PARTE III
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FACOLTA’ DI INGEGNERIA Laurea Specialistica in Ingegneria Civile N.O. Giuseppe T. Aronica CORSO DI IDROLOGIA TECNICA PARTE III Idrologia delle piene Lezione XIX: I metodi indiretti per la valutazione delle portate al colmo di piena (La modellazione stocastica A-D) Idrologia delle piene 2 I modelli stocastici A-D GENERALITA’ Previsione quantile precipitazione hT (Derivazione CPP di fissato T) G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA Modellazione a evento singolo Modello A-D Previsione del quantile richiesto QT Isofrequenza (T invariante) Idrologia delle piene 3 I modelli stocastici A-D GENERALITA’ La modellazione a evento singolo permette la derivazione della Qmax ipotizzando che il tempo di ritorno della Qmax sia lo stesso dell’evento critico derivato dalla CPP. G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA La trasformazione A-D è lineare in probabilità La FFC si ricava simulando la trasformazione A-D con eventi singoli di differente tempo di ritorno T Non possono essere specificate condizioni al contorno diverse da quelle fissate per l’evento critico (es. condizioni imbibizione del suolo, variabilità campo di precipitazione) Malgrado ci si trovi a manipolare variabili aleatorie, le tecniche di modellazione sono classicamente deterministiche Idrologia delle piene 4 I modelli stocastici A-D GENERALITA’ Modello stocastico precipitazioni G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA (ietogrammi distribuiti secondo una fissata legge di probabilità) Modello stocastico A-D Distribuzione probabilità Qmax (FFC) Modellazione stocastica Distribuzione probabilità perdite idrologiche Distribuzione probabilità parametri e struttura IUH Idrologia delle piene 5 I modelli stocastici A-D G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA GENERALITA’ La modellazione stocastica della trasformazione A-D prevede la simulazione dei processi idrologici tenendo conto del fatto che nella realtà le grandezze idrologiche che entrano in gioco sono note non in forma deterministica ma attraverso le loro distribuzioni di probabilità. Idrologia delle piene 6 I modelli stocastici A-D G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA GENERALITA’ Modellare stocasticamente una trasformazione A-D significa implementare uno strumento statistico-matematico che sia in grado di fornire una distribuzione finale di probabilità di una variabile idrologica di interesse (Qmax, Vp, ecc.) a partire e combinando opportunamente le distribuzioni di probabilità delle grandezze che intervengono nella definizione della variabile di interesse Idrologia delle piene 7 I modelli stocastici A-D GENERALITA’ Derivazione della distribuzione di probabilità delle portate al colmo (Eagleson, 1972) G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA gli statistici di piena sono derivati a partire dalla da una modellazione stocastica dei processi idrologici che contribuiscono alla formazione della portata di piena Metodi analitici complessità matematica difficoltà nella stima dei parametri delle leggi di distribuzione derivate eccessiva semplificazione nella descrizione dei processi idrologici rigidità del metodo Metodi di simulazione MonteCarlo migliore descrizione dei processi idrologici onerosità computazionale taratura dei modelli afflussi-deflussi flessibilità del metodo più adatti a bacini parzialmente strumentati Idrologia delle piene 8 I modelli stocastici A-D G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA METODI MONTE CARLO I metodi Monte Carlo sono delle procedure di tipo numerico (simulazione) che permettono di generare set di valori (campione) di una variabile aleatoria appartenente a una popolazione di cui è nota la distribuzione di probabilità Idrologia delle piene 9 I modelli stocastici A-D METODI MONTE CARLO G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA Il metodo si basa sul fatto che se è nota la F(x) di una variabile è possibile ricavare un campione della variabile aleatoria x semplicemente invertendo la F(x) e generando un set di valori compresi tra 0 e 1 di una variabile aleatoria U uniformemente distribuita (trasformazione dell’integrale di probabilità) Es: la F(x) è una esponenziale di parametro λ F(x ) = 1 − e − λx 1 x = − ln[1 − U] λ F(U) ≈ Uniforme(0,1) Idrologia delle piene 10 I modelli stocastici A-D METODI MONTE CARLO G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA Data la sua natura numerica, affinché il metodo Monte Carlo sia in grado di fornire risultati accurati e consistenti occorre fissare l’attenzione su due aspetti dell’implementazione del metodo: • La dimensione e il numero di campioni da generare • La generazione dei numeri casuali U(0,1) Idrologia delle piene 11 I modelli stocastici A-D METODI MONTE CARLO G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA Se la simulazione Monte Carlo viene utilizzata per determinare la probabilità p con cui si verifica un evento, occorre determinare la dimensione N del campione in maniera tale da avere una sufficiente accuratezza nella stima di p Se n indica un numero osservato di occorrenze all’interno del campione di numerosità N, uno stimatore di p risulta essere n/N. Se le realizzazione sono indipendenti, n risulta essere una variabile distribuita secondo una binomiale con parametri N e p L’errore standard di stima di p risulta essere: σ pˆ = p(1 − p ) N Idrologia delle piene 12 I modelli stocastici A-D G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA METODI MONTE CARLO Affinché i limiti di confidenza (1-α) siano minori o uguali di un errore percentuale ε di p la dimensione N del campione generato deve soddisfare la relazione: N ≥= zα2 2 (1 − p) ε2 p Idrologia delle piene 13 I modelli stocastici A-D METODI MONTE CARLO Esempio : generazione numeri casuali estratti dalla distribuzione GEV I massimi annuali di portata al colmo del F. Oreto registrati alla stazione di Ponte Parco sono distribuiti secondo una GEV con parametri κ = 5.189, u = 63.5 m3/s, ed α = 0.023 s/m3 ] [ 300 ] 3 [ κ 1 − (− ln U )1 κ α 5.189 x = 6 3 .5 − 1 − (− ln U )− 0.193 0.023 x =u+ Q (m /s) G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA 400 200 100 10 simulazioni di numerosità N = 57 sono state effettuate e riportate in carta probabilistica di Gumbel 0 -2 -1 0 1 2 variabile ridotta, y 3 4 5 Idrologia delle piene 14 I modelli stocastici A-D METODI MONTE CARLO Esempio struttura modello stocastico A-D G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA Generatore numeri casuali Modello stocastico precipitazioni (generazione ietogrammi sintetici di assegnata frequenza) Modello stocastico piogge effettive (distribuzione precipitazioni effettive condizionata sulle condizioni del bacino) Uso del suolo, condizioni di saturazione del bacino No isofrequenza Modellazione risposta idrologica Modello stocastico trasferimento deflussi (generazione Qmax) Analisi inferenziale Qmax (plotting position)
