FACOLTA’ DI INGEGNERIA
Laurea Specialistica in Ingegneria Civile N.O.
Giuseppe T. Aronica
CORSO DI IDROLOGIA TECNICA
PARTE III
Idrologia delle piene
Lezione XIX: I metodi indiretti per la valutazione delle
portate al colmo di piena
(La modellazione stocastica A-D)
Idrologia delle piene
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I modelli stocastici A-D
GENERALITA’
Previsione quantile precipitazione hT
(Derivazione CPP di fissato T)
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Modellazione a
evento singolo
Modello A-D
Previsione del quantile richiesto
QT
Isofrequenza
(T invariante)
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I modelli stocastici A-D
GENERALITA’
La modellazione a evento singolo permette la derivazione della
Qmax ipotizzando che il tempo di ritorno della Qmax sia lo stesso
dell’evento critico derivato dalla CPP.
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La trasformazione A-D è lineare in probabilità
La FFC si ricava simulando la trasformazione A-D con eventi
singoli di differente tempo di ritorno T
Non possono essere specificate condizioni al contorno diverse da
quelle fissate per l’evento critico (es. condizioni imbibizione del
suolo, variabilità campo di precipitazione)
Malgrado ci si trovi a manipolare variabili aleatorie, le tecniche di
modellazione sono classicamente deterministiche
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I modelli stocastici A-D
GENERALITA’
Modello stocastico precipitazioni
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(ietogrammi distribuiti secondo una
fissata legge di probabilità)
Modello stocastico
A-D
Distribuzione probabilità Qmax
(FFC)
Modellazione
stocastica
Distribuzione
probabilità perdite
idrologiche
Distribuzione
probabilità parametri
e struttura IUH
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I modelli stocastici A-D
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
GENERALITA’
La modellazione stocastica della
trasformazione A-D prevede la simulazione
dei processi idrologici tenendo conto del fatto
che nella realtà le grandezze idrologiche che
entrano in gioco sono note non in forma
deterministica ma attraverso le loro
distribuzioni di probabilità.
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I modelli stocastici A-D
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
GENERALITA’
Modellare stocasticamente una
trasformazione A-D significa implementare
uno strumento statistico-matematico che sia
in grado di fornire una distribuzione finale di
probabilità di una variabile idrologica di
interesse (Qmax, Vp, ecc.) a partire e
combinando opportunamente le distribuzioni
di probabilità delle grandezze che
intervengono nella definizione della variabile
di interesse
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I modelli stocastici A-D
GENERALITA’
Derivazione della distribuzione di probabilità delle portate al colmo
(Eagleson, 1972)
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gli statistici di piena sono derivati a partire dalla da una modellazione
stocastica dei processi idrologici che contribuiscono alla formazione della
portata di piena
Metodi analitici
complessità matematica
difficoltà nella stima dei parametri delle leggi di distribuzione derivate
eccessiva semplificazione nella descrizione dei processi idrologici
rigidità del metodo
Metodi di simulazione MonteCarlo
migliore
descrizione dei processi idrologici
onerosità computazionale
taratura dei modelli afflussi-deflussi
flessibilità del metodo
più adatti a bacini parzialmente strumentati
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I modelli stocastici A-D
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
METODI MONTE CARLO
I metodi Monte Carlo sono delle procedure di
tipo numerico (simulazione) che permettono
di generare set di valori (campione) di una
variabile aleatoria appartenente a una
popolazione di cui è nota la distribuzione di
probabilità
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I modelli stocastici A-D
METODI MONTE CARLO
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
Il metodo si basa sul fatto che se è nota la F(x) di una
variabile è possibile ricavare un campione della
variabile aleatoria x semplicemente invertendo la F(x)
e generando un set di valori compresi tra 0 e 1
di una variabile aleatoria U uniformemente distribuita
(trasformazione dell’integrale di probabilità)
Es: la F(x) è una esponenziale
di parametro λ
F(x ) = 1 − e − λx
1
x = − ln[1 − U]
λ
F(U) ≈ Uniforme(0,1)
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I modelli stocastici A-D
METODI MONTE CARLO
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Data la sua natura numerica, affinché il metodo Monte
Carlo sia in grado di fornire risultati accurati e
consistenti occorre fissare l’attenzione su due aspetti
dell’implementazione del metodo:
• La dimensione e il numero di campioni da generare
• La generazione dei numeri casuali U(0,1)
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I modelli stocastici A-D
METODI MONTE CARLO
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Se la simulazione Monte Carlo viene utilizzata per determinare la
probabilità p con cui si verifica un evento, occorre determinare la
dimensione N del campione in maniera tale da avere una sufficiente
accuratezza nella stima di p
Se n indica un numero osservato di occorrenze all’interno del campione di
numerosità N, uno stimatore di p risulta essere n/N.
Se le realizzazione sono indipendenti, n risulta essere una variabile
distribuita secondo una binomiale con parametri N e p
L’errore standard di stima di p risulta essere:
σ pˆ =
p(1 − p )
N
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I modelli stocastici A-D
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METODI MONTE CARLO
Affinché i limiti di confidenza
(1-α) siano minori o uguali di
un errore percentuale ε di p la
dimensione N del campione
generato deve soddisfare la
relazione:
N ≥=
zα2 2 (1 − p)
ε2 p
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I modelli stocastici A-D
METODI MONTE CARLO
Esempio : generazione numeri casuali estratti dalla distribuzione GEV
I massimi annuali di portata al colmo del F. Oreto registrati alla stazione
di Ponte Parco sono distribuiti secondo una GEV con parametri κ = 5.189, u = 63.5 m3/s, ed α = 0.023 s/m3
]
[
300
]
3
[
κ
1 − (− ln U )1 κ
α
5.189
x = 6 3 .5 −
1 − (− ln U )− 0.193
0.023
x =u+
Q (m /s)
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400
200
100
10 simulazioni di numerosità N = 57
sono state effettuate e riportate in
carta probabilistica di Gumbel
0
-2
-1
0
1
2
variabile ridotta, y
3
4
5
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I modelli stocastici A-D
METODI MONTE CARLO
Esempio struttura
modello stocastico A-D
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Generatore numeri
casuali
Modello stocastico precipitazioni
(generazione ietogrammi sintetici
di assegnata frequenza)
Modello stocastico
piogge effettive
(distribuzione precipitazioni
effettive condizionata sulle
condizioni del bacino)
Uso del suolo, condizioni
di saturazione del bacino
No isofrequenza
Modellazione
risposta idrologica
Modello stocastico
trasferimento deflussi
(generazione Qmax)
Analisi inferenziale Qmax
(plotting position)
