Ogni insieme algebrico nello spazio n

Ogni insieme algebrico nello spazio n-dimensionale
è intersezione di n ipersuperfici
Antonino Leonardis
16 aprile 2008
Indice
1 Introduzione
1.1 Caso n = 1
1.2 Caso n = 2
1.3 Caso n = 3
1.4 Caso n = 4
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2 Dimostrazioni
2.1 Teorema di Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Teorema di Eisenbud-Evans . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Caratteristica positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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INDICE
Prerequisiti
• Basilari nozioni di algebra commutativa (anche graduata) e geometria
algebrica
• Associazione ideali radicali ←→ insiemi algebrici
• Dimensione di anelli e di anelli graduati, codimensione degli ideali
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INDICE
Capitolo 1
Introduzione
Vediamo alcuni esempi e osservazioni sul problema
1.1
Caso n = 1
In questo caso si tratta semplicemente di osservare che l’anello associato
(K[x] nel caso affine o K[x0 , x1 ] - graduato - nel caso proiettivo) è un PID.
1.2
Caso n = 2
Vediamo una dimostrazione del teorema in questo semplice caso.
Supponiamo di avere un insieme algebrico X ⊂ P2k ; vogliamo
S far vedere che
X è intersezione di due ipersuperfici. Si avrà che X = X0 X1 , dove Xi è
l’unione delle componenti irriducibili di dimensione i. A questo punto X0
è un insieme
dimostrare la tesi per X0 in quanto
T finito di punti,
S e ci basta
T
S
X0 = Y1 Y2 =⇒ X = (Y1 X1 ) (Y2 X1 ).
c0 l’insieme dei punti di intersezione di rette (distinte) congiungenti
Sia X
c0 in un solo punto P0 ∈ X0 .
punti di X0 . Sia W una retta che interseca X
Si consideri la carta affine X\W con coordinate affini t.c. P0 è il punto
all’infinito delle rette verticali. Allora tutti i punti di X 0 = X0 \{P0 } hanno
diversa ascissa e quindi esiste un polinomio p(t) ∈ k[t] che soddisfa p(x0 ) =
y0 per ogni (x0 , y0 ) ∈ X 0 (basta prenderlo di grado d ≥ #X 0 visto che
le condizioni danno un sistema lineare di equazioni sui coefficienti di p).
Omogeneizzando si ottiene una curva Y1 = {e
p(x, z) = yz d−1 } con unico
punto all’infinito (supponendo d ≥ 2 per comodità) P0 = [0 : 1 : 0] e a
questo punto se poniamo:
[
Y2 =
{x = zx0 }
(x0 ,y0 )∈X 0
è facile vedere che Y1
T
Y2 = X0 .
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1.3
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE
Caso n = 3
È ancora un problema aperto sapere se una curva X ⊂ P3k sia o meno
intersezione di due ipersuperfici. Non si sa nemmeno dirlo per una curva
semplice come (t0 , t1 ) → (t40 , t30 t1 , t0 t31 , t41 ).
1.4
Caso n = 4
È noto che in questo caso il numero minimo di ipersuperfici è 3, ad esempio
l’insieme algebrico di A4k associato all’ideale (x1 , x2 )∩(x3 , x4 ) ⊆ k[x1 , . . . , x4 ]
non può essere intersezione di 2 ipersuperfici.
Capitolo 2
Dimostrazioni
Vediamo i vari risultati riguardanti il numero di ipersuperfici la cui intersezione dà un insieme algebrico nello spazio n-dimensionale
2.1
Teorema di Kronecker
Nel 1882 Kronecker dimostrò un risultato più debole, che adesso consideriamo; è notevole che nel 1891 si trovò un esempio - errato - per cui il
risultato di Kronecker risultava il migliore possibile, e questo esempio venne
confutato solo nel 1942
Teorema 2.1.1 (Kronecker 1882). Ogni insieme algebrico nello spazio ndimensionale è intersezione di n + 1 ipersuperfici
Dimostrazione 2.1.1. Dimostriamo per induzione che ∀r = 1, . . . , n + 1
∃Ur ⊇ V intersezione di r ipersuperfici tale che le componenti irriducibili
di U che non sono contenute in V hanno codimensione r. Il teorema segue
allora dal caso r = n + 1.
• Caso r = 1 - In questo caso basta prendere una qualsiasi ipersuperficie
U1 = V (f1 ) contenente U
• Caso r > 1 - Siano V1 , . . . , Vl le componenti irriducibili di Ur−1 non
contenute in V , che per ipotesi induttiva hanno codimensione S
r − 1. Si
ha che ∀i I(V ) 6⊆ I(Vi ) e siccome
S questi sono primi I(V ) 6⊆ i I(Vi );
allora posso prendere fr ∈ I(V )\ i I(Vi ) e Ur = V (f1 , . . . , fr ). Questo
è esattamente l’insieme algebrico cercato e si verificano facilmente le
proprietà richieste.
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CAPITOLO 2. DIMOSTRAZIONI
2.2
Teorema di Eisenbud-Evans
Veniamo ora al risultato principale, piuttosto recente, dovuto a David Eisenbud e Graham Evans
Teorema 2.2.1 (Eisenbud-Evans 1973 [1]). Ogni insieme algebrico nello
spazio n-dimensionale è intersezione di n ipersuperfici
Lemma 2.2.2 (Caso affine). Sia R = S[x] un anello noetheriano di dimensione n. Sia I ⊆ R un ideale. Allora ∃g1 , . . . , gn ∈ I tali che:
p
√
I = (g1 , . . . , gn )
(2.1)
Dimostrazione 2.2.2. Procediamo per induzione su n.
• Caso n = 1 - In questo caso S è artiniano. Sia N il nilradicale di
S; allora S/N è un prodotto diretto (finito) di campi, da cui R =
R/N R = (S/N )[x] è un PID. Posto I = (I + N R)/N R ⊆ R, ∃g ∈ I
ovveropI + N R = (g) + N R. Essendo N R
tale che I = (g + N R) √
nilpotente si ha dunque I = (g) come asserito.
• Caso n > 1 - Siano p1 , . . . , pSk i primi minimali di S. Si consideri la
parte moltiplicativa U = S\ ki=1 pi . Allora U −1 S ha dimensione 0 e
U −1 R = U −1 S[x] ha dimensione
1 e possiamo
applicare il caso n = 1
√
p
ottendendo g1 ∈ U −1 I t.c. U −1 I = (g1 ) in U −1 R. Chiaramente si
può assumere che g1 ∈ I. Siccome I è finitamente generato, ∃u ∈ U
tale che:
p
uI ⊆ (g1 )
(2.2)
Sk
Siccome u 6∈ i=1 pi , posto S = S/(u), I = (I + (u))/(u) e R =
R/(u)R = S[x], si ha che dim S ≤ n − 2 e dim R ≤ n − 1. Quindi per
ipotesi induttiva:
p
p
∃g2 , . . . , gn ∈ I tali che I = (g2 , . . . , gn )
(2.3)
Siano g2 , . . . , gn ∈ I tali che gi = gi modulo (u). Vogliamo dimostrare
la (2.1). Per far ciò, basta far vedere che V (g1 , . . . , gn ) ⊆ V (I) ⊆
SpecR (l’altra inclusione è ovvia). Sia dunque p ∈ V (g1 , . . . , gn ). Per
l’equazione (2.2) p ⊇ I oppure p ⊇ (u). Nel secondo caso p = p/(u) ⊆
R è un ideale primo e quindi per la (2.3) p ⊆ I, da cui p = p + (u) ⊇
I + (u), dunque in entrambi i casi p ⊇ I ovvero p ∈ V (I) come voluto.
L
Lemma 2.2.3 (Caso proiettivo). Sia S =
j≥0 Sj un anello graduato
noetheriano di dimensione proiettiva n − 1 e sia R = S[x]. Sia I ⊆ S+ R un
ideale omogeneo. Allora ∃g1 , . . . , gn ∈ I omogenei tali che:
p
√
I = (g1 , . . . , gn )
(2.4)
Dimostrazione 2.2.3. Procediamo per induzione su n.
2.2. TEOREMA DI EISENBUD-EVANS
• Caso n = 0:√In questo
p S+ è nilpotente, quindi
√ caso
di R ovvero I = 0 = (∅) e si ha la tesi.
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√
I è il nilradicale
• Caso n ≥ 1: Siano p1 , . . . , pk i primi minimali rilevanti di S. Vogliamo
dimostrare che ∃u ∈ S+ , g1 ∈ I tali che:
p
uI ⊆ (g1 )
(2.5)
A questo punto la dimostrazione è esattamente la stessa che nel caso affine (partendo dall’equazione (2.2)). Per far ciò utilizziamo il
seguente elementare:
Fatto 2.2.4. Sia S un anello e f, g ∈ S[x] di gradi d ≤ e rispettivamente. Se u è il coefficiente direttore di f , allora ∀n > e − d esistono
h, r ∈ S[x] tali che deg r < d e che si abbia:
un g = f h + r
(2.6)
Se S è graduato e f, g sono omogenei, allora h, r possono essere anch’essi presi omogenei.
Si consideri dunque (per i = 1, . . . , k):
Ii = (I + pi R)/pi R ⊆ R/pi R
Per i = 1, . . . , k consideriamo hi ∈ I tale che il corrispondente elemento
hi ∈ Ii abbia il grado minore possibile. Sempre per i = 1, . . . , k
consideriamo ui ∈ S+ tale che:
– Se hi = 0, ui è un qualsiasi elemento in I\pi
– Se hi 6= 0, ui si riduce modulo pi al coefficiente direttore di hi
S
Ancora per i = 1, . . . , k consideriamo si ∈ ( kj=1 pj )\pi . Siccome
S
U = S1 \ ki=1 pi è non vuoto (altrimenti S+ sarebbe contenuto in
uno dei pi , assurdo perché questi sono rilevanti), possiamo considerare
s ∈ U . Moltiplicando gli si , hi e ui per una potenza di s possiamo
supporre che ∀i, j sia abbia:
deg(si ) = deg(sj )
deg(hi ) = deg(hj )
deg(ui ) = deg(uj )
P
Sia g1 = ki=1 si hi ; vogliamo far vedere che per N abbastanza grande
si ha la tesi con:
!!N
k
X
u= s
si ui
i=1
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CAPITOLO 2. DIMOSTRAZIONI
Fissiamo i e indichiamo con una linea (α → α) le immagini modulo
pi dei vari elementi considerati. Allora g1 = si hi come elemento di
Ii , perciò il suo grado in x è il minimo tra i gradi degli elementi di Ii .
Inoltre, se N è abbastanza grande, allora u = (ssi ui )N è un multiplo di
una potenza abbastanza grande del coefficiente direttore di g1 , perciò,
per la (2.6), si ha che uIi ⊆ (g1 ) e dunque abbiamo ∀1, . . . , k che:
uI ⊆ (S+ R) ∩ ((g1 ) + pi R)
(2.7)
e siccome i primi di R contengono S+ R oppure uno dei pi R si ottiene
la (2.5) come voluto.
Dimostrazione 2.2.1. Per i lemmi 2.2.2 e 2.2.3 si ha la tesi ponendo
R = k[x1 , . . . , xn ] nel caso affine e R = k[x0 , . . . , xn ] nel caso proiettivo.
2.3
Caratteristica positiva
Se char(k) > 0 si ha un risultato più forte, che qui consideriamo
Teorema 2.3.1. Ogni insieme algebrico nello spazio n-dimensionale su un
campo di caratteristica p > 0 che non abbia componenti irriducibili di
dimensione 0 è intersezione di n − 1 ipersuperfici
Dimostrazione 2.3.1. Per la bibliografia si veda Lyubeznik [2]. La dimostrazione è basata sull’induzione e sul seguente lemma:
Lemma 2.3.2. Sia A un anello noetheriano. Siano f1 , . . . , fr , g1 , . . . , gr ∈ I
e a ∈ B tali che:
p
√
• Ia = (f1 , . . . , fr )
p
p
• I + (a)/(a) = (g1 , . . . , gr )
p
√
Allora esistono h1 , . . . , hr+1 tali che I = (h1 , . . . , hr+1 )
Bibliografia
[1] Eisenbud, David; Evans, E. Graham, Jr.: Every algebraic set in nspace is the intersection of n hypersurfaces, Invent. Math. 19 (1973),
pp. 107-112
[2] Lyubeznik, Gennady: The number of equations needed to define an
algebraic set, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 1988, Volume 19, pp. 273276
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