Motivazione
La distribuzione dell’energia elettrica avviene
utilizzando tensioni e correnti che variano con
legge sinusoidale.
Grazie all’analisi di Fourier, qualunque segnale
variabile nel tempo può essere scomposto in
una somma si contributi sinusoidali
(serie di Fourier o integrale di Fourier)
Teoria dei Circuiti
Prof. Luca Perregrini
Sinusoidi e fasori, pag. 1
Nomenclatura
Un segnale sinusoidale ha la forma della
funzione seno o coseno.
Una corrente (tensione) sinusoidale è anche
detta corrente (tensione) alternata
(o ac dall’inglese alternate current che si contrappone
a dc direct current)
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Sinusoidi e fasori, pag. 2
Segnali sinusoidali
Data la funzione
v(t ) = A cos ωt + B sin ωt
è sempre possibile scrivere
v(t ) = C cos (ωt + ϕ )
Dimostrazione:
v(t ) = C cos (ωt + ϕ ) = C cos ωt cos ϕ − C sin ωt sin ϕ
da cui
C cos ϕ = A
C sin ϕ = − B
Teoria dei Circuiti
C = A2 + B 2
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ϕ = −arctg
B
A
Sinusoidi e fasori, pag. 3
Segnali sinusoidali
v(t ) = V cos (ωt + ϕ )
ampiezza della sinusoide
ω frequenza angolare o pulsazione (rad/s)
ωt argomento della sinusoide
ϕ fase della sinusoide
V
V
v
ϕ
π
2π
3π
4π
ωt
−V
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Sinusoidi e fasori, pag. 4
Segnali sinusoidali
Il periodo T =
2π
ω
è tempo impiegato per compiere un ciclo
t
v(t ) = V cos (2π + ϕ )
T
v(t + nT ) = v(t )
v
V
T
Tê2
T
3Tê2
2T
t
−V
1
La frequenza f =
è il numero di cicli per secondo e si
T
misura in Hertz (1 Hz = 1 s–1). Si ha ω = 2π f.
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Sinusoidi e fasori, pag. 5
Segnali sinusoidali
V
v1 (t ) = V cos ωt
ϕ
π
2π
v2 (t ) = V cos (ωt + ϕ )
−V
v2 è in anticipo su v1
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Sinusoidi e fasori, pag. 6
Segnali sinusoidali
v1 (t ) = A cos ωt
v2 (t ) = C cos ωt
A
B
C
v3 (t ) = B cos (ωt ± π )
π
2π
−C
−B
−A
v1 e v2 sono in fase, v1 e v3 sono in controfase
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Sinusoidi e fasori, pag. 7
Numeri complessi
Unità immaginaria: j = − 1
forma rettangolare o cartesiana
forma esponenziale
forma polare
Im{z}
parte reale di z
z
parte immaginaria di z
r
modulo di z
y
argomento di z
θ
z=x+jy
z = r e jθ
z = r ∠θ
x
y
r
θ
x = r cosθ, y = r sinθ
x
Re{z}
r = x + y , θ = arctg(y/x)
2
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2
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Sinusoidi e fasori, pag. 8
Proprietà dei numeri complessi
Dati z = x + j y = r e jθ, z1 = x1 + j y1 = r1 e jθ1, z2 = x2 + j y2 = r2 e jθ2 si ha:
z1 + z2 = x1 + x2 + j (y1 + y2)
|z1/z2| = |z1|/|z2| = r1/r2
z1 – z2 = x1 – x2 + j (y1 – y2)
Re{1/z} = x/(x2 + y2) ≠ 1/x
z1· z2 = r1 · r2 ∠(θ1 + θ2)
Re{1/z} ≠ 1/Re{z}
z1/z2 = r1/r2 ∠(θ1 – θ2)
1/z = 1/r ∠–θ
z = r ∠θ / 2
z* = x –j y = r ∠–θ = r e–jθ
1 / j = –j
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Sinusoidi e fasori, pag. 9
Fasori
Poiché e jθ = cos θ + j sin θ (identità di Eulero) si ha:
{
v(t ) = V cos (ωt + ϕ ) = V Re e j (ωt +ϕ )
{
= Re V e jϕ e jωt
}
}= Re{Ve }
jωt
Il numero complesso V = V e jϕ è il fasore che
corrisponde alla funzione v(t) alla pulsazione ω
(V è indipendente da t)
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Sinusoidi e fasori, pag. 10
Fasori
Il modulo e l’argomento del fasore rappresentano
l’ampiezza e la fase della funzione sinusoidale:
funzione
fasore
v(t) = V cos (ωt +ϕ)
V = V e jϕ
|V| = V
arg{V} = ϕ
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Sinusoidi e fasori, pag. 11
Proprietà dei fasori: linearità
funzione
fasore
v1 (t ) = V1cos (ωt + ϕ1 )
V1 = V1e jϕ1
v2 (t ) = V2 cos (ωt + ϕ 2 )
V2 = V2 e jϕ 2
v(t ) = a1 ⋅ v1 (t ) + a2 ⋅ v2 (t )
V = a1 ⋅ V1 + a2 ⋅ V2
a1, a2 costanti reali
dimostrazione
v(t ) = a1 ⋅ v1 (t ) + a2 ⋅ v2 (t ) = a1 ⋅V1cos (ωt + ϕ1 ) + a2 ⋅V2 cos (ωt + ϕ 2 )
{
= Re{(a ⋅ V e
}
{
}
)e }= Re{(a ⋅ V + a
= Re a1 ⋅V1e jϕ1 e jωt + Re a2 ⋅ V2 e jϕ 2 e jωt
1
Teoria dei Circuiti
1
jϕ1
+ a2 ⋅ V2 e jϕ 2
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jωt
1
1
jωt
)
⋅
V
e
2
2
}
Sinusoidi e fasori, pag. 12
Proprietà dei fasori: derivazione
funzione
fasore
v1 (t ) = V1cos (ωt + ϕ1 )
V1 = V1e jϕ1
v(t ) =
dv1 (t )
dt
V = jωV1
dimostrazione
v(t ) =
{
dv1 (t ) d
d
= (V1cos (ωt + ϕ1 ) ) = Re V1e jϕ1 e jωt
dt
dt
dt
}
d
= Re V1e jϕ1 e jωt = Re jωV1e jϕ1 e jωt = Re jωV1e jωt
dt
(
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)
{
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}
{
}
Sinusoidi e fasori, pag. 13
Proprietà dei fasori: integrazione
funzione
fasore
v1 (t ) = V1cos (ωt + ϕ1 )
V1 = V1e jϕ1
v(t ) = ∫ v1 (t ) dt
V1
V=
jω
dimostrazione
{
}
v(t ) = ∫ v1 (t ) dt = ∫ V1cos (ωt + ϕ1 ) dt = ∫ Re V1e jϕ1 e jωt dt
{
= Re ∫ V1e e
Teoria dei Circuiti
jϕ1
jωt
}
V1e jϕ1 e jωt
V1 jωt
dt = Re
e
= Re
jω
jω
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Sinusoidi e fasori, pag. 14
Quando è possibile usare i fasori?
Un circuito può essere analizzato nel dominio dei
fasori quando tutti i segnali (tensioni e correnti)
sono sinusoidi alla stessa pulsazione ω.
Tutti i generatori indipendenti
funzionano alla pulsazione ω e il
circuito include solo elementi lineari
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Sinusoidi e fasori, pag. 15
Relazioni tra fasori di tensione e corrente
i
R
Teoria dei Circuiti
I
+
v
R
+
V
–
–
v = R ⋅i
V = R⋅I
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Sinusoidi e fasori, pag. 16
Relazioni tra fasori di tensione e corrente
i
C
I
+
v
C
–
–
dv
i =C⋅
dt
Teoria dei Circuiti
+
V
I = jωC ⋅ V
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Sinusoidi e fasori, pag. 17
Relazioni tra fasori di tensione e corrente
i
L
I
+
v
L
–
–
di
v = L⋅
dt
Teoria dei Circuiti
+
V
V = jωL ⋅ I
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Sinusoidi e fasori, pag. 18
Impedenza
V
Z = = R + jX =| Z | ∠θ Z
I
R = Re{Z}
resistenza
X = Im{Z}
reattanza
| Z |= R + X
X
θ Z = arctg
R
2
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2
Sinusoidi e fasori, pag. 19
Ammettenza
1 I
Y = = = G + jB =| Y | ∠θY
Z V
G = Re{Y} conduttanza
B = Im{Y} suscettanza
1
2
2
| Y |= G + B =
|Z|
B
θY = arctg = −θ Z
G
Teoria dei Circuiti
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Sinusoidi e fasori, pag. 20
Relazioni fra impedenza e ammettenza
1
G + jB =
R + jX
Teoria dei Circuiti
R
G= 2
2
R +X
X
B=− 2
2
R +X
G
R= 2
2
G +B
B
X =− 2
2
G +B
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Sinusoidi e fasori, pag. 21
Impedenza e ammettenza per R, L, C.
impedenza
ammettenza
resistenza R
Z=R
1
Y=
R
capacità C
1
Z=
jωC
Y = jωC
induttanza L
Teoria dei Circuiti
Z = jωL
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Y=
1
jωL
Sinusoidi e fasori, pag. 22
KCL per i fasori
La somma algebrica dei fasori delle correnti
che entrano in una superficie chiusa è zero
I2
I1
I3
N
∑I
n
=0
n =1
IN
Teoria dei Circuiti
I4
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Sinusoidi e fasori, pag. 23
KVL per i fasori
La somma algebrica dei fasori delle tensioni
lungo una maglia è zero
– V3 + – V4 +
+
V2
M
∑V
m
m =1
–
+ V –
1
Teoria dei Circuiti
=0
+ V –
M
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Sinusoidi e fasori, pag. 24
Impedenze in serie
a
Z1
+ + V1 –
V
–
ZN
+ V –
N
b
Zeq
+
V
–
b
N
Z eq = Z1 + Z 2 + K + Z N = ∑ Z n
n =1
Teoria dei Circuiti
a
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Zn
Vn =
V
Z1 + Z 2 + K + Z N
Sinusoidi e fasori, pag. 25
Impedenze in parallelo
I a
I a
I1
IN
Y1
YN
b
b
N
Yeq = Y1 + Y2 + K + YN = ∑ Yn
n =1
Teoria dei Circuiti
Yeq
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Yn
In =
I
Y1 + Y2 + K + YN
Sinusoidi e fasori, pag. 26
Trasformazioni impedenze stella/triangolo
3
1
Zc
Zb
3
1
Z1
Z2
Za
2
Z3
4
2
4
triangolo ⇒ stella
Z1 =
Za =
Zb ⋅ Zc
Za + Zb + Zc
Z1 ⋅ Z 2 + Z 2 ⋅ Z 3 + Z 3 ⋅ Z1
Z1
Teoria dei Circuiti
Z2 =
Zc ⋅ Za
Za + Zb + Zc
stella ⇒ triangolo
Z ⋅ Z + Z 2 ⋅ Z 3 + Z 3 ⋅ Z1
Zb = 1 2
Z2
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Z3 =
Zc =
Za ⋅ Zb
Za + Zb + Zc
Z1 ⋅ Z 2 + Z 2 ⋅ Z 3 + Z 3 ⋅ Z1
Z3
Sinusoidi e fasori, pag. 27
