Appunti di Elettronica I
Lezione 2
Bipoli lineari; legge di Ohm; caratteristica
tensione-corrente; nodi e maglie di un
circuito
Valentino Liberali
Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione
Università di Milano, 26013 Crema
e-mail: [email protected]
http://www.dti.unimi.it/˜liberali
28 febbraio 2008
Questi appunti sono un complemento didattico del materiale presentato nelle lezioni di Elettronica I, e
riassunto in modo molto schematico nelle diapositive messe a disposizione.
Alcune parti di questi appunti, contraddistinte da un asterisco (*), costituiscono un approfondimento
degli argomenti trattati a lezione e non fanno parte del programma d’esame.
2 BIPOLI; LEGGE DI OHM; CARATTERISTICA TENSIONE-CORRENTE; NODI E MAGLIE 1
2 Bipoli lineari; legge di Ohm; caratteristica tensione-corrente; nodi e
maglie di un circuito
2.1 Grandezze indipendenti dal tempo
In questa parte consideriamo solo grandezze elettriche costanti nel tempo. Le grandezze costanti nel
tempo vengono indicate con simboli corsivi maiuscoli: ad esempio, V, I.
Invece le unità di misura sono indicate in carattere normale (mai in corsivo!).
2.2 Bipoli elettrici
In genere, i circuiti elettrici sono costituiti da molti componenti elementari. I più semplici elementi
circuitali sono dispositivi a due terminali, detti bipoli.
La Fig. 2.1 mostra un esempio di bipolo elettrico, cioè un dispositivo avente due terminali (o morsetti), a cui è applicata la differenza di potenziale V e attraverso cui fluisce la corrente I. Per indicare in
modo univoco i versi della tensione e della corrente, i due terminali del bipolo vengono contrassegnati
con i simboli + (morsetto positivo) e – (morsetto negativo).
I
+
-
V
Figura 2.1: Bipolo elettrico.
La tensione si misura dal polo negativo a quello positivo. La corrente si considera positiva quando
entra nel bipolo dal terminale positivo. Questa è la convenzione degli utilizzatori, usata in SPICE. Con
questa convenzione, la potenza è positiva quando viene assorbita dal bipolo, ed è negativa quando viene
erogata.
Esiste un’altra convenzione, detta convenzione dei generatori, secondo cui la corrente si considera
positiva quando esce dal terminale positivo. Con la convenzione dei generatori, la legge di Ohm deve
essere scritta V = −RI e la potenza risulta positiva quando viene erogata.
Nella risoluzione dei circuiti, è consigliabile usare sempre una sola convenzione. La convenzione
degli utilizzatori è preferibile tutte le volte in cui si deve effettuare un’analisi al calcolatore con SPICE.
2.3 Caratteristica di un bipolo
Ogni bipolo elettrico può essere descritto tramite una relazione tra le grandezze elettriche tensione
(V) e corrente (I). Questa relazione si chiama caratteristica tensione-corrente, o più semplicemente
caratteristica del bipolo.
La caratteristica può essere espressa analiticamente in vari modi:
• in forma implicita: f (V, I) = 0;
• in forma esplicita rispetto a I: I = g(V);
• in forma esplicita rispetto a V: V = h(I);
2 BIPOLI; LEGGE DI OHM; CARATTERISTICA TENSIONE-CORRENTE; NODI E MAGLIE 2
dove f, g, h sono funzioni di una o più variabili.
La caratteristica può anche essere rappresentata in forma grafica come una curva nel piano (V, I), con
la tensione V sull’asse delle ascisse e la corrente I sull’asse delle ordinate.
Come esempio di caratteristica di un bipolo, la Fig. 2.2 illustra la caratteristica tensione-corrente in
un resistore.
I [mA]
2
1
0
-2
-1
1
2
V [V]
-1
-2
Figura 2.2: Caratteristica tensione-corrente in un resistore.
Un bipolo è linearese è descritto da una relazione di proporzionalità diretta tra le grandezze elettriche
(tensione e corrente) o le loro derivate rispetto al tempo, nel caso di grandezze variabili nel tempo.
Consideriamo, ad esempio, la forma esplicita rispetto a I: I = g(V) è lineare se, per ogni valore di V1 e
V2 , e per qualsiasi costante α, si ha:
• g(V1 + V2 ) = g(V1 ) + g(V2 )
• g(αV) = α · g(V)
In forma grafica, la caratteristica di un bipolo lineare è rettilinea.
2.4 Resistore
Il resistore, il cui simbolo elettrico è illustrato in Fig. 2.3, è il più semplice bipolo lineare, caratterizzato
da una relazione di proporzionalità diretta tra tensione V e corrente I:
V = RI.
(2.1)
La (2.1) è detta legge di Ohm 1 , ed è una delle equazioni fondamentali nell’analisi dei circuiti elettrici.
La costante di proporzionalità R è la resistenza del resistore, che si misura in ohm (Ω); 1 Ω = 1 V/A =
1 kg m2 /A2 s3 .
1 Georg Simon Ohm, 1787–1854. Fisico tedesco, definı̀ esattamente i concetti di carica elettrica, forza elettromotrice e
intensità di corrente, formulando la legge che porta il suo nome.
2 BIPOLI; LEGGE DI OHM; CARATTERISTICA TENSIONE-CORRENTE; NODI E MAGLIE 3
R
+
-
I
V
Figura 2.3: Simbolo elettrico del resistore.
L’inverso della resistenza è la conduttanza G:
G=
1
R
(2.2)
La conduttanza G si misura in siemens (S) 2 ; 1 S = 1 Ω−1 = 1 A/V = 1 ℧. Il simbolo ℧ è un “ohm
capovolto” ed è chiamato mho; secondo il SI questo simbolo non deve essere usato, perché l’unità di
misura della conduttanza è il siemens.
Usando la (2.2), la legge di Ohm si può scrivere anche nella forma:
I=
1
V = GV.
R
(2.3)
In forma grafica, la caratteristica tensione-corrente di un resistore è una retta la cui pendenza è la
conduttanza G (Fig. 2.4).
I
G
crescente
G decrescente
V
I = GV
Figura 2.4: Caratteristica tensione-corrente di un resistore, al variare della conduttanza G.
2 Werner
von Siemens, 1816–1892. Inventore e industriale tedesco, inventò la dinamo con sistema di autoeccitazione e nel
1847 fondò una società per la produzione di materiale telegrafico.
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2.5 Generatori di tensione e di corrente
Un generatore di tensione ideale è un bipolo che produce ai sui capi una differenza di tensione di valore
definito, indipendentemente dal resto del circuito in cui il generatore è inserito. I simboli circuitali più
frequentemente utilizzati per i generatori di tensione sono rappresentati in Fig. 2.5(a) e (b). Il simbolo
illustrato nella Fig. 2.5(a) si utilizza per indicare un generatore di tensione costante (come, ad esempio,
una pila o una batteria).
+
+
+
V
(a)
I
I
V
-
+
(b)
-
(c)
(d)
Figura 2.5: Simboli elettrici: (a) e (b) dei generatori di tensione; (c) e (d) dei generatori di corrente.
Un generatore di corrente ideale è un bipolo che impone una corrente di valore definito, indipendente
dai valori degli altri elementi del circuito. I simboli circuitali più frequentemente utilizzati per i generatori
di corrente sono rappresentati in Fig. 2.5(c) e (d). Costruttivamente, un generatore di corrente è più
complesso da realizzare rispetto ad un generatore di tensione.
Le caratteristiche di un generatore di tensione costante V0 e di un generatore di corrente costante I0
sono mostrate nella Fig. 2.6.
I
I
I = I0
V = V0
(a)
V
V
(b)
Figura 2.6: Caratteristiche tensione-corrente: (a) di un generatore di tensione V0 e (b) di un generatore
di corrente I0 .
2.6 Cortocircuiti e circuiti aperti
Un cortocircuito può essere considerato come un generatore di tensione nulla; la sua caratteristica
tensione-corrente coincide con l’asse verticale (V = 0).
Un circuito aperto può essere considerato come un generatore di corrente nulla; la sua caratteristica
tensione-corrente coincide con l’asse orizzontale (I = 0).
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Nel disegno dello schema di un circuito elettrico, un cortocircuito è rappresentato graficamente come
un filo che collega due punti (Fig. 2.7(a)); un circuito aperto è rappresentato dall’assenza di collegamenti
tra due punti (Fig. 2.7(b)).
I=0
V=0
(a)
(b)
Figura 2.7: Simboli rappresentativi di: (a) cortocircuito, (b) circuito aperto.
Nel seguito, faremo sempre l’ipotesi che in un qualsiasi circuito la corrente elettrica scorra soltanto
all’interno dei bipoli; e che quando non viene rappresentato nessun elemento circuitale che collega due
punti, fra questi vi sia un circuito aperto (con I = 0).
2.7 Nodi e maglie di un circuito
I bipoli possono essere interconnessi tra loro collegandone i terminali. Un nodo è un punto a cui sono
collegati i terminali di due o più elementi di un circuito.
Il nodo non è necessariamente limitato ad un solo punto geometrico: tutti i punti collegati da cortocircuiti possono essere considerati come appartenenti allo stesso nodo. La definizione di nodo è indipendente dal modo in cui il circuito viene disegnato. La Fig. 2.8 illustra due volte lo stesso circuito,
raffigurato in due modi diversi. In entrambe le rappresentazioni, il circuito ha due nodi, indicati con le
lettere A e B.
A
A
1
2
3
B
4
1
2
3
4
B
Figura 2.8: Circuito con due nodi A e B, raffigurato in due modi diversi.
Una maglia è un percorso chiuso attraverso due o più elementi di un circuito. La Fig. 2.9 illustra un
circuito con tre maglie, di cui due interne e una esterna.
2.8 Legge di Kirchhoff per le correnti
Consideriamo un nodo di un circuito in cui convergono N bipoli. Avendo ipotizzato che la corrente sia
nulla al di fuori dei bipoli che formano il circuito, se nel nodo considerato non si verifica accumulo di
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3
1
2
Figura 2.9: Circuito con tre maglie.
carica (cioè se dq
dt = 0), allora deve essere I = 0; in altre parole, la corrente netta entrante nel nodo deve
essere nulla.
Poiché la corrente totale entrante nel nodo è data dalla somma algebrica di tutte le N correnti negli
N bipoli, prendendo con il segno positivo le correnti con verso entrante nel nodo e con segno negativo le
correnti con verso uscente dal nodo, risulta:
X
Ik = 0
(2.4)
k∈nodo
La (2.4) è detta legge di Kirchhoff 3 per le correnti o KCL (Kirchhoff’s Current Law).
Osservazione: l’ipotesi che non si verifichi accumulo di carica nei nodi verrà sempre soddisfatta,
poiché nel seguito si terrà conto del fenomeno dell’accumulo di carica introducendo un opportuno bipolo,
il condensatore, in modo tale che la KCL sia sempre valida.
+
+
1
I1
+
I3
3
-
2
I2
+
I4
4
-
Figura 2.10: Segni delle correnti per la KCL.
Come esempio, si consideri il nodo evidenziato nella Fig. 2.10. Le correnti I1 e I2 sono entranti,
mentre I3 e I4 sono uscenti dal nodo. La KCL per questo nodo si scrive:
I1 + I2 − I3 − I4 = 0.
(2.5)
Un altro semplice esempio è il circuito illustrato in Fig. 2.11, avente una sola maglia, e due nodi
(indicati con A e B). Al nodo A, la legge di Kirchhoff per le correnti si scrive:
−I1 − I2 = 0,
(2.6)
3 Gustav Robert Kirchhoff, 1824–1887. Fisico tedesco, si occupò di elettrologia, enunciando le leggi per ricavare le
grandezze elettriche nei circuiti, e di irraggiamento, introducendo il concetto di corpo nero.
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A
+
+
maglia
V 1 I1 1
2 I2 V
2
-
B
Figura 2.11: Esempio di circuito con due nodi.
mentre al nodo B, la KCL si scrive:
I1 + I2 = 0.
(2.7)
In generale, se si scrive la KCL per tutti i nodi di un circuito, l’ultima equazione scritta risulta essere una
combinazione delle precedenti.
2.9 Legge di Kirchhoff per le tensioni
Poiché la differenza di potenziale lungo un percorso chiuso è nulla, effettuando il calcolo per una maglia
qualsiasi di un circuito si ottiene
Z a
~ · d~l = 0,
E
(2.8)
Vaa =
a
qualunque sia il punto a di partenza e di arrivo; in altre parole, la differenza di potenziale lungo qualsiasi
maglia deve essere nulla.
La differenza di potenziale lungo un percorso chiuso è data dalla somma algebrica delle differenze
di potenziale dei bipoli lungo il percorso considerato, prendendo con il segno positivo le tensioni per cui
il bipolo viene percorso dal terminale contrassegnato con (–) verso il terminale contrassegnato con (+),
conformemente alla convenzione degli utilizzatori. Risulta:
X
Vk = 0
(2.9)
k∈maglia
La (2.9) è detta legge di Kirchhoff per le tensioni o KVL (Kirchhoff’s Voltage Law).
V2
+
+
V1
1
-
2
maglia
+
V3
3
-
Figura 2.12: Segni delle tensioni per la KVL.
Come esempio, si consideri il circuito illustrato nella Fig. 2.12. Lungo l’unica maglia del circuito,
percorsa nel verso indicato, la legge di Kirchhoff per le tensioni si scrive:
V1 − V2 − V3 = 0.
(2.10)
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Si osservi che il verso di percorrenza della maglia è arbitrario; infatti, se fosse stato scelto il verso
opposto, la KVL sarebbe stata scritta come:
−V1 + V2 + V3 = 0.
(2.11)
Cambiare il verso di percorrenza della maglia equivale a moltiplicare per –1 la corrispondente equazione
data dalla KVL.
Per un circuito con più maglie, la KVL applicata a tutte le maglie fornisce un sistema di equazioni
fra loro dipendenti, come accade per la KCL applicata a tutti i nodi. Ad esempio, per il circuito illustrato
in Fig. 2.9, è sufficiente applicare la KVL a due delle tre maglie; applicando la KVL anche alla terza
maglia, si ottiene un’equazione che è una combinazione lineare delle precedenti.
2.10 Problemi risolti
Problema 2.1. Calcolare la tensione ai capi di un resistore con resistenza R = 1 kΩ e attraversato da una corrente
I = 3 mA.
Soluzione. Applicando la legge di Ohm (2.1), si ricava:
V = RI = 1 kΩ · 3 mA =
= 1 · 103 Ω · 3 · 10−3 A =
= (1 · 3) · 103 · 10−3 · (Ω · A) = 3 V.
Un consiglio: nel fare i calcoli, è meglio scrivere sempre le unità di misura, anche nei passaggi intermedi. Per
evitare errori di calcolo, è anche preferibile riscrivere le grandezze usando la notazione esponenziale.
Problema 2.2. Calcolare la corrente I nel resistore R del circuito in Fig. 2.13, sapendo che V1 = 5 V; V2 = 3 V;
R = 10 kΩ.
R
+
V1
I
+
V2
Figura 2.13: Problema 2.2.
Soluzione. Completiamo il circuito indicando per ogni bipolo i segni (+) e (–) per le tensioni, e i versi delle
correnti, secondo la convenzione degli utilizzatori (Fig. 2.14). Il verso della corrente I determina in modo univoco i
segni per il bipolo R. Scegliendo il verso di percorrenza dell’unica maglia nel modo indicato, dalla KVL otteniamo:
V − V1 + V2 = 0. Applicando la legge di Ohm al resistore R, abbiamo: V = RI. Dalla KVL, si ottiene: V = V1 − V2 =
2 V. Usando questo valore nella legge di Ohm, si ricava la soluzione:
I=
2V
V
=
= 0.2 mA.
R 10 kΩ
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V
+
-
I
+
V1
R
+
-
-
V2
Figura 2.14: Problema 2.2 (continuazione).
2.11 Altri problemi
Problema 2.3. Calcolare la resistenza interna di una stufetta elettrica da 1 kW alimentata con tensione V =
220 V.
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