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I modelli fondati sul mercato dei capitali Slides tratte da: Andrea Resti Andrea Sironi Rischio e valore nelle banche Misura, regolamentazione, gestione Egea, 2008 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali AGENDA • L’approccio basato sugli spread dei corporate bonds • L’approccio basato sulle quotazioni azionarie •Il modello di Merton • Il modello KMV •Esercizi © Resti e Sironi, 2008 2 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali L’approccio basato sugli spread dei corporate bonds • I modelli analizzati in questo capitolo (capital market approaches) ricavano la probabilità di insolvenza dell’emittente partendo dai prezzi di azioni e obbligazioni • Lo spread richiesto dal mercato ai titoli obbligazionari rischiosi (rispetto al rendimento di titoli di uguale scadenza privi di rischio di insolvenza) riflette le aspettative del mercato circa la probabilità di insolvenza degli emittenti • Gli input di questi modelli sono: la curva degli spread tra i rendimenti zero-coupon dei corporate bond di una certa impresa e i rendimenti zerocoupon dei titoli risk-free © Resti e Sironi, 2008 una stima del tasso di recupero atteso, sui corporate bond, in caso di insolvenza 3 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali Premessa: i tassi composti continui • I tassi di interesse (i) saranno espressi come tassi composti continui montante di un debito a fine anno M Ce i fattore di montante di tipo esponenziale capitale iniziale • Indicando con C il valore corrente di un investimento e con M il valore finale: M i ln C • É sempre possibile passare da un tasso semplice o composto periodale is al corrispondente tasso composto continuo ic, imponendo che conducano entrambi allo stesso montante: Ce M C (1 is ) ic © Resti e Sironi, 2008 is e 1 ic ic ln 1 is 4 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali L’approccio basato sugli spread dei corporate bonds La stima della probabilità di insolvenza ad un anno Supponiamo: PD= p LGD=100% i= tasso di rendimento dei titoli di Stato a un anno d= spread fra titolo rischioso e titolo risk-free. i*=i+d tasso di rendimento a un anno del titolo rischioso • Per un investitore neutrale al rischio è indifferente investire un euro nel titolo obbligazionario rischioso o nel titolo di Stato quando: montante investito nel titolo risk free = montante investito nel corporate bond, ponderato per la probabilità che questo venga restituito e 1 p e i © Resti e Sironi, 2008 i d p 1 e d funzione crescente di d 5 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali L’approccio basato sugli spread dei corporate bonds La stima della probabilità di insolvenza ad un anno • Maggiore è lo spread d richiesto dal mercato, maggiore è la probabilità di default • Supponendo che i*= 5% e i= 4%: p 1 e 0,01 0,995% • Supponiamo ora più realisticamente che i creditori recuperino, in caso di insolvenza, una quota R del capitale prestato più i relativi interessi al tasso i*: ei 1 p pReid 1 p1 Reid 1 e 0,01 p 1,99% 1 0,5 © Resti e Sironi, 2008 1 ed 1 ed p 1 R LGD Ipotizzando tasso di recupero R = 50% 6 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali L’approccio basato sugli spread dei corporate bonds La stima della probabilità di insolvenza su orizzonti superiori all’anno • Consideriamo la curva dei tassi zero-coupon, dei corporate bond di un certo emittente e dei titoli privi di rischio e i relativi spread. Scadenza Rendimento (T, anni) su titoli privi di rischio (iT) 7% 6% 1 2 3 4 5 5% 4% 3% 4,00% 4,10% 4,20% 4,30% 4,50% Ritorno su Spread pT p'T condizionata obbligazioni (dT) all’assenza di societarie default nei rischiose periodi (i*T) precedenti 5,00% 1,00% 2,49% 2,49% 5,20% 1,10% 5,44% 3,03% 5,50% 1,30% 9,56% 4,36% 5,80% 1,50% 14,56% 5,52% 6,20% 1,70% 20,37% 6,80% 1% Tasso sulle obbligazioni societarie Tasso sui titoli privi di rischio 0% Spread (d) 2% 1 2 3 4 5 Scadenza © Resti e Sironi, 2008 7 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali L’approccio basato sugli spread dei corporate bonds La stima della probabilità di insolvenza su orizzonti superiori all’anno • pT è la probabilità di default cumulata relativa a un periodo di T anni Probabilità che l’emittente fallisca tra oggi e la fine del T-esimo anno • Se l’investitore è neutrale al rischio, il montante atteso di un euro investito nel corporate bond dovrà essere uguale al montante di un euro investito nel titolo risk free: iT d T T iT dT T iT T e 1 pT pT Re 1 pT 1 R e 1 ed T 1 ed T pT 1 R LGD T T • Da ciò è possibile ricavare le probabilità di default cumulate associate alle diverse scadenze, come si osserva nella quinta colonna della tabella della slide 7 (R=60%) al crescere dell’orizzonte temporale crescono anche le PD cumulate © Resti e Sironi, 2008 8 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali L’approccio basato sugli spread dei corporate bonds La stima della probabilità di insolvenza su orizzonti superiori all’anno • sT1-pT • s T probabilità che il debitore sopravviva tra oggi e la fine del T-esimo anno probabilità di sopravvivenza marginale durante il T-esimo anno probabilità (condizionata alla sopravvivenza del debitore fino alla fine dell’anno T-1) che il debitore non fallisca nel corso dell’anno T • Per qualsiasi T sT sT 1 sT sT sT sT 1 © Resti e Sironi, 2008 La probabilità di sopravvivenza tra 0 e T è data dal prodotto tra la probabilità di sopravvivenza tra 0 e T-1 e la probabilità (marginale) di sopravvivenza il T-esimo anno 9 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali L’approccio basato sugli spread dei corporate bonds La stima della probabilità di insolvenza su orizzonti superiori all’anno • La probabilità di default marginale durante l’anno T ( pT) è data dal complemento a uno della relativa probabilità di sopravvivenza marginale: pT 1 sT 1 sT 1 pT 1 sT 1 1 pT 1 • Riferendoci sempre all’esempio di slide 7, la probabilità di default marginale nel secondo anno sarà: 1 p2 1 5,44% p2 1 1 3,03% 1 p1 1 2,49% © Resti e Sironi, 2008 10 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali L’approccio basato sugli spread dei corporate bonds La stima della probabilità di insolvenza su orizzonti superiori all’anno • Le PD marginali possono essere calcolate anche utilizzando i tassi di rendimento zero-coupon a termine, ossia i tassi forward impliciti nella curva spot: i iT T iT 1 T 1 T 1 1 Data di Data di Tasso forward decorrenza scadenz su titoli privi di (T-1) a (T) rischio (T-1i1 ) 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 © Resti e Sironi, 2008 4,00% 4,20% 4,40% 4,60% 5,30% Tasso forward su obbligazioni societarie (T-1i*1) Spread forward (T-1d 1) 5,00% 5,40% 6,10% 6,70% 7,80% 1,00% 1,20% 1,70% 2,10% 2,50% p'T condizionata all’assenza di default precedenti 2,49% 2,98% 4,21% 5,20% 6,17% pT 2,49% 5,40% 9,38% 14,09% 19,39% 11 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali L’approccio basato sugli spread dei corporate bonds La stima della probabilità di insolvenza su orizzonti superiori all’anno • Gli spread fra i tassi spot relativi alle due categorie di titoli (inclinati positivamente) si riflettono negli spread (più elevati) fra i tassi a termine Spread a pronti crescenti, spread a 3,0% termine sopra a quelli a pronti É possibile stimare le probabilità di insolvenza relative agli anni successivi al primo usando lo stesso criterio con cui si è ricavata la probabilità di insolvenza a un anno 2,5% 2,0% 1,5% 1,0% 0,5% Spread a termine Spread a pronti 0,0% 1 2 3 4 5 Scadenza © Resti e Sironi, 2008 12 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali L’approccio basato sugli spread dei corporate bonds La stima della probabilità di insolvenza su orizzonti superiori all’anno • Richiamando l’equivalenza tra i montanti per un investitore neutrale al rischio: e T 1i1 1 pT pT R e T 1i1 T 1 d1 1 pT 1 R e T 1i1 T 1 d1 montante di un’operazione a termine priva di rischio montante atteso da un’operazione a termine sul corporate bond 1 e T 1 d1 1 e T 1 d1 pT 1 R LGD • Ipotizzando un tasso di recupero R del 60%, si possono ottenere le varie probabilità di insolvenza (quinta colonna della tabella di slide 11) 1 e 1, 20% p 2 2,98% 1 60% © Resti e Sironi, 2008 secondo anno 13 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali L’approccio basato sugli spread dei corporate bonds La stima della probabilità di insolvenza su orizzonti superiori all’anno • Utilizzando la relazione tra PD marginali e cumulate, possiamo calcolare anche le PD cumulate associate alle PD marginali: pT 1 1 pT 1 pT 1 p2 1 1 p2 1 p1 1 (1 2,98%)(1 2,49%) 5,40% PD cumulata a due anni • In alternativa, dato che la probabilità di sopravvivenza cumulata è la produttoria di tutte le probabilità di sopravvivenza marginali per gli anni da 1 a T (ultima colonna della tabella di slide 11) : Funzione T T T sole 1 p t delle pT 1 sT 1 p t sT s t PD t 1 t 1 t 1 marginali 3 p3 1 pt 1 p1 1 p2 1 p3 1 2,49% 1 2,98% 1 4,21% 9,38% t 1 probabilità di un default tra oggi e la fine del terzo anno © Resti e Sironi, 2008 14 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali L’approccio basato sugli spread dei corporate bonds Pregi e limiti VANTAGGI 1. sono utilizzati dati di mercato oggettivi 2. è un modello “forward looking”, capace cioè di stimare i tassi di insolvenza attesi dal mercato per i futuro LIMITI 1. lo spread viene tutto attribuito al rischio di credito Spesso in realtà una parte dello spread sui corporate bond riflette semplicemente la minore liquidità i i d 2. ipotesi di neutralità al rischio Nella realtà per scambiare un investimento certo con uno rischioso gli investitori richiedono un premio © Resti e Sironi, 2008 e P 1 p * 1 Re p* è più basso rispetto ai p calcolati precedentemente Le PD sono distorte verso l’alto (PD risk-neutral) 15 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali L’approccio basato sugli spread dei corporate bonds Pregi e limiti LIMITI DI TIPO OPERATIVO Il modello è inapplicabile per le imprese che non emettono titoli obbligazionari quotati Anche le imprese con debito quotato hanno spesso carenza di dati relativi ai tassi di rendimento zero-coupon associati alle diverse scadenze Ottenibili con il bootstrapping dai titoli con cedola; l’impresa deve aver emesso titoli di diversa scadenza per poter ricavare l’intera curva degli spread © Resti e Sironi, 2008 16 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie • Questo approccio si basa sul modello di pricing delle opzioni da Black e Scholes nel 1973 • Il primo ad applicare questo modello al rischio di insolvenza è stato Merton (1974) L’insolvenza di un’impresa avviene nel momento in cui il valore delle attività risulta inferiore al valore delle passività verso terzi Il valore del capitale è azzerato e gli azionisti avranno la convenienza a dichiarare l’insolvenza e lasciare l’azienda in mano ai creditori • Gli azionisti detengono l’opzione di dichiarare insolvenza, cioè di cedere l’azienda ai creditori anziché rimborsare il debito, quando il valore delle passività verso terzi è superiore al valore dell’attivo © Resti e Sironi, 2008 17 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie Il modello di Merton • È un modello strutturale Si concentra sulle caratteristiche strutturali che determinano la PD: il valore dell’attivo, il valore del debito e la volatilità dell’attivo. • Il modello ipotizza una struttura finanziaria dell’impresa semplificata: Una sola forma di passività verso terzi (rimborso del capitale F alla scadenza T) con valore di mercato pari a B Attivo dell’impresa a valore di mercato = V Equity E=V-B tasso di variabilità del moto B0, V0 e E0 sono i valori correnti browniano geometrico Variazioni istantanee percentuali dell’attivo dV dt v dz dt v dt V rendimento istantaneo atteso dagli attivi © Resti e Sironi, 2008 disturbo casuale 18 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie Il modello di Merton • Le variazioni percentuali dell’attivo (“rendimento dell’attivo”) si muovono in modo stocastico e l’incertezza aumenta al crescere dell’orizzonte temporale • Rischio di credito: la possibilità che alla scadenza del debito (T) il valore dell’attivo dell’impresa, VT, sia inferiore al valore di rimborso del prestito, F Questa possibilità è tanto maggiore quanto maggiore è: la leva finaziaria B0/V0 la volatilità del rendimento delle attività dell’impresa V la scadenza del debito © Resti e Sironi, 2008 19 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie Il modello di Merton • La probabilità di insolvenza di un’impresa è data dalla probabilità che VT < F , Evoluzione passata Logaritmo del valore dell’attivo cioè l’area sottostante alla distribuzione normale, contenente tutti i rendimenti negativi che determinano un VT a scadenza inferiore al valore di rimborso del debito Possibili evoluzioni future Probabilità di default p Valore del debito (logaritmo) Oggi © Resti e Sironi, 2008 Distribuzione di probabilità di tutti i possibili valori futuri Al tempo T (ad es. tra un anno) 20 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie Il modello di Merton • L’area (probabilità di default) é tanto maggiore quanto minore è V0 maggiore è F maggiore è V Queste variabili racchiudono tutti i fattori rilevanti per la determinazione della PD Maggiore è la scadenza del debito Le prospettive di evoluzione dell’impresa, del settore economico di appartenenza e della congiuntura macroeconomica Financial risk, determinato dalla leva finanziaria Business Risk, considerato nella volatilità del rendimento dell’attivo © Resti e Sironi, 2008 21 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie Il modello di Merton • L’opzione detenuta dagli azionisti nei confronti dei creditori è un’opzione put Put sull’attivo dell’impresa con strike F e scadenza T – posizione corta Payoff dei detentori del debito Per valori di VT> F, come V2, il valore dell’attivo è tale da poter rimborsare totalmente i creditori V2 – F va a beneficio degli azionisti Per VT < F , come V1, l’impresa è insolvente e la banca riceve solo parte del pagamento dovuto V1 F © Resti e Sironi, 2008 V2 Valore dell’attivo(VT) 22 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie Il modello di Merton • Per coprirsi i creditori potrebbero a loro volta acquistare un’opzione put sul valore dell’attivo dell’impresa (V), con scadenza T e strike F. La combinazione delle due posizioni produce un payoff garantito Payoff al tempo 0 Concessione prestito Acquisto put Totale -B0 -P0 -(B0+P0) Payoff al tempo T se VT<F se VT>F VT F F-VT 0 F F • Il valore delle due posizioni (B0+P0) deve esse pari a quello di un titolo privo di rischio che a scadenza paga F © Resti e Sironi, 2008 P0 B0 Fe iT 23 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie Il modello di Merton • Il valore dell’opzione put, P0, può essere determinato utilizzando il modello di Black e Scholes ln d1 V0 P0 FeiT N (d 2 ) N (d1 )V0 i 1 2 T ln V0 F 2 V FeiT V T V 1 2 T ln( L) V 2 d2 d1 V T V T È possibile a questo punto determinare: 1 2T 1 2T ln L V 2 V 2 T V T L FeiT V il valore corrente del prestito B0 la probabilità di insolvenza (risk neutral) dell’impresa debitrice il rendimento richiesto dai creditori sul prestito e il relativo spread © Resti e Sironi, 2008 24 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie Il modello di Merton: il valore del prestito e lo spread di equilibrio • Sostituendo l’equazione della put (slide 24) nella formula di slide 23, otteniamo: 1 iT iT B0 Fe 1 N ( d 2 ) N ( d1 )V0 Fe N ( d 2 ) N ( d1 ) L Il valore del prestito è tanto maggiore quanto minore è la leva finanziaria • Il rendimento di equilibrio del prestito è i* che rende uguale il valore attuale del rimborso finale F a B0 Fe i *T © Resti e Sironi, 2008 B0 B0 FeiT P0 ln ln * F i F T T 25 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie Il modello di Merton: il valore del prestito e lo spread di equilibrio • Sostituendo all’interno dell’ultima equazione della slide 25 il valore P0 (slide 24) si può ricavare i*, nonché lo spread d i* - i : V0 N (d1 ) 1 1 d i i ln N (d 2 ) iT N (d1 ) ln N (d 2 ) T T L Fe * • Esempio: consideriamo un impresa con: V0 = 100.000 euro V =10% F = 90.000 euro T = 1 anno i = 5% * L = Fe i T / V = 85,61% • Con questi dati è possibile stimare B0, e d © Resti e Sironi, 2008 26 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie Il modello di Merton: il valore del prestito e lo spread di equilibrio • Si ottiene quindi: 1 2 T ln L V 2 d1 1,604 V T d 2 d1 V T 1,504 B0 Fe iT N (d1 ) 0,054 N (d 2 ) 0,934 N ( d1 ) 85,371 N (d 2 ) L 1 1 d ln N (d 2 ) N ( d1 ) 0,280% T L • All’impresa sarà applicato un tasso attivo del 5,28%, pari al risk free più d. © Resti e Sironi, 2008 27 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie Il modello di Merton: il valore del prestito e lo spread di equilibrio • Nella tabella seguente vengono calcolati i valori dello spread di equilibrio in corrispondenza di vari livelli di L e diverse volatilità. V L 50% 60% 70% 80% 90% 100% 5% 10% 15% 0,000% 0,000% 0,000% 0,000% 0,033% 2,015% 0,000% 0,000% 0,001% 0,050% 0,795% 4,069% 0,000% 0,002% 0,052% 0,506% 2,272% 6,165% 20% 25% 0,002% 0,029% 0,044% 0,243% 0,355% 1,032% 1,494% 2,873% 4,070% 6,036% 8,301% 10,478% 30% 0,149% 0,700% 2,063% 4,519% 8,112% 12,696% Lo spread è tanto maggiore quanto maggiore è, a parità di altre condizioni, L e quanto maggiore è la volatilità dell’attivo © Resti e Sironi, 2008 28 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie Il modello di Merton: la probabilità di default • Probabilità di insolvenza dell’impresa: p prVT F • Tale probabilità equivale alla probabilità di esercizio dell’opzione put implicita nel prestito. Usando il modello di Black e Scholes, la probabilità di esercizio è: N (d 2 ) 1 N (d 2 ) PD p prVT F N (d 2 ) 1 N (d 2 ) • Riferendosi all’esempio precedente: p PrVT F 1 N (d 2 ) N (d 2 ) 6,63% • Le PD così ottenute rappresentano probabilità neutrali al rischio (il tasso di rendimento atteso sull’attivo viene sostituito, per comodità, con il tasso risk free) © Resti e Sironi, 2008 29 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie Il modello di Merton: la struttura a termine degli spread e delle PD • La curva per scadenza degli spread è crescente per le imprese con PD contenuta è decrescente per le imprese con PD elevata Scadenza T (anni) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 L = 90%, V = 20% p (PD d (spread) cumulata) 33,48% 4,07% 40,86% 3,69% 44,79% 3,37% 47,47% 3,12% 49,52% 2,93% 51,19% 2,77% 52,61% 2,64% 53,85% 2,53% 54,95% 2,44% 55,95% 2,36% © Resti e Sironi, 2008 L = 75%, V =10% p (PD d (spread) cumulata) 0,24% 0,01% 2,48% 0,06% 5,77% 0,13% 9,04% 0,19% 12,00% 0,24% 14,64% 0,28% 16,98% 0,31% 19,06% 0,33% 20,93% 0,35% 22,61% 0,36% • ESEMPIO: • Probabilità di insolvenza cumulate (slide 29) e corrispondenti spread composti continui annui (slide 26) per due imprese con leva e volatilità degli attivi diverse • Si ipotizza un tasso risk free del 5% 30 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie Il modello di Merton: la struttura a termine degli spread e delle PD • Dalla tabella della slide precedente si nota che: scadenze più lunghe conducono a premi al rischio annui più ridotti quando la probabilità di insolvenza è considerevole 4,5% Dopo il primo anno, la probabilità di divenire insolventi negli anni successivi si riduce Sprea d Le imprese con PD elevata hanno un alto rischio di non “sopravvivere” al primo anno 4,0% 3,5% 3,0% 2,5% Bassa qualità, PD elevata 2,0% 1,5% Alta qualità, PD ridotta 1,0% 0,5% 0,0% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Scadenza (anni) La curva delle PD marginali decresce al crescere dell’orizzonte temporale (inclinazione negativa della struttura per scadenza degli spread) © Resti e Sironi, 2008 31 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie Il modello di Merton: pregi e limiti VANTAGGI 1. Mostra efficacemente le variabili rilevanti per determinare la PD di un’impresa Leva finanziaria financial risk Variabilità del valore dell’attivo business risk 2. Consente di ricavare PD e spread in un modo oggettivo, chiaro ed elegante © Resti e Sironi, 2008 32 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie Il modello di Merton: pregi e limiti LIMITI 1. Ipotesi semplificatrice di un’unica passività, che prevede il rimborso del capitale e degli interessi in unica soluzione a scadenza. In realtà la struttura finanziaria delle imprese è complessa e il default può avvenire in qualsiasi momento, non solo al rimborso del debito 2. L’ipotesi che la distribuzione dei rendimenti dell’attivo sia normale potrebbe rivelarsi irrealistica 3. Alcune delle variabili di input del modello, come V0e V, non sono direttamente osservabili nel mercato © Resti e Sironi, 2008 33 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie Il modello di Merton: pregi e limiti (continua) Limiti: 4. Ipotesi di tassi di interesse privi di rischio costanti 5. Logica arbitrage-free, ossia di assenza di opportunità di arbitraggio. In realtà non è possibile procedere a continui arbitraggi sull’attività sottostante l’opzione (“l’attivo del debitore”), come il modello richiederebbe 6. Il modello si concentra sul solo rischio di insolvenza, senza considerare il rischio di migrazione (deterioramento del merito creditizio dell’emittente) © Resti e Sironi, 2008 34 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie Il modello KMV per la stima di V0 e V • I limiti 1-3 vengono affrontati dal modello sviluppato da KMV • Il modello di KMV parte dalla constatazione che il valore del capitale azionario (E) è equivalente al valore di un’opzione call sul valore dell’attivo dell’impresa, con scadenza T e prezzo F. Payoff al tempo 0 Payoff al tempo T se VT<F se VT>F Azionista -E0 0 (VT -F) Acquisto di una call -C0 0 (VT-F) © Resti e Sironi, 2008 35 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie Il modello KMV per la stima di V0 e V Payoff per gli azionisti Se VT<F, l’impresa è insolvente e l’attivo residuo viene interamente utilizzato per rimborsare il debito. Gli azionisti perdono dunque l’intero valore del proprio investimento iniziale Se VT>F, VT - F rappresenta la ricchezza degli azionisti Profilo del payoff per gli azionisti (opzione call sull’attivo dell’impresa) V1 F © Resti e Sironi, 2008 V2 Valore dell’attivo(VT) 36 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie Il modello KMV per la stima di V0 e V • Se le due posizioni sono equivalenti in termini di payoff, anche il costo iniziale deve essere uguale. Utilizzando la formula di Blacke Scholes: E0 V0 N (d1 ) FeiT N (d 2 ) • E0 è dato dal valore della capitalizzazione di borsa. V0 non è osservabile: si deve determinare un valore coerente con E0 • Anche V non è noto e deve essere determinato • É necessaria una seconda equazione che leghi tra loro V0 e V, tale equazione è ricavata con il lemma di Ito: Volatilità del valore di mercato del capitale (osservabile) © Resti e Sironi, 2008 V0 E N (d1 ) V E0 37 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie Il modello KMV per la stima di V0 e V • Si può quindi costruire un sistema: E0 V0 N d1 FeiT N d 2 V0 N d 1 V E E 0 • La risoluzione non può essere svolta per via diretta, ma solo con un processo iterativo. • Esempio: dati impresa © Resti e Sironi, 2008 E0 = 10 milioni di euro E = 50%. T = 1 anni F = 90 milioni di euro. i = 5%. 38 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie Il modello KMV per la stima di V0 e V • Procedimento iterativo: Assegnamo alle due incognite due valori iniziali, V0=100 milioni e V=10% Con questi valori otteniamo: E0 14,63 E 65% Sono valori superiori a quelli osservati empiricamente, riproviamo con due valori più bassiV0=90 e V=2%: E 0 4,39 E 41% In questo caso i risultati sono troppo bassi. Si deve modificare V0 e V fino a ottenere valori di E0 e E corrispondenti ai valori empirici. © Resti e Sironi, 2008 39 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie Il modello KMV per la stima di V0 e V • La seguente tabella mostra i risultati del processo iterativo automatizzato: Input Valore di mercato del capitale azionario (E) Deviazione standard del rendimento azionario (E) Valore nominale di rimborso del debito (F) Tasso di interesse privo di rischio (i) Scadenza del debito (T) Output Valore di mercato dell’attivo (V0) Deviazione standard annua del rendimento dell’attivo (V) Ulteriori output ottenibili con il modello di Merton Valore di mercato del debito (B0), equazione Spread d di equilibrio Tasso (i*=i+d) di equilibrio Probabilità di insolvenza risk-neutral (p) 10.000.000 50% 90.000.000 5% 1 95.576.493 5,33% 85.576.495 0,04% 5,04% 2,07% • I valori di V0 e V possono essere utilizzati per calcolare le equazioni di Merton per stimare i valori della PD e dello spread di equilibrio (terza parte della tabella). KMV però segue una procedura diversa © Resti e Sironi, 2008 40 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie L’approccio di KMV alla stima delle PD • KMV segue un approccio a due stadi: 1. Viene stimato un indice di rischio chiamato “distanza dall’insolvenza” (distance to default – DD) 2. DD viene convertito in una probabilità di default sulla base di una legge empirica • KMV riconosce che le imprese si finanziano con una combinazione di debito a breve termine e di debito a lungo termine. • È importante che il valore degli attivi non scenda al di sotto di quello del debito a breve mentre è possibile che gli attivi scendano al di sotto del debito totale senza che si abbia insolvenza © Resti e Sironi, 2008 41 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie L’approccio di KMV alla stima delle PD • La soglia critica per l’insolvenza è il default point (DP), data da tutto il debito a breve termine (b) più il 50% del debito a lungo termine (l) 1 DP b l 2 • Formalmente la DD è: © Resti e Sironi, 2008 V0 DP DD V0 V Differenza fra valore dell’attivo e livello del default point, espressa come multiplo della deviazione standard dell’attivo 42 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie L’approccio di KMV alla stima delle PD • Esempio: dati dell’impresa 1 DP 6 2 7 2 10 7 DD 3 10 10% debiti a breve termine = 6 milioni di euro debiti a lungo termine = 2 milioni di euro Default point in milioni di euro Distance to default La differenza tra il valore dell’attivo e il default point viene correttamente standardizzata per la volatilità, che misura il rischio di oscillazione di valore dell’attivo. Maggiore la volatilità, minore la protezione dal default © Resti e Sironi, 2008 43 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie L’approccio di KMV alla stima delle PD • Dopo aver stimato la DD di un ampio campione di imprese in passato, si valuta la DD (valore approssi mato) 1 2 3 4 5 6 (a) (b) (c ) = (b) / (a) n. di n. di società Frequenza di società insolventi default 9000 15000 20000 35000 40000 42000 720 450 200 150 28 17 8% 3% 1% 0,4% 0,07% 0,04% Frequenza di default corrispondenza empirica tra DD e tassi di default empiricamente registrati (un esempio di analisi è riportato in tabella) 10,00% 1,00% 0,10% 0,01% 0 1 2 3 4 5 6 Distance to Default • I dati suggeriscono un legame abbastanza preciso tra DD e frequenza di default (“EDF” expected default frequency). Data la DD, verrà assegnata la PD corrispondente © Resti e Sironi, 2008 44 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie Pregi e limiti del modello KMV VANTAGGI 1. Le EDF (le PD del modello KMV) si adeguano rapidamente alle mutevoli condizioni economico-finanziarie delle imprese valutate, dato che si fondano su dati di mercato forward looking 2. Le EDF non subiscono variazioni significative al variare del ciclo economico, diversamente dai tassi di insolvenza associati alle classi di rating (aumentano nelle fasi recessive, diminuiscono in quelle espansive) 3. Mentre tutte le imprese assegnate da un’agenzia ad una certa classe di rating condividono la stessa stima della PD, nel modello KMV l’EDF è calcolata specificatamente per ogni impresa © Resti e Sironi, 2008 45 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie Pregi e limiti del modello KMV • Approfondiamo il secondo vantaggio: Le EDF relative alle singole classi di merito di KMV non cambiano nelle diverse fasi del ciclo In una recessione le PD associate alle classi di rating delle agenzie aumentano, mentre la composizione della classe rimane stabile Nel modello KMV in caso di recessione il peggioramento del merito creditizio di un’impresa si traduce in una diminuzione della DD e in un cambio di classe verso una EDF peggiore. La corrispondenza tra classe e PD (EDF) non cambia Nel modello KMV le migrazioni sono più frequenti, come si può notare nelle tabelle della slide successiva © Resti e Sironi, 2008 46 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie Pregi e limiti del modello KMV Rating iniziale AAA AA A BBB BB B CCC Rating iniziale AAA AA A BBB BB B CCC AA A 90,81 0,70 0,09 0,02 0,03 0,00 0,22 8,33 90,65 2,27 0,33 0,14 0,11 0,00 0,68 7,79 91,05 5,95 0,67 0,24 0,22 AAA AA A 66,26 21,66 2,76 0,30 0,08 0,01 0,00 22,22 43,04 20,34 2,80 0,24 0,05 0,01 7,37 25,83 44,19 22,63 3,69 0,39 0,09 © Resti e Sironi, 2008 Rating alla fine dell’anno (%) BBB BB AAA 0,06 0,64 5,52 86,93 7,73 0,43 1,30 0,12 0,06 0,74 5,30 80,53 6,48 2,38 Rating alla fine dell’anno (%) BBB BB 2,45 6,56 22,94 42,54 22,93 3,48 0,26 0,86 1,99 7,42 23,52 44,41 20,47 1,79 B CCC Default 0,00 0,00 0,00 0,14 0,02 0,00 0,26 0,01 0,06 1,17 1,12 0,18 8,84 1,00 1,06 83,46 4,07 5,20 11,24 64,86 19,79 Fonte: Standard and Poor’s. B 0,67 0,68 1,97 6,95 24,53 53,00 17,77 CCC Default 0,14 0,02 0,20 0,04 0,28 0,10 1,00 0,26 3,41 0,71 20,58 2,01 69,94 10,13 Fonte: Crouhy, Galai e Mark 2000: 47 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie Pregi e limiti del modello KMV 2 LIMITI 1. Il modello non può essere utilizzato per la stima della probabilità di insolvenza delle imprese non quotate, per cui non è disponibile il valore di mercato e la volatilità del capitale azionario, ed è rilevante perché le banche finanziano molto spesso imprese non quotate Possibili soluzioni Private firm model: utilizzo dei dati di mercato di imprese quotate simili all’impresa non quotata che si desidera valutare RiskCalc : si calcola uno score basato principalmente su dati di bilancio, ma tra le variabili indipendenti è inserita la DD media di un peer-group di imprese quotate simili Score maggiormente forward looking © Resti e Sironi, 2008 48 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali I modelli basati sulle quotazioni azionarie Pregi e limiti del modello KMV (continua) Limiti: 2. Il modello KMV, come tutti i modelli basati sull’approccio contingent claim, si fonda sull’ipotesi di efficienza dei mercati azionari In presenza di mercati inefficienti, poco liquidi e incapaci di riflettere tutte le informazioni disponibili, simili input divengono scarsamente affidabili © Resti e Sironi, 2008 49 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali Esercizi/1 1. La seguente tabella riporta i rendimenti (composti continui) sulle obbligazioni di una società con rating A e sui titoli di Stato (tasso risk free), entrambi con vita residua di uno o due anni. Calcolate i tassi di perdita attesa impliciti per le obbligazioni rischiose e mettete in evidenza le principali ipotesi sottese all’approccio basato sugli spread obbligazionari. Titoli di Stato (risk free) Obbligazioni societarie con rating A © Resti e Sironi, 2008 Scadenza 1 anno 2 anni 4,50% 4,70% 4,75% 5,00% 50 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali Esercizi/2 2. La società Alfa paga – sulle sue obbligazioni zero coupon a un anno – uno spread del 2% sul rendimento dei titoli di Stato con identica struttura e scadenza. Sulle sue obbligazioni zero coupon a due anni, il differenziale rispetto ai titoli di Stato con identica scadenza è il 2,5%. Sapendo che gli investitori si attendono, in caso di default di Alfa, un tasso di recupero pari a un terzo del valore nominale a scadenza, calcolate la probabilità di default (neutrale al rischio) che il mercato sta implicitamente assegnando ad Alfa, per il solo secondo anno. © Resti e Sironi, 2008 51 Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali Esercizi/3 3. Una società, che dispone di attivi del valore di 100 milioni di euro, con una volatilità del 15%, sta sostituendo tutti i suoi debiti con un unico, grande prestito del valore nominale a scadenza di 85 milioni di euro e una durata di due anni. I tassi privi di rischio sono, attualmente, al 6% (composti continuamente). Usando il modello di Merton, controllate se il tasso “equo” da applicare al prestito dovrebbe essere maggiore del 6,5%. Inoltre, immaginate che la società stia emettendo 20 milioni di euro di nuovo capitale, che verrà investito in maniera tale da lasciare invariata la volatilità dell’attivo. Pensate che, in conseguenza di questo nuovo capitale, il tasso “equo” sul prestito dovrebbe scendere? Pensate possa scendere al di sotto del 6,1%? © Resti e Sironi, 2008 52
