Geometra analitica del piano: rette e parabole
Una retta è un luogo geometrico ma anche un ente primitivo: non si può definire. Nel piano tutti e soli i
punti di una data retta hanno coordinate (x ; y) che obbediscono a equazioni del tipo:
I: ax + by + c = 0
oppure II: y = mx + q , con m = “coeff.angol.– pendenza” q = “intercetta assey”
Il I tipo di equazioni consente di descrivere anche le rette verticali parallele all'asse y: x = Numero;
Il II tipo descrive tutte le altre rette: per O => y = mx o le rette parallele all'asse x,
y = Numero
La pendenza è anche m = tang(a) = sen(a)/cos(a) legata all'angolo a fra la retta e l'asse x.
Un sistema di due rette nel piano è un sistema di 2 equazioni con 2 incognite: se le rette si incontrano in
un punto si dicono incidenti e il sistema ha una sola soluzione (∆ ≠ 0); altrimenti sono rette parallele ( ∆ =
0 e ∆x ≠ 0 oppure ∆y ≠ 0 ), e le rette hanno uguale pendenza m.
Una parabola è un luogo geometrico del piano: tutti i punti equidistanti fra un punto F e una retta
direttrice: si dimostra che l'equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y è:
y = ax2 + bx + c dove c è intercetta con asse y, e a ≠ 0 determina la concavità: a > 0 verso alto
e l'asse di simmetria individua anche il vertice:
xV = – b/2a .
Notando che y = polinomio di II grado, si trova che le intersezioni della parabola con l'asse x sono le
soluzioni dell'equazione di II grado, con la solita formula del ∆ = b2 – 4ac .
Se ∆ < 0 non ci sono intersezioni fra parabola e asse x: parabola tutta sotto ( a < 0) o tutta sopra (a > 0 )
l'asse x.
Geometria euclidea.
Enti primitivi: retta punto piano, non si definiscono.
Definizioni: un angolo è definito da due semirette (lati) e da un vertice. Luogo geometrico: tutti e soli i
punti del piano corrispondenti ad una certa proprietà: es. circonferenza; bisettrice := luogo dei punti
equidistanti dai lati dell'angolo; asse di un segmento := luogo dei punti equidistanti dagli estremi del
segmento. Baricentro di un triangolo: punto di incontro della mediane. Incentro di un triangolo: punto di
incontro delle bisettrici e centro della circonferenza inscritta, di raggio r = 2Area/Perimetro. Circocentro:
punto di incontro degli assi del triangolo, e centro della circonferenza circoscritta, di raggio R = abc/4Area
(prodotto dei lati del triangolo diviso 4 volte l'area). Un triangolo è isoscele se ha due lati congruenti. Una
figura convessa è tale se due punti interni sono congiunti da un segmento tutto interno. Un triangolo è
sempre convesso. Un parallelogramma è un quadrilatero (convesso) con i lati a due a due paralleli.
Poligono regolare: lati tutti congruenti e angoli tutti congruenti, inscrivibile in una circonferenza.
Postulati: proprietà non dimostrabili, ma sempre vere, alla base della geometria.
Per due punti passa una sola retta; si possono sovrapporre alcuni segmenti ed angoli = congruenza fra
segmenti ed angoli; tutti gli angoli retti sono congruenti; la parallela ad una retta data, per un punto
esterno ad essa, esiste ed è unica.
Teoremi: enunciato: condiz. sufficiente = IPOTESI => Condiz. necessaria = TESI. Si dimostrano.
1) Ang. opposti al vertice sono congruenti. 2) Criteri di congruenza fra due triangoli: LAL; AAL; LLL;
3) Triangolo isoscele <=> due angoli congruenti; l'altezza relativa alla base è anche mediana e bisettrice;
4) Ang. esterno di triangolo = somma degli altri due interni; 5) somma angoli di triangolo = p rad = 180°;
6) Talete: rette parallele staccano su due rette trasversali segmenti corrispondenti proporzionali; la
congiungente i punti medi di due lati di un triangolo è parallela al terzo lato; 7) Criteri di similitudine fra
due triangoli: i) hanno tre angoli congruenti; ii) hanno tre lati in proporzione; iii) hanno due lati in
proporzione e l’angolo compreso congruente. 8) Euclide I: in un triangolo, rettangolo in A, il cateto AB è
in proporzione con la sua proiezione BH sull'ipotenusa BC: BC : AB = AB : BH cioè AB2 = BC ·BH;
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9) Euclide II: l'altezza AH dell'ipotenusa BC è in media proporzione con le sue proiezioni dei lati BH e
CH sull'ipotenusa: BH : AH = AH : CH cioè AH2 = BH · CH. Si dimostrano con le similitudini;
10) Pitagora: in un triangolo rettangolo in A, AB 2 + AC 2 = BC2 . Si dimostra con Euclide I;
11) Un punto P esterno a una circonferenza stacca segmenti congruenti sulle tangenti
T
P
PT = PQ
Q
Rette parallele: dal postulato dell'esistenza e unicità della retta parallela si ricavano i criteri per gli angoli
staccati da una trasversale su due rette parallele
Se le rette sono parallele => angoli alterni interni sono conguenti; viceversa, se angoli ALT INT sono
congruenti, allora le rette sono parallele. Similmente per angoli corrispondenti e coniugati.
Da questi criteri discende il teorema di Talete, e le similitudini; ne discendono anche :
I criteri sufficienti di parallelogramma, 4lateri definiti da “i lati opposti sono a due a due paralleli”:
Ipotesi: Se accade che:
gli angoli opposti sono a due a due uguali
i lati opposti sono a due a due uguali
tutte le coppie di angoli consecutivi sono supplementari (somma = 180°)
il poligono è diviso da ogni diagonale in due triangoli congruenti
le diagonali si dimezzano scambievolmente.
Tesi: allora il 4-latero è un parallelogramma.
I criteri sopra possono essere visti al contrario, scambiando ipotesi e tesi: se un 4-latero è un
parallelogramma, allora sono valide le condizioni poste (criteri necessari di parallelogramma).
Inoltre un 4-latero convesso è parallelogramma se una coppia di lati opposti sono paralleli e congruenti.
E: 4-latero convesso è inscrivibile in circonferenza se angoli opposti sono supplementari (somma = 180°).
E: bisettrice di angolo interno di triangolo divide il lato opposto all'angolo in due segmenti proporzionali
agli altri due lati.
Teoremi sulla circonferenza:
1) Teorema. L’asse di una corda passa per il centro della circonferenza e dimezza l’angolo al centro e
l’arco corrispondenti.
2) Teorema. per tre punti non allineati passa una sola circonferenza. 3) Teorema. Se una retta è tangente
ad una circonferenza, il raggio che ha un estremo nel punto di contatto è perpendicolare alla tangente.
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4) Teorema. Ogni angolo alla circonferenza è congruente alla metà del corrispondente angolo al centro
(cioè insistono sullo stesso arco).Tutti gli angoli alla circ. che insistono sullo stesso arco sono congruenti.
5) Teorema. Anche l'angolo posizione limite, formato da una corda AB e dalla semiretta tangente in B alla
circonferenza può essere pensato come posizione limite di un angolo alla circonferenza ed è congruente a
tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sull’arco AB.
6) Proprietà delle secanti di una circonferenza
Teorema delle due secanti. Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono due secanti si ha
che una di esse e la sua parte esterna alla circonferenza sono i medi e l’altra secante e la sua parte esterna
sono gli estremi di una proporzione cioè
OD ∙ OC = OB ∙ OA oppure OB : OD = OC : OA
teorema delle due secanti
teorema secante - tangente
Teorema secante – tangente. Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono una tangente ed
una secante si ha che la tangente è media proporzionale tra la secante e la sua parte esterna cioè:
OD : OA = OA : OC
oppure
OD · OC = OA2
Speciali: Baricentro G, incentro I e circocentro H sono allineati nella retta di Eulero: vale HG = 2GI.
Erone: detti a, b, c le misure dei tre lati, a + b + c = 2p => l'area S si ricava dalla formula
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