Torino, 10 Aprile 2015
Che cos’è la matematica?
SCIENZA
costruzione
di pensiero
plurisistemica
aperta
modellizzazione
relazioni
e strutture
ricorrenti
Che cos’è la matematica?
La matematica offre gli strumenti
per la descrizione scientifica del mondo
Il metodo matematico ha, come punto di
arrivo, la formalizzazione
analisi dei fenomeni
simbolizzazione
relazioni
modello assiomatico formalizzato
A cosa serve la matematica?
formazione e sviluppo dell’intelligenza
superamento del sincretismo infantile
e delle attitudini proiettive
OGGETTIVAZIONE DELLA REALTA’
A cosa serve la matematica?
• riconoscere e introdurre criteri ordinali
• muoversi tra concreto e astratto
• riconoscere e praticare
le modalità costruttive dei concetti
• avviare la pratica euristica
La matematica è
un modo di pensare
che aiuta a comprendere
meglio la realtà
Se vuoi usare bene il pensiero
matematico, devi imparare a
conoscere gli strumenti della
logica (il ragionamento)
e le tecniche, cioè i modi di
procedere che ti permettono di
arrivare al risultato concreto
La matematica è un linguaggio
PAROLE e SEGNI
Topologia, curve algebriche, cubo troncato,
numero razionale, radice quadrata, frattale…
Un linguaggio preciso e rigoroso con il quale
i matematici descrivono il loro lavoro e i loro
strumenti di lavoro
Numeri e segni
confrontare
operare
oppure
oppure
oppure
Numeri e segni
OPERARE
(aggiungere, togliere, ripetere, distribuire)
processo logico
5=
-1
2=
:5
Numeri e segni
OPERARE
(aggiungere, togliere, ripetere, distribuire)
processo logico
5=
6
-1
2 = 10 : 5
Numeri e segni
L’operazione è un’azione (procedimento)
che permette di associare a due elementi
un terzo elemento (risultato)
6+2 = 8
8 = 6+2
Numeri e segni
15 : 3 = 5
• quanti sono gli elementi che ho in partenza?
• con la divisione, quanti gruppi di 5 elementi
ho formato?
• alla fine dell’operazione, quanti sono in tutto
gli elementi? 5 o ancora 15?
• sono tutti insieme o sono distribuiti? in quanti
gruppi? e quanti elementi in ogni gruppo?
Numeri e segni
20 - 12 = 8
RESTO
DIFFERENZA
20
8
20
12
32
Le regole del far di conto sono l’impalcatura
della matematica. Il nodo sostanziale è
sempre il ragionamento
La matematica è ragionamento
LOGICA
ragionamento corretto
premesse
conclusioni
coerenti
reperire dati non conosciuti
attraverso l’elaborazione di dati conosciuti
La matematica è ragionamento
a3
Due bugiardi fanno a turno: il primo dice il falso
il lunedì, il martedì e il mercoledì.
Il secondo dice il falso il giovedì, il venerdì e
il sabato.
Oggi si incontrano e tutti e due dicono:
“Ieri ho detto il falso”.
Che giorno è oggi?
[ giovedì ]
La matematica è ragionamento
a5
Quale delle seguenti operazioni
ti dà un risultato maggiore:
15 x 3 oppure 15 : 0,2 ?
[ 15 : 0,2 ]
a6
Ottieni un risultato maggiore moltiplicando il
numero 10 per 2 o dividendolo per 0,5?
[ stesso risultato ]
La matematica è ragionamento
NUMERI
esprimono
supporto del
ragionamento matematico
quantità
(5…)
ordine
(quinto…)
rapporto
(2/5, 0,4…)
I numeri sono illimitati
Infinito
TOPOLOGIA
geometria del foglio
di gomma
studia le proprietà di una figura sottoposta
a deformazione
Infinito
Nastro di Moebius
• superficie senza fine, bidimensionale
• in torsione su se stessa nello spazio
tridimensionale
• con una sola linea di bordo e una sola faccia
Infinito
John Wallis, 1616 – 1703
Tutto nasce da uno
Per trarre tutte
le cose dal nulla,
basta l’Uno.
Gottfried Wilhelm von Leibniz, 1646 - 1716
Tutti i numeri si sono originati da uno soltanto: l’uno
Tutto nasce da uno
NUMERI NATURALI N
uno / uno in più
+1
Insieme dei numeri interi non negativi
Tutto nasce da uno
NUMERI RAZIONALI Q
Insieme dei numeri ottenibili
come rapporto fra due numeri interi
Scala naturale e frazioni
DO1
FA
1
2
3
4
3
5
1
SOL
RE
2
3
8
9
SI LA
8
15
DO
1
MI
4
5
1
Scala naturale e frazioni
mezzi e quarti
DO1
FA
1
2
3
4
RE
2
3
8
9
SI LA
8
15
3
5
1
SOL
terzi e noni
quinti e
quindicesimi
DO
1
MI
4
5
1
Notazione convenzionale
INTERO (semibreve)
4
4
META’ (minima)
2
4
QUARTO (semiminima)
1
4
SEDICESIMO
(semicroma)
1
8
1
16
TRENTADUESIMO
(biscroma)
1
32
OTTAVO (croma)
Durata
Tutto nasce da uno
NUMERI RELATIVI Z
3-9
3 + (- 9)
I numeri relativi sono l’associazione di un
valore assoluto e di un segno (+ o -)
Tutto nasce da uno
NUMERI REALI R
NUMERI
IRRAZIONALI
INTERI RELATIVI Z
NATURALI N
0
NUMERI RAZIONALI Q
campi dei numeri
I numeri hanno una forma
Possiamo rappresentare i numeri con le figure?
NUMERI TRIANGOLARI
15
21
28
c1
Qual è il decimo numero triangolare?
[ 55 ]
I numeri hanno una forma
Possiamo rappresentare i numeri con le figure?
NUMERI QUADRATI PERFETTI
9
16
25
36
49
c2
Qual è il decimo numero quadrato perfetto?
[ 100 ]
I numeri hanno una forma
I numeri hanno una forma
I numeri hanno una forma
SUCCESSIONE DI FIBONACCI
Dopo 0 e 1, ogni nuovo numero che segue è la somma
dei due numeri che lo precedono immediatamente
0+1=1
1+1=2
1+2=3
2+3=5
c3
Come prosegue la serie di Fibonacci?
3+5=8
5 + 8 = 13
8 + 13 = 21
13 + 21 = 34
I numeri hanno una forma
Nel piano e nello spazio
punto retta piano
Con il punto, la
retta e il piano
costruisco tutto!
concetti primitivi
Davvero?
Anche i solidi?
La prima geometria, fondamento di tutte le altre,
è la geometria euclidea
Nel piano e nello spazio
geometria piana
bidimensionale (2D)
geometria solida
tridimensionale (3D)
Nel piano e nello spazio
PROBLEMA
trovare
dimostrare
Cioè, secondo te,
A + B sarebbe
uguale a C?
Puoi
dimostrarlo?
teorema
proposizione dimostrata logicamente
Nel piano e nello spazio
I quadrati costruiti sui due cateti sono equivalenti
al quadrato costruito sull’ipotenusa
Nel piano e nello spazio
I quadrati costruiti sui due cateti sono equivalenti
al quadrato costruito sull’ipotenusa
Nel piano e nello spazio
I quadrati costruiti sui due cateti sono equivalenti
al quadrato costruito sull’ipotenusa
Nel piano e nello spazio
OPERAZIONI
traslazione
rotazione
ribaltamento
TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
SOLIDI
figure complesse
Nel piano e nello spazio
UNIONE
SOTTRAZIONE
INTERSEZIONE
Nel piano e nello spazio
UNIONE
SOTTRAZIONE
INTERSEZIONE
Nel piano e nello spazio
UNIONE
SOTTRAZIONE
INTERSEZIONE
Nel piano e nello spazio
UNIONE
SOTTRAZIONE
INTERSEZIONE
Nel piano e nello spazio
Renè Descartes, Cartesio (1596– 1650 )
GEOMETRIA ANALITICA
Nel piano e nello spazio
GEOMETRIA PROIETTIVA
Nel piano e nello spazio
sfera
se il piano fosse una sfera?
Nel piano e nello spazio
GEOMETRIA ELLITTICA
Nel piano e nello spazio
A = 90°
C=?
B = 90°
la somma degli angoli interni misura ancora 180°?
NO
