Catene di Markov e affidabilità
I guasti però non solo determinano la cessazione di un
dispositivo ad adempiere la funzione richiesta (guasti totali)
ma anche la variazione della prestazione del dispositivo
rispetto alla funzione richiesta
Si possono verificare anche i guasti intermittenti.
Ci sono diversi STATI che il sistema può occupare nel corso del tempo.
La transizione da uno stato all’altro avviene con una certa probabilità,
nel senso che se un sistema parallelo (a 3 sottosistemi) si trova ad esempio inizialmente nello stato pienamente funzionante (stato 3) ,
può passare allo stato 2 (ne funzionano 2) con una certa probabilità
(quale?) e allo stato 1 con un’altra probabilità e così via. Se i guasti
sono intermittenti, c’è la possibilità che dallo stato 2 il sistema torni
allo stato 3 - che dipende dalla natura del guasto.
CATENE DI MARKOV
Def : Una catena di Markov è una successione di
v.a.
{ X n }n≥1
definite sullo stesso spazio
campione e che godono di
certe proprietà.
X n = stato occupato dal
sistema al passo n
Prove di Bernoulli = esempio di catena in cui le variabili aleatorie
sono indipendenti tra di loro.
1 P ( X i = 1) = p
con X i =
0 P ( X i = 0) = q
X 1 , X 2 , X 3 ,…
Costruire lo SPAZIO DELLE
TRAIETTORIE
p
0
1
q
Nella relazione tra le variabili, saliamo di un gradino, ossia supponiamo
che la variabile aleatoria allo stato n dipenda solo da quella precedente.
…specificando il tipo di relazione di dipendenza al seguente modo
Yn = Yn −1 + X n con n = 1,2, …
P( X n = 1) = p
1
X n = 0 P ( X n = 0) = 1 − p − q
− 1
P( X n = −1) = q
1− p − q
p
i-1
i
q
i+1
costruire lo spazio
delle
traiettorie
ESEMPIO DI TRAIETTORIE PER LA PASSEGGIATA ALEATORIA
n
n
i =1
i =1
Yn = Y0 + ∑ X i ⇒ P(Y0 = y0 ) = 1 ⇒ Yn − y0 = ∑ X i
La passeggiata aleatoria è un esempio di catena di Markov.
Altro
esempio:
Catene di Markov omogenee
Non dipendono da n.
La matrice P = ( pij ) si chiama matrice di transizione
0 0.5 0.5 0
0 0.5 0.5 0
P=
0
0
0 1
0.5 0 0.5 0
matrice di transizione
Teorema : In una catena omogenea, detto
p 0 il vettore delle probabilità che il sistema
occupi una posizione al tempo 0 e p n il vettore delle probabilità che il sistema occupi
una posizione al tempo n, si ha p n = p 0 P n .
Ci sono situazioni nelle quali la potenza di P si
stabilizza da un certo indice in poi.
0 1
La catena non è regolare: P =
1
0
Nell’esempio precedente
w = (0.4, 0.2, 0.4)
Il teorema dimostra che la riga comune di W è l’unico vettore ad essere
vettore fisso riga.
Il vettore riga w è autovettore sinistro dell’autovalore 1.
La function per trovare gli autovalori è eig(X)
Se vogliamo trovare anche gli autovettori è [V,D]=eig(X)
Dunque abbiamo
>> [v,d]=eig(p)
v=
-0.5774 -0.7071 0.2357
-0.5774 -0.0000 -0.9428
-0.5774 0.7071 0.2357
Cosa si deduce?
d=
1.0000
0
0
0 0.2500
0
0
0 -0.2500
Il problema è che dobbiamo trovare l’autovettore sinistro che
corrisponde all’autovalore 1. Il Matlab restituisce autovettori
destri.
>>q=p’;
>> [v,d]=eig(q)
v=
-0.6667 -0.7071 0.4082
-0.3333 -0.0000 -0.8165
-0.6667 0.7071 0.4082
Ovviamente l’autovettore va normalizzato
perché risulti un vettore di probabilità
>> c=sum(v(:,1))
c=
-1.6667
>> w=v(:,1)/c
d=
1.0000
0
0
0 0.2500
0
0
0 -0.2500
w=
0.4000
0.2000
0.4000
CONSEGUENZA
Significato: per n
crescente la probabilità di andare da
uno stato all’altro
diventa costante
e indipendente
dallo stato iniziale
(interessa solo
la colonna e non la
riga).
Per la matrice di transizione di cui all’
esempio precedente
>> [v,d]=eig(p')
v=
-0.3162 -0.7071 0.7071 -0.6325
-0.3162 0.7071 -0.7071 0.3162
-0.6325 -0.0000 0.0000 -0.3162
-0.6325 0.0000 0.0000 0.6325
>> c=sum(v(:,1))
c=
-1.8974
>> w=v(:,1)/c
w=
d=
1.0000
0
0
0
0 -0.0000
0
0
0
0 0.0000
0
0
0
0 -0.5000
0.1667
0.1667
0.3333
0.3333
CATENE ASSORBENTI
Danneggiamento non riparabile: una volta che il
componente si è guastato non vi è alcuna possibilità che si auto-ripari senza l’intervento di una
forza esterna.
Qual è la probabilità che il processo raggiunga uno stato assorbente?
Quanto tempo impiega il sistema ad essere assorbito?
In media, in quanti passi viene assorbito?
Forma canonica
TR
Ass
TR
Ass
N = ( I − Q) −1 e' detta matrice fondamentale
( N )ij = # medio
di passaggi per lo stato
transiente s j essendo il sistema partito dallo stato transiente si
ESEMPIO:
1
2
3
0
4
0 0.5 0 0.5 0
0
0.5 0 0.5 0
P = 0 0.5 0
0 0.5
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
− 0.5
0
1
I − Q = − 0.5
1
− 0.5
0
−
0
.
5
1
>> mat^(-1)
ans =
1.5000
1.0000
0.5000
1.0000
2.0000
1.0000
0.5000
1.0000
1.5000
1
2
3
1.5 1 0.5
N = 1 2 1
0.5 1 1.5
1.5 1 0.5 1 3
t = Nc = 1 2 1 1 = 4
0.5 1 1.5 1 3
>> mat^(-1)*[1;1;1]
Teorema : Data la matrice B = NR, il generico elemento Bij rappresenta la probabilità
che, essendo partito da uno stato transiente si , il sistema venga assorbito nello stato s j .
0.5 0
3 / 4 1/ 4
R= 0
0 ⇒ B = NR = 1 / 2 1 / 2
1/ 4 3 / 4
0 0.5
Esercizio: Marco ha 3 euro ed è rinchiuso in carcere. La cauzione è di 5 euro.
Decide di giocare con il poliziotto di turno. Il gioco funziona al seguente modo:
ad ogni giocata scommette 1 euro. Lo vince con probabilità 0.4 e lo perde con
probabilità 0.6. Quale è la probabilità che Marco riesca ad uscire?
Catene di Markov a tempo continuo
Le transizioni sono nella forma P ( X ( t + s ) = j | X ( s ) = i ) = Pij (t )
(a) Pij (t ) ≥ 0, per t > 0,
(b)
∑ P (t ) = 1,
ij
per t > 0,
j
Pij (t ) sono differenziabili
(c) Pij (t ) sono f.continue;
(d ) lim Pij (t ) = δ ij
t →0
Facciamo solo un esempio di modello in cui questo tipo di
catene di Markov risulta utile per la trattazione
Si consideri una valvola oleodinamica che abbia tasso di guasto costante e tasso
di riparazione costanti nel tempo.
λ
Stato 0 – prodotto
funzionante
Stato 1 – prodotto
guasto
µ
P0 ( t ) probabilità che il componente funzioni al tempo t
P1 ( t ) probabilità che il componente sia guasto al tempo t
λ tasso di guasto, µ tasso di riparazione
Qual è la matrice di transizione?
P0 ( t + ∆t ) = P0 ( t )(1 − λ∆t ) + P1 ( t )( µ∆t )
P '0 ( t ) = −λ P0 ( t ) + µ P1 ( t )
P1 ( t + ∆t ) = P1 ( t )(1 − µ∆t ) + P0 ( t )( λ∆t )
P '1 ( t ) = λ P0 ( t ) − µ P1 ( t )
Si tratta di un sistema di equazioni differenziali a coefficienti costanti
P0 '(t ) −λ
=
P1 '(t ) λ
µ P0 (t )
P (t )
−µ 1
Risolvere il precedente sistema di equazioni lineari.
