ALGEBRA BOOLEANA

ALGEBRA BOOLEANA
Proprietà dell'algebra booleana: P. COMMUTATIVA
Il prodotto (il prodotto logico fra N variabili booleane è uguale a 1 se e
solo se TUTTE le variabili che lo compongono hanno il valore 1) e la
somma logica (la somma logica fra N variabili booleane è uguale a 1
se ALMENO UNA delle variabili che la compongono vale 1) sono
operazioni che godono della proprietà commutativa. Ciò significa che il
prodotto e la somma logica di due variabili booleane non cambia se si
inverte l'ordine dei termini.
A+B=B+A
A.B=B.A
La connessione tra ingresso E e uscita U non è condizionata dalla
posizione reciproca dei due interruttori.
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24/02/2012
ALGEBRA BOOLEANA
Proprietà dell'algebra booleana: P. ASSOCIATIVA
Il prodotto e la somma logica godono della proprietà associativa, che
stabilisce che il risultato dell'operazione non cambia qualunque sia l'ordine
con cui l'operazione viene applicata ai termini consecutivi.
(A.B) . C = A . (B.C)
(A+B) + C = A + (B+C)
La connessione tra ingresso E e uscita U non è condizionata da come si
raggruppano tra loro gli interruttori.
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24/02/2012
ALGEBRA BOOLEANA
Proprietà dell'algebra booleana: P. ASSORBIMENTO (casi 1 e 2)
Un modo per definire la proprietà di assorbimento è il seguente:
La somma di una variabile booleana A con
Il prodotto di una variabile booelana A con
il prodotto tra la stessa variabile e un'altra
la somma della stessa variabile e un'altra
(ad es. B), è uguale alla variabile A.
(ad es. B), è uguale alla variabile A.
A + (A.B) = A
A.(A+B) = A
(Raccogliendo la prima parte a fattor comune
(Si può dimostrare caso per caso:
si ha: A. (1+B) poichè la somma di una
caso 1 A=0 B=0 si ha: 0.(0+0)=0; 0.0=0; 0=0
variabile booleana con 1 dà 1 si avrà: A.1
caso 2: A=0 B=1 si ha: 0.(0+1)=0 0.1=0; 0=0
poichè il prodotto di una variabile booleana
caso3: A=1 B=0 si ha: 1.(1+0)=1 1.1=1; 1=1
con 1 è uguale alla variabile stessa si avrà: A)
caso 4: A=1 B=1 si ha: 1.(1+1)=1 1.1=1; 1=1
oppure più semplicemente riconducendo
A(A+B) ad A.A+A.B=A+AB
cioè il caso precedente)
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ALGEBRA BOOLEANA
Proprietà dell'algebra booleana: P. ASSORBIMENTO (casi 3 e 4)
Un modo alternativo per definire la proprietà di assorbimento è il
seguente:
il prodotto fra due variabili booleane sommato al complemento di una di
esse è uguale alla somma della variabile complementata con l'altra
variabile
. La variabile negata può anche comaprire nel
prodotto. In questo caso il risultato è pari alla somma delle due variabili
.
In ogni caso viene assorbita e scompare nel prodotto la variabile che
compare sia nella forma vera che complementata.
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24/02/2012
ALGEBRA BOOLEANA
Proprietà dell'algebra booleana: P. DISTRIBUTIVA
Le operazioni di somma e prodotto logico tra variabili booleane godono
della proprietà distributiva, che consente di raccogliere in un unico
interruttore la variabile che si ripete comparendo come fattore comune a
due addendi o come addendo comune a due fattori.
A.B + A.C = A.(B+C)
(A+B).(A+C) = A + (B.C) (Svolgiamo la prima parte:
A.A + A.C + B.A + B.C =A +A.C+B.A+B.C=
raccogliamo A tra i primi due termini
A.(1+C)+A.B+B.C= A.1 +A.B + B.C +A.B+B.C=
raccogliamo A
A.(1+B) + B.C = A.1 + B.C = A + (B.C )
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24/02/2012
ALGEBRA BOOLEANA
Proprietà dell'algebra booleana: P. COMPLEMENTARIETA'
La proprietà di complementarietà stabilisce che:
-la somma logica di una variabile booleana con il suo complemento è
uguale a 1
-il prodotto logico di una variabile booleana con il suo complemento è
uguale a 0.
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24/02/2012
ALGEBRA BOOLEANA
TERMINI MASSIMI E TERMINI MINIMI
Si intende come termine minimo di n Nel caso di due variabili, i 4 termini
variabili un prodotto logico in cui tutte le minimi sono:
n variabili compaiono nella loro forma
vera o complementata.
A.B, A.B, A.B, A.B
Si intende come termine massimo di n e i 4 termini massimi sono
variabili una somma logica in cui tutte
le n variabili compaiono nella loro A+B, A+B, A+B, A+B
forma vera o complementata.
Nel caso di tre variabili gli 8 termini
I termini minimi sono anche chiamati minimi sono
MINTERMS, mentre i termini massimi
sono anche chiamati MAXTERMS.
A.B.C, A.B.C, A.B.C,
A.B.C, A.B.C, A.B.C,
A.B.C, A.B.C.
e gli 8 termini massimi sono:
A+B+C, A+B+C, A+B+C,
A+B+C, A+B+C, A+B+C,
A+B+C, A+B+C.
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ALGEBRA BOOLEANA
TEOREMA FONDAMENTALE
Qualsiasi funzione logica di n variabili può essere espressa come somma logica di tutti i
termini minimi (minterms) delle n variabili, i quali risultino eguali a 1, quando la funzione
d'uscita assume il valore 1; oppure può essere espressa come prodotto logico di tutti i
termini massimi (maxterms) i quali risultino eguali a 0, quando la funzione di uscita
assuma valore 0.
Si intende come termine minimo di n variabili il prodotto logico in cui tutte tutte le n variabili
compaiono nella loro forma vera o complementata. Esempio:
Nel caso di due variabili A e B, tutti i possibili termini minimi sono dati dai quattro prodotti:
A·B; A·B; A·B; A·B
ed analogamente tutti i possibili termini massimi sono dati dalle somme:
A+B; A+B; A+B; A+B
Consideriamo allora la precedente tabella della verità della funzione F = A + B, riscritta
tenendo conto anche dei valori di A e B.
A
B
A
B
F
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
Secondo il teorema la funzione nei suoi termini minimi può essere così espressa:
F = A·B + A·B + A·B
Applicando al secondo addendo, la proprietà P1 in modo da avere
F = A·B + A·B + A·B + A·B ) e quindi le proprietà P5 e P6, si riconduce alla forma già scritta
che risulta direttamente dalla stessa tabella qualora la si fosse espressa subito in forma di
termini massimi:
F=A+B
Questo teorema permette dunque di ricavare una funzione per qualsiasi rete: la forma, a
cui si perviene, è in genere ridondante e va perciò ulteriormente semplificata.
Questo teorema stabilisce pure, come logico corollario, che tutte le funzioni, anche le più
complicate dell'algebra Booleana, possono essere costruite a partire dalle sole operazioni
AND, OR, NOT.
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ALGEBRA BOOLEANA
TEOREMA DI DE MORGAN
Data una funzione binaria F di più variabili A, B, C
ecc. espressa nell'algebra di Boole, vale la seguente
identità:
dove nella funzione al secondo membro si è
sistematicamente sostituita ogni variabile con il suo
complemento, e si sono scambiati fra loro i simboli
delle operazioni di somma e di prodotto..
Semplificazione di una funzione logica col metodo cut-and-try
Applicando i precedenti teoremi e proprietà, si possono seguire dei procedimenti
sistematici per semplificare la funzioni logiche.Ad esempio nelle equazioni che esprimono
proprietà Pi sopracitate, i termini a secondo membro sono o equivalenti o più semplici di
quelli a primo membro; perciò se in una funzione compare un termine eguale al primo
membro delle Pi , si può ottenere una semplificazione sostituendo col termine a secondo
membro.
Consideriamo l'esempio trattato da Shannon per lo schema seguente
La funzione di trasmissione è data da:
F = A · [ A · ( B + C · D ) + A · ( B + D · C )]
se ad essa applichiamo le proprietà P5, P6, P1
ricaviamo la funzione:
F=A· (B+C· D)
caratteristica del circuito molto più semplice di
Figura 2.
Un altro esempio può essere dato con la funzione:
F = A·C + A·D + B·C + B·D
che, applicando due volte la proprietà P5, si
semplifica facilmente come segue:
F = A · (C + D) + B ·( C + D) = (A + B) · (C + D)
Il procedimento di semplificazione a tentativi (cutand-try-method) può essere utile per funzioni
elementari e negli stadi preliminari di
semplificazione, ma non permette di sapere se
l'espressione finale è effettivamente la più semplice
ottenibile. Si sono sviluppati perciò diversi
procedimenti sistematici che permettono di
raggiungere questo risultato. Essi sono noti col
nome di metodo di Quine, metodo di Harvard,
metodo di Veitch e metodo di Karnaugh
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