Capacità
Capacità elettrica Condensatore
Condensatore = sistema per
immagazzinare energia (elettrica)
Fisica II – CdL Chimica
Definizione
Capacità
La capacità è una misura di
quanta carica debba possedere un
certo tipo di condensatore per
avere una data differenza di
potenziale tra le armature:
maggiore capacità, maggiore è la
carica necessaria.
(la capacità è sempre positiva !)
Unità di misura
1 Farad =1 F =1 Coulomb/Volt =1 C/V
Simbolo circuitale
Fisica II – CdL Chimica
Capacità di una sfera isolata
Tesi:
La capacità di un dispositivo dipende dalle caratteristiche
geometriche dei conduttori.
Dimostrazione:
Consideriamo un conduttore sferico di raggio R e carica Q.
Per simmetria, assimiliamo il secondo conduttore ad un
guscio sferico concentrico di raggio infinito. Essendo V=0
sul guscio di raggio infinito, la capacità della sfera sarà:
La capacità di una sfera carica isolata è proporzionale al suo
raggio ed è indipendente sia dalla carica che dalla
differenza di potenziale.
Fisica II – CdL Chimica
Carica di un condensatore
• Inizialmente potenziale nullo
• Chiusura interruttore
• Campo elettrico “spinge” gli elettroni
• Piatto h perde elettroni
• Piatto l acquisisce elettroni
• Al crescere della carica (su C) cresce
d.d.p. fino a V
• Piatto h e (+) batteria allo stesso
potenziale, campo nullo, flusso
elettroni nullo
• Il condensatore è carico
Fisica II – CdL Chimica
Calcolo capacità elettrica
0
Fisica II – CdL Chimica
= 8.85·10-12 F/m = 8.85 pF/m = 8.85·10-12 C2/(N·m2)
Condensatore cilindrico
Fisica II – CdL Chimica
Condensatore sferico
Fisica II – CdL Chimica
Collegamento di condensatori
simboli circuitali
esempio di circuito
Fisica II – CdL Chimica
Condensatori in parallelo
Fisica II – CdL Chimica
Condensatori in serie
Fisica II – CdL Chimica
Energia di un Condensatore
• Quanta energia è immagazzinata in un condensatore carico ?
Calcoliamo il lavoro fornito (usualmente da una batteria) per caricare
un condensatore a +/- Q:
• Calcolare il lavoro incrementale dW necessario per aggiungere una carica
dq al condensatore alla tensione V :
- +
• Il lavoro totale W per caricare al valore Q è quindi dato da:
• In termini della tensione
Fisica II – CdL Chimica
V
usando
si ha:
Dove è immagazzinata l’energia ?
• Tesi:l’energia è immagazzinata nel campo elettrico stesso.
Pensiamo all’energia necessaria per caricare il condensatore come
all’energia necessaria per creare il campo.
• Per calcolare la densità di energia nel campo, si consideri prima il
campo costante generato da un condensatore piano parallelo, dove
-Q
-------- ------
++++++++ +++++++
+Q
Questa è la densità
di energia, u, del
campo elettrico….
• Il campo elettrico è dato da:
• La densità di energia u nel campo è data da:
Unità:
Il caso è del tutto generale anche se calcolato per un condensatore ad armature piane e parallele.
Fisica II – CdL Chimica
Dielettrici
• Osservazione sperimentale:
Inserendo un materiale non-conduttore tra i piatti di un
condensatore si modifica il VALORE della capacità.
• Definizione:
La costante dielettrica di un materiale è il rapporto tra le
capacità in presenza ed in assenza di un dielettrico, cioè
– i valori di r sono sempre > 1 (p.es., vetro = 5.6; acqua = 78)
(acqua molto pure e non-conduttrice (de-ionizzata)
– essi INCREMENTANO la capacità di un condensatore (fatto
“positivo”, perchè è difficile realizzare “grandi” condensatori)
– essi permettono di immagazzinare una MAGGIORE quantità di
energia (rispetto al caso del vuoto, ovvero aria)
Fisica II – CdL Chimica
Rigidità Dielettrica
Il valore massimo del campo elettrico
che un materiale dielettrico può
sopportare prima di una rottura
distruttiva.
Per esempio la rigidità dielettrica
dell’aria è 3 kV/mm e quella del
Pyrex è 14 kV/mm.
• Essa limita la tensione che può essere applicata al
condensatore.
• La tensione massima è chiamata potenziale di rottura
(breakdown).
• Se i due piatti di un condensatore sono separati da 1
mm, il potenziale di rottura è di 3 kV se lo spazio tra i
piatti è costituito da aria, mentre è di 14 kV se lo
spazio è riempito di Pyrex.
Fisica II – CdL Chimica
Rigidità Dielettrica
Fisica II – CdL Chimica
Piatti Paralleli: Esempio Q
• Carichiamo un condensatore a piatti
piani e paralleli separati dal vuoto
(aria) alla d.d.p. V0.
• Una quantità di carica Q = C0V0
viene a trovarsi su ciascun piatto.
+++++++++++++++
V0
E0
---------------
• Inseriamo ora un materiale con costante
dielettrica r.
Q
– La carica Q rimane costante (piatti isolati) +++++++++++++++
+
+
+
+
+
+
Fisica II – CdL Chimica
-
– il campo elettrico diminuisce :
-
C0
-
r
-
– Quindi, C = Q0/V =
r
+
– Si trova che V0 diminuisce a
V
E
---------------
Piatti Paralleli: Esempio
– Come può diminuire il campo se la carica
rimane la stessa ?
+++++++++++++
V0
E0
-------------
– Risposta: il dielettrico si polarizza in
presenza del campo dovuto a Q.
+++++++++++++
V
+ + +
- -
Fisica II – CdL Chimica
Q
+
-
• Le molecole si allineano parzialmente con
il campo in maniera che la loro carica
negativa si sposta verso il piatto
positivo.
• Il campo dovuto a questa redistribuzione
all’interno del dielettrico (orientazione
dipoli) si oppone al campo originale ed è
quindi responsabile della riduzione del
campo effettivo.
+
+
- + +
+
- +
-
• MODIFICHE ALLA LEGGE DI GAUSS ?
Q
E
-------------
Polarizzazione indotta
Dipolo elettrico
permanente
Polarizzazione indotta
Fisica II – CdL Chimica
Dielettrici nei condensatori !
+
• Condensatore a piatti paralleli
separati da vuoto
• Condensatore con dielettrico
– intensità del campo E ridotta dalla
“costante dielettrica relativa”
• Perchè ?
– la polarizzazione dielettrica determina
una carica superficiale sul dielettrico
che cancella parzialmente l’effetto
delle cariche libere (sui piatti)
Fisica II – CdL Chimica
+
+
+
+
+
+
+
-
-
vuoto
-
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
+
+
+
dielettrico
-
-
-
-
-
-
-
la costante dielettrica
relativa può essere
grande
-
Modifiche alla Legge di Gauss
Nel vuoto:
Con un dielettrico il
campo si riduce.
Fisica II – CdL Chimica
Modifiche alla Legge di Gauss
Con un dielettrico
il campo si riduce:
1. L'integrale del flusso ora è relativo a rE anziché a E. Ciò è coerente con
la riduzione di E in un dielettrico di un fattore r, dato che rE
(dielettrico presente) contiene il caso E0 (nessun dielettrico).
Generalizzando, si tiene conto del fatto che r può non essere costante,
mantenendolo sotto il segno di integrale.
2. La carica q contenuta entro la superficie gaussiana è la sola carica
libera. La carica superficiale indotta viene volutamente omessa nel
termine di destra, dato che se ne è tenuto conto attraverso
l'introduzione di r nel termine a sinistra.
Fisica II – CdL Chimica
Condensatori reali: come sono fatti
Fisica II – CdL Chimica
Capacità:
fenomeni naturali e
applicazioni
Fisica II – CdL Chimica
