I NUMERI NATURALI
DEFINIAMO NUMERI NATURALI I NUMERI A CUI CORRISPONDE UN INSIEME.
0 (ZERO) INDICA LA QUANTITÀ DI ELEMENTI DELL’INSIEME VUOTO.
A = (ALUNNI DI 4ª A CON I CAPELLI ROSSI)
NESSUN ALUNNO HA I CAPELLI ROSSI QUINDI L’INSIEME È VUOTO.
1 (UNO) INDICA LA QUANTITÀ DI ELEMENTI DELL’INSIEME UNITARIO
B = (CLASSI CHE HANNO LA LIM)
SOLO LA 4ª A HA LA LIM QUINDI L’INSIEME È UNITARIO.
LA SERIE DEI NUMERI NATURALI PROCEDE AGGIUNGENDO UN ELEMENTO ALLA
QUANTITÀ PRECEDENTE.
IL SUCCESSORE DI 1 È 2 (DUE) IL SUCCESSORE DI 2 È 3 (TRE) E COSÌ VIA
ALL’INFINITO PERCHÉ PER QUANTO GRANDE SIA LA QUANTITÀ DI ELEMENTI
RAGGIUNTA POSSIAMO SEMPRE AGGIUNGERE UNO E POI ANCORA UNO …
NELL’INSIEME DEI NUMERI NATURALI (N) SONO SEMPRE POSSIBILI L’ADDIZIONE
E LA MOLTIPLICAZIONE SONO OPERAZIONI INTERNE ALL’INSIEME (N).
HANNO LA PROPRIETÀ COMMUTATIVA:
CAMBIANDO L’ORDINE DEGLI ADDENDI (ADDIZIONE)
(MOLTIPLICAZIONE) IL RISULTATO NON CAMBIA.
(7 + 5) = (5 +7) = 12
(7 X 5) = (5 X 7) = 35
O
DEI
FATTORI
LA PROPRIETÀ ASSOCIATIVA:
SE DEVO SOMMARE TRE O PIÙ NUMERI POSSO SOSTITUIRE DUE O PIÙ ADDENDI
CON LA LORO SOMMA.
SE DEVO MOLTIPLICARE TRE O PIÙ NUMERI POSSO SOSTITUIRE DUE O PIÙ
FATTORI CON IL LORO PRODOTTO.
(3 + 4 + 6 + 5) = 3 + (4 + 6) + 5 = 18
(2 X 3 X 4 X 5) = 2 X 3 X (4 X 5) = 120.
0 (ZERO) È L’ELEMENTO NEUTRO DELL’ADDIZIONE.
(7 + 0) = 7
(12 + 0) = 12 (0 + 9) = 9
1 (UNO) È L’ELEMENTO NEUTRO DELLA MOLTIPLICAZIONE.
(7 X 1) = 7 ( 9 X 1) = 9 (1 X 23) = 23
0 (ZERO) È L’ELEMENTO ASSORBENTE DELLA MOLTIPLICAZIONE ANNULLA IL
PRODOTTO.
(999 X 0) = 0 (0 X 2345) = 0
I NUMERI INTERI
LA SOTTRAZIONE NON È UN’OPERAZIONE INTERNA ALL’INSIEME (N) INFATTI È
POSSIBILE SOLO SE IL MINUENDO È MAGGIORE O UGUALE AL SOTTRAENDO.
PER ESEGUIRE LA SOTTRAZIONE SENZA CONDIZIONI È NECESSARIO
ALLARGARE IL CAMPO NUMERICO AGGIUNGENDO I NUMERI NEGATIVI.
(5 – 7)= -2 (MENO DUE) IL NUMERO -2 INDICA CHE MI MANCANO DUE ELEMENTI.
NON ESISTE UN INSIEME CHE INDICA LA QUANTITÀ -2
SULLA LINEA DEI NUMERI A DESTRA DELLO ZERO HO LA SERIE DEI NUMERI
INTERI POSITIVI:
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
+7
+1 +2 +3 … (DI SOLITO IL SEGNO + È SOTTOINTESO)
A SINISTRA DELLO ZERO HO LA SERIE DEI NUMERI NEGATIVI:
… -3 -2 -1
PER TROVARE IL SUCCESSORE DI UN NUMERO POSITIVO DEVO AGGIUNGERE 1
PER TROVARE IL SUCCESSORE DI UN NUMERO NEGATIVO DEVO TOGLIERE 1
L’INSIEME (Z) DEI NUMERI INTERI COMPRENDE I NUMERI NATURALI (ZERO PIÙ
INTERI POSITIVI) E GLI INTERI NEGATIVI.
LA SOTTRAZIONE È UN’OPERAZIONE INTERNA ALL’INSIEME (Z).
LA SOTTRAZIONE NON È COMMUTATIVA E NON È ASSOCIATIVA.
HA LA PROPRIETÀ INVARIANTIVA:
(7 – 5) = (7+3) – (5+3) = 2
(7- 5) = (7-3) – (5 -3) = 2
PER LA PROPRIETÀ INVARIANTIVA POSSO AGGIUNGERE O TOGLIERE UNA
STESSA QUANTITÀ AL MINUENDO E AL SOTTRAENDO SENZA CAMBIARE IL
RISULTATO.
LO ZERO È ELEMENTO NEUTRO SOLO A DESTRA.
(5-0)=5
(10-0)=10
(0-5)= -5 (0-10)= -1
I NUMERI RAZIONALI
NELL’INSIEME (N) LA DIVISIONE È POSSIBILE SOLO SE IL DIVIDENDO È UN
MULTIPLO DEL DIVISORE.
SE INVECE IL DIVISORE NON È CONTENUTO UN NUMERO ESATTO DI VOLTE NEL
DIVIDENDO IL RISULTATO NON È UN NUMERO INTERO.
(9:3)= 3
(7:3)= 2 RESTO 1 DIVIDO PER 3 IL RESTO
(1:3)= 1/3 (UN TERZO).
IL NUMERO 1/3 INDICA UNA PARTE DI UN INTERO QUINDI
(7:3)= 2+1/3
LA FRAZIONE 1/3 CORRISPONDE AL NUMERO DECIMALE 0,33 (È UN NUMERO
DECIMALE PERIODICO)
QUINDI (2+0,33)= 2,33.
DEFINIAMO NUMERI RAZIONALI L’INSIEME DEI NUMERI CHE POSSONO ESSERE
SCRITTI IN FORMA DI FRAZIONE.
LA DIVISIONE È UN’OPERAZIONE INTERNA ALL’INSIEME (Q) DEI NUMERI
RAZIONALI. NON È COMMUTATIVA E NON È ASSOCIATIVA.
HA LA PROPRIETÀ INVARIANTIVA:
(12:8)= (12X3):(8X3)= 1,5
(12:8)= (12:2):(8:2)= 1,5
POSSO MOLTIPLICARE O DIVIDERE PER UNO STESSO NUMERO SIA IL DIVIDENDO
SIA IL DIVISORE IL RISULTATO NON CAMBIA.
(25:1)= 25
(1:25)= 1/25 (0,04)
IL NUMERO 1 È ELEMENTO NEUTRO SOLO A DESTRA
(12 : 0) = [?]
NON ESISTE UN NUMERO CHE MOLTIPLICATO PER ZERO DIA PER RISULTATO 12
(O UN QUALSIASI ALTRO NUMERO DIVERSO DA ZERO)
(0 : 0) = [?] IMPOSSIBILE (TUTTI I NUMERI MOLTIPLICATI PER ZERO DANNO ZERO
COME RISULTATO)
(0:8)= 0 ZERO DIVISO PER QUALSIASI NUMERO DIVERSO DA ZERO FA ZERO
(QUALSIASI NUMERO MOLTIPLICATO PER ZERO = 0)
SISTEMI DI NUMERAZIONE
IL NOSTRO SISTEMA DI NUMERAZIONE È UN SISTEMA POSIZIONALE A BASE 10.
QUESTO SIGNIFICA CHE, PER CONTARE, UTILIZZIAMO DIECI CIFRE:
0-1-2-3-4-5-6-7-8-9
E CHE QUESTE CIFRE ASSUMONO UN VALORE DIVERSO SECONDO LA
POSIZIONE IN CUI LE SCRIVIAMO.
SE SCRIVIAMO AD ESEMPIO IL NUMERO 301 O IL NUMERO 103 USIAMO LE
STESSE CIFRE, MA CAMBIA IL LORO VALORE; NEL PRIMO NUMERO IL 3 INDICA LE
CENTINAIA (TRECENTO) LO 0 INDICA LE DECINE (ZERO) L’1 INDICA LE UNITÀ
(UNO); NEL SECONDO NUMERO L’1 INDICA LE CENTINAIA (CENTO) LO 0 INDICA LE
DECINE (ZERO) IL 3 INDICA LE UNITÀ (TRE).
LO ZERO IN ENTRAMBI I NUMERI SERVE AD OCCUPARE UNA POSIZIONE, SENZA
LO ZERO LEGGEREMMO 31 IL PRIMO E 13 IL SECONDO.
I SISTEMI DI NUMERAZIONE ANTICHI ERANO QUASI TUTTI SISTEMI ADDITIVI A
BASE 10 IL NUMERO 301 (TRECENTOUNO)
PER GLI ANTICHI ROMANI ERA CCCI ( TRE DA CENTO PIÙ UNO)
IL NUMERO 103 (CENTOTRE) ERA CIII (UNO DA CENTO PIÙ TRE DA UNO).
ESISTONO SISTEMI DI NUMERAZIONE NON IN BASE 10, AD ESEMPIO CONTIAMO I
MINUTI E I SECONDI IN BASE 60 (COME GLI ANTICHI SUMERI).
IL SISTEMA OPERATIVO DEI COMPUTER INVECE FUNZIONA CONTANDO IN BASE 2
UTILIZZA SOLO 2 CIFRE: 0-1.
UNO
UNO ZERO
BASE2
DUE
UNO UNO
BASE2
UNO ZERO ZERO
BASE2
TRE
QUATTRO
UNO ZERO UNO
BASE2
CINQUE
UNO UNO ZERO
BASE2
SEI
UNO UNO UNO
BASE2
SETTE
UNO ZERO ZERO ZERO
BASE2
OTTO
UNA NUOVA OPERAZIONE: L’ELEVAZIONE A POTENZA.
ABBIAMO DETTO CHE IL NOSTRO SISTEMA DI NUMERAZIONE È POSIZIONALE A
BASE 10. QUESTO SIGNIFICA CHE LE CIFRE ASSUMONO UN VALORE DIVERSO
CHE DIPENDE DALLA LORO POSIZIONE.
CENTINAIA DI
DECINE DI
MIGLIAIA
MIGLIAIA
10X10X10X10X10 10X10X10X10
100000
10000
MIGLIAIA
CENTINAIA
DECINE
UNITÀ
10X10X10
1000
10X10
100
10
10
1
1
PER SCRIVERE NUMERI MOLTO GRANDI SI USA LA SCRITTURA ESPONENZIALE.
10 È LA BASE, L’ESPONENTE INDICA QUANTE VOLTE HO MOLTIPLICATO LA BASE
PER SE STESSA.
102 (SI LEGGE DIECI ALLA SECONDA)
10 È LA BASE, 2 (SCRITTO IN APICE) È L’ESPONENTE
CHE INDICA QUANTE VOLTE HO MOLTIPLICATO LA BASE PER SE STESSA.
102 = 10X10 = 100
103 = 10X10X 10 = 1000
E COSÌ VIA … 1012 INDICA UN 1 SEGUITO DA 12 ZERI 1.000.000.000.000
109
MILIARDI
108
107
106
MILIONI
105
HK
104
DAK
103
K
102
H
101
DA
100
U
QUESTA OPERAZIONE SI CHIAMA ELEVAZIONE A POTENZA, È POSSIBILE
ELEVARE A POTENZA QUALSIASI NUMERO, QUANDO ABBIAMO CONTATO IN BASE
2 I GRUPPI INDICAVANO LE POTENZE DEL NUMERO 2.
24 = 2X2X2X2 = 16
26 = 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 2 = 64
CONTANDO IN BASE 5 ABBIAMO LE POTENZE DEL NUMERO 5
53 = 5 X 5 X 5 = 125
QUALSIASI NUMERO ELEVATO A ZERO = 1
50 = 1
20 = 1
QUALSIASI NUMERO ELEVATO A 1 È UGUALE A SE STESSO
51 = 5
- 21 = 2
OPERAZIONI CON LE POTENZE
L’ELEVAZIONE A POTENZA HA LA PRECEDENZA SULLE ALTRE OPERAZIONI.
ADDIZIONI E SOTTRAZIONI TRA POTENZE:
DEVO CALCOLARE LA POTENZA E POI ESEGUIRE L’OPERAZIONE
23 + 2 4 – 32 =
= 8 +16 – 9 =15
MOLTIPLICAZIONI E DIVISIONI SE LE BASI SONO DIVERSE DEVO CALCOLARE LA
POTENZA E POI ESEGUIRE L’OPERAZIONE
32 X 2 5 : 42 =
= 9 X 32 : 16 =
= 288 :16 = 18
SE LE BASI SONO UGUALI PER ESEGUIRE LE MOLTIPLICAZIONI O LE DIVISIONI
POSSO SOMMARE O FARE LA DIFFERENZA TRA GLI ESPONENTI
23 X25 = 23+5 = 28 = 256
INFATTI
8 X 32 = 256
35 : 33 = 35-3 = 32 = 9
INFATTI
243 : 27 = 9
ELEVAZIONE A POTENZA
SE DEVO FARE LA POTENZA DI UNA POTENZA POSSO MOLTIPLICARE TRA LORO
GLI ESPONENTI
(23)2 = 2 3X2 = 26 = 64
INFATTI
8 2 = 64
4
10
10000
DECIMI
CENTESIMI
MILLESIMI
NOTAZIONE ESPONENZIALE BASE 10
10
102
101
100
10-1
10-2
1000
100
10
1
0,1
0,01
3
102 : 103 = 10-1
100 : 102 = 10-2
102 : 105 = 10-3
1/10
1/100
1/1000
10-3
0,001
0,1
0,01
0,001
NUMERI PRIMI E NUMERI COMPOSTI
CONSIDERIAMO LA SERIE DEI NUMERI NATURALI:
0–1–2–3–4–5–6–7–8–9…
ALCUNI NUMERI POSSONO ESSERE DIVISI SOLO PER SE STESSI E PER L’UNITÀ.
ALTRI INVECE HANNO MOLTI DIVISORI.
6 È DIVISIBILE PER 2 E PER 3
30 È DIVISIBILE PER 2 PER 3 E PER 5
8 È DIVISIBILE PER 23 (2X2X2)
2 È DIVISIBILE SOLO PER 2 E PER 1
3 È DIVISIBILE SOLO PER 3 E PER 1
I NUMERI CHE HANNO COME DIVISORI SOLO SE STESSI L’UNITÀ SONO I NUMERI
PRIMI, QUELLI CHE INVECE AMMETTONO ALTRI DIVISORI SONO NUMERI
COMPOSTI.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
PER TROVARE I NUMERI PRIMI ABBIAMO USATO UN METODO INVENTATO DA UN
MATEMATICO GRECO VISSUTO CIRCA 2200 ANNI FA.
PRIMA ABBIAMO TOLTO TUTTI I MULTIPLI DI 2 (NUMERI PARI) POI I MULTIPLI DI 3
POI QUELLI DI 5 E COSÌ VIA.
SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI
TUTTI I NUMERI COMPOSTI POSSONO ESSERE SCOMPOSTI IN FATTORI PRIMI IN
QUESTO MODO:
324
2
162
2
81
3
27
3
9
3
3
3
1
324
=
2
X
2
X
3
X
3
X
3
X
3
324
=
2
2
X
3
342
2
171
3
57
3
19
19
4
1
342
=
2
X
3
2
X
19
OPERAZIONI CON LE FRAZIONI
ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
PER ESEGUIRE UNA SOMMA O UNA DIFFERENZA TRA FRAZIONI CHE HANNO LO
STESSO DENOMINATORE DEVO FARE LA SOMMA O LA DIFFERENZA TRA I
NUMERATORI
2/7+3/7=5/7
3/5-2/5=1/5
SE LE FRAZIONI HANNO DENOMINATORI DIVERSI DEVO APPLICARE LA
PROPRIETÀ INVARIANTIVA PER TROVARE FRAZIONI EQUIVALENTI CON LO
STESSO DENOMINATORE.
2/6+3/15=
2/6->4/12->6/18->8/24->10/30
3/15->6/30
10/30+6/30=16/30
3/5-3/15=
3/5->6/10->9/15
9/15-3/15=6/15
MOLTIPLICAZIONE
PER MOLTIPLICARE TRA LORO 2 FRAZIONI DEVO MOLTIPLICARE TRA LORO I
NUMERATORI E I DENOMINATORI
2/3X3/4=6/12
DIVISIONI
12/9:4/3=3/3
IN QUESTO CASO POSSO DIVIDERE NUMERATORE CON NUMERATORE E
DENOMINATORE CON DENOMINATORE.
16/9:8/5=
PER ESEGUIRE QUESTA DIVISIONE DEVO MOLTIPLICARE LA PRIMA FRAZIONE
PER L’INVERSO DELLA SECONDA. (COME FACEVANO GLI ANTICHI EGIZI PER
ESEGUIRE LE DIVISIONI)
16/9X5/8=80/72
OPPOSTO E INVERSO DI UN NUMERO
NELL’INSIEME DEI NUMERI INTERI L’OPPOSTO DI UN NUMERO (A) È UN NUMERO
(B) TALE CHE (A+B)=0 QUINDI (A) SOMMATO AL SUO OPPOSTO (B) DÀ COME
RISULTATO L’ELEMENTO NEUTRO.
(+2) + (-2) = 0
(-5) + (+5) = 0
L’OPPOSTO DI UN NUMERO È LO STESSO NUMERO CAMBIATO DI SEGNO. (
STESSO VALORE ASSOLUTO SEGNO DIVERSO)
NELL’INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI L’INVERSO (O RECIPROCO) DI UN NUMERO
(A) È UN NUMERO (B) TALE CHE (A X B) = 1 QUINDI (B) MOLTIPLICATO PER IL SUO
INVERSO (B) DÀ COME RISULTATO L’ELEMENTO NEUTRO.
(2/1 X 1/2) = 1
-(3/1) X –(1/3) = 1
ZERO NON HA UN INVERSO, INFATTI NESSUN NUMERO MOLTIPLICATO PER ZERO
DÀ COME RISULTATO 1.
LE PROPORZIONI
IERI ABBIAMO CALCOLATO CON EXCEL LE PERCENTUALI DI MASCHI E DI
FEMMINE DELLE CLASSI QUARTE.
PER CALCOLARE QUESTE PERCENTUALI ABBIAMO IMPOSTATO UNA
PROPORZIONE:
IL RAPPORTO TRA IL NUMERO DEI MASCHI (O DELLE FEMMINE) E IL NUMERO
TOTALE DI ALUNNI DI UNA CLASSE È UGUALE AL RAPPORTO TRA X
(PERCENTUALE) E 100.
NUM.MASCHI STA AL NUM.TOT.ALUNNI COME X STA A 100.
15 : 26 = X : 100
QUINDI
15 : 26 = 0,57
X :100 = 0,57 X = 0,57X100 = 57
OPERAZIONI FATTE
15 : 26 X 100
OPPURE
15 X 100 :26
REGOLA MOLTIPLICO TRA LORO GLI ESTREMI E DIVIDO IL RISULTATO PER IL
CENTRALE CHE CONOSCO.
(IL PRODOTTO DEGLI ESTREMI È UGUALE A QUELLO DEI CENTRALI)
15 X 100 = (X) X 26
DIVISIONI
PER FARE IN COLONNA UNA DIVISIONE CON UN DIVISORE DECIMALE DEVO
APPLICARE LA PROPRIETÀ INVARIANTIVA IN MODO DA FAR DIVENTARE IL
DIVISORE UN NUMERO INTERO.
( 63 : 0,7 ) =
63X10:0,7X10=
630:7=
H
DA
U
6
3
0
6
3
7
9
0
90
0
0
CON LE FRAZIONI POSSO MOLTIPLICARE IL PRIMO NUMERO (DIVIDENDO) PER
L’INVERSO DEL SECONDO (DIVISORE)
63
1
:
7
10
=
63
1
X
10
7
=
630
=
7
I NUMERI IRRAZIONALI
ALLARGHIAMO IL CAMPO NUMERICO: L’OPERAZIONE INVERSA ALL’ELEVAZIONE A
POTENZA.
22 = 2X2 = 4
L’OPERAZIONE INVERSA ALL’ELEVAZIONE A POTENZA È L’ESTRAZIONE DI
RADICE (IN QUESTO CASO RADICE QUADRATA)
90
1
PER CALCOLARE LA RADICE QUADRATA DI 4 DEVO TROVARE IL NUMERO CHE
MOLTIPLICATO PER SE STESSO DIA COME RISULTATO 4.
QUESTO NUMERO È 2 2√4 = 2
23 = 2X2X2 = 8 3√8 = 2
SERIE DEI NUMERI AL QUADRATO
0 – 1 – 4 – 9 – 16 – 25 – 36 – 49 – 64 – 81- ………….
VOLENDO CALCOLARE LA RADICE QUADRATA DI DUE AVREMO COME RISULTATO
UN NUMERO MAGGIORE DI 1 E MINORE DI 2
1< 2√2 < 2
1,5
2,25
1,4
1,96
1,41
1,9881
1,42
2,0164
1,415
2,002225
1,414
1,999396
1,4142
1,9999616
1,4143
2,0002445
AUMENTANDO IL NUMERO DELLE CIFRE DECIMALI CI AVVICINIAMO A 2 SENZA
MAI ARRIVARCI.
2
√2 È UN NUMERO CHE HA UN NUMERO INFINITO DI CIFRE DECIMALI, QUESTO
ACCADRÀ CON TUTTI I NUMERI CHE NON SONO DEI “QUADRATI PERFETTI”.
SERIE DEI NUMERI ELEVATI AL CUBO (TERZA POTENZA)
0 – 1 – 8 – 27 – 64 – 125 – 216 – 343 – 512 – 729 - ...
2< 3√25 < 3
ANCHE IN QUESTO CASO IL RISULTATO SARÀ UN NUMERO DECIMALE CON
INFINITE CIFRE DECIMALI.
UN NUMERO CHE HA INFINITE CIFRE DECIMALI NON PUÒ ESSERE SCRITTO IN
FORMA DI FRAZIONE QUINDI NON È UN NUMERO RAZIONALE.
