Ogni numero intero positivo si scrive come somma di quattro quadrati

Somma di quattro quadrati
Stefano Maragnoli e Ilaria Dorigatti
Seminario di Algebra
Somma di quattro quadrati – p. 1/3
Il problema di Waring
Waring si domandò se
Somma di quattro quadrati – p. 2/3
Il problema di Waring
Waring si domandò se
dato un numero k naturale
esiste un numero s dipendente da k,
Somma di quattro quadrati – p. 2/3
Il problema di Waring
Waring si domandò se
dato un numero k naturale
esiste un numero s dipendente da k,
tale che tutti i numeri naturali n si possano
scrivere come somma di s potenze k-esime.
Ovvero:
Somma di quattro quadrati – p. 2/3
Il problema di Waring
Waring si domandò se
dato un numero k naturale
esiste un numero s dipendente da k,
tale che tutti i numeri naturali n si possano
scrivere come
n = xk1 + xk2 + · · · + xks
Somma di quattro quadrati – p. 2/3
I numeri G(k) e g(k)
Definiamo
Somma di quattro quadrati – p. 3/3
I numeri G(k) e g(k)
Definiamo
g(k)
Somma di quattro quadrati – p. 3/3
I numeri G(k) e g(k)
Definiamo
g(k) come il valore minimo di s per il
quale tutti i numeri sono rappresentabili con s
potenze k-esime
Somma di quattro quadrati – p. 3/3
I numeri G(k) e g(k)
Definiamo
g(k) come il valore minimo di s per il
quale tutti i numeri sono rappresentabili con s
potenze k-esime
. . . e G(k)
Somma di quattro quadrati – p. 3/3
I numeri G(k) e g(k)
Definiamo
g(k) come il valore minimo di s per il
quale tutti i numeri sono rappresentabili con s
potenze k-esime
. . . e G(k) come il valore minimo di s per il quale
quasi tutti i numeri (cioè tutti tranne un numero
finito) sono rappresentabili con s potenze
k-esime
Somma di quattro quadrati – p. 3/3
I numeri G(k) e g(k)
Definiamo
g(k) come il valore minimo di s per il
quale tutti i numeri sono rappresentabili con s
potenze k-esime
. . . e G(k) come il valore minimo di s per il quale
quasi tutti i numeri sono rappresentabili con s
potenze k-esime
Somma di quattro quadrati – p. 3/3
I numeri G(k) e g(k)
Definiamo
g(k) come il valore minimo di s per il
quale tutti i numeri sono rappresentabili con s
potenze k-esime
. . . e G(k) come il valore minimo di s per il quale
quasi tutti i numeri sono rappresentabili con s
potenze k-esime
G(k) ≤ g(k)
Somma di quattro quadrati – p. 3/3
Il nostro problema
Vogliamo dimostrare che
Somma di quattro quadrati – p. 4/3
Il nostro problema
Vogliamo dimostrare che
ogni intero positivo è somma di 4 quadrati.
Somma di quattro quadrati – p. 4/3
Il nostro problema
Vogliamo dimostrare che
ogni intero positivo è somma di 4 quadrati.
Ovvero:
Somma di quattro quadrati – p. 4/3
Il nostro problema
Vogliamo dimostrare che
ogni intero positivo è somma di 4 quadrati.
Ovvero:
g(2) = 4
Somma di quattro quadrati – p. 4/3
OSSERVAZIONE:
Somma di quattro quadrati – p. 5/3
OSSERVAZIONE:
(a2 + b2 + c2 + d2 ) · (α2 + β 2 + γ 2 + δ 2 ) =
Somma di quattro quadrati – p. 5/3
OSSERVAZIONE:
(a2 + b2 + c2 + d2 ) · (α2 + β 2 + γ 2 + δ 2 ) =
= semplici calcoli algebrici =
Somma di quattro quadrati – p. 5/3
OSSERVAZIONE:
(a2 + b2 + c2 + d2 ) · (α2 + β 2 + γ 2 + δ 2 ) =
= semplici calcoli algebrici =
= (aα + bβ + cγ + dδ)2 + (aβ − bα + cδ − dγ)2 +
+(aγ − cα + bδ − dβ)2 + (aδ − dα + bγ − cβ)2
Somma di quattro quadrati – p. 5/3
Dunque
(a2 + b2 + c2 + d2 ) · (α2 + β 2 + γ 2 + δ 2 ) =
Somma di quattro quadrati – p. 6/3
Dunque
(a2 + b2 + c2 + d2 ) · (α2 + β 2 + γ 2 + δ 2 ) =
= A2 + B 2 + C 2 + D 2
con A, B, C, D ∈ Z
Somma di quattro quadrati – p. 6/3
Nel corso di Algebra abbiamo dimostrato che
Somma di quattro quadrati – p. 7/3
Nel corso di Algebra abbiamo dimostrato che
il prodotto di due numeri esprimibili come
somma di due quadrati è anch’esso
somma di due quadrati
Somma di quattro quadrati – p. 7/3
Nel corso di Algebra abbiamo dimostrato che
il prodotto di due numeri esprimibili come
somma di due quadrati è anch’esso
somma di due quadrati
sfruttando il fatto che la norma di un intero di
Gauss è somma di due quadrati:
ka + ibk = a2 + b2
in Z[i]
Somma di quattro quadrati – p. 7/3
Analogamente potevamo sfruttare il fatto che nel
corpo degli ipercomplessi
Somma di quattro quadrati – p. 8/3
Analogamente potevamo sfruttare il fatto che nel
corpo degli ipercomplessi
la norma di un quaternione è
somma di quattro quadrati:
Somma di quattro quadrati – p. 8/3
Analogamente potevamo sfruttare il fatto che nel
corpo degli ipercomplessi
la norma di un quaternione è
somma di quattro quadrati:
kqk = ka + ib + jc + kdk = a2 + b2 + c2 + d2
Somma di quattro quadrati – p. 8/3
OSSERVAZIONE
Somma di quattro quadrati – p. 9/3
OSSERVAZIONE
+
Somma di quattro quadrati – p. 9/3
OSSERVAZIONE
+
TEOREMA FONDAMENTALE
DELL’ ARITMETICA
Somma di quattro quadrati – p. 9/3
OSSERVAZIONE
+
TEOREMA FONDAMENTALE
DELL’ ARITMETICA
⇓
Somma di quattro quadrati – p. 9/3
OSSERVAZIONE
+
TEOREMA FONDAMENTALE
DELL’ ARITMETICA
⇓
Ci basta dimostrare che
Somma di quattro quadrati – p. 9/3
OSSERVAZIONE
+
TEOREMA FONDAMENTALE
DELL’ ARITMETICA
⇓
Ci basta dimostrare che
Ogni numero primo è somma di 4 quadrati.
Somma di quattro quadrati – p. 9/3
Le dimostrazioni
La dimostrazione che daremo si basa sul
seguente
Somma di quattro quadrati – p. 10/3
Le dimostrazioni
La dimostrazione che daremo si basa sul
seguente
Lemma: Sia p un numero primo.
Allora esistono interi x, y che soddisfano la
seguente relazione:
x2 + y 2 + 1 ≡ 0 (mod p)
Somma di quattro quadrati – p. 10/3
Le dimostrazioni
La dimostrazione che daremo si basa sul
seguente
Lemma: Sia p un numero primo.
Allora esistono interi x, y che soddisfano la
seguente relazione:
x2 + y 2 + 1 ≡ 0 (mod p)
Notare che il caso p = 2 è banale: 2 = 12 + 12 + 02 + 02
Dunque, poiché p è primo, è dispari.
Somma di quattro quadrati – p. 10/3
Le dimostrazioni
Dimostrazione:
Poiché gli elementi non nulli in Z/pZ, con p primo,
sono p − 1 e
Somma di quattro quadrati – p. 11/3
Le dimostrazioni
Dimostrazione:
Poiché gli elementi non nulli in Z/pZ, con p primo,
sono p − 1 e
a2 = (−a)2 ,
Somma di quattro quadrati – p. 11/3
Le dimostrazioni
Dimostrazione:
Poiché gli elementi non nulli in Z/pZ, con p primo,
sono p − 1 e
a2 = (−a)2 ,
i quadrati non nulli sono
p−1
2
Somma di quattro quadrati – p. 11/3
Le dimostrazioni
Ma 02 = 0 ⇒ anche 0 è un quadrato.
Somma di quattro quadrati – p. 12/3
Le dimostrazioni
Ma 02 = 0 ⇒ anche 0 è un quadrato.
I quadrati in Z/pZ sono dunque
p−1
p+1
+1=
2
2
Somma di quattro quadrati – p. 12/3
Le dimostrazioni
Ma 02 = 0 ⇒ anche 0 è un quadrato.
I quadrati in Z/pZ sono dunque
p−1
p+1
+1=
2
2
Considero ora i seguenti insiemi:
Somma di quattro quadrati – p. 12/3
Le dimostrazioni
Ma 02 = 0 ⇒ anche 0 è un quadrato.
I quadrati in Z/pZ sono dunque
p−1
p+1
+1=
2
2
Considero ora i seguenti insiemi:
2
S = {quadrati modulo p} = y : y ∈ Z/pZ
Somma di quattro quadrati – p. 12/3
Le dimostrazioni
Ma 02 = 0 ⇒ anche 0 è un quadrato.
I quadrati in Z/pZ sono dunque
p−1
p+1
+1=
2
2
Considero ora i seguenti insiemi:
2
S = {quadrati modulo p} = y : y ∈ Z/pZ
0
2
2
S = −1 − x : x ∈ S
Somma di quattro quadrati – p. 12/3
Le dimostrazioni
Poiché
2
S = y : y ∈ Z/pZ
0
2
2
S = −1 − x : x ∈ S
hanno lo stesso numero di elementi,
Somma di quattro quadrati – p. 13/3
Le dimostrazioni
Poiché
2
S = y : y ∈ Z/pZ
0
2
2
S = −1 − x : x ∈ S
hanno lo stesso numero di elementi, che è
maggiore della metà del numero di elementi di
Z/pZ,
Somma di quattro quadrati – p. 13/3
Le dimostrazioni
Poiché
2
S = y : y ∈ Z/pZ
0
2
2
S = −1 − x : x ∈ S
hanno lo stesso numero di elementi, che è
maggiore della metà del numero di elementi di
Z/pZ, allora esistono interi x ed y per i quali
sussiste la congruenza:
Somma di quattro quadrati – p. 13/3
Le dimostrazioni
Poiché
2
S = y : y ∈ Z/pZ
0
2
2
S = −1 − x : x ∈ S
hanno lo stesso numero di elementi, che è
maggiore della metà del numero di elementi di
Z/pZ, allora esistono interi x ed y per i quali
sussiste la congruenza:
y 2 = −1 − x2 (mod p) ⇔ x2 + y 2 + 1 ≡ 0 (mod p).
Somma di quattro quadrati – p. 13/3
Le dimostrazioni
Poiché
2
S = y : y ∈ Z/pZ
0
2
2
S = −1 − x : x ∈ S
hanno lo stesso numero di elementi, che è
maggiore della metà del numero di elementi di
Z/pZ, allora esistono interi x ed y per i quali
sussiste la congruenza:
y 2 = −1 − x2 (mod p) ⇔ x2 + y 2 + 1 ≡ 0 (mod p).
2
Somma di quattro quadrati – p. 13/3
Le dimostrazioni
Noi dimostreremo il teorema utilizzando il
Somma di quattro quadrati – p. 14/3
Le dimostrazioni
Noi dimostreremo il teorema utilizzando il
metodo della discesa infinita
Somma di quattro quadrati – p. 14/3
Le dimostrazioni
Noi dimostreremo il teorema utilizzando il
metodo della discesa infinita
dovuto a Fermat.
Somma di quattro quadrati – p. 14/3
Le dimostrazioni
Noi dimostreremo il teorema utilizzando il
metodo della discesa infinita
dovuto a Fermat.
Esistono tuttavia altre dimostrazioni. . .
Somma di quattro quadrati – p. 14/3
Le dimostrazioni
Noi dimostreremo il teorema utilizzando il
metodo della discesa infinita
dovuto a Fermat.
Esistono tuttavia altre dimostrazioni. . .
una è basata sull’algebra dei quaternioni
Somma di quattro quadrati – p. 14/3
Le dimostrazioni
Noi dimostreremo il teorema utilizzando il
metodo della discesa infinita
dovuto a Fermat.
Esistono tuttavia altre dimostrazioni. . .
una è basata sull’algebra dei quaternioni
una è basata sulla dimostrazione data da
Eulero.
Somma di quattro quadrati – p. 14/3
La discesa infinita
Si tratta di dimostrare il seguente lemma:
Somma di quattro quadrati – p. 15/3
La discesa infinita
Si tratta di dimostrare il seguente lemma:
Supponiamo che per un primo p esista un intero
m t.c.
Somma di quattro quadrati – p. 15/3
La discesa infinita
Si tratta di dimostrare il seguente lemma:
Supponiamo che per un primo p esista un intero
m t.c. 1 < m < p e mp = x21 + x22 + x23 + x24 .
Somma di quattro quadrati – p. 15/3
La discesa infinita
Si tratta di dimostrare il seguente lemma:
Supponiamo che per un primo p esista un intero
m t.c. 1 < m < p e mp = x21 + x22 + x23 + x24 .
Allora esiste un intero n, 0 < n < m t.c.
Somma di quattro quadrati – p. 15/3
La discesa infinita
Si tratta di dimostrare il seguente lemma:
Supponiamo che per un primo p esista un intero
m t.c. 1 < m < p e mp = x21 + x22 + x23 + x24 .
Allora esiste un intero n, 0 < n < m t.c.
np = y12 + y22 + y32 + y42 .
Somma di quattro quadrati – p. 15/3
La discesa infinita
Si tratta di dimostrare il seguente lemma:
Supponiamo che per un primo p esista un intero
m t.c. 1 < m < p e mp = x21 + x22 + x23 + x24 .
Allora esiste un intero n, 0 < n < m t.c.
np = y12 + y22 + y32 + y42 .
Da ciò si deduce che p stesso è somma di
quattro quadrati.
Somma di quattro quadrati – p. 15/3
La discesa infinita
Dimostrazione:
Considero mp = x21 + x22 + x23 + x24
Somma di quattro quadrati – p. 16/3
La discesa infinita
Dimostrazione:
Considero mp = x21 + x22 + x23 + x24
Pongo yi ≡ xi (mod m),
Somma di quattro quadrati – p. 16/3
La discesa infinita
Dimostrazione:
Considero mp = x21 + x22 + x23 + x24
Pongo yi ≡ xi (mod m), con yi ∈ Z e
i = 1, . . . , 4.
− m2 < yi ≤ m2
Somma di quattro quadrati – p. 16/3
La discesa infinita
Dimostrazione:
Considero mp = x21 + x22 + x23 + x24
Pongo yi ≡ xi (mod m), con yi ∈ Z e
i = 1, . . . , 4.
− m2 < yi ≤ m2
Allora y12 + y22 + y32 + y42 ≡ 0 (mod m)
Somma di quattro quadrati – p. 16/3
La discesa infinita
Dimostrazione:
Considero mp = x21 + x22 + x23 + x24
Pongo yi ≡ xi (mod m), con yi ∈ Z e
i = 1, . . . , 4.
− m2 < yi ≤ m2
Allora y12 + y22 + y32 + y42 ≡ 0 (mod m)
⇒ ∃ r ∈ Z, r ≥ 0 t.c. rm = y12 + y22 + y32 + y42 .
Somma di quattro quadrati – p. 16/3
La discesa infinita
Affermiamo che
Somma di quattro quadrati – p. 17/3
La discesa infinita
Affermiamo che
r 6= 0 e r 6= m
Somma di quattro quadrati – p. 17/3
La discesa infinita
Affermiamo che
r 6= 0 e r 6= m
Altrimenti otteniamo la seguente contraddizione:
Somma di quattro quadrati – p. 17/3
La discesa infinita
Affermiamo che
r 6= 0 e r 6= m
Altrimenti otteniamo la seguente contraddizione:
m | p , ove p è un numero primo e 1 < m < p
Somma di quattro quadrati – p. 17/3
La discesa infinita
Ricapitolando abbiamo:
Somma di quattro quadrati – p. 18/3
La discesa infinita
Ricapitolando abbiamo:
mp = x21 + x22 + x23 + x24
rm = y12 + y22 + y32 + y42
Somma di quattro quadrati – p. 18/3
La discesa infinita
Ricapitolando abbiamo:
mp = x21 + x22 + x23 + x24
rm = y12 + y22 + y32 + y42
Moltiplicando mp e rm ottengo
Somma di quattro quadrati – p. 18/3
La discesa infinita
Ricapitolando abbiamo:
mp = x21 + x22 + x23 + x24
rm = y12 + y22 + y32 + y42
Moltiplicando mp e rm ottengo
m2 rp= (x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + x4 y4 )2 +
+(x1 y2 − x2 y1 + x3 y4 − x4 y3 )2 +
+(x1 y3 − x3 y1 + x2 y4 − x4 y2 )2 +
+(x1 y4 − x4 y1 + x2 y3 − x3 y2 )2
Somma di quattro quadrati – p. 18/3
La discesa infinita
Ogni termine alla destra dell’uguale
Somma di quattro quadrati – p. 19/3
La discesa infinita
Ogni termine alla destra dell’uguale
m2 rp= (x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + x4 y4 )2 +
+(x1 y2 − x2 y1 + x3 y4 − x4 y3 )2 +
+(x1 y3 − x3 y1 + x2 y4 − x4 y2 )2 +
+(x1 y4 − x4 y1 + x2 y3 − x3 y2 )2
Somma di quattro quadrati – p. 19/3
La discesa infinita
Ogni termine alla destra dell’uguale è
divisibile per m2
Somma di quattro quadrati – p. 19/3
La discesa infinita
Ogni termine alla destra dell’uguale è
divisibile per m2
poiché yi ≡ xi (mod m), i = 1, . . . , 4.
Somma di quattro quadrati – p. 19/3
La discesa infinita
Ogni termine alla destra dell’uguale è
divisibile per m2
poiché yi ≡ xi (mod m), i = 1, . . . , 4.
Dunque . . .
Somma di quattro quadrati – p. 19/3
La discesa infinita
Ogni termine alla destra dell’uguale è
divisibile per m2
poiché yi ≡ xi (mod m), i = 1, . . . , 4.
Dunque . . .
rp = a2 + b2 + c2 + d2
Somma di quattro quadrati – p. 19/3
La discesa infinita
Ogni termine alla destra dell’uguale è
divisibile per m2
poiché yi ≡ xi (mod m), i = 1, . . . , 4.
Dunque . . .
rp = a2 + b2 + c2 + d2
con 0 < r < m e a, b, c, d ∈ Z.
Somma di quattro quadrati – p. 19/3
La discesa infinita
Ogni termine alla destra dell’uguale è
divisibile per m2
poiché yi ≡ xi (mod m), i = 1, . . . , 4.
Dunque . . .
rp = a2 + b2 + c2 + d2
con 0 < r < m e a, b, c, d ∈ Z.
2
Somma di quattro quadrati – p. 19/3
Un po’ di storia...
Nel 1621 Bachet afferma senza dimostrarlo che
“ogni intero positivo è
somma di quattro quadrati”.
Somma di quattro quadrati – p. 20/3
Bachet
Somma di quattro quadrati – p. 21/3
Un po’ di storia...
Nel 1770 Waring fa la stessa osservazione di
Bachet in Meditationes algebricae.
Somma di quattro quadrati – p. 22/3
Waring
Somma di quattro quadrati – p. 23/3
Un po’ di storia...
Più tardi lo stesso anno Lagrange prova che
g(2) = 4.
Somma di quattro quadrati – p. 24/3
Lagrange
Somma di quattro quadrati – p. 25/3
Un po’ di storia...
Nel 1834 Jacobi dà una semplice formula per il
numero totale di rappresentazioni di un intero
come somma di quattro quadrati.
Somma di quattro quadrati – p. 26/3
Jacobi
Somma di quattro quadrati – p. 27/3
Un po’ di storia...
Nel 1909 Hilbert dimostra
l’esistenza di g(k) per ogni k.
Somma di quattro quadrati – p. 28/3
Hilbert
Somma di quattro quadrati – p. 29/3
Un po’ di storia...
. . . e chi vuole saperne di più . . .
Somma di quattro quadrati – p. 30/3
Un po’ di storia...
. . . e chi vuole saperne di più . . .
può trovare un esaustivo resoconto della
“vicenda” dei quattro quadrati in:
Somma di quattro quadrati – p. 30/3
Un po’ di storia...
. . . e chi vuole saperne di più . . .
può trovare un esaustivo resoconto della
“vicenda” dei quattro quadrati in:
Leonard Eugene Dickson, History of the theory of
numbers. Vol. II: Diophantine analysis, Chelsea
Publishing Co., New York, 1966, Cap. VIII
Somma di quattro quadrati – p. 30/3