15 Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 9 Numeri complessi Unità immaginaria: j 1 forma rettangolare o cartesiana forma esponenziale forma polare Im{z} parte reale di z z parte immaginaria di z r modulo di z y argomento di z q z=x+jy z = r e jq z = r q x y r q x x = r cosq, y = r sinq Re{z} r x 2 y 2 , q = arctg(y/x) Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2014/15 Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 10 Proprietà dei numeri complessi Dati z = x + j y = r e jq, z1 = x1 + j y1 = r1 e jq1, z2 = x2 + j y2 = r2 e jq2 si ha: z1 + z2 = x1 + x2 + j (y1 + y2) |z1/z2| = |z1|/|z2| = r1/r2 z1 – z2 = x1 – x2 + j (y1 – y2) Re{1/z} = x/(x2 + y2) 1/x z1· z2 = r1 · r2 (q1 + q2) Re{1/z} 1/Re{z} z1/z2 = r1/r2 (q1 – q2) 1/z = 1/r –q z r q / 2 z* = x –j y = r –q = r e–jq 1 / j = –j Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2014/15 Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 11 Fasori Poiché e jq = cos q + j sin q (identità di Eulero) si ha: v(t ) V cos (t ) V Re e j (t ) j Re V e e jt ReVe jt Il numero complesso V = V e j è il fasore che corrisponde alla funzione v(t) alla pulsazione (V è indipendente da t) Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2014/15 Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 12 Fasori Il modulo e l’argomento del fasore rappresentano l’ampiezza e la fase della funzione sinusoidale: funzione fasore V = V e j v(t) = V cos (t +) |V| = V arg{V} = Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2014/15 Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 13 Proprietà dei fasori: linearità funzione fasore v1 (t ) V1cos (t 1 ) V1 V1e j1 v2 (t ) V2 cos (t 2 ) V2 V2 e j 2 v(t ) a1 v1 (t ) a2 v2 (t ) V a1 V1 a2 V2 a1, a2 costanti reali dimostrazione v (t ) a1 v1 (t ) a2 v2 (t ) a1 V1cos (t 1 ) a2 V2 cos (t 2 ) Rea V e e Rea V a Re a1 V1e j1 e jt Re a2 V2 e j 2 e jt 1 Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2014/15 1 j1 a2 V2 e j 2 Prof. Luca Perregrini j t 1 1 j t V e 2 2 Sinusoidi e fasori, pag. 14 Proprietà dei fasori: derivazione funzione fasore v1 (t ) V1cos (t 1 ) V1 V1e j1 dv1 (t ) v (t ) dt V jV1 dimostrazione v(t ) dv1 (t ) d d V1cos (t 1 ) Re V1e j1 e jt dt dt dt d Re V1e j1 e jt Re jV1e j1 e jt Re jV1e jt dt Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2014/15 Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 15 Proprietà dei fasori: integrazione funzione fasore v1 (t ) V1cos (t 1 ) V1 V1e j1 v(t ) v1 (t ) dt V1 V j dimostrazione v(t ) v1 (t ) dt V1cos (t 1 ) dt Re V1e j1 e jt dt j1 Re V1e e jt Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2014/15 V1e j1 e jt V1 jt dt Re e Re j j Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 16 Quando è possibile usare i fasori? Un circuito può essere analizzato nel dominio dei fasori quando tutti i segnali (tensioni e correnti) sono sinusoidi alla stessa pulsazione . Tutti i generatori indipendenti funzionano alla pulsazione e il circuito include solo elementi lineari Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2014/15 Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 17 Relazioni tra fasori di tensione e corrente i R I + v R – – v R i Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2014/15 + V V RI Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 18 Relazioni tra fasori di tensione e corrente i C I + v C – – dv i C dt Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2014/15 + V I j C V Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 19 Relazioni tra fasori di tensione e corrente i L I + v L – – di v L dt Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2014/15 + V V j L I Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 20 Impedenza V Z R jX | Z | q Z I R = Re{Z} resistenza X = Im{Z} reattanza 2 | Z | R X X q Z arctg R Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2014/15 Prof. Luca Perregrini 2 Sinusoidi e fasori, pag. 21 Ammettenza 1 I Y G jB | Y | qY Z V G = Re{Y} conduttanza B = Im{Y} suscettanza 1 2 2 | Y | G B |Z| B qY arctg q Z G Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2014/15 Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 22 Relazioni fra impedenza e ammettenza 1 G jB R jX R G 2 2 R X X B 2 2 R X G R 2 2 G B B X 2 2 G B Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2014/15 Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 23 Impedenza e ammettenza per R, L, C impedenza ammettenza resistenza R ZR 1 Y R capacità C 1 Z jC Y j C Z jL 1 Y jL induttanza L Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2014/15 Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 24 Legge di Ohm generalizzata V ZI Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2014/15 Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 25 KCL per i fasori La somma algebrica dei fasori delle correnti che entrano in una superficie chiusa è zero I2 I1 I3 N I n 0 n 1 IN Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2014/15 I4 Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 26 KVL per i fasori La somma algebrica dei fasori delle tensioni lungo una maglia è zero – V3 + – V4 + + V2 M V m 0 m 1 – + V1 – Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2014/15 + VM – Prof. Luca Perregrini Sinusoidi e fasori, pag. 27 Impedenze in serie a Z1 + + V1 – V – ZN + V – N b + V – b N Z eq Z1 Z 2 Z N Z n n 1 Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2014/15 a Zeq Prof. Luca Perregrini Zn Vn V Z1 Z 2 Z N Sinusoidi e fasori, pag. 28 Ammettenze in parallelo I a I a I1 IN Y1 YN b b N Yeq Y1 Y2 YN Yn n 1 Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2014/15 Yeq Prof. Luca Perregrini Yn In I Y1 Y2 YN Sinusoidi e fasori, pag. 29 Trasformazioni impedenze stella/triangolo 3 1 Zc Zb 3 1 Z1 Z2 Za 2 Z3 4 2 4 triangolo stella Z1 Za Zb Zc Za Zb Zc Z1 Z 2 Z 2 Z 3 Z 3 Z1 Z1 Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2014/15 Z2 Zc Za Za Zb Zc stella triangolo Z Z Z 2 Z 3 Z3 Z1 Zb 1 2 Z2 Prof. Luca Perregrini Z3 Zc Za Zb Za Zb Zc Z1 Z 2 Z 2 Z3 Z 3 Z1 Z3 Sinusoidi e fasori, pag. 30