Ordine e caos nel sistema solare

Introduzione
Pillole di teoria dei sistemi dinamici
E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze
Ordine e caos
nel sistema solare
Ugo Locatelli
Dipartimento di Matematica,
Università degli Studi di Roma “Tor Vergata”
15 febbraio 2017
Introduzione
Pillole di teoria dei sistemi dinamici
E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze
Prima della formulazione della legge di gravitazione universale
L’astronomia antica
A sinistra: moto apparente
retrogrado, tipico dei pianeti.
A destra: rappresentazione delle
sfere celesti e del modello
geocentrico tolemaico (medioevo).
A sinistra: schema
dell’approssimazione delle orbite di
un pianeta tramite epicicli.
A destra: ricostruzione moderna del
“planetario di Antikythera”
(150–100 a.C.).
I grandi successi dell’astronomia “descrittiva” dell’antichità:
Predizioni accurate delle eclissi, cicli lunari, moti planetari (tramite
epicicli), etc.
Introduzione
Pillole di teoria dei sistemi dinamici
E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze
Prima della formulazione della legge di gravitazione universale
Le comete e l’astronomia antica: una relazione controversa
Fenomeni estemporanei (anche se
ripetitivi) come i passaggi delle
comete non erano compresi nel
modello tolemaico.
L’apparizione delle comete generava
varie credenze ed era associata
all’imminenza di disordini sociali o
politici. A destra: il passaggio della
cometa di Halley nel 1066, come
rappresentato nell’arazzo di Bayeux.
Introduzione
Pillole di teoria dei sistemi dinamici
E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze
Dalla formulazione della legge di gravitazione universale fino alla nascita della teoria del caos (solo cenni)
Nascita dell’astronomia e della meccanica celeste moderne:
Keplero e Newton
Introduzione
Pillole di teoria dei sistemi dinamici
E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze
Dalla formulazione della legge di gravitazione universale fino alla nascita della teoria del caos (solo cenni)
Dal dibattito scientifico-filosofico (sec. XVIII–XIX)
Newton vs. Leibniz
Per evitare la destabilizzazione del
sistema per le mutue interazioni
gravitazionali tra i pianeti, Newton
richiedeva il continuo intervento divino;
come se Dio fosse un “grande
orologiaio”, nelle critiche di Leibniz, per
cui il disegno divino iniziale era invece
perfetto.
Laplace era un sostenitore
del determinismo causale
da J. Laskar: “M. Hénon . . .”, arxiv.org
Introduzione
Pillole di teoria dei sistemi dinamici
E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze
Dalla formulazione della legge di gravitazione universale fino alla nascita della teoria del caos (solo cenni)
Poincaré e la nascita della teoria del caos
Poincaré spiegò la dinamica delle varietà stabile e instabile nei pressi di
un punto omoclino (in una zona risonante). Lo stesso meccanismo può
trasferire i corpi celesti (minori) su traiettorie di collisione con i pianeti.
Introduzione
Pillole di teoria dei sistemi dinamici
E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze
Comprendere e definire il caos in semplici sistemi dinamici
Studio numerico di un semplice esempio: il pendolo forzato
Equazioni del moto
ẍ =
! 2 sin x + " cos(⌦t)
2
dove ! = g /l
=)
⇢
ẋ = v
v̇ = f (x, t)
Integrazione numerica – metodo di Eulero
x(t0 + h) ' x(t0 ) + hv (t0 )
v (t0 + h) ' v (t0 ) + hf x(t0 ), t0
Si pone t1 = t0 + h , t2 = t0 + h . . . e si
ripete il calcolo sostituendo t0 con t1 , t2 . . .
Mappe di Poincaré
Si traccia un punto ogni volta che la
forzante compie un periodo, cioè a intervalli
di tempo regolari e uguali a 2⇡/⌦ .
Introduzione
Pillole di teoria dei sistemi dinamici
E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze
Comprendere e definire il caos in semplici sistemi dinamici
Mappe di Poincaré per il pendolo
Situazioni ordinate in assenza di forzante
Il caso del pendolo
senza forzante
Valori dei parametri:
p
! = 1, ⌦ = 2, " = 0.
Osservazione:
nel piano (x, v ) , i punti si
dispongono sulle curve
a energia costante
1 2
2 v + U(x) = E ,
con energia potenziale
U(x) = cos x .
Introduzione
Pillole di teoria dei sistemi dinamici
E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze
Comprendere e definire il caos in semplici sistemi dinamici
Mappe di Poincaré per il pendolo forzato
Situazioni ordinate per orbite di librazione
Pendolo forzato
Valori dei parametri:
p
! = 1 , ⌦ = 2 , " = 0.05 .
Figura superiore
Grafico di 1000 punti
generati dalle iterazioni
a partire da due condizioni
iniziali vicine una all’altra.
Figura inferiore
Grafico (semi–logaritmico)
dell’andamento della distanza
tra le orbite in funzione
del numero di iterazioni.
Introduzione
Pillole di teoria dei sistemi dinamici
E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze
Comprendere e definire il caos in semplici sistemi dinamici
Mappe di Poincaré per il pendolo forzato
Situazioni ordinate per orbite di rotazione
Pendolo forzato
Valori dei parametri:
p
! = 1 , ⌦ = 2 , " = 0.05 .
Figura superiore
Grafico di 1000 punti
generati dalle iterazioni
a partire da due condizioni
iniziali vicine una all’altra.
Figura inferiore
Grafico (semi–logaritmico)
dell’andamento della distanza
tra le orbite in funzione
del numero di iterazioni.
Introduzione
Pillole di teoria dei sistemi dinamici
E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze
Comprendere e definire il caos in semplici sistemi dinamici
Mappe di Poincaré per il pendolo forzato
Situazioni caotiche per orbite nei pressi delle separatrici
Pendolo forzato
Valori dei parametri:
p
! = 1 , ⌦ = 2 , " = 0.05 .
Figura superiore
Grafico di 1000 punti
generati dalle iterazioni
a partire da due condizioni
iniziali vicine una all’altra.
Figura inferiore
Grafico (semi–logaritmico)
dell’andamento della distanza
tra le orbite in funzione
del numero di iterazioni.
Introduzione
Pillole di teoria dei sistemi dinamici
E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze
Comprendere e definire il caos in semplici sistemi dinamici
Mappe di Poincaré per il pendolo forzato: riassunto
Osservazione
Le orbite che non si
dispongono su una curva
unidimensionale sono quelle
ai “bordi” delle risonanze,
dove esse si allontanano in
modo esponenzialmente
veloce le une dalle altre.
Definizione (approssimativa) di caos
Comportamento non-periodico in un sistema deterministico che esibisce
una dipendenza estremamente sensibile dai dati iniziali, cioè la distanza
d(t) tra due orbite vicine segue una legge del tipo
d(t) = d(0) e
t
.
Conseguentemente, il sistema diventa rapidamente impredicibile quando
il tempo t è superiore al tempo di Lyapunov 1/ .
Introduzione
Pillole di teoria dei sistemi dinamici
E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze
Comprendere e definire il caos in semplici sistemi dinamici
Sistemi caotici nella nostra vita quotidiana
Introduzione
Pillole di teoria dei sistemi dinamici
E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze
Distribuzione della popolazione degli asteroidi
Una semplice descrizione complessiva del sistema solare
I pianeti del sistema
solare e alcuni suoi
corpi minori, ordinati
a seconda della loro
distanza dal Sole.
Descrizione dettagliata della parte
interna (a Giove) del sistema solare,
ivi incluse le posizioni istantanee di
molti asteroidi.
Introduzione
Pillole di teoria dei sistemi dinamici
E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze
Distribuzione della popolazione degli asteroidi
Risonanze e asteroidi: le lacune di Kirkwood
A sinistra: confronto
di forme dei 10
asteroidi maggiori.
A destra: confronto
tra le dimensioni della
luna e dei primi 10
asteroidi scoperti.
In alto (A. Giorgilli, webpage)
A sinistra: istogramma della
popolazione degli asteroidi con i
dati a disposizione di Kirkwood
nel 1866.
A destra: con i dati disponibili
nel 1884.
In basso (A. Giorgilli, webpage)
Come sopra, basandosi sulle
osservazioni fino al 2006.
Introduzione
Pillole di teoria dei sistemi dinamici
E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze
Evouzione recente del sistema solare e scenari della sua formazione nel lontano passato
Astronomia e teoria del (paleo)clima
Teoria dei cicli di Milanković
L’insolazione annua media della
Terra dipende dall’eccentricità
orbitale.
Elementi orbitali della Terra nel passato
In Laskar et al. (2010), si mostra che
l’eccentricità è praticamente impredicibile
in tempi precedenti i 60 milioni di anni fa.
Introduzione
Pillole di teoria dei sistemi dinamici
E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze
Evouzione recente del sistema solare e scenari della sua formazione nel lontano passato
Studio dei meccanismi di formazione del sistema solare
=)
Nice model (Morbidelli, Levison, Tsiganis et al.)
Il Nice model fornisce uno scenario di formazione dell’evoluzione che
avrebbe avuto il nostro sistema planetario nei primi due miliardi di anni,
dalla formazione dei pianeti giganti (Giove, Saturno, Urano, Nettuno)
fino alla configurazione attuale.
Questo scenario è in accordo con la datazione di molti crateri sulla
superficie dei pianeti, la comparsa dell’acqua sulla Terra, la popolazione
degli asteroidi Trojani, etc. Si veda la prossima animazione presa dal sito
http://planet-terre.ens-lyon.fr/
article/morbidelli-2005-conf.xml
(su permesso dell’autore, A. Morbidelli).
Introduzione
Pillole di teoria dei sistemi dinamici
Evouzione recente del sistema solare e scenari della sua formazione nel lontano passato
E↵etti del caos e delle risonanze in astronomia e altre scienze