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Statica
Fisica Generale A
• Cinematica: descrizione del moto, trascurandone le cause.
• Statica: studio delle forze (che sono causa dei
cambiamenti dello stato di moto) nelle configurazioni di
equilibrio.
• Equilibrio: si ha quando un corpo soggetto a forze,
inizialmente in quiete rispetto a un prestabilito SdR,
rimane nello stato di quiete.
5. Statica
• Concetto di forza: nasce dallo “sforzo” muscolare.
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Domenico
Galli
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Date: 2010.10.01 09:56:53 +02'00'
September 23, 2010
2
Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
Forza
Dinamometro e Forza Peso
• Definizione operativa (specificazione del procedimento con cui si
effettua la misura): cordicella + dinamometro.
• Forza peso: dovuta all’attrazione gravitazionale, diretta
lungo la verticale, con verso diretto in basso.
• Forza elastica: esercitata dalla molla, proporzionale
all’allungamento della molla.
• Equilibrio di un sistema di forze applicate a un punto
materiale: risultante nulla:
– La retta su cui si dispone la cordicella rappresenta la direzione della
forza, il dinamometro ne misura il modulo.
• Il dinamometro è costituito da una molla a elica cilindrica e da una
scala graduata che consente di misurarne l’allungamento.
• Cordicella ideale: infinitamente sottile, perfettamente flessibile e
inestensibile.
• Molla ideale: massa nulla, segue precisamente la legge di Hooke:
Fp + Fe = 0 Fp k l = 0
F = k l
• Raddoppiando il peso (appendendo due
pesetti uguali) raddoppia pure
l’allungamento della molla.
dove k è una costante (costante elastica).
F
Fe
Fp
dinamometro
Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
3
Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
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Natura Vettoriale delle Forze
Forze Interne e Forze Esterne
• In un sistema di punti materiali si definiscono:
• Si trova sperimentalmente che le forze si sommano
vettorialmente.
– Forze interne: le forze esercitate da una parte del sistema su
un’altra parte dello stesso sistema.
– Per 3 forze applicate a un punto materiale si ha l’equilibrio se:
F3 = F1 + F2
(
F1 + F2 + F3 = 0
)
F3
– Forze esterne: le forze esercitate su di una parte del sistema da
parte di corpi non appartenenti al sistema.
F1
F2
• Es.:
F1 + F2 = F3
– Per il sistema costituito dalla sola Terra, l’attrazione
gravitazionale esercitata del Sole sulla Terra è una forza esterna.
– Per il sistema costituito da Terra + Sole
l’attrazione gravitazionale esercitata del Sole
sulla Terra è una forza interna.
Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
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Equazioni Cardinali della Statica
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Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
Centro di Gravità o Baricentro
• Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un
punto materiale è che si annulli la risultante delle forze
ad esso applicate (NB: questo non significa che non siano
presenti forze!).
• Corpo rigido: si può idealmente suddividerlo in n parti
sufficientemente piccole rispetto al contesto considerato,
da poter essere considerate puntiformi.
• Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un
corpo rigido è che si annullino sia la risultante sia il
momento risultante delle forze esterne ad esso applicate
(NB: le forze interne di coesione del corpo rigido, che
mantengono invariate le distanze tra i punti, non hanno
effetto).
• Se il corpo non è troppo esteso (rispetto alla
O
dimensione della Terra) tali forze sono
parallele tra loro.
O R( e) = 0, M( e( ) ) = 0
P1
P2G P3 P4
F1 F3
F2
• L’insieme delle forzepeso è riducibile a una sola
F4
forza, la risultante R , detta peso totale del corpo,
applicata nel centro dei vettori paralleli, che in
questo caso prende il nome di Centro di Gravità (o
R
Baricentro) G.
(equazioni cardinali della statica)
Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
• Ogni parte è soggetta alla forza peso: F1 , F2 ,..., Fn .
R =0
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Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
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Centro di Gravità o Baricentro (II)
Centro di Gravità o Baricentro (III)
• Il Centro di Gravità (essendo il centro dei vettori
paralleli) è definito da:
n 1 n G O = Fi Pi O
R = Fi
R i=1
i=1
• Per un sistema costituito da 2 soli punti materiali, il
centro di gravità si trova sul segmento che congiunge i 2
punti, a distanza da essi inversamente proporzionale al
loro peso.
• Proiettando sugli assi e prendendo O come origine si hanno
le componenti cartesiane:
P G P3 P4
O
P1 2
1 n xG = Fi xi
R i=1
F1 F3
O = ( 0,0,0 )
F2
1 n F
P
=
x
,
y
,
z
F
y
=
y
4
i ( i i i)
G
i i
R
i=1
Gi = ( xG , yG , zG )
1 n zG = Fi zi
R i=1
R
• Per un sistema di n punti materiali che giacciono su di una
retta, il centro di gravità si trova sulla medesima retta.
(
)
Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
G2
G
Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
• Se chiamiamo ps il peso specifico, si può scrivere:
1
GO =
R
10
ps n
1 n
V
p
P
O
=
V
P
O
=
V
i s i
P O
R i=1 i i
V i=1 i i
i=1
• Se si fa tendere n , la sommatoria viene sostituita da un
Fi = F, i = 1,2,…, n
(
G1
Centro di Gravità o Baricentro (V)
• Per un corpo omogeneo (porzioni di ugual volume hanno ugual peso),
suddividendolo in n parti di ugual volume, sufficientemente piccole
rispetto al contesto considerato, da poter essere considerate
puntiformi, si ha:
1
1
xG = Fi xi = R i=1
n F
n
1
yG = yi
n i=1
n
1
z =
z
G n i=1 i
1 n G O = Pi O
n i=1
• Se un sistema può essere diviso in più parti, il suo centro
di gravità coincide col centro di gravità dei centri di
gravità parziali.
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Centro di Gravità o Baricentro (IV)
n
• Per un sistema di n punti materiali che giacciono su di un
piano, il centro di gravità si trova sul medesimo piano.
n
(
)
(
)
(
)
integrale. Per un corpo omogeneo:
n
i=1
F xi =
1 F
n F
n
x
i=1
i
=
1
GO =
V
n
1
x
n i=1 i
1
xG =
V
1
yG =
V
z = 1
G V
)
Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
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( P O ) dV
V = d x d y d z
V
V
x d x d y d z
V
y d x d y d z
V
z d x d y d z
(
(
(
)
)
O = 0,0,0
P = x, y, z
Gi = xG , yG , zG
)
V
Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
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Forze Vincolari
Forze Vincolari (II)
• Ogni vincolo impedisce certi movimenti del corpo considerato e ne
consente altri (es.: rotaia treno, cardine porta, piano su cui è
appoggiato un oggetto, ecc.).
• Le forze non vincolari sono dette forze attive.
• Le forze vincolari sono a priori sconosciute, in quanto
debbono adeguarsi alle circostanze per neutralizzare le
forze attive che potrebbero causare movimenti vietati:
• Per impedire i movimenti vietati dei corpi, i vincoli debbono
esercitare sui corpi delle forze, dette forze vincolari o reazioni
vincolari.
– Lo stesso tavolo esercita reazioni vincolari diverse su due oggetti
di peso diverso appoggiati su di esso.
• Esempio:
– Se un corpo, appoggiato su un tavolo, rimane in quiete, allora la risultante
e il momento risultante delle forze che agiscono su di esso sono
entrambi nulli.
Rn
– Il corpo è sicuramente soggetto alla forza peso diretta
lungo la verticale verso il basso.
– Affinché sia nulla la risultante, deve essere presente una
forza, diretta lungo la verticale verso l’alto.
– Tale forza è la reazione vincolare
Rn = Fp .
Rn1
Fp1
Fp
Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
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Forze di Attrito
Rn2
Fp2
Rn1 > Rn2
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Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
Attrito Radente
• Le forze di attrito sono forze che si sviluppano sulla
superfici dei corpi, tangenzialmente ad esse,
ostacolandone il movimento.
• Si manifesta allo strisciare di due corpi l’uno sull’altro.
• È causato dalle asperità delle superfici striscianti (per
cui le irregolarità della superficie più dura scavano solchi
sulla superficie più tenera) e dall’adesione tra le due
superfici che può produrre delle vere micro-saldature
nei punti di contatto.
– Attrito interno: si esplica tra i vari strati di un fluido, dovuto alla
viscosità (es.: differente comportamento tra acqua e miele).
– Attrito del mezzo: resistenza viscosa (F v) o resistenza
idraulica (F v2) a cui è soggetto un corpo in moto entro un
fluido viscoso.
– Particolarmente intensa è l’adesione tra rame e rame e tra
alluminio e alluminio, che tendono facilmente a “ingranarsi” o
“gripparsi”.
– Attrito radente: quando due corpi solidi sono sollecitati a
strisciare l’uno sull’altro, sulle superfici di contatto si sviluppano
forze tangenziali dovute alle asperità e alle forze di adesione
che si esercitano tra le 2 superfici.
Rt
– Attrito volvente: si osserva in un cilindro che rotola senza
strisciare su di una superficie. Dovuto alle asperità e alla non
perfetta elasticità dei corpi a contatto.
Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
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Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
F
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Attrito Radente (II)
Attrito Radente (III)
• Per diminuire l’attrito radente si utilizzano lubrificanti, ovvero
sostanze (olio, grafite, talco, paraffina) che si interpongono tra
le due superfici che strisciano.
• La tecnica del “cuscino d’aria” viene utilizzata anche in
particolari veicoli anfibi per trasporto passeggeri
denominati hovercraft.
• Per minimizzare l’attrito, allo scopo di eseguire esperimenti
precisi di dinamica, si utilizza il “cuscino d’aria”, ovvero si
interpone uno strato di aria tra le superfici.
• Il ghiaccio secco a temperatura ambiente sublima in anidride
carbonica gassosa che fuoriesce dal
foro inferiore creando una pellicola
di aria che si interpone tra il disco
e la superficie su cui esso appoggia.
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Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
Attrito Radente (IV)
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Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
Attrito Radente (V)
• Si osserva sperimentalmente
che esiste un valore di
soglia Fsoglia del modulo F della forza attiva per cui:
• Nello studio dell’attrito radente si distingue tra attrito
statico e attrito dinamico.
– Il corpo non si muove se:
• Se un corpo pesante appoggia con una faccia su di un piano
orizzontale e sia applica ad esso una forza F
diretta
orizzontalmente, se il modulo della forza F è
sufficientemente piccolo il corpo non si muove (attrito
statico).
• Quando invece si aumenta F oltre una certa soglia, il
corpo comincia a muoversi, ma con accelerazione inferiore
a quella che avrebbe in assenza di attrito (attrito
dinamico).
R
t
Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
F < Fsoglia
In questo caso si dice che l’attrito radente è statico.
– Il corpo si muove se:
F Fsoglia
In questo caso si dice che l’attrito radente è dinamico.
Rt
F
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Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
F
20
Attrito Radente Statico
Attrito Radente Statico (II)
• Se il corpo non si muove (attrito radente statico),
significa che esso si trova in equilibrio statico, dunque la
risultante delle forze deve essere nulla:
s R = F + Rt( ) = 0 se F < Fsoglia
• La massima intensità della forza di attrito radente
statico si ha quando F Fsoglia . In tal caso si ha:
s
( s)
Rt( ) = F Rt = F Fsoglia
F Fsoglia • Questo significa che, se il corpo non si muove, la forza di
attrito radente è sempre opposta alla forza attiva:
s
Rt( ) = F se F < Fsoglia
• Possiamo pertanto scrivere:
s
Rt( ) = Fsoglia
lim
F Fsoglia
• Come la reazione vincolare, anche la forza di attrito
radente statico non è nota a priori:
– Essa si adegua alla forza attiva:
s
Rt( )
• Finché non si raggiunge il valore
di soglia Fsoglia.
oppure:
s
max Rt( )
{ }= F
F
21
Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
Attrito Radente Statico (III)
= f Rn
• Il coefficiente adimensionale f è detto coefficiente di attrito
statico.
• Per quanto visto, avremo pertanto, per l’attrito statico:
{ }
Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
22
s
Rt( )
Rn
F
p
Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
• Se F Fsoglia allora il corpo inizia a muoversi.
• In questo caso il corpo non è in equilibrio e la risultante
non è nulla:
d R = F + Rt( ) 0 se F Fsoglia = f Rn
• Si trova sperimentalmente che l’intensità della forza di
attrito radente dinamico vale:
d
Rt( ) = μ Rn se F f Rn
dove Rn è la reazione vincolare della superficie Rn
v
(forza d’appoggio), opposta alla forza
(d )
peso p . Il coefficiente adimensionale μ Rt
F
è detto coefficiente di attrito
dinamico.
p
• Sperimentalmente f dipende dai materiali di cui sono composte le
superfici e dalla loro scabrosità ed è approssimativamente
indipendente dalla superficie di appoggio.
s
max Rt( ) = Fsoglia = f Rn
s
Rt( ) = F < f Rn
F
Attrito Radente Dinamico
• Si trova sperimentalmente che il valore
di soglia Fsoglia è proporzionale
all’intensità della reazione vincolare Rn, detta forza di appoggio (che,
a sua volta, è opposta alla forza peso p ):
Fsoglia
s
Rt( )
soglia
23
Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
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Attrito Radente (Sommario)
Attrito Radente (Valori Tipici)
• Concludendo, l’intensità della forza di attrito radente vale:
Rt = f Rn
μ Rn
Rt
s
Rt( ) = F
d
Rt( ) = μ Rn
se
se
F < f
F f
Superfici
Rn
Rn
Legno-legno
Acciaio-acciaio
Rn
Rt
F
0.1
0.05
0.04
1.05-1.35
1.4
Alluminio-acciaio
0.61
0.47
Rame-rame
1.00
0.2-0.6
0.4
p + RnA + RnB = 0
G G p + A G RnA + B G RnB = 0
)
RnA
(
RnB
p
0.2
F
26
b0
Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
)
(
)
=0
p = RnA + RnB
a0 RnA = b0 RnB
b0
p
RnA =
a0 + b0
a0
R =
p
nB
a0 + b0
• Avviciniamo le dita. Il dito A (forza d’appoggio minore perché a0 > b0)
inizia a slittare.
• Se fosse μ = f, quando diventa a = b0 (forza d’appoggio uguale) le
due dita inizierebbero
R
R
nA
nB
G
a muoversi insieme.
)
G
a0
0.5
Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
(
(
Rn
Rt
R = p + RnA + RnB = 0
(G ) M = A G RnA + B G RnB
a0
RnB = RnA
b0
a
a +b
p= R + 0 R = 0 0 R
nA
nA
b0 nA
b0
L’attrito dinamico è minore del limite massimo dell’attrito statico.
• Una semplice esperienza mette in evidenza questa proprietà: un’asta
appoggiata sui diti indici di due mani. Le due forze d’appoggio
possono essere trovate dalle equazioni cardinali della statica:
A
0.7
Gomma-asfalto bagnato
Attrito Statico e Attrito Dinamico (II)
{ }
)
Gomma-asfalto
25
< max Rt
(
0.57
p
• Sperimentalmente risulta:
(d )
( s)
R p,G
=
{( ),( RnA , A),( RnB ,B)}
(G )
=
M{( p,G
),( RnA , A),( RnB ,B)}
0.74
p
Attrito Statico e Attrito Dinamico
Rt
0.3
F
Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
0.5
0.04
Acciaio-teflon
Attrito dinamico
f Rn
μ
Acciaio-acciaio lubrificato
Alluminio-alluminio
Attrito statico
μ< f
f
B
A
27
a0
p
b0
Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
B
28
Attrito Statico e Attrito Dinamico (III)
Attrito Statico e Attrito Dinamico (IV)
• Si osserva invece che il dito A prosegue oltre. Il motivo è che,
quando a = b0 (forze d’appoggio uguali), l’attrito in A, essendo dinamico
è inferiore all’attrito in B, che è statico.
• La distanza a1 in cui A si ferma rispetto all’asta (mentre B inizia a
muoversi) è quella per cui l’attrito dinamico in A diventa uguale al
massimo possibile attrito statico in B:
{ }
d
s
RtA( ) = max RtB( )
μ RnA = f RnB
a1 μ
μ
= < 1 a1 = b0 < b0
b0 f
f
RnA
A
• A questo punto l’asta inizia a slittare sul dito B finché l’attrito
dinamico in B diventa uguale al massimo possibile attrito statico
in A.
{ }
d
s
RtB( ) = max RtA( )
p
b0
a1
RnA
RnB
G
b0
μ
b1 μ
μ
= < 1 b1 = a1 < a1
a1 f
f
b
a1
μ 0 = f
a1 + b0
a1 + b0
a0
μ RnB = f RnA
A
B
a1
b1
= f
a1 + b1
a1 + b1
RnB
G
a1
p
b0
B
a1
b1
Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
29
Attrito Statico e Attrito Dinamico (V)
Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
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Attrito Statico e Attrito Dinamico (VI)
• Evidenze pratiche del fatto che l’attrito dinamico è
sempre minore del limite massimo dell’attrito statico:
• Dunque si avrà la successione di punti:
μ
b
f 0
μ
μ2
b1 = a1 = 2 b0
f
f
μ
μ2
μ3
a2 = b1 = 2 a1 = 3 b0
f
f
f
.........................................
a1 =
– Quando si sposta, strisciandolo, un mobile pesante, per metterlo
in movimento (cioè per vincere il massimo attrito statico) occorre
imprimergli una forza maggiore di quella necessaria per
mantenerlo in movimento (che serve per vincere l’attrito
dinamico).
– Le automobili recenti sono dotate di un dispositivo antipatinamento (ABS). Se la ruota patina, ovvero striscia, sull’asfalto,
la forza di attrito diviene dinamica, e dunque l’azione frenante
risulta inferiore. Il dispositivo ABS, quando la ruota patina rilascia
un po’ il freno, in modo da ripristinare le condizioni di attrito
statico.
• Si tratta di una progressione geometrica che tende ai valori limite
a = b = 0, corrispondenti al baricentro G.
RnA
A
G
RnB
B
p
Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
31
Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
32
Attrito Volvente
Attrito Volvente (II)
• Un cilindro che rotola senza strisciare su di un piano è
soggetto alla forza di attrito radente statico che
impedisce lo strisciamento.
• La forza di attrito radente statico non ostacola il
rotolamento del cilindro.
• Il rallentamento del moto di rotolamento (come vedremo
in dinamica) è dovuto a una coppia di forze. Tale coppia è
detta coppia di attrito volvente. Si tratta di forze
assolutamente diverse da quelle di attrito radente
statico.
s
Rt( )
• L’attrito volvente ha origine in una asimmetria delle forze elastiche
vincolari.
• Quando il cilindro rotola su di una superficie, si crea sulla superficie
una avvallamento che procede insieme al cilindro.
• Dove si forma l’avvallamento sono presenti forze che si oppongono
alla deformazione.
• Dove l’avvallamento scompare sono presenti forze di ripristino.
• Se le forze che si oppongono alla deformazione non sono
esattamente uguali alle forze di ripristino, si ha un’asimmetria che
genera l’attrito volvente.
F
Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
33
F
Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
Attrito Volvente (III)
34
Forze di Attrito (Note)
• L’attrito volvente risulta molto inferiore all’attrito
radente (dalle 100 alle 1000 volte).
• Un corpo che striscia su di una superficie è soggetto alla
forza di attrito radente dinamico.
• Per questo motivo, dove si debba minimizzare l’attrito
nella rotazione di un asse, si preferiscono i cuscinetti a
rotolamento (come il cuscinetto a sfere mostrato in
figura) ai cuscinetti a strisciamento (p.es.: bronzine).
• Un corpo che rotola senza strisciare su di una superficie
è soggetto alla forza di attrito radente statico e alla
forza di attrito volvente.
• In assenza di attrito radente l’uomo e gli animali non
riuscirebbero a camminare e gli autoveicoli non
riuscirebbero a muoversi.
• Tra le due superfici cilindriche
in figura sono poste 9 sfere
ingabbiate che rotolano quando
una superficie cilindrica si muove
rispetto all’altra.
s
Rt( )
Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
35
s
Rt( )
Domenico Galli – Fisica Generale A – 5. Statica
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http://campus.cib.unibo.it/2425/
Domenico Galli
Dipartimento di Fisica
[email protected]
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