DIMOSTRAZIONE DELL’ESISTENZA DELL’ESTREMO INFERIORE
TEOREMA. Sia X un insieme numerico limitato inferiormente.
Allora, l’insieme MX0 dei minoranti di X è dotato di massimo.
DIMOSTRAZIONE. Consideriamo prima il caso in cui l’insieme X abbia
almeno un minorante positivo. Sia a tale minorante e scegliamo un numero
. Se c ∈ MX0 , poniamo a1 = c
b > a e non appartenente a MX0 . Sia c = a+b
2
1
e b1 = b, se c 6∈ MX0 , poniamo a1 = a e b1 = c. Poniamo ora c1 = a1 +b
e
2
procediamo come nel passaggio precedente. Continuando allo stesso modo,
otteniamo, per ogni n ∈ N, due numeri an e bn tali che: an ∈ MX0 , bn 6∈ MX0 ,
. La successione
a ≤ a1 ≤ · · · ≤ an < bn ≤ bn−1 ≤ · · · ≤ b, bn − an = b−a
2n
{an } è crescente e limitata superiormente, quindi è stabilizzata: esiste allora
un numero reale m tale che an ,→ m, e si ha, per ogni n ∈ N, an ≤ m ≤ bn .
Dimostriamo che m è il massimo dei minoranti. Prima di tutto, per far vedere
che m è un minorante, procediamo per assurdo, supponendo che esista in X
.
un elemento x < m: si ha allora, per ogni n ∈ N, 0 < m − x < bn − an = b−a
2n
D’altra parte, applicando la proprietà di Archimede alla coppia di numeri
positivi m−x
, b − a segue l’esistenza di k ∈ N tale che b − a < k m−x
≤
2
2
b−a
k m−x
k bk −ak
k b−a
k m−x
2 2 , si ha allora b − a < 2 2 < 2 2 = 2 2·2k = 2 , assurdo.
Per provare, ora, che m è il massimo dei minoranti, procediamo ancora per
assurdo, supponendo che esista un minorante z > m. Osserviamo intanto
che z < bn per ogni n ∈ N: infatti, dato che bn 6∈ MX0 , esiste x ∈ X tale che
x < bn , quindi z ≤ x < bn . A questo punto, per trovare l’assurdo, si procede
come per il precedente punto della dimostrazione, applicando la proprietà di
, b − a.
Archimede alla coppia di numeri positivi z−m
2
Consideriamo ora il caso generale e, a partire da X, dato h ∈ MX0 , costruiamo l’insieme Y = {x − h + 1 : x ∈ X}. Si ha evidentemente 1 ∈ MY0 ,
quindi, per quanto provato prima, esiste il massimo dei minoranti di Y , sia
esso m0 . Si vede facilmente che, posto m = m0 + h − 1 , si ha m ∈ MX0 ;
inoltre, per ogni ε > 0, detto y un elemento di Y minore di m0 + ε, si ha
y + h − 1 ∈ X e y + h − 1 > m + ε.
1
