Sinusoidi e fasori - Università degli studi di Pavia

Facoltà di Ingegneria
Università degli studi di Pavia
Corso di Laurea Triennale in
Ingegneria Elettronica e Informatica
Campi Elettromagnetici e Circuiti I
Sinusoidi e fasori
Campi Elettromagnetici e Circuiti I  a.a. 2014/15
Prof. Luca Perregrini
Sinusoidi e fasori, pag. 1
Sommario
•
•
•
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•
•
•
•
Motivazione
Segnali sinusoidali
Fasori
Relazioni tra fasori di tensione e di corrente
Impedenza e ammettenza
KCL e KVL per i fasori
Impedenze in serie e in parallelo
Trasformazioni stella/triangolo per le
impedenze
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Sinusoidi e fasori, pag. 2
Motivazione
La distribuzione dell’energia elettrica avviene
utilizzando tensioni e correnti che variano con
legge sinusoidale.
Grazie all’analisi di Fourier, qualunque segnale
variabile nel tempo può essere scomposto in
una somma si contributi sinusoidali
(serie di Fourier o integrale di Fourier)
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Sinusoidi e fasori, pag. 3
Nomenclatura
Un segnale sinusoidale ha la forma della
funzione seno o coseno.
Una corrente (tensione) sinusoidale è anche
detta corrente (tensione) alternata
(o ac dall’inglese alternate current che si contrappone
a dc direct current)
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Sinusoidi e fasori, pag. 4
Segnali sinusoidali
Data la funzione
v(t )  A cos t  B sin t
è sempre possibile scrivere
v(t )  C cos (t   )
Dimostrazione:
v(t )  C cos (t   )  C cos t cos   C sin t sin 
da cui
C cos   A

C sin    B
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2
C  A B
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2
B
  arctg
A
Sinusoidi e fasori, pag. 5
Segnali sinusoidali
v(t )  V cos (t   )
ampiezza della sinusoide
frequenza angolare o pulsazione (rad/s)
argomento della sinusoide
fase della sinusoide
V

t+

V
v


2
3
4
t
V
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Sinusoidi e fasori, pag. 6
Segnali sinusoidali
2
Il periodo T 
è tempo impiegato per compiere un ciclo

t
v(t  nT )  v(t )
v(t )  V cos (2   )
T
v
V
T
T2
T
3T2
2T
t
V
1
La frequenza f 
è il numero di cicli per secondo e si
T
misura in Hertz (1 Hz = 1 s–1). Si ha  = 2 f.
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Segnali sinusoidali
V
v1 (t )  V cos t


2
v2 (t )  V cos (t   )
V
v2 è in anticipo su v1
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Sinusoidi e fasori, pag. 8
Segnali sinusoidali
v1 (t )  A cos t
A
B
C
v2 (t )  C cos t

v3 (t )  B cos (t   )
2
C
B
A
v1 e v2 sono in fase, v1 e v3 sono in controfase
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Numeri complessi
Unità immaginaria: j   1
forma rettangolare o cartesiana
forma esponenziale
forma polare
Im{z}
parte reale di z
z
parte immaginaria di z
r
modulo di z
y
argomento di z
q
z=x+jy
z = r e jq
z = r q
x
y
r
q
x
x = r cosq, y = r sinq
Re{z}
r  x 2  y 2 , q = arctg(y/x)
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Proprietà dei numeri complessi
Dati z = x + j y = r e jq, z1 = x1 + j y1 = r1 e jq1, z2 = x2 + j y2 = r2 e jq2 si ha:
z1 + z2 = x1 + x2 + j (y1 + y2)
|z1/z2| = |z1|/|z2| = r1/r2
z1 – z2 = x1 – x2 + j (y1 – y2)
Re{1/z} = x/(x2 + y2)  1/x
z1· z2 = r1 · r2 (q1 + q2)
Re{1/z}  1/Re{z}
z1/z2 = r1/r2 (q1 – q2)
1/z = 1/r –q
z  r q / 2
z* = x –j y = r –q = r e–jq
1 / j = –j
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Fasori
Poiché e jq = cos q + j sin q (identità di Eulero) si ha:

v(t )  V cos (t   )  V Re e

j (t  )
j
 Re V e e
jt

 ReVe 
jt
Il numero complesso V = V e j è il fasore che
corrisponde alla funzione v(t) alla pulsazione 
(V è indipendente da t)
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Fasori
Il modulo e l’argomento del fasore rappresentano
l’ampiezza e la fase della funzione sinusoidale:
funzione
fasore
V = V e j
v(t) = V cos (t +)
|V| = V
arg{V} = 
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Proprietà dei fasori: linearità
funzione
fasore
v1 (t )  V1cos (t  1 )
V1  V1e j1
v2 (t )  V2 cos (t   2 )
V2  V2 e j 2
v(t )  a1  v1 (t )  a2  v2 (t )
V  a1  V1  a2  V2
a1, a2 costanti reali
dimostrazione
v (t )  a1  v1 (t )  a2  v2 (t )  a1  V1cos (t  1 )  a2 V2 cos (t   2 )

 Rea  V e



e  Rea  V  a
 Re a1  V1e j1 e jt  Re a2 V2 e j 2 e jt
1
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1
j1
 a2 V2 e j 2
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j t
1
1
j t

V

e
2
2

Sinusoidi e fasori, pag. 14
Proprietà dei fasori: derivazione
funzione
fasore
v1 (t )  V1cos (t  1 )
V1  V1e j1
dv1 (t )
v (t ) 
dt
V  jV1
dimostrazione
v(t ) 
dv1 (t ) d
d
 V1cos (t  1 )   Re V1e j1 e jt
dt
dt
dt


d

 Re V1e j1 e jt   Re jV1e j1 e jt  Re jV1e jt
 dt


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

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


Sinusoidi e fasori, pag. 15
Proprietà dei fasori: integrazione
funzione
fasore
v1 (t )  V1cos (t  1 )
V1  V1e j1
v(t )   v1 (t ) dt
V1
V
j
dimostrazione


v(t )   v1 (t ) dt   V1cos (t  1 ) dt   Re V1e j1 e jt dt

j1
 Re  V1e e jt
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V1e j1 e jt 
 V1 jt 
dt  Re
e 
  Re
 j

 j 

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Sinusoidi e fasori, pag. 16
Quando è possibile usare i fasori?
Un circuito può essere analizzato nel dominio dei
fasori quando tutti i segnali (tensioni e correnti)
sono sinusoidi alla stessa pulsazione .
Tutti i generatori indipendenti
funzionano alla pulsazione  e il
circuito include solo elementi lineari
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Sinusoidi e fasori, pag. 17
Relazioni tra fasori di tensione e corrente
i
R
I
+
v
R
–
–
v  R i
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+
V
V  RI
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Relazioni tra fasori di tensione e corrente
i
C
I
+
v
C
–
–
dv
i C
dt
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+
V
I  j C  V
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Relazioni tra fasori di tensione e corrente
i
L
I
+
v
L
–
–
di
v  L
dt
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+
V
V  j L  I
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Sinusoidi e fasori, pag. 20
Impedenza
V
Z   R  jX | Z | q Z
I
R = Re{Z}
resistenza
X = Im{Z}
reattanza
2
| Z | R  X
X
q Z  arctg
R
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2
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Ammettenza
1 I
Y    G  jB | Y | qY
Z V
G = Re{Y} conduttanza
B = Im{Y} suscettanza
1
2
2
| Y | G  B 
|Z|
B
qY  arctg  q Z
G
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Sinusoidi e fasori, pag. 22
Relazioni fra impedenza e ammettenza
1
G  jB 
R  jX
R
G 2
2
R X
X
B 2
2
R X
G
R 2
2
G B
B
X  2
2
G B
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Sinusoidi e fasori, pag. 23
Impedenza e ammettenza per R, L, C
impedenza
ammettenza
resistenza R
ZR
1
Y
R
capacità C
1
Z
jC
Y  j C
Z  jL
1
Y
jL
induttanza L
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Legge di Ohm generalizzata
V ZI
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Sinusoidi e fasori, pag. 25
KCL per i fasori
La somma algebrica dei fasori delle correnti
che entrano in una superficie chiusa è zero
I2
I1
I3
N
I
n
0
n 1
IN
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I4
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KVL per i fasori
La somma algebrica dei fasori delle tensioni
lungo una maglia è zero
– V3 + – V4 +
+
V2
M
V
m
0
m 1
–
+ V1 –
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+ VM –
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Sinusoidi e fasori, pag. 27
Impedenze in serie
a
Z1
+ + V1 –
V
–
ZN
+ V –
N
b
+
V
–
b
N
Z eq  Z1  Z 2    Z N   Z n
n 1
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a
Zeq
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Zn
Vn 
V
Z1  Z 2    Z N
Sinusoidi e fasori, pag. 28
Ammettenze in parallelo
I a
I a
I1
IN
Y1
YN
b
b
N
Yeq  Y1  Y2    YN   Yn
n 1
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Yeq
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Yn
In 
I
Y1  Y2    YN
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Trasformazioni impedenze stella/triangolo
3
1
Zc
Zb
3
1
Z1
Z2
Za
2
Z3
4
2
4
triangolo  stella
Z1 
Za 
Zb  Zc
Za  Zb  Zc
Z1  Z 2  Z 2  Z 3  Z 3  Z1
Z1
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Z2 
Zc  Za
Za  Zb  Zc
stella  triangolo
Z  Z  Z 2  Z 3  Z3  Z1
Zb  1 2
Z2
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Z3 
Zc 
Za  Zb
Za  Zb  Zc
Z1  Z 2  Z 2  Z3  Z 3  Z1
Z3
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