Criteri di congruenza dei triangoli con GeoGebra
Oggetto: attività mirate alla costruzione mediante GeoGebra dell’unico triangolo che soddisfi, di
volta in volta, le ipotesi di ciascuno dei tre criteri. Tali attività sono indirizzate a studenti del primo
anno di scuola superiore già avviati all’uso del Geogebra nello studio della geometria.
Obiettivo
Verificare mediante costruzione guidata con GeoGebra che il triangolo che soddisfa le ipotesi di un
criterio di congruenza è effettivamente unico. Gli studenti potranno dunque verificare in prima
persona che, una volta assegnati gli elementi del triangolo previsti dalle ipotesi del criterio in
esame, quello costruito è l’unico possibile, nella pratica, cioè, vedranno che esso non può subire
variazioni di alcun tipo, se non modificando proprio gli elementi noti dello stesso, in accordo con le
ipotesi del criterio. Il software dinamico porterà i ragazzi a “scoprire” che la conoscenza degli
elementi indicati costituisce condizione necessaria e sufficiente per individuare univocamente un
triangolo, pertanto le ipotesi considerate possono rappresentare un criterio per la determinazione
dello stesso e per stabilire il rapporto fra triangoli.
Così come molto probabilmente verrà naturale agli studenti chiedersi, si farà verificare loro che se
invece si fissano solo i tre angoli o due lati ed un angolo non compreso fra essi, l’univocità del
triangolo determinato vien meno e pertanto la conoscenza di questi non può essere considerata
condizione per l’individuazione di un criterio di congruenza dei triangoli.
Questo lavoro risulterà preliminare alla formalizzazione dei tre criteri.
Prerequisiti
Conoscere e saper rappresentare gli enti geometrici fondamentali.
Conoscere le proprietà degli enti fondamentali.
Conoscere e saper rappresentare segmenti, semirette, semipiani.
Conoscere le definizioni di angolo e saperlo rappresentare.
Conoscere le principali operazioni tra angoli: confrontare, addizionare, sottrarre…, anche in
relazione con gli angoli “particolari”.
Conoscere e saper rappresentare una circonferenza di cui siano noti centro e raggio.
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Conoscere e saper utilizzare i postulati dei movimenti rigidi, in particolare: il postulato del
trasporto di un segmento, il postulato della circonferenza, il postulato del trasporto di un angolo.
Conoscere la definizione di figura convessa e saperla rappresentare.
Conoscere la definizione di triangolo e saperlo rappresentare.
Saper classificare un triangolo.
Conoscere la somma degli angoli interni di un triangolo
Conoscere e saper rappresentare bisettrici e mediane di un triangolo. (NO)
Prerequisiti relativi al GeoGebra
Saper disegnare: punti, segmenti, rette per due punti, l’intersezione tra due curve, triangoli di
assegnati vertici, circonferenze di cui siano assegnati centro e raggio.
Saper disegnare angoli di ampiezza assegnata
Saper determinare la misura di un angolo e di un segmento.
Saper modificare un disegno.
L’attività si svolgerà in due fasi consecutive, le prime finalizzate all’analisi di uno dei criteri di
congruenza dei triangoli, l’ultima per analizzare il caso in cui non sia noto alcun lato del triangolo.
Attività 1: I criterio di congruenza
Scheda di lavoro per disegnare un triangolo, quando sono assegnati due suoi lati (a e b) e l’angolo
compreso fra essi ().
1) Disegna un punto A sul piano geometrico
2) Disegna un segmento con un vertice nel punto A e di lunghezza pari ad a, chiama B il
secondo estremo e rinomina il segmento chiamandolo lato a
3) Disegna un angolo pari ad in modo che il vertice sia in A ed un suo lato sia AB
4) Sul secondo lato dell’angolo (quello diverso da AB) riporta un segmento di lunghezza b in
modo che un suo estremo coincida con A, chiama con C il secondo estremo e con lato b il
segmento
5) Unisci i vertici ABC per ottenere il triangolo
6) Prova a modificare il triangolo ABC, cosa osservi?
7) Prova a spostarlo, cosa osservi?
8) Misura gli altri elementi del triangolo e confronta i valori con quelli ottenuti dai tuoi
compagni.
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Attività 2: II criterio di congruenza
Scheda di lavoro per disegnare un triangolo, quando sono assegnati un lato (a) e due angoli ad esso
adiacenti ( e )
1) Disegna un punto A sul piano geometrico
2) Disegna un segmento con un vertice nel punto A e di lunghezza pari ad a, chiama B il secondo
estremo e rinomina il segmento chiamandolo lato a
3) Disegna un angolo pari ad con il vertice in A ed un lato su AB
4) Disegna un angolo pari ad con il vertice in B ed un lato su AB
5) Chiama con C il punto di intersezione tra il secondo lato (diverso da AB) dell’angolo e il secondo
lato (diverso da AB) dell’angolo
6) Unisci i vertici ABC per ottenere il triangolo
7) Prova a modificare il triangolo ABC, cosa osservi?
8) Prova a spostarlo, cosa osservi?
9) Misura gli altri elementi del triangolo e confronta i valori con quelli ottenuti dai tuoi
compagni.
Attività 3: III criterio di congruenza
Scheda di lavoro per disegnare un triangolo quando sono noti le lunghezze dei suoi tre lati (a, b e c).
1) Disegna un punto A sul pino geometrico
2) Disegna un segmento con un vertice nel punto A e di lunghezza pari ad a, chiama B il secondo
estremo e rinomina il segmento chiamandolo lato a
3) Disegna una circonferenza di centro A e raggio b
4) Disegna una circonferenza di centro B e raggio c
5) Individua il punto di intersezione tra le due circonferenze e chiamalo C
6) Unisci i vertici ABC per ottenere il triangolo
7) Prova a modificare il triangolo ABC, cosa osservi?
8) Prova a spostarlo, cosa osservi?
9) Misura gli altri elementi del triangolo e confronta i valori con quelli ottenuti dai tuoi
compagni.
Attività 4: non-criterio (1)
Scheda di lavoro per disegnare un triangolo quando siano assegnati due lati (a e b) e un angolo non
compreso .
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1) Disegna un punto A sul piano geometrico
2) Disegna un segmento con un vertice nel punto A e di lunghezza pari ad a, chiama B il secondo
estremo e rinomina il segmento chiamandolo lato a
3) Disegna un angolo pari ad con vertice in B e un lato coincidente con il segmento AB
4) Disegna una circonferenza di centro A e raggio b
5) Chiama C il punto di intersezione tra la circonferenza disegnata e il secondo lato dell’angolo
(diverso da AB)
6) Unisci i vertici ABC per ottenere il triangolo
7) Prova a modificare il triangolo ABC, cosa osservi?
8) Prova a spostarlo, cosa osservi?
9) Prova a modificare l’angolo assegnato, cosa osservi? Che spiegazione puoi fornire?
Attività 5: non-criterio (2)
Scheda di lavoro per disegnare un triangolo quando siano assegnati due angoli e.
1) Disegna un punto A sula piano geometrico e da questo punto fai partire una semiretta
2) Disegna un angolo pari ad con vertice in A e un lato coincidente con la semiretta già
tracciata
3) Sulla semiretta individua un punto (chiamalo B) e disegna un angolo pari a con vertice in
B e un lato coincidente con la semiretta
4) Chiama C il punto di intersezione tra le semirette che individuano gli angoli e
5) Unisci i vertici ABC per ottenere il triangolo
6) Prova a modificare il triangolo ABC, cosa osservi?
7) Misura le lunghezze dei lati del triangolo e confronta i valori con quelli ottenuti dai tuoi
compagni
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