Diapositiva 1

I modelli fondati
sul mercato dei capitali
Slides tratte da:
Andrea Resti
Andrea Sironi
Rischio e valore
nelle banche
Misura, regolamentazione, gestione
Egea, 2008
Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
AGENDA
• L’approccio basato sugli spread dei corporate bonds
• L’approccio basato sulle quotazioni azionarie
•Il modello di Merton
• Il modello KMV
•Esercizi
© Resti e Sironi, 2008
2
Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
L’approccio basato sugli spread dei corporate bonds
• I modelli analizzati in questo capitolo (capital market approaches) ricavano
la probabilità di insolvenza dell’emittente partendo dai prezzi di azioni e
obbligazioni
• Lo spread richiesto dal mercato ai titoli obbligazionari rischiosi (rispetto al
rendimento di titoli di uguale scadenza privi di rischio di insolvenza) riflette le
aspettative del mercato circa la probabilità di insolvenza degli emittenti
• Gli input di questi modelli sono:
la curva degli spread tra i
rendimenti zero-coupon dei
corporate bond di una certa
impresa e i rendimenti zerocoupon dei titoli risk-free
© Resti e Sironi, 2008
una stima del tasso di
recupero atteso, sui
corporate bond, in caso di
insolvenza
3
Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
Premessa: i tassi composti continui
• I tassi di interesse (i) saranno espressi come tassi composti continui
montante di un
debito a fine anno
M  Ce
i
fattore di montante
di tipo esponenziale
capitale iniziale
• Indicando con C il valore corrente di un investimento e con M il valore finale:
M
i  ln
C
• É sempre possibile passare da un tasso semplice o composto periodale is al
corrispondente tasso composto continuo ic, imponendo che conducano entrambi
allo stesso montante:
Ce  M  C (1  is )
ic
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is  e  1
ic
ic  ln 1  is 
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Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
L’approccio basato sugli spread dei corporate bonds
La stima della probabilità di insolvenza ad un anno
Supponiamo:





PD= p
LGD=100%
i= tasso di rendimento dei titoli di Stato a un anno
d= spread fra titolo rischioso e titolo risk-free.
i*=i+d
tasso di rendimento a un anno del titolo rischioso
• Per un investitore neutrale al rischio è indifferente investire un euro nel titolo
obbligazionario rischioso o nel titolo di Stato quando:
montante investito nel titolo risk free =
montante investito nel corporate bond,
ponderato per la probabilità che questo venga restituito
e  1  p e
i
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i d
p  1 e
d
funzione crescente di d
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Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
L’approccio basato sugli spread dei corporate bonds
La stima della probabilità di insolvenza ad un anno
• Maggiore è lo spread d richiesto dal mercato, maggiore è la probabilità di default
• Supponendo che i*= 5% e i= 4%:
p  1  e 0,01  0,995%
• Supponiamo ora più realisticamente che i creditori recuperino, in caso di
insolvenza, una quota R del capitale prestato più i relativi interessi al tasso i*:
ei  1  p   pReid  1  p1  Reid
1  e 0,01
p
 1,99%
1  0,5
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1  ed 1  ed
p

1 R
LGD
Ipotizzando tasso di recupero R = 50%
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Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
L’approccio basato sugli spread dei corporate bonds
La stima della probabilità di insolvenza su orizzonti superiori all’anno
• Consideriamo la curva dei tassi zero-coupon, dei corporate bond di un certo
emittente e dei titoli privi di rischio e i relativi spread.
Scadenza Rendimento
(T, anni) su titoli privi
di rischio
(iT)
7%
6%
1
2
3
4
5
5%
4%
3%
4,00%
4,10%
4,20%
4,30%
4,50%
Ritorno su Spread
pT
p'T condizionata
obbligazioni
(dT)
all’assenza di
societarie
default nei
rischiose
periodi
(i*T)
precedenti
5,00%
1,00% 2,49%
2,49%
5,20%
1,10% 5,44%
3,03%
5,50%
1,30% 9,56%
4,36%
5,80%
1,50% 14,56%
5,52%
6,20%
1,70% 20,37%
6,80%
1%
Tasso sulle
obbligazioni
societarie
Tasso sui titoli privi
di rischio
0%
Spread (d)
2%
1
2
3
4
5
Scadenza
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Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
L’approccio basato sugli spread dei corporate bonds
La stima della probabilità di insolvenza su orizzonti superiori all’anno
• pT è la probabilità di default cumulata relativa a un periodo di T anni
Probabilità che l’emittente fallisca tra oggi e la fine del T-esimo anno
• Se l’investitore è neutrale al rischio, il montante atteso di un euro investito nel
corporate bond dovrà essere uguale al montante di un euro investito nel titolo
risk free:
iT  d T T
iT  dT T
iT T
e
 1  pT  pT Re
 1  pT 1  R e
1  ed T 1  ed T
pT 

1 R
LGD
T
T
• Da ciò è possibile ricavare le probabilità di default cumulate associate alle diverse
scadenze, come si osserva nella quinta colonna della tabella della slide 7 (R=60%)
al crescere dell’orizzonte temporale crescono anche le PD cumulate
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Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
L’approccio basato sugli spread dei corporate bonds
La stima della probabilità di insolvenza su orizzonti superiori all’anno
• sT1-pT
• s T
probabilità che il debitore sopravviva tra oggi e la fine del T-esimo
anno
probabilità di sopravvivenza marginale durante il T-esimo anno
probabilità (condizionata alla sopravvivenza del debitore fino alla
fine dell’anno T-1) che il debitore non fallisca nel corso dell’anno T
• Per qualsiasi T
sT  sT 1  sT
sT
sT 
sT 1
© Resti e Sironi, 2008
La probabilità di sopravvivenza tra 0 e T è
data dal prodotto tra la probabilità di
sopravvivenza tra 0 e T-1 e la probabilità
(marginale) di sopravvivenza il T-esimo
anno
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Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
L’approccio basato sugli spread dei corporate bonds
La stima della probabilità di insolvenza su orizzonti superiori all’anno
• La probabilità di default marginale durante l’anno T ( pT) è data dal complemento
a uno della relativa probabilità di sopravvivenza marginale:
pT  1  sT  1 
sT
1  pT
 1
sT 1
1  pT 1
• Riferendoci sempre all’esempio di slide 7, la probabilità di default marginale nel
secondo anno sarà:
1  p2
1  5,44%
p2  1 
 1
 3,03%
1  p1
1  2,49%
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I modelli fondati sul mercato dei capitali
L’approccio basato sugli spread dei corporate bonds
La stima della probabilità di insolvenza su orizzonti superiori all’anno
• Le PD marginali possono essere calcolate anche utilizzando i tassi di
rendimento zero-coupon a termine, ossia i tassi forward impliciti nella
curva spot:
i  iT T  iT 1 T  1
T 1 1
Data di
Data di Tasso forward
decorrenza scadenz su titoli privi di
(T-1)
a (T)
rischio
(T-1i1 )
0
1
2
3
4
1
2
3
4
5
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4,00%
4,20%
4,40%
4,60%
5,30%
Tasso forward
su obbligazioni
societarie
(T-1i*1)
Spread
forward
(T-1d 1)
5,00%
5,40%
6,10%
6,70%
7,80%
1,00%
1,20%
1,70%
2,10%
2,50%
p'T
condizionata
all’assenza di
default
precedenti
2,49%
2,98%
4,21%
5,20%
6,17%
pT
2,49%
5,40%
9,38%
14,09%
19,39%
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I modelli fondati sul mercato dei capitali
L’approccio basato sugli spread dei corporate bonds
La stima della probabilità di insolvenza su orizzonti superiori all’anno
• Gli spread fra i tassi spot relativi alle due categorie di titoli (inclinati
positivamente) si riflettono negli spread (più elevati) fra i tassi a termine
Spread a pronti crescenti, spread a
3,0%
termine sopra a quelli a pronti
É possibile stimare
le probabilità di
insolvenza relative
agli anni successivi
al primo usando lo
stesso criterio con
cui si è ricavata la
probabilità di
insolvenza a un
anno
2,5%
2,0%
1,5%
1,0%
0,5%
Spread a termine
Spread a pronti
0,0%
1
2
3
4
5
Scadenza
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I modelli fondati sul mercato dei capitali
L’approccio basato sugli spread dei corporate bonds
La stima della probabilità di insolvenza su orizzonti superiori all’anno
• Richiamando l’equivalenza tra i montanti per un investitore neutrale al rischio:
e T 1i1  1  pT   pT R e T 1i1  T 1 d1  1  pT 1  R  e T 1i1  T 1 d1
montante di un’operazione
a termine priva di rischio
montante atteso da un’operazione
a termine sul corporate bond
1  e  T  1 d1 1  e  T  1 d1
pT 

1 R
LGD
• Ipotizzando un tasso di recupero R del 60%, si possono ottenere le varie
probabilità di insolvenza (quinta colonna della tabella di slide 11)
1  e 1, 20%
p 2 
 2,98%
1  60%
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secondo anno
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I modelli fondati sul mercato dei capitali
L’approccio basato sugli spread dei corporate bonds
La stima della probabilità di insolvenza su orizzonti superiori all’anno
• Utilizzando la relazione tra PD marginali e cumulate, possiamo calcolare anche le
PD cumulate associate alle PD marginali:
pT  1  1  pT 1  pT 1 
p2  1  1  p2 1  p1   1  (1  2,98%)(1  2,49%)  5,40% PD cumulata a due anni
• In alternativa, dato che la probabilità di sopravvivenza cumulata è la produttoria
di tutte le probabilità di sopravvivenza marginali per gli anni da 1 a T (ultima
colonna della tabella di slide 11) :
Funzione
T
T
T
sole
1  p t  delle
pT  1  sT 
1  p t 
sT 
s t 
PD
t 1
t 1
t 1
marginali



3
p3   1  pt   1  p1 1  p2 1  p3   1  2,49% 1  2,98% 1  4,21%   9,38%
t 1
probabilità di un default tra oggi e la fine del terzo anno
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L’approccio basato sugli spread dei corporate bonds
Pregi e limiti
VANTAGGI
1. sono utilizzati dati di mercato oggettivi
2. è un modello “forward looking”, capace cioè di stimare i tassi di
insolvenza attesi dal mercato per i futuro
LIMITI
1. lo spread viene tutto attribuito al rischio di credito
Spesso in realtà una parte dello spread sui corporate bond riflette
semplicemente la minore liquidità
i
i d
2. ipotesi di neutralità al rischio
Nella realtà per scambiare
un investimento certo con
uno rischioso gli investitori
richiedono un premio
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e  P  1  p * 1  Re
p* è più basso rispetto ai p
calcolati precedentemente
Le PD sono distorte verso l’alto
(PD risk-neutral)
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L’approccio basato sugli spread dei corporate bonds
Pregi e limiti
LIMITI DI TIPO OPERATIVO
Il modello è inapplicabile per
le imprese che non emettono
titoli obbligazionari quotati
Anche le imprese con debito
quotato hanno spesso carenza
di dati relativi ai tassi di
rendimento zero-coupon
associati alle diverse scadenze
Ottenibili con il bootstrapping dai titoli con cedola;
l’impresa deve aver emesso titoli di diversa scadenza
per poter ricavare l’intera curva degli spread
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Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
I modelli basati sulle quotazioni azionarie
• Questo approccio si basa sul modello di pricing delle opzioni da Black e Scholes
nel 1973
• Il primo ad applicare questo modello al rischio di insolvenza è stato Merton
(1974)
L’insolvenza di un’impresa avviene nel momento in cui il valore
delle attività risulta inferiore al valore delle passività verso terzi
Il valore del capitale è azzerato e gli azionisti avranno
la convenienza a dichiarare l’insolvenza e
lasciare l’azienda in mano ai creditori
• Gli azionisti detengono l’opzione di dichiarare insolvenza, cioè di cedere
l’azienda ai creditori anziché rimborsare il debito, quando il valore delle
passività verso terzi è superiore al valore dell’attivo
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Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
I modelli basati sulle quotazioni azionarie
Il modello di Merton
• È un modello strutturale
Si concentra sulle caratteristiche strutturali
che determinano la PD: il valore dell’attivo,
il valore del debito e la volatilità dell’attivo.
• Il modello ipotizza una struttura finanziaria dell’impresa semplificata:
 Una sola forma di passività verso terzi (rimborso del capitale F alla scadenza
T) con valore di mercato pari a B
 Attivo dell’impresa a valore di mercato = V
 Equity
E=V-B
tasso di variabilità del moto
 B0, V0 e E0 sono i valori correnti
browniano geometrico
Variazioni istantanee
percentuali dell’attivo
dV
 dt   v dz  dt   v dt
V
rendimento istantaneo atteso dagli attivi
© Resti e Sironi, 2008
disturbo casuale
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I modelli basati sulle quotazioni azionarie
Il modello di Merton
• Le variazioni percentuali dell’attivo (“rendimento dell’attivo”) si muovono in
modo stocastico e l’incertezza aumenta al crescere dell’orizzonte temporale
• Rischio di credito: la possibilità che alla scadenza del debito (T) il valore
dell’attivo dell’impresa, VT, sia inferiore al valore di rimborso del prestito, F
Questa possibilità è tanto maggiore quanto maggiore è:
 la leva finaziaria B0/V0
 la volatilità del rendimento delle attività dell’impresa V
 la scadenza del debito
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I modelli basati sulle quotazioni azionarie
Il modello di Merton
• La probabilità di insolvenza di un’impresa è data dalla probabilità che VT < F ,
Evoluzione passata
Logaritmo del valore dell’attivo
cioè l’area
sottostante alla
distribuzione
normale,
contenente tutti
i rendimenti
negativi che
determinano un
VT a scadenza
inferiore al
valore di
rimborso del
debito
Possibili evoluzioni future
Probabilità
di default
p
Valore del debito (logaritmo)
Oggi
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Distribuzione di
probabilità di tutti
i possibili valori
futuri
Al tempo T (ad es. tra un anno)
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I modelli basati sulle quotazioni azionarie
Il modello di Merton
• L’area (probabilità di default) é tanto maggiore quanto
 minore è V0
 maggiore è F
 maggiore è V
Queste variabili racchiudono tutti i fattori
rilevanti per la determinazione della PD
 Maggiore è la scadenza del debito
 Le prospettive di evoluzione dell’impresa,
del settore economico di appartenenza e
della congiuntura macroeconomica
 Financial risk, determinato dalla leva finanziaria
 Business Risk, considerato nella volatilità
del rendimento dell’attivo
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Il modello di Merton
• L’opzione detenuta dagli azionisti nei confronti dei creditori è un’opzione put
Put sull’attivo dell’impresa con strike F e scadenza T – posizione corta
Payoff dei detentori del debito
Per valori di VT> F, come V2,
il valore dell’attivo è tale da
poter rimborsare totalmente
i creditori
V2 – F va a
beneficio degli azionisti
Per VT < F , come V1,
l’impresa è insolvente e la
banca riceve solo parte del
pagamento dovuto
V1
F
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V2
Valore dell’attivo(VT)
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I modelli basati sulle quotazioni azionarie
Il modello di Merton
• Per coprirsi i creditori potrebbero a loro volta acquistare un’opzione put sul
valore dell’attivo dell’impresa (V), con scadenza T e strike F.
La combinazione delle due posizioni produce un payoff garantito
Payoff al tempo 0
Concessione prestito
Acquisto put
Totale
-B0
-P0
-(B0+P0)
Payoff al tempo T
se VT<F
se VT>F
VT
F
F-VT
0
F
F
• Il valore delle due posizioni (B0+P0) deve esse pari a quello di un titolo privo di
rischio che a scadenza paga F
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P0  B0  Fe
iT
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Il modello di Merton
• Il valore dell’opzione put, P0, può essere determinato utilizzando il modello di
Black e Scholes
ln 
d1  
V0
P0  FeiT N (d 2 )  N (d1 )V0


  i  1  2 T ln V0

F 
2 V
FeiT


V T
V
1  2 T  ln( L)
V
2
d2  
 d1   V T
V T
È possibile a questo punto determinare:
  1  2T
1  2T  ln L 

V
2
V

 2
T
V T
L  FeiT V
il valore corrente del prestito B0
la probabilità di insolvenza (risk neutral) dell’impresa debitrice
il rendimento richiesto dai creditori sul prestito e il relativo spread
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24
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Il modello di Merton: il valore del prestito e lo spread di equilibrio
• Sostituendo l’equazione della put (slide 24) nella formula di slide 23, otteniamo:
1

iT
iT 
B0  Fe 1  N ( d 2 )  N ( d1 )V0  Fe  N ( d 2 )  N (  d1 )
L


Il valore del prestito è tanto maggiore
quanto minore è la leva finanziaria
• Il rendimento di equilibrio del prestito è i* che rende uguale il valore attuale del
rimborso finale F a B0
Fe
 i *T
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 B0
B0
FeiT  P0
ln
ln
*
F
i  F 
T
T
25
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Il modello di Merton: il valore del prestito e lo spread di equilibrio
• Sostituendo all’interno dell’ultima equazione della slide 25 il valore P0 (slide 24)
si può ricavare i*, nonché lo spread d  i* - i :
V0
N (d1 ) 
1 
1 

d  i  i   ln  N (d 2 )  iT N (d1 )   ln  N (d 2 ) 
T 
T 
L 
Fe

*
• Esempio: consideriamo un impresa con: V0 = 100.000 euro
V =10%
F = 90.000 euro
T = 1 anno
i = 5%
*
L = Fe i T / V = 85,61%
• Con questi dati è possibile stimare B0, e d
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26
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Il modello di Merton: il valore del prestito e lo spread di equilibrio
• Si ottiene quindi:
1  2 T  ln L 
V
2
d1 
 1,604
V T
d 2  d1   V T  1,504
B0  Fe
iT
N (d1 )  0,054 N (d 2 )  0,934
N (  d1 ) 

 85,371
 N (d 2 ) 

L 

1 
1

d   ln  N (d 2 )  N ( d1 )  0,280%
T 
L

• All’impresa sarà applicato un tasso attivo del 5,28%, pari al risk free più d.
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Il modello di Merton: il valore del prestito e lo spread di equilibrio
• Nella tabella seguente vengono calcolati i valori dello spread di equilibrio in
corrispondenza di vari livelli di L e diverse volatilità.
V
L
50%
60%
70%
80%
90%
100%
5%
10%
15%
0,000%
0,000%
0,000%
0,000%
0,033%
2,015%
0,000%
0,000%
0,001%
0,050%
0,795%
4,069%
0,000%
0,002%
0,052%
0,506%
2,272%
6,165%
20%
25%
0,002% 0,029%
0,044% 0,243%
0,355% 1,032%
1,494% 2,873%
4,070% 6,036%
8,301% 10,478%
30%
0,149%
0,700%
2,063%
4,519%
8,112%
12,696%
Lo spread è tanto maggiore quanto maggiore è, a parità di altre
condizioni, L e quanto maggiore è la volatilità dell’attivo
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28
Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
I modelli basati sulle quotazioni azionarie
Il modello di Merton: la probabilità di default
• Probabilità di insolvenza dell’impresa:
p  prVT  F 
• Tale probabilità equivale alla probabilità di esercizio dell’opzione put implicita
nel prestito. Usando il modello di Black e Scholes, la probabilità di esercizio
è:
N (d 2 )  1  N (d 2 )
PD  p  prVT  F   N (d 2 )  1  N (d 2 )
• Riferendosi all’esempio precedente:
p  PrVT  F   1  N (d 2 )  N (d 2 )  6,63%
• Le PD così ottenute rappresentano probabilità neutrali al rischio (il tasso di
rendimento atteso sull’attivo viene sostituito, per comodità, con il tasso risk free)
© Resti e Sironi, 2008
29
Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
I modelli basati sulle quotazioni azionarie
Il modello di Merton: la struttura a termine degli spread e delle PD
• La curva per scadenza degli spread
 è crescente per le imprese con PD contenuta
 è decrescente per le imprese con PD elevata
Scadenza
T (anni)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
L = 90%, V = 20%
p (PD
d (spread)
cumulata)
33,48%
4,07%
40,86%
3,69%
44,79%
3,37%
47,47%
3,12%
49,52%
2,93%
51,19%
2,77%
52,61%
2,64%
53,85%
2,53%
54,95%
2,44%
55,95%
2,36%
© Resti e Sironi, 2008
L = 75%, V =10%
p (PD
d (spread)
cumulata)
0,24%
0,01%
2,48%
0,06%
5,77%
0,13%
9,04%
0,19%
12,00%
0,24%
14,64%
0,28%
16,98%
0,31%
19,06%
0,33%
20,93%
0,35%
22,61%
0,36%
• ESEMPIO:
• Probabilità di
insolvenza cumulate
(slide 29) e
corrispondenti
spread composti
continui annui (slide
26) per due imprese
con leva e volatilità
degli attivi diverse
• Si ipotizza un tasso
risk free del 5%
30
Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
I modelli basati sulle quotazioni azionarie
Il modello di Merton: la struttura a termine degli spread e delle PD
• Dalla tabella della slide precedente si nota che:
 scadenze più lunghe conducono a premi al rischio annui più ridotti quando la
probabilità di insolvenza è considerevole
4,5%
Dopo il primo anno, la
probabilità di divenire
insolventi negli anni
successivi si riduce
Sprea d
Le imprese con PD elevata
hanno un alto rischio di non
“sopravvivere” al primo anno
4,0%
3,5%
3,0%
2,5%
Bassa qualità, PD
elevata
2,0%
1,5%
Alta qualità, PD ridotta
1,0%
0,5%
0,0%
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Scadenza (anni)
La curva delle PD marginali decresce al crescere dell’orizzonte temporale
(inclinazione negativa della struttura per scadenza degli spread)
© Resti e Sironi, 2008
31
Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
I modelli basati sulle quotazioni azionarie
Il modello di Merton: pregi e limiti
VANTAGGI
1. Mostra efficacemente le variabili rilevanti per determinare la PD di
un’impresa
Leva finanziaria
financial risk
Variabilità del valore dell’attivo
business risk
2. Consente di ricavare PD e spread in un modo oggettivo, chiaro ed
elegante
© Resti e Sironi, 2008
32
Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
I modelli basati sulle quotazioni azionarie
Il modello di Merton: pregi e limiti
LIMITI
1. Ipotesi semplificatrice di un’unica passività, che prevede il rimborso del
capitale e degli interessi in unica soluzione a scadenza. In realtà la struttura
finanziaria delle imprese è complessa e il default può avvenire in qualsiasi
momento, non solo al rimborso del debito
2. L’ipotesi che la distribuzione dei rendimenti dell’attivo sia normale potrebbe
rivelarsi irrealistica
3. Alcune delle variabili di input del modello, come V0e V, non sono
direttamente osservabili nel mercato
© Resti e Sironi, 2008
33
Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
I modelli basati sulle quotazioni azionarie
Il modello di Merton: pregi e limiti
(continua) Limiti:
4. Ipotesi di tassi di interesse privi di rischio costanti
5. Logica arbitrage-free, ossia di assenza di opportunità di arbitraggio.
In realtà non è possibile procedere a continui arbitraggi sull’attività
sottostante l’opzione (“l’attivo del debitore”), come il modello richiederebbe
6. Il modello si concentra sul solo rischio di insolvenza, senza considerare
il rischio di migrazione (deterioramento del merito creditizio dell’emittente)
© Resti e Sironi, 2008
34
Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
I modelli basati sulle quotazioni azionarie
Il modello KMV per la stima di V0 e V
• I limiti 1-3 vengono affrontati dal modello sviluppato da KMV
• Il modello di KMV parte dalla constatazione che il valore del capitale azionario
(E) è equivalente al valore di un’opzione call sul valore dell’attivo dell’impresa,
con scadenza T e prezzo F.
Payoff al
tempo 0
Payoff al tempo T
se VT<F
se VT>F
Azionista
-E0
0
(VT -F)
Acquisto di una call
-C0
0
(VT-F)
© Resti e Sironi, 2008
35
Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
I modelli basati sulle quotazioni azionarie
Il modello KMV per la stima di V0 e V
Payoff per gli azionisti
Se VT<F, l’impresa è insolvente e l’attivo residuo
viene interamente utilizzato per rimborsare il
debito. Gli azionisti perdono dunque l’intero
valore del proprio investimento iniziale
Se VT>F, VT - F rappresenta
la ricchezza degli azionisti
Profilo del payoff
per gli azionisti
(opzione call sull’attivo
dell’impresa)
V1
F
© Resti e Sironi, 2008
V2
Valore dell’attivo(VT)
36
Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
I modelli basati sulle quotazioni azionarie
Il modello KMV per la stima di V0 e V
• Se le due posizioni sono equivalenti in termini di payoff, anche il costo iniziale
deve essere uguale. Utilizzando la formula di Blacke Scholes:
E0  V0  N (d1 )  FeiT N (d 2 )
• E0 è dato dal valore della capitalizzazione di borsa. V0 non è osservabile: si deve
determinare un valore coerente con E0
• Anche  V non è noto e deve essere determinato
• É necessaria una seconda equazione che leghi tra loro V0 e  V, tale equazione è
ricavata con il lemma di Ito:
Volatilità del valore di mercato
del capitale (osservabile)
© Resti e Sironi, 2008
V0
E 
N (d1 ) V
E0
37
Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
I modelli basati sulle quotazioni azionarie
Il modello KMV per la stima di V0 e V
• Si può quindi costruire un sistema:
 E0  V0 N d1   FeiT N d 2 

  V0 N d 
1
V
 E E
0

• La risoluzione non può essere svolta per via diretta, ma solo con un processo
iterativo.
• Esempio: dati impresa
© Resti e Sironi, 2008
E0 = 10 milioni di euro
E = 50%.
T = 1 anni
F = 90 milioni di euro.
i = 5%.
38
Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
I modelli basati sulle quotazioni azionarie
Il modello KMV per la stima di V0 e V
• Procedimento iterativo:
Assegnamo alle due incognite due valori iniziali, V0=100 milioni e V=10%
Con questi valori otteniamo:
E0  14,63

 E  65%
Sono valori superiori a quelli osservati empiricamente, riproviamo con due
valori più bassiV0=90 e  V=2%:
 E 0  4,39

 E  41%
In questo caso i risultati sono troppo bassi. Si deve modificare V0 e  V
fino a ottenere valori di E0 e E corrispondenti ai valori empirici.
© Resti e Sironi, 2008
39
Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
I modelli basati sulle quotazioni azionarie
Il modello KMV per la stima di V0 e V
• La seguente tabella mostra i risultati del processo iterativo automatizzato:
Input
Valore di mercato del capitale azionario (E)
Deviazione standard del rendimento azionario (E)
Valore nominale di rimborso del debito (F)
Tasso di interesse privo di rischio (i)
Scadenza del debito (T)
Output
Valore di mercato dell’attivo (V0)
Deviazione standard annua del rendimento dell’attivo (V)
Ulteriori output ottenibili con il modello di Merton
Valore di mercato del debito (B0), equazione
Spread d di equilibrio
Tasso (i*=i+d) di equilibrio
Probabilità di insolvenza risk-neutral (p)
10.000.000
50%
90.000.000
5%
1
95.576.493
5,33%
85.576.495
0,04%
5,04%
2,07%
• I valori di V0 e V possono essere utilizzati per calcolare le equazioni di Merton
per stimare i valori della PD e dello spread di equilibrio (terza parte della tabella).
KMV però segue una procedura diversa
© Resti e Sironi, 2008
40
Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
I modelli basati sulle quotazioni azionarie
L’approccio di KMV alla stima delle PD
• KMV segue un approccio a due stadi:
1. Viene stimato un indice di
rischio chiamato “distanza
dall’insolvenza”
(distance to default – DD)
2. DD viene convertito in una
probabilità di default sulla
base di una legge empirica
• KMV riconosce che le imprese si finanziano con una combinazione di debito a
breve termine e di debito a lungo termine.
• È importante che il valore degli attivi non scenda al di sotto di quello del debito a
breve mentre è possibile che gli attivi scendano al di sotto del debito totale senza
che si abbia insolvenza
© Resti e Sironi, 2008
41
Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
I modelli basati sulle quotazioni azionarie
L’approccio di KMV alla stima delle PD
• La soglia critica per l’insolvenza è il default point (DP), data da tutto il debito
a breve termine (b) più il 50% del debito a lungo termine (l)
1
DP  b  l
2
• Formalmente la DD è:
© Resti e Sironi, 2008
V0  DP
DD 
V0   V
Differenza fra
valore dell’attivo
e livello del
default point,
espressa come
multiplo della
deviazione
standard
dell’attivo
42
Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
I modelli basati sulle quotazioni azionarie
L’approccio di KMV alla stima delle PD
• Esempio: dati dell’impresa
1
DP  6  2  7
2
10  7
DD 
3
10  10%
debiti a breve termine = 6 milioni di euro
debiti a lungo termine = 2 milioni di euro
Default point in milioni di euro
Distance to default
La differenza tra il valore dell’attivo e il default point
viene correttamente standardizzata per la volatilità,
che misura il rischio di oscillazione di valore dell’attivo.
Maggiore la volatilità, minore la protezione dal default
© Resti e Sironi, 2008
43
Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
I modelli basati sulle quotazioni azionarie
L’approccio di KMV alla stima delle PD
• Dopo aver stimato la DD di un ampio campione di imprese in passato, si valuta la
DD
(valore
approssi
mato)
1
2
3
4
5
6
(a)
(b)
(c ) = (b) / (a)
n. di n. di società Frequenza di
società insolventi
default
9000
15000
20000
35000
40000
42000
720
450
200
150
28
17
8%
3%
1%
0,4%
0,07%
0,04%
Frequenza di default
corrispondenza empirica tra DD e tassi di default empiricamente registrati (un
esempio di analisi è riportato in tabella) 10,00%
1,00%
0,10%
0,01%
0
1
2
3
4
5
6
Distance to Default
• I dati suggeriscono un legame abbastanza preciso tra DD e frequenza di default
(“EDF” expected default frequency). Data la DD, verrà assegnata la PD
corrispondente
© Resti e Sironi, 2008
44
Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
I modelli basati sulle quotazioni azionarie
Pregi e limiti del modello KMV
VANTAGGI
1. Le EDF (le PD del modello KMV) si adeguano rapidamente alle
mutevoli condizioni economico-finanziarie delle imprese valutate, dato
che si fondano su dati di mercato forward looking
2. Le EDF non subiscono variazioni significative al variare del ciclo
economico, diversamente dai tassi di insolvenza associati alle classi di rating
(aumentano nelle fasi recessive, diminuiscono in quelle espansive)
3. Mentre tutte le imprese assegnate da un’agenzia ad una certa classe di rating
condividono la stessa stima della PD, nel modello KMV l’EDF è calcolata
specificatamente per ogni impresa
© Resti e Sironi, 2008
45
Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
I modelli basati sulle quotazioni azionarie
Pregi e limiti del modello KMV
• Approfondiamo il secondo vantaggio:
Le EDF relative alle singole classi di merito di KMV
non cambiano nelle diverse fasi del ciclo
In una recessione le PD associate alle classi di rating delle agenzie aumentano,
mentre la composizione della classe rimane stabile
Nel modello KMV in caso di recessione il peggioramento del merito creditizio di
un’impresa si traduce in una diminuzione della DD e in un cambio di classe verso
una EDF peggiore. La corrispondenza tra classe e PD (EDF) non cambia
Nel modello KMV le migrazioni sono più frequenti,
come si può notare nelle tabelle della slide successiva
© Resti e Sironi, 2008
46
Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
I modelli basati sulle quotazioni azionarie
Pregi e limiti del modello KMV
Rating iniziale
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
Rating iniziale
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
AA
A
90,81
0,70
0,09
0,02
0,03
0,00
0,22
8,33
90,65
2,27
0,33
0,14
0,11
0,00
0,68
7,79
91,05
5,95
0,67
0,24
0,22
AAA
AA
A
66,26
21,66
2,76
0,30
0,08
0,01
0,00
22,22
43,04
20,34
2,80
0,24
0,05
0,01
7,37
25,83
44,19
22,63
3,69
0,39
0,09
© Resti e Sironi, 2008
Rating alla fine dell’anno (%)
BBB
BB
AAA
0,06
0,64
5,52
86,93
7,73
0,43
1,30
0,12
0,06
0,74
5,30
80,53
6,48
2,38
Rating alla fine dell’anno (%)
BBB
BB
2,45
6,56
22,94
42,54
22,93
3,48
0,26
0,86
1,99
7,42
23,52
44,41
20,47
1,79
B
CCC
Default
0,00
0,00
0,00
0,14
0,02
0,00
0,26
0,01
0,06
1,17
1,12
0,18
8,84
1,00
1,06
83,46
4,07
5,20
11,24
64,86
19,79
Fonte: Standard and Poor’s.
B
0,67
0,68
1,97
6,95
24,53
53,00
17,77
CCC
Default
0,14
0,02
0,20
0,04
0,28
0,10
1,00
0,26
3,41
0,71
20,58
2,01
69,94
10,13
Fonte: Crouhy, Galai e Mark 2000:
47
Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
I modelli basati sulle quotazioni azionarie
Pregi e limiti del modello KMV
2 LIMITI
1. Il modello non può essere utilizzato per la stima della probabilità di
insolvenza delle imprese non quotate, per cui non è disponibile il valore
di mercato e la volatilità del capitale azionario, ed è rilevante perché le banche
finanziano molto spesso imprese non quotate
Possibili soluzioni
Private firm model:
utilizzo dei dati di mercato
di imprese quotate simili
all’impresa non quotata
che si desidera valutare
RiskCalc : si calcola uno score basato
principalmente su dati di bilancio, ma tra le
variabili indipendenti è inserita la DD media
di un peer-group di imprese quotate simili
Score maggiormente
forward looking
© Resti e Sironi, 2008
48
Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
I modelli basati sulle quotazioni azionarie
Pregi e limiti del modello KMV
(continua) Limiti:
2. Il modello KMV, come tutti i modelli basati sull’approccio contingent claim,
si fonda sull’ipotesi di efficienza dei mercati azionari
In presenza di mercati inefficienti, poco liquidi e incapaci di riflettere tutte le
informazioni disponibili, simili input divengono scarsamente affidabili
© Resti e Sironi, 2008
49
Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
Esercizi/1
1. La
seguente tabella riporta i rendimenti (composti continui)
sulle obbligazioni di una società con rating A e sui titoli di Stato
(tasso risk free), entrambi con vita residua di uno o due anni.
Calcolate i tassi di perdita attesa impliciti per le obbligazioni
rischiose e mettete in evidenza le principali ipotesi sottese
all’approccio basato sugli spread obbligazionari.
Titoli di Stato (risk free)
Obbligazioni societarie con rating A
© Resti e Sironi, 2008
Scadenza
1 anno
2 anni
4,50%
4,70%
4,75%
5,00%
50
Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
Esercizi/2
2. La società Alfa paga – sulle sue obbligazioni zero coupon a un
anno – uno spread del 2% sul rendimento dei titoli di Stato con
identica struttura e scadenza. Sulle sue obbligazioni zero coupon
a due anni, il differenziale rispetto ai titoli di Stato con identica
scadenza è il 2,5%. Sapendo che gli investitori si attendono, in
caso di default di Alfa, un tasso di recupero pari a un terzo del
valore nominale a scadenza, calcolate la probabilità di default
(neutrale al rischio) che il mercato sta implicitamente
assegnando ad Alfa, per il solo secondo anno.
© Resti e Sironi, 2008
51
Rischio e valore nelle banche
I modelli fondati sul mercato dei capitali
Esercizi/3
3. Una società, che dispone di attivi del valore di 100 milioni di
euro, con una volatilità del 15%, sta sostituendo tutti i suoi debiti
con un unico, grande prestito del valore nominale a scadenza di
85 milioni di euro e una durata di due anni. I tassi privi di
rischio sono, attualmente, al 6% (composti continuamente).
Usando il modello di Merton, controllate se il tasso “equo” da
applicare al prestito dovrebbe essere maggiore del 6,5%. Inoltre,
immaginate che la società stia emettendo 20 milioni di euro di
nuovo capitale, che verrà investito in maniera tale da lasciare
invariata la volatilità dell’attivo. Pensate che, in conseguenza di
questo nuovo capitale, il tasso “equo” sul prestito dovrebbe
scendere? Pensate possa scendere al di sotto del 6,1%?
© Resti e Sironi, 2008
52