Introduzione al calcolo delle probabilità

Introduzione al calcolo
delle probabilità
L. Boni
Approccio empirico
OSSERVAZIONE
IPOTESI
TEORIA DOMINANTE
ESPERIMENTO
Introduzione al calcolo delle probabilità
L’esperimento
Un esperimento (dal latino ex, “da”, e perire,
“tentare”, “passare attraverso”) è la
realizzazione di un’operazione empirica atta
ad individuare, accertare o precisare, qualche
aspetto specifico di un fenomeno osservabile,
che potrebbe riguardare qualunque area di
conoscenza (medicina, chimica, fisica, …)
Introduzione al calcolo delle probabilità
La variabilità
 Caratteristica fondamentale di un
esperimento è quella di dare luogo a più di
un possibile risultato e di essere ripetibile
 Ripetendo un esperimento non si ottiene
necessariamente lo stesso risultato ottenuto
nelle altre prove
 Quando un esperimento viene ripetuto n
volte, si ottiene una sequenza ordinata di n
risultati, probabilmente non tutti differenti
Introduzione al calcolo delle probabilità
La variabilità
Introduzione al calcolo delle probabilità
La variabilità
Obiettivo della scienza è spiegare la
variabilità presente in natura
La statistica fornisce gli strumenti per capire i
fenomeni naturali in presenza di variabilità
Scopo del disegno dell'esperimento è
ridurre e controllare il più possibile la
variabilità in modo da rendere la teoria
statistica applicabile nell'ambito del processo
conoscitivo riguardante la natura
Introduzione al calcolo delle probabilità
L’esperimento
Supponiamo di lanciare una moneta e di
osservarne la faccia superiore
Questa è un'osservazione o misurazione
Qualsiasi processo che porti ad effettuare, su
base empirica, un'osservazione viene definito
esperimento
Introduzione al calcolo delle probabilità
Eventi a spazio campionario
Consideriamo un altro semplice esperimento
che consiste nel lanciare un dado e
nell'osservare il numero posto sulla faccia
superiore
I possibili risultati di questo esperimento sono
sei
Introduzione al calcolo delle probabilità
Eventi a spazio campionario
Va notato che se l'esperimento viene effettuato
una sola volta, può essere osservato uno ed
uno solo dei sei possibili risultati. Ciascuno di
essi, poichè non è scomponibile in altri risultati
più semplici, rappresenta un evento
elementare
L'insieme di tutti i possibili eventi elementari che
possono verificarsi nel corso di un esperimento
viene definito spazio campionario (S)
dell'esperimento
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Spazio campionario
Lo spazio campionario può essere
rappresentato con la seguente notazione:
S: 1, 2, 3, 4, 5, 6
o con un diagramma di Venn:
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Spazio campionario
e probabilità
Definito lo spazio campionario S è possibile
assegnare a ciascun punto i di S un numero
reale pi che viene chiamato probabilità
dell’evento i
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Definizione di probabilità
La probabilità di un evento è il rapporto tra il
numero dei casi favorevoli all'evento e il
numero dei casi possibili, purché questi
ultimi siano tutti equiprobabili.
Pierre Simon Laplace
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Definizione di probabilità
Limite cui tende la proporzione di volte in cui
un evento si realizza, al tendere all'infinito del
numero delle occasioni.
Richard von Mises
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Definizione di probabilità
Introduzione al calcolo delle probabilità
Definizione di probabilità
La probabilità di un evento è il prezzo che
un individuo ritiene equo pagare per
ricevere 1 se l'evento si verifica, 0 se
l'evento non si verifica.
De Finetti e Savage
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Definizione di probabilità
Approccio matematico, frequentista e
soggettivista non hanno in comune il modo di
intendere la probabilità, ma condividono il modo
di trattarla. Tutti e tre rispettano i seguenti
assiomi che Kolmogorov pose a base del calcolo
della probabilità:
0 ≤ pi ≤ 1
p1 + p2 + … + pN = P(S) = 1
P() = 0
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Distribuzione di probabilità
Ogni insieme di numeri pi che soddisfi
queste condizioni viene definito distribuzione
di probabilità in S
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Distribuzione di probabilità
Gli eventi elementari appartenenti al
medesimo spazio campionario sono
mutuamente esclusivi, ma non
necessariamente equiprobabili
Introduzione al calcolo delle probabilità
Eventi
A partire dallo spazio campionario può
essere definito un qualsiasi evento,
rappresentabile come un sottoinsieme di S,
e quindi costituito da due o più eventi
elementari
Esperimento: osservare un numero pari sulla faccia superiore di un dado
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Eventi
La probabilità dell’evento A è ricavabile
come somma delle probabilità pi di tutti i
punti i che lo definicono e viene indicata
con P(A)
P(A)=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)=1/6+1/6+1/6=1/2
Da notare che:
0  P(A)  1
1
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Eventi complementari
Il complemento di un evento A è l'evento
che si verifica quando non si verifica A,
ossia l'evento costituito da tutti gli eventi
elementari che non sono compresi in A
Il complemento di A viene indicato con Ā
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Eventi complementari
Tutti gli eventi elementari di S sono inclusi
in A oppure in Ā, ma nessuno di essi
appartiene sia ad A che ad Ā
Ne deriva che:
P(A) + P(Ā) = P(S) = 1
e
P(Ā) = 1 - P(A)
Caso particolare: P(S) = 1  P() = 0
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Eventi composizione
Un evento può spesso essere visto come
composizione di due o più eventi
L'evento composizione può verificarsi
secondo due diverse modalità:
intersezione o unione
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Evento intersezione
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Evento intersezione
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Evento unione
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Evento unione
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Eventi unione e intersezione
Poichè unione ed intersezione di
eventi rappresentano a loro volta
eventi, è possibile calcolare la loro
probabilità
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Introduzione al calcolo delle probabilità
Probabilità di un evento unione
Introduzione al calcolo delle probabilità
Probabilità di un evento unione
Nel caso in cui AB non contenga alcun
evento elementare, se cioè gli eventi A e B
sono mutuamente esclusivi, la probabilità
dell’unione di A e B equivale alla somma
delle probabilità di A e B
Ovvero: P(AB) = P(A) + P(B)





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Evento unione
P(M) = P(M-nS) + P(M-S) = 63%
P(S) = P(M-S) + P(F-S) = 68%
P(M-S) = 45%
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Evento unione
P(M-nS) ?
P(M-nS) = P(M) - P(M-S) = 63% - 45% = 18%
Introduzione al calcolo delle probabilità
Evento unione
P(M-nS) ?
P(M-nS) = P(M) - P(M-S) = 63% - 45% = 18%
P(F-S) ?
P(F-S) = P(S) - P(M-S) = 68% - 45% = 23%
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Evento unione
P(F-nS) ?
P(F-nS)=P(Sc) - P(M-S) - P(M-nS) - P(F-S) =
= 100% - 45% - 18% - 23% = 14%
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Evento unione
P(MS) ?
P(MS) = P(M) + P(S) - P(MS) =
= P(M-S)+P(M-nS)+P(M-S)+P(F-S)-P(M-S)=
= 45% + 18% + 45% + 23% - 45% = 86%
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Esperimento composto
Consideriamo due esperimenti:
Esperimento 1: spazio campionario S, distribuzione probabilità pi
Esperimento 2: spazio campionario T, distribuzione probabilità qj
Se l'esperimento 1 e l'esperimento 2
vengono eseguiti in successione,
nell'insieme possiamo parlare di
esperimento composto
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Esperimento composto
Esempio:
Lanciare un dado e successivamente
lanciare una moneta
In questo caso quale sarà
il modello di probabilità appropriato?
(spazio campionario e distribuzione di
probabilità)
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Esperimento composto
Il risultato di un esperimento composto può
essere rappresentato da una coppia di valori
(i, j), dove i identifica il risultato del primo
esperimento e j identifica quello del secondo
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Esperimento composto
Lo spazio campionario è definito da tutte le
coppie (i, j) dove iS e jT, viene chiamato
prodotto cartesiano di S e T e viene indicato
con SxT
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Esperimenti indipendenti
Assumiamo che il risultato del primo
esperimento non influenzi in alcun
modo il risultato del secondo
esperimento
Su un gran numero di lanci la moneta
mostrerà testa circa la metà delle volte
In un sesto di queste occasioni il dado
mostrerà il valore 1
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Regola del prodotto
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Regola del prodotto
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Regola del prodotto
La frequenza relativa di ottenere testa con la
moneta e 1 con il dado, in un grande numero di
ripetizioni dell'esperimento composto, dovrebbe
essere 1/2 x 1/6
P(i, j) = pi x qj
Se e solo se le probabilità di SxT possono
essere assegnate secondo la regola del prodotto
per tutti i punti iS e jT i due esperimenti
vengono definiti indipendenti
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Esperimenti indipendenti
E' ovvio che P(i, j)  0 per tutti i punti (i, j)SxT
Poiché inoltre
allora
da cui deriva che P(i, j) = pi x qj definisce una
appropriata distribuzione di probabilità nello spazio
campionario SxT
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Eventi indipendenti
Se due esperimenti sono indipendenti, le
probabilità dei risultati di un esperimento
composto possono essere calcolate per
mezzo della regola del prodotto
Possiamo chiamare due eventi
indipendenti se le loro probabilità
soddisfano una regola simile
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Eventi indipendenti
Due eventi A e B possono essere definiti
indipendenti se e solo se
P(AB) = P(AB) = P(A) x P(B)
Nota: non è sempre ovvio se due eventi
sono o non sono indipendenti finchè non
sono state calcolate le tre probabilità P(AB),
P(A), P(B)
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Eventi indipendenti
dal diagramma si ricava che P(MS) = 0.45,
ma P(M) x P(S) = 0.63 x 0.68 = 0.43,
da cui deriva che P(MS)  P(M) x P(S)
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Probabilità condizionata
In certi casi la conoscenza del fatto che si è
verificato un certo evento A modifica la
probabilità del verificarsi dell’evento B
I due eventi non sono indipendenti
Introduzione al calcolo delle probabilità
Probabilità condizionata
La probabilità dell'evento B (=stato civile)
nell'ambito del sottoinsieme di S definito
dall'evento A (=sesso) è chiamata
probabilità condizionata di B dato A e si
indica con P(B|A)
Introduzione al calcolo delle probabilità
Probabilità condizionata
Consideriamo N ripetizioni di un esperimento
con N molto grande
L'evento A consiste nell’estrarre dalla
popolazione un individuo maschio
L’evento B consiste nell’estrarre dalla
popolazione un individuo sposato
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Probabilità condizionata
L'evento A si verificherà circa N x P(A) volte
(es.: 1000 x 0.63 = 630)
Il numero di volte in cui si verificheranno sia A
che B sarà circa N x P(AB)
(es.: 1000 x 0.45 = 450)
Introduzione al calcolo delle probabilità
Probabilità condizionata
La proporzione di occasioni in cui B si
verificherà rispetto al numero di volte in cui si
verificherà A sarà quindi
=
450
= 0.71
630
da cui deriva che
Nota: se P(A) = 0 allora P(B|A) non è definita
Introduzione al calcolo delle probabilità
Probabilità condizionata
Con lo stesso ragionamento possiamo
dimostrare che:
Introduzione al calcolo delle probabilità
Probabilità condizionata
Inoltre poiché
allora
e analogamente
Introduzione al calcolo delle probabilità
Probabilità condizionata
Poiché due eventi A e B sono definiti
indipendenti se e solo se
P(AB) = P(A) x P(B)
ne consegue che A e B sono indipendenti se
e solo se
P(B|A) = P(B)
e
P(A|B) = P(A)
Introduzione al calcolo delle probabilità
Probabilità condizionata
Le precedenti relazioni indicano che, se A e B
sono indipendenti, la conoscenza che uno dei
due si sia verificato non modifica la probabilità
dell'altro
Ovviamente se P(AB) = 0, se cioè i due eventi
sono mutuamente esclusivi, allora P(B|A) = 0
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Introduzione al calcolo delle probabilità
Teorema di Bayes
Supponiamo di conoscere le probabilità
P(Ai) e P(B|Ai) e di essere interessati a
conoscere P(Ai|B)
Introduzione al calcolo delle probabilità
Teorema di Bayes
inoltre
P(AiB) = P(B|Ai) x P(Ai)
da cui
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Teorema di Bayes
Bisogna notare che S = A1A2  A3  …  Ak
e che B = (A1B) (A2B) (A3B)  … (AkB)
Introduzione al calcolo delle probabilità
Teorema di Bayes
quindi
P(B) = P(A1B)+P(A2B)+P(A3 B)+…+P(AkB)
da cui deriva che
P(B) =  P(B|Ai) x P(Ai)
Introduzione al calcolo delle probabilità
Teorema di Bayes
In una fabbrica tre macchine producono
rispettivamente il 20%, 30% e 50% dei prodotti:
P(A1)=0.2
P(A2)=0.3
P(A3)=0.5
Ogni macchina produce una percentuale di prodotti
difettosi pari al 5%, 3% e 1%:
P(B|A1)=0.05
P(B|A2)=0.03
P(B|A3)=0.01
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Teorema di Bayes
Qual è la probabilità di ottenere un prodotto
difettoso, ovvero P(B) ?
P(B)= P(B|Ai) x P(Ai)=0.01+0.009+0.005=0.024
Qual è la probabilità che, osservato un prodotto
difettoso, questo sia uscito dalla macchina 3,
ovvero P(A3|B) ?
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Teorema di Bayes
Qual è la probabilità di ottenere un prodotto
difettoso, ovvero P(B) ?
P(B)= P(B|Ai) x P(Ai)=0.01+0.009+0.005=0.024
Qual è la probabilità che, osservato un prodotto
difettoso, questo sia uscito dalla macchina 3,
ovvero P(A3|B) ?
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Introduzione al calcolo delle probabilità
In sintesi…
 Abbiamo definito evento elementare e spazio campionario
 Abbiamo visto che a ciascun evento elementare può essere
assegnato un numero reale, a cui attribuiamo il significato di
probabilità
 Abbiamo definito probabilità come il limite a cui tende il
rapporto fra il numero di volte in cui un evento si realizza e il
numero totale di occasioni
 Abbiamo definito il significato di evento, rappresentabile
come un sottoinsieme di S, e abbiamo visto che la sua
probabilità può essere calcolata come somma delle singole
probabilità degli eventi elementari che lo compongono
Introduzione al calcolo delle probabilità
In sintesi…
 Abbiamo definito unione e intersezione di eventi
 Abbiamo visto come può essere calcolata la probabilità di un
evento unione
 Abbiamo visto come può essere calcolata la probabilità di un
evento intersezione, sotto la condizione di indipendenza e di
dipendenza degli eventi di interesse
 Abbiamo visto come, attraverso il teorema di Bayes, sia
possibile modificare le nostre aspettative nei confronti di un
evento, quando veniamo a conoscenza dell’esito di un altro
evento, al primo correlato (probabilità a priori vs.
probabilità a posteriori)
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