Rapporto Q/V durante la fase di carica di un

Misura del rapporto Q/V durante la fase di carica di un Condensatore.
Torino, Gennaio 2007.
Liceo Scientifico “G. Bruno”
Testato grazie alla collaborazione della classe 5E
Lorenzo Galante
([email protected])
Una delle cose che non avevo mai misurato direttamente in laboratorio è il rapporto tra la carica
deposta su una delle armature di un condensatore e la tensione ai capi del condensatore. Su tutti i
manuali di fisica delle scuole superiori che io conosca sta scritto che tale rapporto è costante e
rappresenta la capacità C del condensatore. Certo ci si può arrivare per via teorica, ma la prova
sperimentale non l’ho mai fatta e non sapevo come farla. Qualche settimana fa, però ho iniziato a
pensare se ci fosse un modo per misurare tale rapporto. Visto che la difficoltà nell’avere una stima
sperimentale di tale rapporto poggia interamente sulla determinazione della carica, mi sono
concentrato sul modo per misurare la carica deposta su un condensatore.
Il modo esiste, almeno secondo me, ed è il seguente. Lavoriamo con una fase di carica di un
condensatore caricato con un generatore di tensione V0. Realizziamo quindi un circuito di questo
tipo (fig.a):
Condensatore
R
Una maglia costituita dalla serie di una resistenza R
nota, un generatore di tensione nota (Vo) e un
condensatore. Un circuito di questo tipo pone il
condensatore in continua fase di carica, è tuttavia
possibile con un semplice filo di rame cortocircuitare
il condensatore come in figura b. Abbiamo adesso a
disposizione un semplice modo per scegliere
l’istante di inizio della fase di carica: tenendo il filo
di rame con le mani si crea il cortocircuito e appena
si lascia andare il filo di rame, ha inizio la fase di
carica.
Fig. a
Vo
Misura delle tensioni ai capi del Condensatore.
R
Fig. b
Vo
Bisogna ora avere un modo per misurare le tensioni
ai capi del condensatore che variano nel tempo. Visto
che il lab. Physic@ del Liceo è dotato di computer
con convertitori analogico digitali (ADC) è possibile
acquisire la tensione del condensatore V(t), con una
frequenza di campionamento a piacere (fino ad un
massimo di 200kHz). Essendo il nostro circuito
realizzato con una resistenza di 100KΩ e un
condensatore di 100μF, la costante di tempo è τ = RC
= 10 s. Ciò significa che la fase di carica sarà
sufficientemente lenta e sarà sufficiente campionare
con una frequenza di campionamento di 100Hz.
Ecco la schermata del software Labview che permette allo studente sperimentatore di gestire
l’acquisizione dati durante l’esperimento:
La schermata permette di visualizzare anche il grafico ottenuto con i dati di tensione raccolti.
Importante fare in modo che l’acquisizione dei dati cominci nello stesso istante in cui, con il
metodo del filo di rame che cortocircuita, si dà inizio alla fase di carica. Occorre far fare un po’ di
prove ai ragazzi perché prendano confidenza con la tecnica adottata.
Ecco alcune foto del circuito con cui abbiamo lavorato e dei computer con ADC che hanno
permesso di acquisire i dati.
Come misurare la carica ai capi del condensatore
Ed ora l’idea per misurare la carica a partire dai dati raccolti, ovvero a partire dalla tensione V(t) ai
capi del condensatore. Se scriviamo l’equazione di Kirchoff per la maglia del nostro circuito
durante la fase di carica otteniamo
V0 − iR − V (t ) = 0
Equazione che ci permette di esprimete la corrente i(t) in funzione di quantità note (Vo è la tensione
della pila che alimenta il circuito - la misuro -, R è la resistenza nota, V(t) è misurata durante
l’esperimento grazie all’ADC) :
i=
V0 − V (t )
.
R
Nota la corrente possiamo sapere istante per istante quanti Coulomb di carica sono deposti su una
lamina del condensatore. Per capirlo basta pensare alla grandezza fisica i ⋅ dt , che volendo
dq
dq
possiamo anche esprimere come
rappresenta la quantità di carica che attraversa una
⋅ dt .
dt
dt
sezione del filo del nostro circuito in un intervallo infinitesimo dt di tempo, è chiaro che se
moltiplichiamo tale grandezza per dt otteniamo quanta carica è passata per una certa sezione del
nostro circuito nell’intervallo infinitesimo. Allora sommando i vari ‘pacchetti infinitesimi’ di carica
fluiti attraverso una sezione qualsiasi del nostro circuito dall’inizio della fase di carica fino ad un
certo istante t, arriviamo a sapere quanta carica si è deposta su un’armatura del condensatore
all’istante t. In formule:
t
V0 − V (t )
V0
Q(t ) = ∫ i ⋅ dt = ∫
⋅ dt = t − ∫ V (t ) ⋅ dt
R
R
0
0
0
t
t
Si capisce bene come Q(t) sia la differenza di due termini: il primo facilmente valutabile, il secondo
valutabile a patto di calcolare l’area sottesa dalla curva delle tensioni (misurata) tra l’istante 0 e
l’istante t. Fortunatamente Labview permette la costruzione di un programma di acquisizione che
calcola gli integrali definiti della funzione V(t) tra l’istante iniziale 0 e l’istante t. Così, visto che
abbiamo campionato con una frequenza di 100Hz e si acquisito dati per 10s, Labview si è calcolato
in tempo reale 1000 integrali definiti.
A questo punto della faccenda abbiamo a disposizione due colonne ciascuna di 1000 dati: V(t) e
Q(t). Possiamo fare il loro rapporto per esempio esportando i dati su Excel. Ecco i grafici ottenuti:
Carica su un'armatura [C]
Andamenteo della carica su un'armatura del
condensatore durante la fase di carica.
Andamento della tensione ai capi del
condensatore durante la fase di carica.
0,6
0,00007
0,5
0,00006
0,00005
0,4
0,00004
0,3
0,00003
0,2
0,00002
0,1
0,00001
0
0
0
0
5
5
10
10
t [s]
t [s]
intensità di corrente
[Amprere]
Andamento della corrente durante la fase di
carica
0,00001
0,000008
0,000006
0,000004
0,000002
0
0
5
10
t [s]
Rapporto (Carica su un armatura) / (tensione ai capi del
Condensatore) al variare del tempo
0,00012
Q/V [Farad]
0,0001
0,00008
0,00006
0,00004
0,00002
t [s]
0
0
2
4
6
8
10
12
Si vede che il rapporto Q/V si assesta su un valore costante che è la capacità del condensatore (100
mF). Resta da capire come mai il rapporto non risulti sempre costante. Il problema è aperto. Ad
oggi, non avendo ancora avuto tempo di fare riflessioni, penso che inizialmente il rapporto non
risulti allineato con la capacità del Condensatore a causa degli errori dovuti alla sincronizzazione
dell’inizio della fase di carica e dell’acquisizione (nell’istante in cui parte l’acquisizione, devono
verificarsi 2 fatti: 1. la tensione del C deve essere 0, 2. deve partire la fase di carica). Tali errori
introducono un errore nella valutazione dell’integrale definito che risulta molto importante nei primi
istanti dell’esperimento, quando il valore dell’integrale è ancora piccolo, meno importante nelle fasi
avanzate quando il valore dell’integrale è grande.