Ordine e caos nel sistema solare
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Introduzione Pillole di teoria dei sistemi dinamici E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze Ordine e caos nel sistema solare Ugo Locatelli Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Roma “Tor Vergata” 15 febbraio 2017 Introduzione Pillole di teoria dei sistemi dinamici E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze Prima della formulazione della legge di gravitazione universale L’astronomia antica A sinistra: moto apparente retrogrado, tipico dei pianeti. A destra: rappresentazione delle sfere celesti e del modello geocentrico tolemaico (medioevo). A sinistra: schema dell’approssimazione delle orbite di un pianeta tramite epicicli. A destra: ricostruzione moderna del “planetario di Antikythera” (150–100 a.C.). I grandi successi dell’astronomia “descrittiva” dell’antichità: Predizioni accurate delle eclissi, cicli lunari, moti planetari (tramite epicicli), etc. Introduzione Pillole di teoria dei sistemi dinamici E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze Prima della formulazione della legge di gravitazione universale Le comete e l’astronomia antica: una relazione controversa Fenomeni estemporanei (anche se ripetitivi) come i passaggi delle comete non erano compresi nel modello tolemaico. L’apparizione delle comete generava varie credenze ed era associata all’imminenza di disordini sociali o politici. A destra: il passaggio della cometa di Halley nel 1066, come rappresentato nell’arazzo di Bayeux. Introduzione Pillole di teoria dei sistemi dinamici E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze Dalla formulazione della legge di gravitazione universale fino alla nascita della teoria del caos (solo cenni) Nascita dell’astronomia e della meccanica celeste moderne: Keplero e Newton Introduzione Pillole di teoria dei sistemi dinamici E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze Dalla formulazione della legge di gravitazione universale fino alla nascita della teoria del caos (solo cenni) Dal dibattito scientifico-filosofico (sec. XVIII–XIX) Newton vs. Leibniz Per evitare la destabilizzazione del sistema per le mutue interazioni gravitazionali tra i pianeti, Newton richiedeva il continuo intervento divino; come se Dio fosse un “grande orologiaio”, nelle critiche di Leibniz, per cui il disegno divino iniziale era invece perfetto. Laplace era un sostenitore del determinismo causale da J. Laskar: “M. Hénon . . .”, arxiv.org Introduzione Pillole di teoria dei sistemi dinamici E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze Dalla formulazione della legge di gravitazione universale fino alla nascita della teoria del caos (solo cenni) Poincaré e la nascita della teoria del caos Poincaré spiegò la dinamica delle varietà stabile e instabile nei pressi di un punto omoclino (in una zona risonante). Lo stesso meccanismo può trasferire i corpi celesti (minori) su traiettorie di collisione con i pianeti. Introduzione Pillole di teoria dei sistemi dinamici E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze Comprendere e definire il caos in semplici sistemi dinamici Studio numerico di un semplice esempio: il pendolo forzato Equazioni del moto ẍ = ! 2 sin x + " cos(⌦t) 2 dove ! = g /l =) ⇢ ẋ = v v̇ = f (x, t) Integrazione numerica – metodo di Eulero x(t0 + h) ' x(t0 ) + hv (t0 ) v (t0 + h) ' v (t0 ) + hf x(t0 ), t0 Si pone t1 = t0 + h , t2 = t0 + h . . . e si ripete il calcolo sostituendo t0 con t1 , t2 . . . Mappe di Poincaré Si traccia un punto ogni volta che la forzante compie un periodo, cioè a intervalli di tempo regolari e uguali a 2⇡/⌦ . Introduzione Pillole di teoria dei sistemi dinamici E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze Comprendere e definire il caos in semplici sistemi dinamici Mappe di Poincaré per il pendolo Situazioni ordinate in assenza di forzante Il caso del pendolo senza forzante Valori dei parametri: p ! = 1, ⌦ = 2, " = 0. Osservazione: nel piano (x, v ) , i punti si dispongono sulle curve a energia costante 1 2 2 v + U(x) = E , con energia potenziale U(x) = cos x . Introduzione Pillole di teoria dei sistemi dinamici E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze Comprendere e definire il caos in semplici sistemi dinamici Mappe di Poincaré per il pendolo forzato Situazioni ordinate per orbite di librazione Pendolo forzato Valori dei parametri: p ! = 1 , ⌦ = 2 , " = 0.05 . Figura superiore Grafico di 1000 punti generati dalle iterazioni a partire da due condizioni iniziali vicine una all’altra. Figura inferiore Grafico (semi–logaritmico) dell’andamento della distanza tra le orbite in funzione del numero di iterazioni. Introduzione Pillole di teoria dei sistemi dinamici E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze Comprendere e definire il caos in semplici sistemi dinamici Mappe di Poincaré per il pendolo forzato Situazioni ordinate per orbite di rotazione Pendolo forzato Valori dei parametri: p ! = 1 , ⌦ = 2 , " = 0.05 . Figura superiore Grafico di 1000 punti generati dalle iterazioni a partire da due condizioni iniziali vicine una all’altra. Figura inferiore Grafico (semi–logaritmico) dell’andamento della distanza tra le orbite in funzione del numero di iterazioni. Introduzione Pillole di teoria dei sistemi dinamici E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze Comprendere e definire il caos in semplici sistemi dinamici Mappe di Poincaré per il pendolo forzato Situazioni caotiche per orbite nei pressi delle separatrici Pendolo forzato Valori dei parametri: p ! = 1 , ⌦ = 2 , " = 0.05 . Figura superiore Grafico di 1000 punti generati dalle iterazioni a partire da due condizioni iniziali vicine una all’altra. Figura inferiore Grafico (semi–logaritmico) dell’andamento della distanza tra le orbite in funzione del numero di iterazioni. Introduzione Pillole di teoria dei sistemi dinamici E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze Comprendere e definire il caos in semplici sistemi dinamici Mappe di Poincaré per il pendolo forzato: riassunto Osservazione Le orbite che non si dispongono su una curva unidimensionale sono quelle ai “bordi” delle risonanze, dove esse si allontanano in modo esponenzialmente veloce le une dalle altre. Definizione (approssimativa) di caos Comportamento non-periodico in un sistema deterministico che esibisce una dipendenza estremamente sensibile dai dati iniziali, cioè la distanza d(t) tra due orbite vicine segue una legge del tipo d(t) = d(0) e t . Conseguentemente, il sistema diventa rapidamente impredicibile quando il tempo t è superiore al tempo di Lyapunov 1/ . Introduzione Pillole di teoria dei sistemi dinamici E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze Comprendere e definire il caos in semplici sistemi dinamici Sistemi caotici nella nostra vita quotidiana Introduzione Pillole di teoria dei sistemi dinamici E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze Distribuzione della popolazione degli asteroidi Una semplice descrizione complessiva del sistema solare I pianeti del sistema solare e alcuni suoi corpi minori, ordinati a seconda della loro distanza dal Sole. Descrizione dettagliata della parte interna (a Giove) del sistema solare, ivi incluse le posizioni istantanee di molti asteroidi. Introduzione Pillole di teoria dei sistemi dinamici E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze Distribuzione della popolazione degli asteroidi Risonanze e asteroidi: le lacune di Kirkwood A sinistra: confronto di forme dei 10 asteroidi maggiori. A destra: confronto tra le dimensioni della luna e dei primi 10 asteroidi scoperti. In alto (A. Giorgilli, webpage) A sinistra: istogramma della popolazione degli asteroidi con i dati a disposizione di Kirkwood nel 1866. A destra: con i dati disponibili nel 1884. In basso (A. Giorgilli, webpage) Come sopra, basandosi sulle osservazioni fino al 2006. Introduzione Pillole di teoria dei sistemi dinamici E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze Evouzione recente del sistema solare e scenari della sua formazione nel lontano passato Astronomia e teoria del (paleo)clima Teoria dei cicli di Milanković L’insolazione annua media della Terra dipende dall’eccentricità orbitale. Elementi orbitali della Terra nel passato In Laskar et al. (2010), si mostra che l’eccentricità è praticamente impredicibile in tempi precedenti i 60 milioni di anni fa. Introduzione Pillole di teoria dei sistemi dinamici E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze Evouzione recente del sistema solare e scenari della sua formazione nel lontano passato Studio dei meccanismi di formazione del sistema solare =) Nice model (Morbidelli, Levison, Tsiganis et al.) Il Nice model fornisce uno scenario di formazione dell’evoluzione che avrebbe avuto il nostro sistema planetario nei primi due miliardi di anni, dalla formazione dei pianeti giganti (Giove, Saturno, Urano, Nettuno) fino alla configurazione attuale. Questo scenario è in accordo con la datazione di molti crateri sulla superficie dei pianeti, la comparsa dell’acqua sulla Terra, la popolazione degli asteroidi Trojani, etc. Si veda la prossima animazione presa dal sito http://planet-terre.ens-lyon.fr/ article/morbidelli-2005-conf.xml (su permesso dell’autore, A. Morbidelli). Introduzione Pillole di teoria dei sistemi dinamici Evouzione recente del sistema solare e scenari della sua formazione nel lontano passato E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze
