A
Paolo Emilio Ricci
Tecniche operatoriali
polinomi e funzioni speciali
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I edizione: aprile
In memoria di
Rosalba Faraone Ricci
Vittoria Scialoja (2003) - Rosalba
Introduzione
Questo volume è dedicato all’esposizione di alcuni argomenti riguardanti
Polinomi e Funzioni speciali, seguendo uno schema espositivo sperimentato in
alcuni corsi da me svolti presso il Dipartimento di Matematica “Istituto Guido
Castelnuovo” dell’Università di Roma - Sapienza.
Nel Primo capitolo vengono presentati i Polinomi di Bell e alcune loro
applicazioni, la più importante delle quali senbra essere l’estensione delle
formule di Newton-Girard al caso di successioni, il che consente di ritrovare
ed estendere alcuni risultati relativi agli invarianti ortogonali degli operatori
compatti positivi.
Nel Secondo capitolo vengono introdotti i Polinomi di Lucas di prima e
seconda specie generalizzati e ne vengono mostrate possibili applicazioni. È
da notare il collegamento tra quelli di prima specie e le potenze di una matrice,
e quello immediato con i polinomi di Chebyshev (rispettivamente di prima e
seconda specie) in più variabili.
Il Terzo capitolo è dedicato a un’esposizione introduttiva dei metodi
operazionali, partendo da alcuni risultati contenuti in [20] - Cap.3.
Una
versione nelle lingue inglese e russa di tale lavoro è stata pubblicata dalla
rivista Contemporary Mathematics and its Applications - (Sovremennaya
Matermatika i ee Prilozheniya) (cfr. [36]).
I metodi operazionali si possono già rintracciare nelle opere di Eulero
e Lagrange, in relazione con la costruzione delle funzioni generatrici di
successioni numeriche.
iii
ix
x
Introduzione
G. Boole e O. Heaviside hanno successivamente osservato che il calcolo dei
polinomi in una indeterminata x ha un suo preciso riscontro con quello
delle equazioni alle differenze semplicemente cambiando xr con [x]r :=
x(x − 1)(x − 2)...(x − r + 1) e la derivata D con l’operatore Δ.
Tale tecnica è un esempio di calcolo umbrale, un termine inventato da J.J.
Sylvester, poiché l’esponente, ad esempio quello di xn , viene trasformato nella
sua “ombra”, che appare in pn (x). La notazione moderna, in questo campo,
è opera di E. Lucas. I metodi del calcolo umbrale sono stati resi rigorosi, più
recentemente, da Gian-Carlo Rota [38] - Cap. 3. Una ricostruzione storica,
relativa a questo argomento, si può trovare in [30] - Cap. 3.
Un uso estensivo di metodi operazionali è stato recentemente proposto, da
G. Dattoli e dai suoi collaboratori, in relazione allo studio di nuove classi di
funzioni speciali, che includono i casi multi-dimensionale e multi-indice. Fra
l’altro, l’uso dei metodi operazionali consente di costruire, in modo semplice,
soluzioni formali per una vasta classe di problemi di valori al contorno per
equazioni alle derivate parziali.
Nell’ultima parte del testo viene introdotto un isomorfismo differenziale che
consente la costruzione di vaste classi di nuove funzioni speciali, come è stato
mostrato in [8] - Cap. 3.
Il testo può essere utile agli studiosi di Fisica e di Ingegneria, che spesso si
trovano a fare uso di funzioni speciali, oltre ovvamente a quelli di Matematica
che vi possono trovare un approccio, talvolta inusuale, ad argomenti di generale
interesse.
Roma, Novembre 2014.
Paolo E. Ricci
iv
Indice
1 Polinomi di Bell e Applicazioni
1
1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Richiami sui polinomi di Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3 Il problema di Blissard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4 Generalizzazione delle formule di NewtonGirard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.5 Rappresentazione degli invarianti
ortogonali per un PCO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Le formule di Robert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Formule di riduzione per gli invarianti
ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7.1
Una semplice dimostrazione delle formule di
Robert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8 Un’estensione dei polinomi di Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9 Polinomi di Bell in due variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.10 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.10.1 Funzioni regolari implicitamente definite da una
equazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.10.2 Il problema di Cauchy per le equazioni
differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.11 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.11.1 I metodi di Rayleigh-Ritz e degli invarianti
ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
v
xi
xii
Indice
2 Polinomi di Lucas e di
Chebyshev in più variabili
31
2.1 Una formula di rappresentazione per le
funzioni analitiche di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 I polinomi di Lucas di prima e seconda
specie generalizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.1
Una formula di rappresentazione per le funzioni
Fk,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.2
La soluzione fondamentale - polinomi di Lucas
di seconda specie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.3
La soluzione primordiale - polinomi di Lucas
di prima specie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.4
Un esempio di applicazione dei polinomi di Lucas
di prima specie generalizzati . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Tecniche operatoriali e Funzioni
speciali
55
3.1 L’esponenziale di operatori differenziali . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1.1
Primi esempi di operatori di traslazione . . . . . . . . . . 55
3.1.2
Generalizzazione dei casi precedenti . . . . . . . . . . . . 57
3.1.3
Calcolo della ϕ(θ) in un caso particolare . . . . . . . . . 58
3.1.4
Esponenziali di somme di operatori . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Tecniche di disaccoppiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.1
Identità operatoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.2
La formula di Blissard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3 Polinomi di Hermite in due variabili . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3.1
Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3.2
Esponenziali di “secondo livello” . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3.3
Legami dei polinomi di Hermite in due variabili
con l’equazione del calore . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4 Altre funzioni elementari contenenti
l’operatore di derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
vi
