Cinematica – seconda parte
Moto nello spazio e nel piano
La velocità nel piano
L’accelerazione nel piano
Moto circolare
Moto circolare uniforme
Moto circolare uniformemente accelerato
Notazione vettoriale del moto circolare
Moto parabolico
Moto parabolico (2)
Moto parabolico (3)
Moto parabolico (4)
Moto nel piano del punto P
Coordinate cartesiane
La posizione del punto P e’ individuata dalle coordinate del
punto P rispetto una terna di assi cartesiani , legate al raggio
r
r
r
r
vettore r
r = x( t )u x + y (t )u y (nel piano)
coordinate polari
:polo O
determina r
un asse per O determina θ
x(t ) = r (t ) cos(θ (t ))
y (t ) = r (t ) sin(θ (t ))
Θ(t)
r=
x 2 + y 2 tan(θ ) =
y
x
Variazione della posizione
r
r (t )
r ∆s
∆r
r
r (t + ∆t )
∆s
r
∆r
arco
corda
al limite, per ? tà0,
corda e arco coincidono
lim ∆r = lim ∆s
∆t → 0
∆ t →0
r
dr
da informazione
sullo spostamento.
In modulo per tempi
infinitesimi dr = ds
1
La velocità nel piano:
Derivata di un vettore : limite del rapporto tra il vettore
differenza dei vettori posizione negli istanti t e t+∆t e
l’intervallo di tempo stesso
r
∆∆rr
Θ(t)
r
r
∆r − > // uT
r
r
∆r ds r
v = lim
= uT
∆t → 0 ∆t
dt
r
uT
è il versore tangente alla traiettoria nel punto
dove si calcola la derivata .
La velocità è sempre tangente alla traiettoria e ha modulo
Coordinate curvilinee
cinematica 2 dim
r
r dr ds r
v =
=
uT
dt
dt
v=
ds
dt
Rappresentazione che mostra
come la velocita’ e’ sempre
tangente alla traiettoria
3
Velocita’ in Coordinate cartesiane
La posizione del punto viene determinata dal vettore posizione in funzione del tempo
in un dato sistema di riferimento:
r
r
puo’ essere decomposto
r ( t ) = x ( t )uˆ + y ( t ) uˆ + z ( t ) uˆ
r (t)
x
y
z
Ricordiamo la definizione di velocita’ , di rapporto incrementale e di derivata, di
derivata di un prodotto e di derivata di una somma si ha che versori degli assi sono
vettori fissi e quindi non variano nel tempo, e x(t) , y(t) , z(t) sono funzioni scalari.
Chiamiamo v x(t) , v y (t), v z(t) le relative derivate; esse sono le velocita’ scalari nelle
tre direzioni. Nel piano si hanno solo due componenti.
r
r dr dx r dy r
r
r
v=
=
ux + u y = vxux + v yuy
dt dt
dt
vx =
dx
dt
vy =
dy
dt
v=
vx2 + v 2y
2
La velocità nel piano
r
r dr ds r
v=
= uT
dt dt
Coordinate curvilinee
Coordinate cartesiane
Rappresentazione che mostra
come la velocita’ e’ sempre
tangente alla traiettoria
r
dx r
dy r
r dr
r
r
v =
=
ux +
u y = v xu x + v yu y
dt
dt
dt
dx
dy
v = vx2 + v 2y
vx =
vy =
dt
dt
Versore di r
Coordinate polari
rispetto polo o
vθ
r
r
r
du
r dr d (r u r ) dr r
v =
=
= ur + r r
dt
dt
dt
dt
dr r
dθ r
r
r
= ur + r
uθ = vr ur + vθ uθ
dt
dt
Derivata di un versore :
e’ un vettore diretto
perpendicolarmente al
versore stesso. Il suo
modulo dipende dalla
variazione della direzione
del versore stesso
velocità radiale
dr velocità trasversa
vr =
vθ
parallela a r
dt al raggio r
vr
cinematica 2 dim
=r
Dipendono entrambe dal polo O scelto perche’ vr e’ la
componente della velocita’ parallela al vettore OP........
dθ
dt
5
L’accelerazione nel piano
Consideriamo una traiettoria curvilinea nel piano: la velocita’ ha
sempre direzione tangente alla traiettoria. Variazioni della
velocita’ si ha anche soltanto per un cambiamento di direzione
della velocita’ perche’ la traiettoria e’ curva. E questa variazione,
dovuta a una variazione di direzione e’ detta accelerazione
normale alla traiettoria. Vediamo che inoltre la variazione della
velocita’ e’ tanto piu’ grande tanto piu’ la traiettoria curva
Vogliamo trovare un’espressione che lega quantitativamente le
caratteristiche della traiettoria e la accelerazione normale alla
traiettoria
3
L’accelerazione nel piano
componenti cartesiane
r
r dv dv x r dvy r
a=
=
ux +
uy
dt
dt
dt
r
r
r r
= ax ux + a y uy = ax + a y
componenti curvilinee
r
r
r dv d 2 r
a=
= 2
dt
dt
ds
r
r
v = v uT
r
r dv r
duT
a=
uT + v
dt
dt
ρ
dϕ
La traiettoria può essere approssimata da un tratto di
circonferenza con centro in C e raggio di curvatura CP=ρ
Troviamo la relazione
ds = ρ dϕ
Cerchio osculatore si ottiene tracciando due
rette perpendicolari in due punti contigui
r
della traiettoria
duT . Le due rette si incontrano
in un punto detto
del cerchio
=centro
?
dt curva nel punto considerato .
osculatore della
L’accelerazione nel piano DIMOSTRAZIONE
r
r
r dv d 2 r
a=
= 2
dt
dt
r
r
v = v uT
r
r dv r
duT
a = uT + v
dt
dt
ds
Ut
dϕ
Ut '
dUt = 1dϕ
dϕ
ρ
ds
= dϕ
ρ
r
duT dϕ r
1 ds r
v r
=
uN =
uN = uN
dt
dt
ρ dt
ρ
dv d 2 s
=
dt dt 2
r dv r v2 r
a=
uT + u N
dt
ρ
r
r
r r
= aT uT + a N u N = aT + a N
a=
aT2 + aN2
r
Se il moto è curvilineo, a N è sempre
diversa da zero e diretta verso la concavità
4
L’accelerazione nel piano : conclusioni
r dv r v2 r
a = uT + uN
dt
ρ
r
r r r
= aT uT + aNuN = aT + aN
Accelerazione tangente :
variazione del modulo
(intensita’) della velocita’
Accelerazione centripeta
o normale : variazione
della direzione della
velocita’
r
Se il moto è curvilineo, a N è sempre
diversa da zero e diretta verso la concavità
a = aT2 + aN2
Moto circolare La traiettoria è una circonferenza (o un arco di circonferenza)
La velocità cambia continuamente direzione à il moto è
accelerato ha sempre almeno accelerazione normale.
θ
s
La traiettoria è una circonferenza (o un arco di circonferenza)
per cui la velocita’, sempre tangente alla circonferenza, e’ sempre
normale al raggio r.
Il raggio coincide con il raggio di curvatura.
La posizione viene individuata da s(t) o da θ(t)
àSe utilizziamo le coordinate polari , prendendo come polo il centro
della circonferenza, la velocita ’ coincide con la velocita’ trasversa
r
r
vr = v u r = 0
s (t ) = R θ (t )
ω(t ) =
d θ (t) v (t )
=
dt
R
v = vθ =
velocità angolare
ds
dθ
=R
= Rω
dt
dt
puo’ variare nel tempo o essere costante
5
Definiamo accelerazione angolare come
variazione della velocita’ angolare
s
θ
dω
d 2θ
=
dt
dt 2
s
ma θ =
per cui
R
d 2s
essendo a T =
dt 2
1 d 2s
a
α =
= T
2
R dt
R
α =
aT =
dv
dω
=R
= Rα
dt
dt
aN =
v2
= ω2R
R
accelerazione normale
sempre rivolta
verso il centro
accelerazione tangente
Moto particolare α=0 accelerazione angolare
coatante
Moto circolare uniforme: α=0
v = costante, ω = costante
aT = 0, α = 0
aN =
v2
= ω 2 R = costante
R
Legge oraria:
Moto
periodico
θ (t ) = θ 0 + ωt
s (t ) = s0 + vt
T =
2πR 2π
=
v
ω
Le proiezioni sugli assi cartesiani:
θ
s
x = R cos θ = R cos(θ 0 + ωt )
y = R sin θ = R sin( θ 0 + ωt )
Descrivono due moti armonici, tra loro in quadratura, con
pulsazione NUMERICAMENTE uguale alla velocità angolare
Unità di misura [? ] = radianti/secondi = rad/s
6
Moto circolare
Le equazioni hanno forma analoga a quelle del moto rettilineo
θ (t ), ω (t ) =
dθ
dω
, α (t) =
dt
dt
s( t ), v( t ) =
e viceversa, θ (t )
= θ 0 + ∫ ω (t ) dt
s( t ) = s0 + ∫ v (t ) dt
ω ( t ) = ω 0 + ∫ α (t ) dt
Unità di misura
[a] = rad/s2
ds
dv
, aT ( t ) =
dt
dt
v (t ) = v0 + ∫ aT ( t ) dt
Moto circolare uniformemente accelerato
α = costante
aT = αR = costante,
ω =ω 0 +α t , θ = θ 0 + ω0 t + 12 α t 2
aN = ω 2 R = v 2 / R = (ω 0+α t )2 R variabile
L’accelerazione angolare si misura in rad s-2 o s-2
Le grandezze angolari quali velocita’ ed accelerazione
risultano essere grandezze vettoriali, mentre lo
spostamento e’ una grandezza scalare.
7
Notazione vettoriale
La direzione della
velocità angolare
è perpendicolare
al piano del moto
r r r
v =ω×r
r =R
Il verso viene dato
dalla regola
della vite (cavatappi)
r
r dω
Il vettore accelerazione angolare α =
dt
r
r
se ω ha direzione fissa à α ha la stessa direzione
r
Il verso dipende dal segno della variazione di ω
QUANTO VISTO VALE SOLO PER IL MOTO CIRCOLARE
r r r
v =ω×r
ϕ
r sin ϕ = R
r
r dv
d r r
a =
= (ω × r )
dt dt
v
r
d ω r r dr
=
× r +ω ×
dt
dt
r r r r
=α × r +ω ×v
r
r
= aT + aN
Esempio moto a due dimensioni : Moto parabolico
8
velocita’
piu’ semplici da
analizzare
condizioni iniziali (t = 0):
x0 = y0 = 0
r r
r
a = g = −g u y
( ax = 0, a y = − g )
r
r
r
v0 = v0 cosθ ux + v0 sinθ uy
v0x = v0 cosθ
v0y = v0 sinθ
Condizioni iniziali (t = 0):
x0 = y0 = 0
r
r
r
v0 = v0 cosθ u x + v0 sin θ u y
r
r
= v0 x ux + v0 y u y
r
a = gr = − g ur
?
Le equazioni del moto sono:
x (t ) = v0 cosθ t
y
( a x = 0, a y = − g )
x
t=
v0 cos θ
y( t ) = v0 sin θ t − 12 gt 2
y( x) = x tan θ −
2v02
g
x2
cos 2 θ
Equazione della traiettoria
(parabola)
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Moto parabolico (2)
La parabola incontra l’asse x in due punti:
Condizione y( x) = 0
1) x = 0 (all’origine)
2)xG: gittata
xG =
L’altezza massima:
condizione
dy
v y = 0 oppure
=0
dx
La gittata massima
condizione:
yM = y ( xM ) =
Tempo di volo:
dxG
=0
dθ
θ = 45o ⇒ xGM =
2v 0 cosθ sin θ v0 sin 2θ
=
= 2 xM
g
g
v02 sin 2 θ
2g
tG =
xG
= 2t M
vx
• Il tempo di salita è uguale a quello di discesa
• La velocità al suolo e uguale quella iniziale
• v(x M) = v ox
v02
g
Approfondimenti:
10
