ANALISI DEL GUADAGNO, DELLA RESISTENZA DI INGRESSO E DELLA RESISTENZA DI USCITA
DI UN AMPLIFICATORE OPERAZIONALE, NELL’IPOTESI DI GUADAGNO FINITO, DI RESISTENZA
DI INGRESSO FINITA E DI RESISTENZA DI USCITA NON NULLA
Si considereranno separatamente i casi di resistenza di ingresso finita con guadagno finito e quelli di resistenza di uscita
non nulla con guadagno finito.
Effetti della resistenza di ingresso RID finita e dell’amplificazione A finita– configurazione invertente
Per determinare gli effetti di una resistenza di ingresso differenziale RID finita e di un guadagno differenziale A non
infinito, per la configurazione invertente dell’amplificatore operazionale si considera lo schema di Fig.1.
i2
i1
vS
+
-
R1
i-
R2
1
-
(v 2 -v1 )
iO
R ID
+
-
+
2
A(v 2 -v1 )
+
vO
-
Fig.1. Amplificatore Operazionale con amplificazione A non infinita
e resistenza di ingresso differenziale RID finita,
in configurazione invertente
L’ingresso 2 è connesso a massa. Perciò la sua tensione è nulla
v2 = 0
La tensione v1 dell’ingresso 1 è legata alla tensione di comando vS dalla relazione
v1 = vS − R1 i1
La corrente i − che entra nel terminale di ingresso 1 percorre la resistenza RID . Essa è data da
v − v2
i− = 1
R ID
La corrente i2 vale
v − vO
i2 = 1
R2
La tensione di uscita dall’amplificatore vO è
vO = A(v2 − v1 )
La corrente i1 si suddivide nella i − e nella i2
i1 = i − + i 2
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Le relazioni da (1) a (6) formano un sistema che consente di determinare tutte le grandezze del circuito.
In particolare, da (1), (5) e (4), eliminando v2 e vO, si ottiene
1+ A
(7)
i2 = v1
R2
e, dalla (3) e dalla (1)
v
(8)
i− = 1
R ID
-1-
Dalla (6), tenuto conto delle (7) e (8) si ricava
1
1+ A
+
i1 = v1
R 2
R ID
(9)
che mostra che nel nodo dell’ingresso invertente si vede una resistenza data dal parallelo di RID e di una resistenza
equivalente R2 /(1+A).
Sostituendo l’espressione (2) di v1 nella (9) e risolvendo rispetto a vS si ottiene
1
1+ A
1 + R1
+
R ID
R2
1
vS = i1
= i1 R1 +
(10)
1
1
1+ A
1 + A
+
+
R2
R 2
R ID
R ID
La resistenza di ingresso RIN per definizione è data dal rapporto vS /i1 . Perciò
v
1
R IN = S = R1 +
= R1 + R ID //[R 2 /(1 + A )]
(11)
1
i1
1+ A
+
R 2
R ID
Come si vede dalla (11), la resistenza di ingresso RIN per la configurazione invertente è data dalla resistenza R1 in
serie con il parallelo di RID e R2 /(1+A). Nel caso di RID → ∞, RIN si riduce alla serie di R1 e di R2 /(1+A). Invece, per
A→ ∞, in ogni caso RID = R1 . Poichè normalmente è RID >> R2 /(1+A), si può approssimare RIN ≈ R1 +R2 /(1+A).
Per ricavare il guadagno a catena chiusa G, sostituendo la (9) nella (10) si elimina i1
1
1+ A
+ 1
+
vS = v1 R1
R 2
R ID
Dalla espressione (5) di vO , tenuto conto della (1) ed eliminando v1 , si ottiene
1
vO = −A vS
1
1+ A
+1
+
R1
R
R 2
ID
(12)
(13)
cioè
vO = −vS
R2
R1
1
R
R
1
1 + 1 + 2 + 2
R ID R1
A
(14)
Il rapporto delle tensioni vO /vS o anche delle loro variazioni vo /vs esprime il guadagno a catena chiusa G
v
R
1
(15)
G= O =− 2
vS
R1
R2 R2
1
+
1 + 1 +
R ID R1
A
La (15) mostra che una resistenza di ingresso RID differenziale finita, con amplificazione A finita, altera un poco il
valore del guadagno a catena chiusa G. Per RID → ∞, l’espressione (15) tende alla (2.1) del Sedra-Smith. Se A→ ∞, in
ogni caso il guadagno G tende al valore ideale G = − R2 /R1 .
Per dare un’idea dell’influenza di RO e di A, nel caso tipico di un amplificatore operazionale con ingresso a
transistori bipolari con A=10000, RID =100 kΩ, R2 =100 kΩ, R1 =10 kΩ, si ottiene G= −9.988, con una diminuzione in
modulo di 0.12% rispetto al valore di G= −10 che si avrebbe nel caso di amplificatore operazionale ideale, e RIN =10.01
10 kΩ che supera del 0.1% il valore di R1 .
-2-
Effetti della resistenza di ingresso RID finita e dell’amplificazione A finita– configurazione non invertente
Per determinare gli effetti di una resistenza di ingresso differenziale RID finita e di un guadagno differenziale A non
infinito, per la configurazione non invertente dell’amplificatore operazionale si considera lo schema di Fig.2.
i2
i1
i-
R1
R2
1
-
(v 2 -v1 )
+
-
+
2
vS
iO
R ID
A(v 2 -v1 )
+
vO
-
+
-
Fig.2. Amplificatore Operazionale con amplificazione A non infinita
e resistenza di ingresso differenziale RID finita,
in configurazione non invertente
L’ingresso 2 è connesso alla tensione di comando vS . Perciò
v2 = vS
La tensione v1 dell’ingresso 1 è determinata dalla corrente i1 secondo la relazione
v1 = −R1 i1
La corrente i + che entra nel terminale di ingresso 2 percorre la resistenza RID . Essa è data da
v − v1
i+ = 2
R ID
(17)
La corrente i − che entra nel terminale di ingresso 1 è uguale e contraria alla i +
i − = −i +
(19)
La corrente i2 vale
v − vO
i2 = 1
R2
La tensione di uscita dall’amplificatore vO è
vO = A(v2 − v1 )
La corrente i1 si suddivide nella i − e nella i2
i1 = i − + i 2
(16)
(18)
(20)
(21)
(22)
Le relazioni da (16) a (22) formano un sistema che consente di determinare tutte le grandezze del circuito.
In particolare, da (20), (16) e (21), eliminando v2 e vO, si ottiene
− vS A + v1 (1 + A )
(23)
i2 = v1
R2
e, dalla (17)
v
(24)
i1 = − 1
R1
Si ricava la corrente i + entrante nel morsetto 2 eliminando i1 , i2 e i − dalle (19), (22), (23), (24)
1 1+ A
A
i + = −vS
+ v1
+
R 2
R2
R1
Dalla (18), tenuto conto della (16) si ha
-3-
(25)
v1 = vS − R ID i +
Sostituendo la (26) nella (25) risulta
1
1 1 + A
1
= vS
+
i + 1 + R ID
+
R 2
R1 R 2
R1
Risolvendo rispetto a vS risulta
R R
R1
vS = i + 1 2 + R ID 1 + A
R1 + R 2
R1 + R 2
La resistenza di ingresso RIN per definizione è data dal rapporto vS /i+ . Perciò
v
R R
R1
R IN = S = 1 2 + R ID 1 + A
i + R1 + R 2
R1 + R 2
(26)
(27)
(28)
(29)
Come si vede, la resistenza di ingresso RID per la configurazione non invertente è data dalla somma del parallelo di
R1 e R2 con la resistenza differenziale di ingresso RID moltiplicata per un fattore che usualmente è molto elevato.
L’espressione (29) tende a ∞ se A oppure RID tendono a ∞. A differenza del caso invertente, la resistenza di ingresso
nel caso non invertente tende dunque ad assumere valori elevati (anche se RID non è molto grande purchè sia grande A).
Per ricavare il guadagno a catena chiusa G, dalla (28) si ricava i +
1
i + = vS
R1
R1 R 2
+ R ID 1 + A
R
R1 + R 2
1 + R2
Eliminando i + , v2 e v1 da (18), (21) e (30) si ottiene
A R ID
vO = vS
R1 R 2
R1
+ R ID 1 + A
R1 + R 2
R1 + R 2
e, con alcune trasformazioni
R + R2
vO = vS 1
R1
1
1
R
R
1 + 1 + 2 + 2
A
R ID R1
(30)
(31)
(32)
Il rapporto delle tensioni vO /vS o anche delle loro variazioni vo /vs esprime il guadagno a catena chiusa G
v
R + R2
1
(33)
G= O = 1
vS
R1
R2 R2
1
+
1 + 1 +
R ID R1
A
La (33) mostra che una resistenza di ingresso RID differenziale finita, con amplificazione A finita, altera un poco il
valore del guadagno a catena chiusa G. Per RID → ∞, l’espressione (15) tende alla (2.11) del Sedra-Smith. Se A→ ∞, in
ogni caso il guadagno G tende al valore ideale G = (R1 +R2 )/R1 .
Per dare un’idea dell’influenza di RO e di A, nel caso tipico di un amplificatore operazionale con ingresso a
transistori bipolari con A=10000, RID =100 kΩ, R2 =100 kΩ, R1 =10 kΩ, si ottiene G= 10.987, con una diminuzione in
modulo di 0.12% rispetto al valore di G= −10 che si avrebbe nel caso di amplificatore operazionale ideale, e RIN
=91.018 MΩ, che è molto maggiore del valore di RID .
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Effetti della resistenza di uscita RO non nulla e dell’amplificazione A finita– configurazione invertente
Per determinare gli effetti di una resistenza di uscita RO non nulla e di un guadagno differenziale A non infinito, per
la configurazione invertente dell’amplificatore operazionale si considera lo schema di Fig.1, dove l’uscita è chiusa su un
generatore di corrente iX.
i2
i1
R1
R2
1
-
vS
+
-
(v 2 -v1 )
2 +
RO
+ A(v 2 -v1 )
-
iO
iX
+
vO
-
iX
Fig.1. Amplificatore Operazionale con amplificazione A non infinita
e resistenza di uscita RO non nulla,
in configurazione invertente
L’ingresso 2 è connesso a massa. Perciò la sua tensione è nulla
v2 = 0
(34)
La tensione dell’ingresso 1 è legata alla tensione di comando vS dalla relazione
v1 = vS − R1 i1
(35)
La corrente i2 è data da
v − vO
(36)
i2 = 1
R2
Se si suppone che le resistenze ai terminali di ingresso 1 e 2 siano infinite, la corrente entrante nel terminale 1 è
nulla e le correnti i1 e i2 risultano uguali
i1 = i 2
(37)
La corrente iO uscente dall’amplificatore è data da
A(v2 − v1 ) − vO
(38)
iO =
RO
e la corrente iX è la somma di iO e di i2
i X = iO + i 2
(39)
Le relazioni da (34) a (39) formano un sistema che consente di determinare tutte le grandezze del circuito.
In particolare, da (35), (36) e (37), eliminando v1, si ottiene
v − vO
(40)
i1 = i 2 = S
R1 + R 2
e, dalla (40) e dalla (35), si ha anche
v R + vO R1
(41)
v1 = S 2
R1 + R 2
Sostituendo l’espressione (41) di v1 nella (38) e tenendo presente la (34) si ha
− vS A R 2 − vO (AR1 + R1 + R 2 )
(42)
iO =
R O (R1 + R 2 )
Sostituendo la (40) e la (42) nelle (39) si ricava
− vS (A R 2 − R O ) − vO (AR1 + R1 + R 2 + R O )
(43)
iX =
R O (R1 + R 2 )
e, risolvendo rispetto a vO si ottiene
-5-
R
vO = −vS 2
R1
RO
RO
A R2
− iX
(
A
R1 + R O )
1
R + RO
1+
1 + 1 + 2
(R1 + R 2 )
A
R1
1−
(44)
Nella (44), il coefficiente di vS esprime il guadagno a catena chiusa G nelle condizioni considerate, cioè
R
1− O
v
R
A R2
G= o =− 2
(45)
vs
R1
1
R2 + RO
1 + 1 +
A
R1
dove con vo e vs si sono indicate le variazioni di vO e vS rispetto alle condizioni di lavoro VO e VS. Si noti che, per RO=0
si ottiene la relazione (2.1) del Sedra-Smith. Per A→ ∞ la (12) tende all’espressione G= −R2 /R1 che vale per
l’amplificatore ideale in connessione invertente, anche se RO non è nulla . Grandi valori dell’amplificazione A riducono
quindi l’effetto della resistenza di uscita RO sul guadagno G.
Il coefficiente di iX nella (44), cambiato di segno, si può interpretare come la resistenza di uscita ROUT
dell’amplificatore, cioè
v
RO
RO
(46)
R OUT = − o =
≈
i x 1 + (A R1 + R O ) 1 + A R1
(R1 + R 2 )
(R1 + R 2 )
Come mostra la (46), ROUT si annulla sia se RO =0 sia se A→ ∞. Normalmente il termine AR1 >>RO , e quest’ultimo
può essere trascurato, come indicato nell’ultimo membro della (46).
Per dare un’idea dell’influenza di RO e di A, nel caso tipico di A=10000, RO =50 Ω, R2 =100 kΩ, R1 =10 kΩ, si
ottiene G= −9.989 e ROUT =55 mΩ, con una diminuzione in modulo di 0.11% rispetto al valore di G= −10 che si
avrebbe nel caso di amplificatore operazionale ideale.
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Effetti della resistenza di uscita RO non nulla e dell’amplificazione A finita– configurazione non invertente
Per determinare gli effetti di una resistenza di uscita RO non nulla e di un guadagno differenziale A non infinito, per
la configurazione non invertente dell’amplificatore operazionale si considera lo schema di Fig.2, dove l’uscita è chiusa
su un generatore di corrente iX.
i2
i1
R1
R2
1
(v 2 -v1 )
2 +
vS
RO
+ A(v 2 -v1 )
-
iO
iX
+
vO
-
iX
+
-
Fig.2. Amplificatore Operazionale con amplificazione A non infinita
e resistenza di uscita RO non nulla,
in configurazione non invertente
In questo caso la tensione di comando è applicata all’ingresso 2 e quindi
v2 = vS
(47)
La tensione dell’ingresso 1 è determinata dalla corrente che percorre R1
v1 = −R1 i1
(48)
La corrente i2 è ancora data da
v − vO
(49)
i2 = 1
R2
Se si suppone che le resistenze ai terminali di ingresso 1 e 2 siano infinite, la corrente entrante nel terminale 1 è
nulla e le correnti i1 e i2 risultano uguali
i1 = i 2
(50)
La corrente iO uscente dall’amplificatore è data da
A(v2 − v1 ) − vO
(51)
iO =
RO
e la corrente iX è la somma di iO e di i2
i X = iO + i 2
(52)
Le relazioni da (47) a (52) formano un sistema che consente di determinare tutte le grandezze del circuito.
In particolare, da (48), (49) e (50), eliminando v1, si ottiene
− vO
(53)
i1 = i 2 =
R1 + R 2
e, dalla (53) e dalla (48), si ha anche
R1
(54)
v1 = vO
R1 + R 2
Sostituendo l’espressione (54) di v1 nella (51) e tenendo presente la (47) si ha
v A(R1 + R 2 ) − vO (AR1 + R1 + R 2 )
(55)
iO = S
R O (R1 + R 2 )
Sostituendo la (53) e la (55) nella (52) si ricava
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iX =
vS A ( R1 + R 2 ) − vO (AR1 + R1 + R 2 + R O )
R O (R1 + R 2 )
e, risolvendo rispetto a vO si ottiene
R1 + R 2
RO
1
vO = vS
− iX
(
A R1 + R O )
R1
R 2 + RO
1
1+
1 + 1 +
(R1 + R 2 )
R1
A
Il guadagno a catena chiusa G, è espresso dal coefficiente di vS
R1 + R 2
v
1
G= o =
vi
R1
R + RO
1
1 + 1 + 2
R1
A
(56)
(57)
(58)
dove con vo e vs si sono indicate le variazioni di vO e vS rispetto alle condizioni di lavoro VO e VS.. La (58) si riduce,
per RO=0, alla relazione (2.11) del Sedra-Smith. Per A→ ∞ la (58) tende all’espressione G=1+R2 /R1 che è equivalente
alla (2.10) del Sedra-Smith e che vale per l’amplificatore ideale in connessione invertente, anche se RO non è nulla.
Grandi valori dell’amplificazione A riducono quindi anche in questo caso l’effetto della resistenza di uscita RO sul
guadagno G.
Il coefficiente di iX nella (57), cambiato di segno, si può ancora interpretare come la resistenza di uscita ROUT
dell’amplificatore, cioè
RO
v
RO
(59)
R OUT = − o =
≈
i x 1 + (A R1 + R O ) 1 + A R1
(R1 + R 2 )
(R1 + R 2 )
Si noti che l’espressione (59) è uguale alla (46) trovata per la connessione invertente. Quindi, anche in questo caso,
ROUT si annulla sia se RO =0 sia se A→ ∞ e normalmente il termine RO può essere trascurato.
Nel caso tipico di A=10000, RO =50 Ω, R2 =100 kΩ, R1 =10 kΩ, si ottiene G=10.988 e ROUT =55 mΩ, con una
diminuzione di 0.11% rispetto al valore di G=11 che si avrebbe nel caso di amplificatore operazionale ideale.
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