Variabili aleatorie, casuali o random Premessa Una variabile si dice aleatoria, casuale o random quando il valore che questa assume è incerto e non prevedibile Le variabili random possono essere discrete o continue Non potendo stabilire a priori il valore che assumeranno, si affronta il problema stimando il grado di fiducia, cioè la probabilità, che si può associare al fatto che la variabile assuma uno specifico valore o un valore superiore (o inferiore) ad uno prefissato La funzione massa di probabilità (pmf) La funzione massa di probabilità si definisce per le variabili random di tipo discreto La funzione massa di probabilità di una variabile random X è una funzione matematica p(X) che fornisce il valore della probabilità puntuale associata a ciascun valore X che essa possa assumere ( p(X) = Pr [X=x] ) Per p(X) valgono quindi gli assiomi già definiti per la probabilità 0 ≤ p(X) ≤ 1 per tutti i valori possibili di X p(X) = 0 per tutti i valori impossibili di X Σ p(X) = 1 calcolata per tutti i valori possibili di X n° di incidenti in un anno n° di accadimenti massa di probabilità 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0 1 1 3 5 6 5 9 12 18 25 33 31 42 46 35 31 22 11 8 9 4 2 1 0 1 2 0 0 1 0 0.0000 0.0027 0.0027 0.0082 0.0137 0.0165 0.0137 0.0247 0.0330 0.0495 0.0687 0.0907 0.0852 0.1154 0.1264 0.0962 0.0852 0.0604 0.0302 0.0220 0.0247 0.0110 0.0055 0.0027 0.0000 0.0027 0.0055 0.0000 0.0000 0.0027 0.0000 totale accadimenti 364 ESEMPIO 3.1_1 Sulla funzione massa di probabilità Si voglia rappresentare la funzione massa di probabilità con riferimento al numero di incidenti che si sono verificati in 5 anni in corrispondenza di una intersezione stradale urbana. I dati rilevati sono riportati in tabella per un totale di 364 eventi verificatisi nell’arco temporale di riferimento, secondo la distribuzione riportata per numero di accadimenti in 5 anni. La funzione massa di probabilità è calcolata nella terza colonna. ESEMPIO 3.1_2 Sulla funzione massa di probabilità La rappresentazione della funzione di massa di probabilità è riportata a seguire dove in ascissa è indicato il numero di accadimenti all’anno 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 5 10 15 20 25 30 35 La funzione di distribuzione cumulata (cdf) La funzione di distribuzione cumulata si definisce per le variabili random di tipo discreto e di tipo continuo La funzione di distribuzione cumulata di una variabile random X rappresenta la funzione matematica che esprime la probabilità di non superamento Fx (x) = Pr [X ≤ x] E’ una funzione monotona crescente e per ogni valore possibile di x vale: 0 ≤ Fx (x) ≤ 1 per tutti i valori possibili di x n° di incidenti in un anno n° di accadimenti massa di probabilità funzione di distribuzione cumulata 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0 1 1 3 5 6 5 9 12 18 25 33 31 42 46 35 31 22 11 8 9 4 2 1 0 1 2 0 0 1 0 0.0000 0.0027 0.0027 0.0082 0.0137 0.0165 0.0137 0.0247 0.0330 0.0495 0.0687 0.0907 0.0852 0.1154 0.1264 0.0962 0.0852 0.0604 0.0302 0.0220 0.0247 0.0110 0.0055 0.0027 0.0000 0.0027 0.0055 0.0000 0.0000 0.0027 0.0000 0.0000 0.0027 0.0055 0.0137 0.0275 0.0440 0.0577 0.0824 0.1154 0.1648 0.2335 0.3242 0.4093 0.5247 0.6511 0.7473 0.8324 0.8929 0.9231 0.9451 0.9698 0.9808 0.9863 0.9890 0.9890 0.9918 0.9973 0.9973 0.9973 1.0000 1.0000 totale accadimenti 364 ESEMPIO 3.2_1 Sulla funzione di distribuzione cumulata Con riferimento all’esempio 3.1 si calcola la funzione di distribuzione cumulata. La funzione di distribuzione cumulata è riportata in quarta colonna. ESEMPIO 3.2_2 Sulla funzione di distribuzione cumulata Nel grafico è rappresentata la funzione di distribuzione cumulata, in analogia all’esempio 3.1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15 20 25 30 n°. di incidenti al km n° di accadimenti massa di probabilità funzione di distribuzione cumulata 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 11 27 32 31 25 21 18 19 16 12 7 8 5 3 4 5 2 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0440 0.1080 0.1280 0.1240 0.1000 0.0840 0.0720 0.0760 0.0640 0.0480 0.0280 0.0320 0.0200 0.0120 0.0160 0.0200 0.0080 0.0120 0.0040 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0440 0.1520 0.2800 0.4040 0.5040 0.5880 0.6600 0.7360 0.8000 0.8480 0.8760 0.9080 0.9280 0.9400 0.9560 0.9760 0.9840 0.9960 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 ESEMPIO 3.3_1 Sulla funzione massa di probabilità Si voglia rappresentare la funzione massa di probabilità con riferimento al numero di incidenti al km su una infrastruttura stradale primaria estesa per 250 km. ESEMPIO 3.3_2 Sulla funzione massa di probabilità La rappresentazione della funzione di massa di probabilità è riportata a seguire dove in ascissa è indicato il numero di incidenti al km 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 5 10 15 20 25 ESEMPIO 3.3_3 Sulla funzione di distribuzione cumulata Nel grafico è rappresentata la funzione di distribuzione cumulata 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15 20 25 n° di falsi allarmi al km n° di accadimenti massa di probabilità funzione di distribuzione cumulata 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1 3 4 2 3 6 5 9 15 21 25 26 23 12 13 8 7 7 8 5 3 4 2 1 0 1 2 0 0 1 0 0.0046 0.0138 0.0184 0.0092 0.0138 0.0276 0.0230 0.0415 0.0691 0.0968 0.1152 0.1198 0.1060 0.0553 0.0599 0.0369 0.0323 0.0323 0.0369 0.0230 0.0138 0.0184 0.0092 0.0046 0.0000 0.0046 0.0092 0.0000 0.0000 0.0046 0.0000 0.0046 0.0184 0.0369 0.0461 0.0599 0.0876 0.1106 0.1521 0.2212 0.3180 0.4332 0.5530 0.6590 0.7143 0.7742 0.8111 0.8433 0.8756 0.9124 0.9355 0.9493 0.9677 0.9770 0.9816 0.9816 0.9862 0.9954 0.9954 0.9954 1.0000 1.0000 totale accadimenti 217 ESEMPIO 3.4_1 Sulla funzione di distribuzione cumulata Si voglia valutare la probabilità di errore nella diagnosi di degrado con Georadar. In tabella sono riportati i dati relativi ad un rilievo esteso ad una tratta, in cui vengono rilevati i falsi allarmi al km. ESEMPIO 3.4_2 Sulla funzione massa di probabilità La rappresentazione della funzione di massa di probabilità è riportata a seguire dove in ascissa è indicato il numero di falsi allarmi al km 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 5 10 15 20 25 30 35 ESEMPIO 3.4_3 Sulla funzione di distribuzione cumulata Nel grafico è rappresentata la funzione di distribuzione cumulata 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15 20 25 30 La funzione densità di probabilità (pdf) La funzione densità di probabilità si definisce per le variabili random di tipo continuo La funzione densità di probabilità di una variabile random X è una funzione matematica sempre positiva, non è adimensionale e rappresenta una “intensità” della probabilità della variabile X Per cui vale la seguente relazione x2 Pr [x1 ≤ X ≤ x2] = ∫f X (x )dx x1 Estendendo l’integrale a tutti i valori possibili di X si ha: +∞ ∫f −∞ X (x )dx = 1 ESEMPIO 3.5 Sulla funzione densità di probabilità Nota la funzione di distribuzione di probabilità degli accadimenti di eventi incidentali in un anno lungo un tratto di strada omogenea, si voglia calcolare la probabilità che il numero di accadimenti sia superiore a 25. La funzione densità di probabilità sia (con λ = 0.1) f X ( x ) = λe − λx 25 P [X > 25] = 1 − ∫f 0 X (x )dx = 1 − (1 − e − λx )0 25 = 1 − [(0.918) − (0 )] = 0.082 ESEMPIO 3.6_1 Sulla funzione densità di probabilità e probabilità cumulata Nell’ambito di una sperimentazione su strada finalizzata all’analisi dell’impegno di aderenza in curva vengono registrati 200 valori di accelerazione trasversale al passaggio di 200 veicoli in corrispondenza del centro della curva geometrica Si voglia valutare l’85 percentile del valore assunto dall’accelerazione, ovvero il valore che viene superato con probabilità pari a 0.85 Nella seguente slide è riportata in figura la “plot position” degli esiti della misura di campo ESEMPIO 3.6_2 In ascissa è riportato il numero d’ordine della misura, in ordinata il valore in m/s2 della misura effettuata di accelerazione trasversale 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 ESEMPIO 3.6_3 Si riporta l’andamento della funzione di probabilità cumulata derivata dal campione delle misure e si pone a confronto con la funzione di probabilità cumulata di tipo uniforme. Il valore di accelerazione corrispondente all’85 percentile risulta pari a 1.67 m/s2 con riferimento al campione e 1.70 m/s2 con riferimento alla distribuzione teorica 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.5 1 1.5 2 I descrittori numerici delle variabili random Al fine di caratterizzare sinteticamente l’andamento delle probabilità di una variabile random si utilizzano dei descrittori numerici derivati direttamente dalle funzioni di distribuzione descritte Tali descrittori danno informazioni in merito ai valori maggiormente probabili, alla dispersione dei valori che la variabile può assumere e più in generale alla forma della distribuzione in termini per esempio di simmetria Media o valore atteso La media o valore atteso corrisponde alla media aritmetica dei valori osservati assunti da una variabile aleatoria ovvero al baricentro della pdf µX = E [X] = Σ xi px (xi) La precedente relazione estesa a tutti i valori che può assumere la variabile discreta X costituisce la definizione di media o valore atteso Analogamente per una variabile aleatoria continua si ha µ X = E [X ] = +∞ ∫x⋅ f −∞ X (x )dx ESEMPIO 3.7 Sulla media o valore atteso Con riferimento all’esempio 3.5 si voglia calcolare il valore atteso del numero di accadimenti, avendo assunta la funzione di distribuzione sotto richiamata f X ( x ) = λe − λx integrando la precedente si ha +∞ µX = ∫ x ⋅ f X (x )dx = 0 da cui il valore atteso µX = 1 1 = = 10 λ 0.1 +∞ ∫ 0 [ x ⋅ λe − λx dx = − xe − λx ] +∞ 0 +∞ + ∫ 0 e − λx dx = 0 + 1 1 = λ λ Attesa matematica di una funzione della variabile aleatoria X La media di una funzione g(x) della variabile aleatoria x si può calcolare per le variabili discrete e continue rispettivamente come segue E [g (x )] = ∑ g (x ) p i X (xi ) i =1, N E [g (x )] = +∞ ∫ g (x) f (x) dx −∞ ESEMPIO 3.8 Sull’attesa matematica di una funzione di variabile aleatoria Con riferimento all’esempio 3.5, si voglia calcolare l’attesa matematica della funzione costo degli incidenti stradali Si supponga che il costo sia funzione degli incidenti secondo la seguente relazione g ( x ) = e γx si ha E [g (x )] = +∞ ∫ +∞ g (x ) f X (x )dx = 0 in cui λ* = λ − γ +∞ +∞ ( e γx )⋅ λe −λx dx = λe (γ −λ )x dx = λe −λ*x dx =[− xe −λ*x ] ∫ ∫ ∫ 0 0 0 0 +∞ +∞ + ∫ 0 e −λ*x dx = 1 λ* Momenti di una distribuzione di probabilità della variabile aleatoria X I momenti di una funzione di distribuzione sono parametri numerici particolarmente significativi per identificare la forma e le caratteristiche di forma della distribuzione stessa Il generico momento di ordine r attorno al punto a di una variabile discreta si calcola come segue [ ] ∑ (x − a ) p µ*r = E ( X − a )r = i r X ( xi ) i =1, N I momenti di ordine r attorno all’origine e attorno alla media si valutano rispettivamente con le relazioni che seguono [ ] ∑ (x ) p µ X = E ( X )r = i i =1, N r X ( xi ) [ ] ∑ (x − µ µ r = E ( X − µ X )r = i i =1, N r ) p X ( xi ) X ESEMPIO 3.9 Sui momenti di una distribuzione di probabilità Con riferimento agli esempi 1.6 e 2.6 si valutino i momenti sino al 4° ordine della distribuzione delle velocità dei veicoli rilevate in corrispondenza della sezione stradale di riferimento velocità 2.5 7.5 12.5 17.5 22.5 27.5 32.5 37.5 42.5 47.5 52.5 57.5 62.5 67.5 72.5 77.5 82.5 87.5 92.5 97.5 classi 0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60 60-65 65-70 70-75 75-80 80-85 85-90 90-95 95-100 frequenze 0 0 0 0 0 4 2 2 2 6 2 10 4 22 20 12 8 2 4 0 100 probabilità 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.04 0.02 0.02 0.02 0.06 0.02 0.10 0.04 0.22 0.20 0.12 0.08 0.02 0.04 0.00 x*p 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.10 0.65 0.75 0.85 2.85 1.05 5.75 2.50 14.85 14.50 9.30 6.60 1.75 3.70 0.00 Momenti 66.2 momenti rispetto all'origine x2*p x3*p 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 30.25 831.88 21.13 686.56 28.13 1054.69 36.13 1535.31 135.38 6430.31 55.13 2894.06 330.63 19010.94 156.25 9765.63 1002.38 67660.31 1051.25 76215.63 720.75 55858.13 544.50 44921.25 153.13 13398.44 342.25 31658.13 0.00 0.00 4607.25 x4*p 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 22876.56 22313.28 39550.78 65250.78 305439.84 151938.28 1093128.91 610351.56 4567071.09 5525632.81 4329004.69 3706003.13 1172363.28 2928376.56 0.00 331921.25 24539301.56 momenti rispetto alla media x2*p x3*p 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 59.91 -2318.42 22.71 -765.46 16.47 -472.80 11.23 -266.24 20.98 -392.35 3.75 -51.43 7.57 -65.85 0.55 -2.03 0.37 0.48 7.94 50.01 15.32 173.15 21.26 346.46 9.07 193.27 27.67 727.66 0.00 0.00 224.81 -2843.544 x4*p 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 89723.01 25795.84 13569.30 6309.91 7336.99 704.55 572.90 7.50 0.63 315.06 1956.57 5647.29 4116.69 19137.40 0.00 175193.6417 La varianza, la deviazione standard e il coefficiente di variazione della variabile aleatoria X La varianza è pari al momento del secondo ordine di una distribuzione rispetto alla media [ ] [ ] [ ] [ ] Var[ X ] = σ 2X = E ( X − E [X ])2 = E X 2 − 2 XE [X ] + (E [X ])2 = E X 2 − 2 E [X ]E [X ] + (E [X ])2 = E X 2 − (E [X ])2 La deviazione standard è pari alla radice quadrata della varianza σ X = (Var [X ])1 2 Il coefficiente di variazione risulta pari al rapporto tra la deviazione standard e la media VX = σ X µ X ESEMPIO 3.10 Sulla varianza, la deviazione standard e il coefficiente di variazione Con riferimento all’esempio 3.9 si hanno i seguenti valori di varianza, deviazione standard e coefficiente di variazione della distribuzione delle velocità Varianza = 224.81 km2/h2 Deviazione standard = 14.99 km/h Coefficiente di variazione = 0.226 ESEMPIO 3.11_1 Ancora sulla varianza, la deviazione standard e il coefficiente di variazione 0.45 media 10 deviazione standard 1 0.4 media 10 deviazione standard 2 0.35 media 10 deviazione standard 5 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 ESEMPIO 3.11_2 Ancora sulla varianza, la deviazione standard e il coefficiente di variazione -10 -5 0 5 10 1 media 10 deviazione standard 1 media 10 deviazione standard 2 media 10 deviazione standard 5 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 15 20 25 30 Coefficiente di skewness e coefficiente di kurtosis della variabile aleatoria X Si definisce coefficiente di skewness o di asimmetria il momento del 3° ordine rispetto alla media rapportato alla variazione standard secondo la seguente relazione γ1 = µ3 µ 32 = [ ] {E [(X − E[X ]) ]} E ( X − E [X ])3 2 3 = [ ] [ ] (E [X ]− (E[X ]) ) E X 3 − 3E X 2 E [X ] + 2(E [X ])3 2 32 2 Si definisce coefficiente di kurtosis il momento del 4° ordine rispetto alla media rapportato alla variazione standard secondo la seguente relazione γ2 = µ4 µ 22 [ ] = {E [(X − E[X ]) ]} E ( X − E [X ])4 2 2 = [ ] [ ] [ ] (E [X ]− (E[X ]) ) E X 4 − 4 E X 3 E [X ] + 6 E X 2 (E [X ])2 − 3(E [X ])4 2 2 2 Funzione generatrice dei momenti di una distribuzione I momenti di una distribuzione sono degli indicatori numerici particolarmente utili per ragioni teoriche ed applicative. Per molte distribuzioni è possibile definire una appropriata funzione detta funzione generatrice dei momenti che, sviluppata in una serie di potenze (serie di Maclaurin) di t intorno allo zero, fornisce i momenti di vario ordine. [ ] 1 1 ⎡ ⎤ M X (t ) = E e tX = E ⎢1 + Xt + ( Xt )2 + ...⎥ = 1 + µ1t + µ 2 t 2 + ... 2! 2! ⎣ ⎦ Ovvero per variabili discrete si può scrivere [ ] ∑e M X (t ) = E e tX = +∞ Mentre per variabili continue si ha [ ] ∫e M X (t ) = E e tX = −∞ tx f X (x )dx tx j ( ) pX x j Funzione generatrice dei momenti di una distribuzione Dalle precedenti definizioni si ottiene evidentemente +∞ ⎡ +∞ ⎤ ∂M X (t = 0) ⎢ = xe tx f X (x )dx ⎥ = x ⋅ f X (x )dx = E [X ] ⎢ ⎥ ∂t ⎣⎢−∞ ⎦⎥ t =0 −∞ ∫ ∂ M X (t = 0 ) = 2 ∂t 2 ∂ M X (t = 0) = m ∂t m ∫ +∞ ∫ [ ] x 2 ⋅ f X (x )dx = E X 2 −∞ +∞ ∫ [ ] x m ⋅ f X (x )dx = E X m −∞ ESEMPIO 3.12 Sulla funzione generatrice dei momenti Con riferimento alla seguente funzione di densità di probabilità f X ( x ) = λ e − λx la funzione generatrice dei momenti è data dalla seguente espressione +∞ M X (t ) = ∫ e tx λe −λx dx = λ λ−t t<λ 0 si calcola quindi la media e la varianza µX = λ (λ − t )2 [ ] E X2 = = t =0 2⋅λ (λ − t )3 1 λ = t =0 2 λ2 [ ] Var[X ] = E X 2 − (E [X ])2 = 1 λ2 Stima dei parametri di una distribuzione Si supponga nota la distribuzione di una popolazione di eventi e si voglia stimare i valori dei parametri che caratterizzano la distribuzione conoscendo un campione significativo ma limitato di accadimenti La determinazione dei caratteri quantitativi di una distribuzione che rappresenta una specifica popolazione a partire da un campione rappresentativo ma limitato di eventi va sotto il nome di inferenza statistica Il metodo dei momenti Nell’ipotesi che i momenti calcolati sulla base di un campione significativo di accadimenti debbano risultare uguali ai momenti della distribuzione in ragione del fatto che i parametri di forma della distribuzione stessa siano coerenti con le realizzazioni del campione, il metodo si basa sull’uguaglianza dei momenti della funzione di distribuzione, che dipendono dai parametri della distribuzione stessa, con i momenti stimati sulla base del campione di accadimenti disponibile ESEMPIO 3.13_1 Sulla stima dei parametri con il metodo dei momenti Sia noto il numero di incidenti al km in un anno su una tratta stradale lunga 100 km di categoria B, extraurbana principale. 16 14 12 10 8 6 4 2 114 111 108 105 102 99 96 93 90 87 84 81 78 75 72 69 66 63 60 57 54 51 48 45 42 39 36 33 30 27 24 21 18 15 0 Sulla stima dei parametri con il metodo dei momenti ESEMPIO 3.13_2 Ordinando il numero di accadimenti per classi e calcolando la frequenza di accadimento si hanno i seguenti valori, il numero di accadimenti è rappresentato per istogrammi in figura classi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 n°. accadimenti 8 20 21 14 12 5 4 6 2 3 1 2 1 0 0 1 frequenza 0.08 0.2 0.21 0.14 0.12 0.05 0.04 0.06 0.02 0.03 0.01 0.02 0.01 0 0 0.01 25 20 15 10 5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ESEMPIO 3.13_3 Sulla stima dei parametri con il metodo dei momenti Calcolando il momento primo (ovvero la media o valore atteso) del numero di accadimenti si ha E(x) = 3.45 eventi incidentali Adottando una distribuzione del tipo f X ( x ) = λ e − λx e noto che il momento primo di tale distribuzione è pari a (esempio 3.12) µX = 1 λ ESEMPIO 3.13_4 Sulla stima dei parametri con il metodo dei momenti Si ha per inferenza la seguente distribuzione teorica, rappresentata in figura f X ( x ) = 3.45 ⋅ e −3.45⋅ x 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ESEMPIO 3.13_5 Sulla stima dei parametri con il metodo dei momenti La distribuzione teorica cumulata è confrontata con le frequenze campionarie 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 3 6 9 12 15 Sulla stima dei parametri con il metodo dei momenti ESEMPIO 3.14_1 Utilizzando un veicolo ARAN è stato eseguito il rilievo di una infrastruttura stradale per uno sviluppo complessivo pari a 240 km circa. I dati di tessitura rilevati con lama laser sono analizzati per sezioni di sviluppo pari ad 1 km. Si riporta, a titolo di esempio, un brevissimo estratto tipo in forma grafica. Ampiezze [mm] accadimenti frequenze campionarie cumulata 14 14.2 14.4 14.6 14.8 15 15.2 15.4 15.6 15.8 16 16.2 16.4 16.6 16.8 17 17.2 17.4 17.6 17.8 18 18.2 18.4 18.6 18.8 19 19.2 19.4 19.6 19.8 20 20 27 46 89 131 220 424 670 1061 1320 1901 2111 2210 2180 2001 1640 712 321 116 23 12 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0.001 0.002 0.003 0.005 0.008 0.013 0.025 0.039 0.062 0.077 0.110 0.122 0.128 0.126 0.116 0.095 0.041 0.019 0.007 0.001 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.003 0.005 0.011 0.018 0.031 0.056 0.094 0.156 0.232 0.343 0.465 0.593 0.720 0.836 0.931 0.972 0.991 0.998 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 ESEMPIO 3.14_2 Sulla stima dei parametri con il metodo dei momenti Ordinando le ampiezze rilevate per classi e calcolando la frequenza di accadimento si hanno i seguenti valori, la frequenza campionaria è rappresentato in figura Sulla stima dei parametri con il metodo dei momenti ESEMPIO 3.14_3 In figura la frequenza cumulata in ordinata e il valore dell’ampiezza della tessitura in mm misurata con lama laser in ascissa … si stimano i momenti dal campione … media = 16.3 e deviazione standard = 0.360 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 14 15 16 17 18 19 20 Sulla stima dei parametri con il metodo dei momenti ESEMPIO 3.14_4 Nel diagramma delle frequenze cumulate si riporta la frequenza cumulata a confronto con due curve di probabilità teoriche (normale in linea continua e Gamma in linea tratteggiata) i cui parametri sono stati calcolati sulla base dei momenti della distribuzione campionaria 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 14 15 16 17 18 19 20 Il metodo della massima verosimiglianza Il metodo della massima verosimiglianza per la stima dei momenti di una distribuzione si basa sull’ipotesi che il campione di eventi che si realizza, poiché si è realizzato, risulta anche il più probabile, assumendo, ragionevolmente, che se non fosse proprio questo il campione più probabile non si sarebbe realizzato Se le n osservazioni xi sono tra loro indipendenti, una stima della probabilità di accadimento del campione costituito dalle n xi realizzazioni concomitanti è data da f (x1 ) dx f (x 2 ) dx f (x3 ) dx ... f (x n ) dx Da cui si ricava la funzione di massima verosimiglianza (come produttoria o, in forma logaritmica, come sommatoria) L = Π i =1,n f ( xi ) ln (L ) = ∑ i =1,n ln[ f ( xi )] Il metodo della massima verosimiglianza Avendo assunto che il campione realizzato è quello più probabile la derivata della funzione L o della funzione in forma logaritmica, fatta rispetto ai parametri della distribuzione deve essere nulla (condizione di valor massimo per la probabilità) Ovvero, indicato con δ il generico parametro della generica distribuzione di probabilità, deve risultare [ ] ∂L ∂ Π i =1,n f ( xi ) = =0 ∂δ ∂δ ⎡ ∂⎢ ∂ ln (L ) = ⎣ ∂δ ∑ ⎤ ln[ f ( xi )]⎥ i =1,n ⎦ =0 ∂δ ESEMPIO 3.15 Sulla stima dei parametri con il metodo della massima verosimiglianza Con riferimento alla medesima distribuzione dell’esempio 3.7 si voglia stimare il valore del momento primo con il metodo della massima verosimiglianza ln (L ) = ∑ i =1,n ∂(ln L ) =0 ∂λ ln[ f (xi )] = ∑ i =1,n λ= [ ]∑ ln λ ⋅ e −λxi = ∑ n i =1,n xi = 1 E (x ) i =1,n (ln λ − λxi ) = n ln λ − λ ∑ i =1,n xi QUESITO 3.1 Da un rilievo delle velocità in una sezione stradale è emerso che il limite imposto da codice è superato dal 60 % dei veicoli. La velocità dei veicoli che transitano con velocità illegali supera il limite di un valore di velocità secondo quanto riportato in tabella: V [km/h] pX(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0.02 0.03 0.05 0.08 0.11 0.13 0.16 0.22 0.10 0.05 0.01 0.02 0.01 0.00 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 si calcoli il valore atteso e la varianza del valore di velocità eccedente il limite di legge QUESITO 3.2 In corrispondenza di un viadotto autostradale di significativo sviluppo nell’Appennino calabrese si registra un non trascurabile rischio per i veicoli a causa della durata di condizioni di forte vento. La durata di condizioni di vento incompatibili con adeguati standard di sicurezza, sulla base di misure anemomentriche, si distribuisce secondo la seguente pdf fT (t) =0.0018 t 1.5 con il tempo espresso in ore, la durata massima è risultata pari a 18 ore. Si calcoli il valore massimo assunto dalla densità di probabilità, si trovi la media ed il coefficiente di variazione della durata del vento critico ed infine si calcoli la probabilità che un vento critico duri più di 9 ore. QUESITO 3.3 Considerato che su alcune intersezioni stradali urbane semaforizzate in un mese si sono verificati il seguente numero di guasti: 21, 53, 43, 56, 18, 17, 40, 14, 13 FT (t) =1 – e λt si stimi il parametro λ con il metodo dei momenti e della massima verosimiglianza. SOMMARIO La funzione massa di probabilità di una variabile random X è una funzione matematica p(X) che fornisce il valore della probabilità puntuale associata a ciascun valore X che essa possa assumere p(X) = Pr [X=x] La funzione di distribuzione cumulata di una variabile random X rappresenta la funzione matematica che esprime la probabilità di non superamento Fx (x) = Pr [X ≤ x] La funzione densità di probabilità si definisce per le variabili random di tipo continuo La funzione densità di probabilità di una variabile random X è una funzione matematica sempre positiva, non è adimensionale e rappresenta una “intensità” della probabilità della variabile X Al fine di caratterizzare sinteticamente l’andamento delle probabilità di una variabile random si utilizzano dei descrittori numerici derivati direttamente dalle funzioni di distribuzione descritte SOMMARIO Al fine di caratterizzare sinteticamente l’andamento delle probabilità di una variabile random si utilizzano dei descrittori numerici derivati direttamente dalle funzioni di distribuzione Media o valore atteso, Attesa matematica di una funzione di una variabile aleatoria, Momenti di una distribuzione e funzione generatrice dei momenti, Varianza, deviazione standard e cefficiente di variazione Skewness e kurtosis Una volta definita la funzione di distribuzione è necessario stimarne i parametri, ciò è possibile attraverso molteplici metodi, i più noti sono: il metodo dei momenti il metodo della massima verosimiglianza