p - Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

Isolanti , Semiconduttri e Metalli
I materiali per applicazioni elettriche/elettroniche sono
generalmente classificati rispetto al valore della loro resistività ρ
[Ω⋅cm] (o conducibilità σ [S/cm] ):
Materiale
Resistività (Ω⋅cm)
Isolanti
105 < ρ
Semiconduttori
105 < ρ < 10−3
Conduttori
ρ <10−3
La resistività o la conducibilità sono parametri che descrivono globalmente
le caratteristiche del processo di conduzione elettrica del materiale
considerato. La resistenza (R) di un determinato materiale può essere
espressa come:
L
dV
R = ρ⋅
S
;
R=
dI
;
Dove ρ è la resistività, L è la lunghezza del materiale ed S è la sua sezione.
La Banda Proibita (Energy Gap)
Consideriamo, ad esempio, la configurazione elettronica del silicio:
1s2 2s2 2p6 3s2 3p2
Che dispone di 14 elettroni di cui 8 formano l’ottetto fondamentale.
a/2
( 2.71 Å
)
a ( 5.43 Å )
8
atomi
≈ 5⋅1022
[atomi/cm3]
Configurazione degli stati di energia per il C, Si, Ge relativamente ai 4
elettroni di valenza in funzione della spaziatura interatomica.
Atomi isolati
0 elettroni (a T=0 K)
4N stati
banda di conduzione
Energia
E
2N elettroni (p)
6N stati
EG
4N elettroni
4N stati
banda di valenza
2N elettroni (s)
2N stati
Livelli energetici
delle cortecce più
interne dell’atomo
d0
d
metallo
isolante
semiconduttore
Ogni materiale può essere classificato in una delle 3 categorie seguenti
sulla base della disposizione dei livelli EC, EV
Banda di
conduzione
EC
elettroni
≈ 9eV
per SiO 2
EG
EG
EC
EV
EV
EF (livello di Fermi)
EC
EV
lacune
Banda di valenza
isolante
semiconduttore
metallo
La Funzione di Fermi-Dirac
La funzione di distribuzione di Fermi-Dirac f(E) indica la probabilità
che un elettrone occupi un certo stato elettronico avente energia E.
1
f (E) =
1+ e
k=costante di Boltzmann [eV/K]
(E - E F )
k ⋅T
T=temperatura assoluta in [K]
E=livello di Fermi [eV]
f (E)
1
0K
300 K
0.5
200 K
0
E
EF
E
E
E
Banda di
Conduzione
EC
-----
EF
EV
+++++
Banda di
Valenza
0
0.5
1 f(E)
EV
∞
nC =
∫ f (E) ⋅ N(E)dE
E =EC
ρ(E)
N(E)
;
nV =
∫ f (E) ⋅ N(E)dE
E =0
;
Semiconduttori
La maggior parte dei dispositivi elettronici sfrutta le proprietà delle
giunzioni o tra materiali semiconduttori differenti, oppure tra metallo e
semiconduttore.
Lo studio di tali dispositivi richiede perciò la conoscenza delle proprietà
chimiche, fisiche , termiche ed elettriche dei diversi tipi di
semiconduttori.
La moderna tecnologia elettronica utilizza un numero di materiali
semiconduttori “semplici”, cioè costituiti da un’unica specie atomica, e/o
“composti “ cioè costituiti da più specie atomiche.
Semiconduttori utilizati: Si, Ge, GaAs, InP, SiGe, AlGaAs.
Elementi tetravalenti (4 elettroni di valenza)
Se non sono introdotte impurezze si parla di Semiconduttori
Intrinseci
Se sono introdotte impurezze (atomi pentaventi o trivalenti) si
parla di Semiconduttori estrinseci
+4
+4
ATOMI DI SILICIO
LEGAMI
COVALENTI
+4
+4
4 atomi di silicio (C, Ge) ed i corrispondenti 4 legami covalenti
I semicondutori sono caratterizzati da una banda di energia
proibita (energy gap), espressa in eV e per i tre materiali più
studiati si hanno i seguenti valori:
Ge: 0,7 eV
Si: 1,12 eV
GaAs: 1,43 eV
Evuoto
Affinità
Elettronica
q·χ
q·φS
Econduzione
Energy gap
EF
Evalenza
La banda di energia proibita è posizionata sotto il livello di vuoto.
q·φS è chiamata Funzione lavoro
Doping
Introducendo in un semiconduttore intrinseco quantità anche piccole di
impurezze, se ne cambiano in modo radicale le caratteristiche, a
cominciare da quelle di conduzione.
Aggiungendo atomi di tipo pentavalente (P, As, Sb) alcuni atomi del
reticolo sono sostituiti dalla nuova specie atomica che satura i quattro
legami covalenti dell’atomo sostituito, ma ha ancora un quinto elettrone
a disposizione. Tale elettrone risulta poco legato al reticolo e può
facilmente “liberarsi ” per effetto della temperatura e partecipare al
processo di conduzione.
Se gli atomi droganti aumentano il numero di elettroni liberi si
definiscono donori.
45 meV
Donori
In termini di bande di energia l’introduzione dei donori corrisponde ad inserire
all’interno dell’energy gap, un livello vicino alla banda di conduzione dal
quale gli elettroni possono facilmente “saltare” nella banda di conduzione
stessa e partecipare ai processi di conduzione elettrica del cristallo ospite, in
tale situazione si parla di drogaggio di tipo n
L’aggiunta al semiconduttore intriseco tetravalente di impurezze di tipo
trivalente (B, In, Al), produce la sostituzione nel reticolo del cristallo
ospite di alcuni atomi con quelli della nuova specie atomica che non è in
grado però di saturare tutti e quattro i legami covalenti disponibili. Si
vengono a creare così dei legami covalenti non saturati “lacune”. Il
meccanismo con cui le lacune migrano è il seguente: un elettrone può
abbandonare il legame covalente e occupare la lacuna di un atomo vicino
generando in tal modo una lacuna nell’atomo di origine. Il risultato è una
lacuna che si muove in verso opposto all’elettrone che salta da un legame
all’altro.
Se gli atomi droganti aumentano il numero di lacune libere si definiscono
Accettori.
45 meV
accettori
In termini di bande di energia l’introduzione degli accettori corrisponde ad
inserire all’interno dell’energy gap, un livello vicino alla banda di valenza dal
quale gli elettroni possono facilmente “saltare” nella banda di valenza stessa e
partecipare ai processi di conduzione elettrica del cristallo ospite, in tale
situazione si parla di drogaggio di tipo p
Legge dell’Azione di Massa
Aggiungendo ad un semiconduttore intrinseco impurezze di tipo “n” si
facilita la ricombinazione delle lacune generate termicamente,
diminuendone il numero. Lo stesso vale per gli elettroni se si introducono
impurezze di tipo “p”.
Si dimostra che in un semiconduttore drogato, in condizioni di equilibrio
termico, il prodotto tra la concentrazione di elettroni e la concentrazione di
lacune, (in assenza di tensione applicata) è una costante.
n ⋅ p = n i2 = concentrazione intrinseca
Per il Si (300 K)
[email protected] 1020 cm-6
Densità di Carica in un Semiconduttore
Per un semiconduttore sia drogato di tipo p che di tipo n vale la seguente
relazione detta anche della neutralità della carica:
N A + n = ND + p
Se il semiconduttore è drogato con una concentrazione di atomi donori
pari a ND [atomi/cm3] . Risulta:
nn = ND + ni
nn ≈ ND
Portatori di maggioranza
Applicando la legge dell’azione di massa:
ND ⋅ pn ≈ n
2
i
n i2
⇒ pn ≈
ND
Portatori di minoranza
In modo analogo se il semiconduttore è drogato con una concentrazione di
atomi accettori pari a NA [atomi/cm3] . Risulta:
pp = NA + ni
pp ≈ NA
n i2
np ≈
NA
Portatori di maggioranza
Portatori di minoranza
E
E
E
Banda di
Conduzione
EC
EF
EV
------+ + +
Banda di
Valenza
0
0.5
1 f(E)
E
EC
EF
EV
ρ(E)
N(E)
E
E
Banda di
Conduzione
- - -
+++++++
Banda di
Valenza
0
0.5
1 f(E)
N(E)
ρ(E)
Modello a Dualità di Carica
•Dato un semiconduttore sottoposto ad una d.d.p., la corrente I misurata è
dovuta sia ad un flusso di cariche positive che procedono con velocità di
trasporto up diretta nel verso del campo elettrico, sia ad un flusso di
cariche negative che procedono con velocità un diretta in verso opposto.
•Le velocità sono da intendersi velocità medie.
•Le cariche negative (elettroni) viaggiano con energie tipiche della banda
di conduzione; le cariche positive (lacune) viaggiano con energie tipiche
della banda di valenza.
J
E
up
un
Quindi, dato un campo elettrico Ē, le ūp ed ūn per quanto riguarda i
versi sono quelle disegnate in figura 1, essendo la forza pari a:
F = q⋅E
Mobilità
In un conduttore gli elettroni si muovono in modo casuale.
La direzione del loro moto varia ad ogni collisione con gli ioni del reticolo
cristallino.(La distanza media percorsa tra due urti successivi è denominata
libero cammino medio). Il moto casuale degli elettroni determina
mediamente una corrente nulla .
Applicando a un conduttore un campo elettrico Ē [V/cm]. la situazione
varia: si ottiene una corrente di drift non nulla.
In modo sperimentale può essere rilevata la relazione tra campo elettrico Ē
e la velocità media degli elettroni ū [m/s].
µ = mobilità
u = µ⋅E
Densità di Corrente di drift in un Conduttore
I
A = d*w
N = Elettroni nella barra
d
L = Lunghezza del conduttore
w
L
T = tempo necessario ad un elettrone a percorrere il conduttore
N/T = numero di elettroni che attraversa la sezione S nell’unità di tempo
N
u⋅N
) = (q ⋅
)
T
L
I
u⋅N
J = = q⋅
= q⋅n ⋅u = ρ⋅u
A
L⋅A
I = -(-q ⋅
Dove :
J [A/m2] è la densità di corrente.
ρ [Q/cm3] è la densità di carica
Densità di Corrente in un Semiconduttore
La densità di corrente J [A/m2] può essere espressa come:
J = ρm ⋅ u
-ρm è la densità di carica [Q/cm3], u è la velocità [m/s], σ è la
conducibilità ed Ε il campo elettrico [V/cm].
Indicando con p la concentrazione di carica positiva [cm-3] e con n la
concentrazione di carica negativa [cm-3], si ha:
(per le lacune)
ρm = q ⋅ p
(per gli elettroni)
ρm = q ⋅ n
J p = +q ⋅ p ⋅ u p
J p = +q ⋅ p ⋅ u p ⋅
J n = −q ⋅ n ⋅ u n
E
E
J n = −q ⋅ n ⋅ u n ⋅
E
E
considerando :
− un
up
u n = −µ n ⋅ E ⇒ µ n =
E
E
µp positivo
ūp medesima direzione e medesimo verso di Ē Î
u p = µp ⋅ E ⇒ µp =
ūn medesima direzione e verso opposto di Ē
Jp = q ⋅ p ⋅ µp ⋅ E
µn positivo
Î
Jn = q ⋅ n ⋅ µn ⋅ E
Si definiscono :
σp = q ⋅ p ⋅ µp
conducibilità delle
σn = q ⋅ n ⋅ µn
lacune
conducibilità degli
elettroni
Si può anche definire una conducibilità totale: σ tot = q ⋅ (p ⋅ µ p + n ⋅ µ n )
Si può esplicitare la densità di corrente J come:
J = σ tot ⋅ E
La conducibilità (σ) dipende dal numero di elettroni in banda di
conduzione e dalle lacune in banda di valenza
Il numero di elettroni in banda di conduzione dipende da Eg e T
ma anche dall’energia assorbita dal materiale (termica,
radiazione,….)
-
Nei semiconduttori in generale σ aumenta con la T.
-
Nei metalli, assunto in prima approssimazione R=R0(1+α T),
σ cresce al diminuire della T.
Aspetti Fenomenologici nei Semiconduttori
Se si considera una barra di semiconduttore a cui venga
applicata una d.d.p., la distribuzione di tale potenziale
risulta lineare e come consegunza la densità di carica
risulta nulla, cioè la densità delle cariche mobili è
bilanciata da quelle fisse.
Infatti dall’Equazione di Poisson
ρ
∇ V=−
ε0 ⋅ εV
2
Risulta che, se V ha andamento lineare lungo la barra, allora:
ρ ≡ 0.
Diffusione
•L’effetto diffusivo, in assenza di forze che lo contrastino, produce un flusso
di particelle in direzione ortogonale alla superficie di eguale concentrazione
delle particelle stesse.
•Tale flusso procede dalle alte alle basse concentrazioni e con intensità
legata al livello del gradiente.
•Indicando con φp e con φn le densità di flusso rispettivamente di lacune e di
elettroni si può scrivere che:
φ p = −D p ⋅ grad (p)
L2p
Coefficienti di D p =
τp
diffusione
Ln e Lp
τn e τp
[D ]
p
φ n = − D n ⋅ grad (n)
L2n
Dn =
τn
lunghezze medie di diffusione.
tempi medi tra urti per elettroni e lacune
 cm 2 
= [D n ] = 

 sec 
Legame tra coefficienti di diffusione e mobilità relazione di Einstein
Dp =
K⋅T
µp
q
Dn =
K⋅T
µn
q
Valori
300°Kdel
delcoefficiente
coefficientedi
didiffusione
diffusioneper
perelettroni
elettroniee
Valoritipici
tipiciper
perTT==300°K
lacune
Sieedel
delGe
Ge
lacunedel
delSi
DDn ==
n
DDp ==
p
2
35
35 cm
cm2/sec(Si)
/sec(Si)
22/sec(Si)
13
cm
13 cm /sec(Si)
2
DDn == 100
100 cm
cm2/sec(Ge)
/sec(Ge)
n
22/sec(Ge)
DDp == 50
cm
50 cm /sec(Ge)
p
T è la temperatura assoluta e K è la costante di Boltzman (1,35⋅10-23 [J/h]).
Inoltre valgono le seguenti relazioni:
Dp
µp
=
Dn
T
= VT =
µn
11.600
Volt
Corrente di diffusione:
Moltiplicando i flussi φn e φp per la carica degli elettroni e delle
lacune si ottengono le densità di corrente Jn e Jp:
J p = −q ⋅ D p ⋅ grad (p )
J n = q ⋅ D n ⋅ grad (n )
Assumendo il gradiente nullo nelle direzione degli assi y e z si potrà
scrivere:
J p = −q ⋅ D p ⋅
p
d p(x)
dx
Jn = q ⋅ Dn ⋅
n
Jp , φp
d n (x)
dx
φn
Jn
φp
,
φn
Jp
Jn
x
x
Equazioni del Trasporto
• Gli effetti elettrico e diffusivo coesistono in un semiconduttore.
• La legge che descrive il movimento delle cariche è la combinazione
dei due termini, uno di drift, dipendente dal campo, l’altro di
diffusione , dipendente dal gradiente di concentrazione.
d p(x )

J
q
p
E
q
D
=
⋅
⋅
µ
⋅
−
⋅
⋅
p
p
 p
dx



d n (x )
J
q
n
E
q
D
=
⋅
⋅
µ
⋅
+
⋅
⋅
 n
n
n
dx

DRIFT
J tot = J p + J n
DIFFUSIONE
Legge di Boltzmann
•
Si considera il caso di un semiconduttore in lui la concentrazione delle
lacune varia con x:
I drift = I diffusione ;
p1
D h = µ h ⋅ VT


KT
 VT =
= 25mV / 300K 
q


p ⋅ q ⋅ µh
p2
x1
µ
dp
dp
dV
dV
= −q ⋅ D h
= − h dV = −
; ⇒
dx
dx
p
Dh
VT
p2
dp
1 V2
∫ =−
∫ dV
p
V
p1
T V1
V21 = VT ⋅ log
p1 = p 2 ⋅ e
V21
VT
p1
p2
da cui si ottiene :
Relazione di Boltzmann
in modo analogo per gli elettroni si ottiene :
n1 = n 2 ⋅ e
− V21
VT
x2
Equazione di Continuità
Bilancio di conservazione dei portatori di carica.
Si consideri un volume V, delimitato dalla superficie S, contenente
lacune con densità p.
Il numero totale di lacune P nel volume
dato può essere espresso come segue:
P = ∫ p ⋅ dV
V
V
Dove p è la densità di lacune.
S
La variazione di P nel tempo è data da:
dP d
= ∫ p ⋅ dV
dt dt V
Tale variazione può essere dovuta ad un flusso uscente o entrante, di cariche
più una variazione, nel processo di generazione-ricombinazione.
Sia allora:
G = n° di coppie generate nell’unità di volume e nell’unità di tempo
R = n° di coppie che si ricombinano nell’unità di volume e nell’unità di tempo
ā = versore normale ad S
allora si può scrivere:
d
∫ p ⋅ dV = ∫ (G − R ) ⋅ dV − ∫ φ p • a ⋅ dS
dt V
V
S
d
1
(
)
p
⋅
dV
+
R
−
G
⋅
dV
=
−
∫
∫
∫ div(J p ) ⋅ dV
dt
q
V
V
V
d p

1
+ ( R − G ) + ⋅ div(J p ) ⋅ dV = 0
q
V  dt

∫
dove
φp = J p q
dp
1
+ ( R − G ) + ⋅ div(J p ) = 0
dt
q
Ora si ponga:
Quindi:
G = G th + G ′
Gth coppie generate per effetto termico.
G’ coppie generate per altri effetti.
R − G = R − G th − G ′
Ponendo inoltre:
U = R − G th
Si ottiene:
Quindi:
U
Variazione della concentrazione
delle coppie non considerando
l’effetto termico
R − G = U − G′
1
 ∂p
+
+
⋅ div (J p ) = G ′
U
 ∂t
q
 ∂n
1
 + U − ⋅ div(J n ) = G ′
 ∂t
q
Che esprimono la condizione di continuità nell’ipotesi considerate.
Moltiplicando per q l’equazione relativa alle lacune, per –q l’equazione
relativa agli elettroni e sommando le due equazioni ottenute si ottiene:
∂ρ
+ div (J ) = 0
∂t
dove : ρ = q⋅ p + (− q) ⋅ n = densità di carica
Gradiente del Potenziale
Considerando la differenza di potenziale tra due punti distanti dl
d V = −E • d l
= − E • (d x ⋅ x 0 + d y ⋅ y 0 + d z ⋅ z 0 ) = − (E x ⋅ d x + E y ⋅ d y + E z ⋅ d z)
V è funzione di x, y, z per cui il differenziale
totale risulta:
z
dx
dz
dV=
dl
dy
x
Confrontando le due espressioni:
Ex = -
y
∂Vy
∂Vx
∂V
⋅d x +
⋅d y+ z ⋅d z
∂x
∂y
∂z
∂Vx
;
∂x
Ey = −
∂Vy
∂y
; Ez = −
∂Vz
∂z
 ∂V

∂V
∂V
⋅ x0 +
⋅ y0 +
⋅ z 0 
E = - 
∂y
∂z
 ∂x

Da cui si ottiene:
E = - grad V
Equazione di Poisson
Considerando la permettività costante la legge di Gauss in forma
differenziale è espressa dalla:
ρ
div E =
ε0 ⋅ εr
ρ = q ⋅ (N D − N A + p − n ) densità di carica totale
Introducendo l’espressione del gradiente di potenziale nella legge di Gauss:
ρ
div(grad V) = −
ε0 ⋅ εr
⇒
∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V
ρ
+
+
=
−
ε0 ⋅ εr
∂x 2 ∂y 2 ∂y 2
⇒ ∇2V = − ρ
ε
Ricapitolazione
Formiamo il quadro completo delle equazioni in grado di determinare il
comportamento dei dispositivi, almeno fino a quando i campi elettrici
consentono di restare in un sistema di riferimento governato dalla linearità.
Trasporto:
J p = q ⋅ p ⋅ µ p ⋅ E − q ⋅ D p ⋅ grad (p )

J n = q ⋅ n ⋅ µ n ⋅ E + q ⋅ D n ⋅ grad (n )
Continuità:
1
 ∂p
+
+
⋅ div(J p ) = G ′
U
 ∂t
q
 ∂n
1
 + U − ⋅ div(J n ) = G ′
 ∂t
q
Poisson:
∇2V = −
ρ
ε0 ⋅ εr
Quasi stazionarietà:
E = − grad (V )
Densità di carica totale
ρ = q ⋅ (N D − N A + p − n )