Il problema degli N-Corpi La stabilità planetaria a lungo termine

Il problema degli N-Corpi
La stabilità planetaria a lungo
termine
Costanti astronomiche fondamentali IAU
Stabilità dei sistemi planetari
Problema :
Una massa puntiforme è circondata da N corpi di massa più piccola in orbite quasi
circolari e complanari. Questa configurazione è stabile per lungo periodi orbitali (ad es
1010 orbite)?
Le domande che stanno alla base di questo problema sono:
Come si formano i pianeti?
Perchè nel sistema solare ci sono “pochi” pianeti?
Perchè esistono zone ripulite dalla presenza di pianeti ?
Quale è il destino della Terra?
Da dove vengono meteoriti, comete e Centauri ?
Perchè la formazione planetaria è così rapida nel primo 0.1% della sua vita?
I pianeti extrasolari come si interfacciano con questi comportamenti?
I sistemi planetari sono invariati dalla loro formazione o la loro dinamica si evolve?
Come si comportano i sistemi dinamici su lunghi periodi di tempo ?
Il problema agli N-Corpi equazioni del moto
a GR correzione dovuta alla Relatività Generale per un potenziale
gravitazionale ~ GM☼/c 2r < 10 -8
as correzioni dovute alla presenza dei satelliti
mi masse dei pianeti determinate con una precisione migliore di 10-9 M☼
Le condizioni iniziale sono state determinate con grande accuratezza sia sulle
distanze che sui valori di velocità angolare
Le equazioni del moto
Incertezze
• asteroidi (< 10-9)
• momento di quadrupolo solare (< 10-10, anche per Mercurio)
• perdita di massa del Sole (<10-14)
• forze mareali galattiche ( <10-13)
• stelle vicine (a ~ 500 U.A. il passaggio più vicino)
L’approssimazione appare molto buona e le condizioni iniziali per il
problema agli N-corpi sono ben note
Basterebbe quindi integrare per ~1010 orbite (cioè 4.5×109 anni
indietro verso la formazione sino a 7×109 anni in avanti sino alla
fase evolutiva del Sole di gigante rossa) per ricostruire il passato ed il
futuro del Sistema solare
Le equazioni del moto
E’ a questo punto che sorgono le difficoltà legate ai metodi numerici
di integrazione ma anche al fatto che il problema agli N-Corpi è
intrinsecamente fonte di non-linearità, caoticità e quindi
comportamenti stocastici fortemente imprevedibili
Calcolo delle
orbite planetarie
con tre differenti
integratori
numerici
Calcolo delle
orbite
planetarie con
quattro
differenti
integratori
numerici
Metodi di integrazione numerica
Dal confronto tra quattro diversi metodi di integrazione si comprende quanto il
problema dinamico di evoluzione delle orbite planetarie è complesso.
Tutto dipende dalla “macchina” numerica con cui si opera
Il metodo “leap-frog” a salto di rana è quello che dà maggiori garanzie non solo
per una maggiore accuratezza (ordine secondo) ma anche perché può
indifferentemente andare aventi ed indietro nel tempo
Ma soprattutto perché conserva il “volume nello spazio delle fasi”
Infatti questo problema ha una sua migliore espressione soprattutto in termini
di conservazione se espresso in coordinate generalizzate (spazio delle fasi)
piuttosto che in coordinate cartesiane o polari (spazio fisico)
Precisione dei metodi di integrazione numerica
Ma non è finita qui le variazioni orbitali sono molto sensibili agli errori di
troncamento sui numeri corrispondenti ai parametri orbitali
Si tenga conto che il metro del Sistema solare è l’Unità Astronomica conosciuta
con una precisione al centimetro
1 UA = 149 597 870 691 ± 3 m ≈ 8,317 minuti luce ≈ 499
secondi luce
ed il metodo numerico DEVE rispettare questo elevato livello di precisione per
almeno 40 U.A.
I numeri sono immagazzinati nel computer come p bits (la mantissa) e seguiti
da un esponente. Si lavora in doppia precisione con p=53 ed una
corrispondente accuratezza ε = 2-p ≅ 10-16
Nonostante questa enorme precisione gli errori rimasti si propagano in modo
casuale e determinano deviazioni, che però si possono controllare, dalle
soluzioni esatte !
0 - 55 M anni
+4.5 G anni
Pianeti interni
Ito &
Tanikawa
(2002)
-55 – 0 M anni
-4.5 G anni
Pianeti interni eccentricità Ito & Tanikawa
(2002)
Pianeti interni inclinazione orbitale Ito & Tanikawa
(2002)
Orbita peculiare di Plutone
Plutone ha:
•La maggiore eccentricità (e = 0.250 )
•La maggiore inclinazione( i = 17o )
•Una distanza al perielio q = a(1 – e) = 29.6 UA minore del semiasse
maggiore di Nettuno ( a = 30.1 AU )
Perchè non collidono ?
Risonanza orbitale tra le orbite di Plutone e Nettuno
Periodo orbitale di Plutone =
247.7 anni
Periodo orbitale di Nettuno =
164.8 anni
247.7/164.8 = 1.50 = 3/2
La risonanza 3:2 assicura che
quando Plutone è al perielio
risulta a circa 90° lontano da
Nettuno
TNOs (Trans-Neptunian-Object)-Plutini e migrazioni
•All’inizio nel Sistema solare
abbondavano i planetesimi il cui
accrescimento ha prodotto i pianeti
•Nettuno ha spostato i planetesimi residui
verso orbite più esterne
eccentricità
•Se Plutone era inizialmente a bassa
eccentricità e bassa inclinazione in
un’orbita esterna ha inevitabilmente
risentito della risonanza 3:2 con Nettuno
inclinazione
•Una volta catturato l’inclinazione e
l’eccentricità di Plutone hanno
incominciato a crescere portando sempre
più verso l’esterno
risonanza
•Altri corpi minori possono essere
catturati dalla risonanza di Nettuno
Malhotra (1993)
TNOs
descrizione
Oggetti della fascia di
Kuiper
Plutini (3:2)
Centauri
Comete
ottobre 2003 (Minor
Planet Center)
Elementi orbitali
Il calcolo delle orbite
Gli elementi orbitali
I 6 elementi orbitali, necessari a
definire un'orbita, sono:
1. il semiasse maggiore a
2. l'eccentricità e
3. l'inclinazione i
4. la longitudine del nodo
ascendente O
5. la distanza angolare tra perielio
e nodo è o
6. l'istante T del passaggio al
perielio
Per individuare un'orbita sono
necessarie almeno 3
osservazioni che fissino 3
coppie di valori (3 coordinate
nel sistema eclitticale). Con
questi dati è possibile trovare i
sei elementi orbitali, incogniti.
La formazione della Luna una migrazione verso
l’interno del Sistema solare
Successione temporale di un impatto
non frontale, quando l'oggetto che urta
la Terra ha una massa del 13% di quella
terrestre. I tempi sono in ore per le
immagini da a) a k) e valgono 0.11,
0.32, 0.86, 1.40, 2.16, 4.85, 5.93, 13.48,
18.87, 21.02, and 26.95,
rispettivamente. La scala di colore
definisce la temperatura delle particelle
(detriti) e sono in gradi Kelvin (°K). Le
immagini da a) a k) guardano il sistema
dall'alto. Le particelle rosse hanno una
temperatura maggiore di 6440°K e le
distanze sono in unità di 1000 Km.
L'immagine l) presenta la visione di lato
dopo 27 ore e le temperature sono
modificate in modo che il colore rosso
mostri una temperatura di 9110°K.
Migrazioni nel Sistema solare
Migrazioni nel Sistema solare
Migrazioni nel Sistema solare