Incontri di introduzione
alla Relatività Generale
Seconda parte
La Torre del Sole - 18 Novembre 2015
Dr. Andrea Castelli, Ph.D.
Università degli Studi di Bologna
Piano della presentazione
PARTE SECONDA - 18 Novembre 2015
LA STRUTTURA DELLA RELATIVITA’ GENERALE
1. La gravitazione prima di Einstein
2. Il principio di equivalenza
3. Il principio di relatività generale
4. La geometria dello spazio-tempo: brevi e semplici accenni alle geometrie non
euclidee e al calcolo tensoriale
5. Il principio di covarianza generale
Il contesto storico-scientifico
La Relatività Ristretta, unificando le leggi della meccanica e
quelle dell’elettromagnetismo, aveva introdotto il concetto
dell’uguaglianza della forma delle leggi della fisica per tutti gli
osservatori inerziali.
Sono, però, escluse un gran numero di situazioni da questo
quadro teorico: quelle in cui il sistema di riferimento è in moto
accelerato.
Il cruccio che tormentava Einstein, negli anni immediatamente
dopo il 1905, era il fatto che i sistemi che si muovono di moto
accelerato non rientrassero nella generalizzazione operata dalla
Relatività Ristretta.
Il contesto storico-scientifico
Stimolato dalla lettura delle opere di Ernst Mach, Einstein
cominciò a capire che il problema della gravitazione doveva
essere legato all’inerzia e cominciò così a lavorare ad una
generalizzazione della teoria della Relatività Ristretta ai sistemi di
riferimento accelerati.
L’obiettivo di Einstein era quello di trovare una teoria che
consentisse di scrivere le leggi fisiche nella medesima forma per
qualsiasi sistema di riferimento, anche non inerziale, quindi in
modo del tutto indipendente dallo stato di moto
dell’osservatore.
La gravitazione prima di Einstein
Newton aveva cercato di spiegare perché le cose cadono e i
pianeti girano. Aveva immaginato una forza che attrae tutti i corpi
l’uno verso l’altro e l’aveva chiamata forza di gravità.
Come facesse questa forza ad attrarre le cose da lontano, senza
che ci fosse niente in mezzo, non era spiegato.
Newton aveva anche immaginato che i corpi si muovessero nello
spazio e che lo spazio fosse un grande contenitore vuoto. Di
cosa fosse fatto questo "spazio" contenitore del mondo, neppure
se ne dava spiegazione.
La gravitazione prima di Einstein
La gravitazione prima di Einstein
Il modulo della forza con cui interagiscono due corpi qualsiasi
dotati di massa è direttamente proporzionale al prodotto delle
loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della
reciproca distanza.
La direzione lungo cui agisce la forza è quella della retta
congiungente i centri di massa.
La forza gravitazionale è sempre attrattiva. La costante di
gravitazione universale, indicata con G, esprime la proporzionalità
tra le suddette grandezze ed è la medesima per qualsiasi coppia
di corpi dotati di massa, ovunque si trovino nell’universo.
La gravitazione prima di Einstein
Grande successo sperimentale della teoria di Newton:
- accordo con i dati sperimentali sul moto dei pianeti;
- spiegazione della precessione degli equinozi (fenomeno noto fin
dai tempi dei Greci);
- spiegazione del fenomeno delle maree;
- previsione e spiegazione di fenomeni nuovi:
il moto di un pianeta è influenzato dall’attrazione gravitazionale
esercitata dal Sole e, in misura minore, da tutti gli altri pianeti ⇒
orbite perturbate ⇒ variazione dei parametri orbitali.
La gravitazione prima di Einstein
Difficoltà della teoria di Newton:
- disaccordo con i dati sperimentali sulla precessione del perielio
di Mercurio (Newton postulata l’esistenza di un altro pianeta);
- nessuna spiegazione circa la natura della gravità;
- paradosso cosmologico: come fanno le stelle fisse, anch’esse
soggette alla gravità, a restare ferme in cielo?
- nuovo concetto di forza: non agisce per contatto, ma a distanza
e istantaneamente attraverso lo spazio vuoto.
Gravitazione Universale VS Relatività Ristretta
La gravità di Newton è incompatibile con la Relatività Ristretta,
poiché la trasmissione istantanea degli effetti gravitazionali tra i
corpi viola il principio relativistico secondo cui nessun segnale
può viaggiare più veloce della luce.
Inoltre, il principio di relatività speciale non includeva i moti
accelerati.
Serve quindi una teoria relativistica della gravitazione.
Il moto di caduta dei gravi
Massa inerziale e massa gravitazionale
Massa inerziale: è la resistenza che un corpo oppone all’azione
di ogni forza. E’ il fattore di proporzionalità tra forza applicata e
accelerazione acquisita: F = mi a
A parità di forza applicata, il corpo accelera con un’accelerazione
F
inversamente proporzionale alla sua massa inerziale: a = mi
Massa gravitazionale: è la “carica” gravitazionale con la quale un
corpo attrae e viene attratto da un altro secondo la legge della
gravitazione universale di Newton.
Massa inerziale e massa gravitazionale
Non importa quanto i corpi siano massicci, né di quale materiale
siano fatti: essi acquistano tutti la stessa accelerazione quando
sono sottoposti alla medesima forza gravitazionale.
Se si osserva questo, vuol dire che per tutti i corpi massa
inerziale e massa gravitazionale sono la stessa cosa.
Principio di equivalenza tra massa inerziale e massa
gravitazionale: mi = mg
“Il pensiero più felice della mia vita”
«Stavo seduto in poltrona all’Ufficio Brevetti a Berna quando,
all’improvviso, mi ritrovai a pensare: 'se una persona cade
liberamente, non avverte il proprio peso'. Rimasi stupefatto.
Questo pensiero, così semplice, mi colpì profondamente e ne
venni sospinto verso una teoria della gravitazione.»
Albert Einstein
(in J. Ishiwara, Einstein Koēn-Roku. Tokyo-Tosho, Tokyo, 1977)
«[…] mi resi conto che tutti i fenomeni naturali potevano essere
trattati in termini di Relatività Ristretta, ad eccezione della legge
di gravitazione. Provai un profondo desiderio di comprendere le
ragioni sottostanti […]»
Albert Einstein
(in J. Ishiwara, Einstein Koēn-Roku. Tokyo-Tosho, Tokyo, 1977)
Il principio di equivalenza
In un ascensore immerso in un campo gravitazionale (fig. 1B) = nello spazio
profondo a bordo di un’astronave in moto rettilineo uniformemente accelerato (fig.
2B).
In caduta libera in un campo gravitazionale uniforme (fig. 1A) = nello spazio
profondo a bordo di un’astronave in moto rettilineo uniforme (fig. 2A).
Per un osservatore posto all’interno della cabina chiusa è impossibile discernere tra
le due diverse situazioni rappresentate dalle figure 1 o 2, proprio per l’equivalenza
tra massa inerziale e massa gravitazionale.
Il principio di equivalenza
Gli effetti prodotti sui fenomeni fisici dalla presenza di un campo
gravitazionale uniforme sono equivalenti (indistinguibili), almeno
localmente, a quelli prodotti da un’opportuna accelerazione del
sistema di riferimento.
E’ possibile allora stabilire quali sono le leggi del moto in un
campo gravitazionale e quali effetti abbia un campo gravitazionale
sulla struttura dello spaziotempo semplicemente studiando
quello che accade in un sistema di riferimento opportunamente
accelerato.
La deflessione della luce
Einstein dimostra, usando il principio di equivalenza, che anche la
luce deve essere deviata dalla gravità.
Intervalli di tempo
trascorsi dall’emissione
del raggio:
d 2d 3d
, ,
c c c
Nel frattempo il razzo si
è mosso di:
✓ ◆2
1
d
s1 = a
2
c
✓ ◆2
1
d
s2 = a · 4
= 4s1
2
c
✓ ◆2
1
d
s3 = a · 9
= 9s1
2
c
Il principio di relatività generale
Pr. Eq.: un sistema inerziale e uno in cui non si avverte alcun
campo gravitazionale sono indistinguibili.
Se in un dato sistema accelerato inseriamo un campo
gravitazionale la cui accelerazione è uguale a quella del sistema,
tale sistema diventa indistinguibile, per chi è al suo interno, da un
sistema inerziale.
Quando si include la gravità, non è più possibile fare distinzioni
tra sistemi inerziali e non inerziali.
Il principio di relatività generale
Il Principio di Equivalenza impone allora una generalizzazione
della RR.
Decade il privilegio accordato dalla RR ai sistemi di riferimento
inerziali.
Principio di relatività generale: le leggi della fisica devono
essere espresse in una forma che sia identica per sistemi di
coordinate dotati di uno stato di moto qualsiasi.
Effetti della gravità sullo spazio-tempo
Osservatore A
Piattaforma ferma: C/d = ⇡
Piattaforma in rotazione: C/d > ⇡
Osservatore B
Piattaforma ferma: C/d = ⇡
Piattaforma in rotazione: C/d > ⇡
In un qualsiasi sistema non inerziale
non vale la geometria euclidea.
Effetti della gravità sullo spazio-tempo
Gli orologi 1 e 2 sono
collocati su una
piattaforma rotante.
L’orologio 3 è fermo
rispetto alle stelle fisse,
quindi è inerziale.
Gli orologi 1 e 3 restano sincronizzati, poiché in quiete uno
rispetto all’altro.
L’orologio 2 è in moto rispetto all’orologio 3 e quindi subisce la
dilatazione del tempo e rimane indietro rispetto all’orologio 3.
Per il Pr. Eq. possiamo pensare che l’orologio 1 si trovi in
condizione di assenza di gravità, mentre l’orologio 2 in presenza
di un campo gravitazionale.
Effetti della gravità sullo spazio-tempo
L’orologio 2 rimane indietro rispetto all’orologio 1. Sempre in
base al Pr. Eq., tale ritardo è imputabile alla gravitazione.
Lo scorrere del tempo è quindi influenzato dalla presenza di un
campo gravitazionale: la gravità rallenta il tempo.
Più è intenso il campo gravitazionale, maggiore è l’effetto di
rallentamento.
Le geometrie non euclidee
I 5 postulati di Euclide:
1) si può tracciare una retta da un punto qualsiasi a ogni altro
punto;
2) si può prolungare indefinitamente una retta;
3) si può descrivere un cerchio con un raggio qualsiasi e un
centro qualsiasi;
4) tutti gli angoli retti sono uguali tra loro;
5) fissati nel piano un punto P ed una retta r, non passante per P,
esiste ed è unica la retta s passante per P e parallela alla retta
data r.
Le geometrie non euclidee
Per molti secoli i matematici si convinsero che il V postulato non
fosse indipendente dagli altri, ma derivabile da essi. Numerosi
furono i tentativi di dimostrarlo.
Geometrie non euclidee: geometrie che, non accettando il V
postulato, lo negano proponendo in alternativa i seguenti due
postulati:
Va: non esiste alcuna retta s passante per il punto P e parallela ad
una retta r prefissata.
Vb: esistono almeno due rette s’ e s’’ passanti per il punto P e
parallele ad una retta prefissata r.
Le geometrie non euclidee
Geometria ellittica (Riemann): costruita sostituendo il V
postulato con Va.
Il piano - una qualunque superficie sferica.
Il punto - una qualunque coppia di punti diametralmente opposti
sulla superficie sferica.
La retta - una qualsiasi circonferenza massima (geodetica). Le
geodetiche conservano la principale caratteristica delle rette,
ovvero sono le linee più brevi che congiungono due punti dati.
Sulla superficie della sfera non esistono geodetiche che non si
incontrano, quindi non esistono parallele.
La somma degli angoli interni di un triangolo è sempre maggiore
di 180° e dipende dalla grandezza del triangolo.
Le geometrie non euclidee
Esempio comune di geometria ellittica: la sfera.
Le geometrie non euclidee
Geometria iperbolica (Bolyai-Lobacevskij): costruita
sostituendo il V postulato con Vb.
Il piano - superficie interna ad un qualunque cerchio.
Il punto - un qualsiasi punto interno al cerchio.
La retta - una qualunque corda della circonferenza.
La somma degli angoli interni di un triangolo è sempre minore di
180° e dipende dalla grandezza del triangolo.
Le geometrie non euclidee
Esempio comune di geometria iperbolica: la sella.
Le geometrie non euclidee
Da Euclide al modello meccanico di Newton dell'universo, lo
spazio geometrico era concepito come caratterizzato da rette ed
angoli retti e fondamentalmente uniforme in ogni suo punto.
Gauss fu il primo a riconoscere con chiarezza che solo con
un’indagine sperimentale sullo spazio si poteva decidere quale
fosse la geometria che meglio può descrivere l’Universo.
Egli dedusse che lo spazio fisico, almeno in regioni limitate, è
euclideo oppure, se non lo è, la deviazione è così piccola da non
poter essere rilevata con gli strumenti allora disponibili.
Tre notevolissimi risultati
1) In un sistema di riferimento accelerato non vale più la
geometria euclidea.
2) In un sistema di riferimento accelerato le coordinate spaziali
perdono il loro significato metrico: non è più possibile
misurare distanze e tempi indipendentemente dalla posizione dei
regoli e degli orologi.
A
B
3) Dal punto di vista di un
sistema di riferimento
a c c e l e r a t o, l o s p a z i o è
incurvato (distorsione delle
linee rette).
Dalla piattaforma rotante alla gravità
Gli effetti di curvatura dello spazio-tempo (sistema non inerziale
della piattaforma rotante)
Principio di Equivalenza
devono sussistere anche in un campo gravitazionale.
La presenza della gravità implica l’introduzione della curvatura
dello spazio-tempo e di proprietà geometriche non euclidee.
Dalla gravità alla curvatura dello spazio-tempo
La gravità non è la causa della curvatura dello spazio-tempo, ma
è la curvatura stessa dello spazio-tempo.
Nel quadro della RG, le masse non esercitano alcuna forza
gravitazionale. La gravità non è più una forza.
La presenza di masse (e di altre forme di energia) determina la
curvatura dello spazio-tempo che le circonda.
Verso una nuova matematica: le coordinate di Gauss
P (u4 , v4 )
Le coordinate gaussiane sono indipendenti dalla struttura dello
spazio cui vengono riferite: sono solo “etichette”.
Lo stesso vale in uno spazio-tempo a 4 dimensioni.
Il principio di covarianza generale
Per descrivere i fenomeni fisici, tutti i sistemi di coordinate
gaussiane sono equivalenti.
Le leggi della Fisica devono avere la stessa forma rispetto a
sistemi di riferimento arbitrari in cui si usano coordinate
gaussiane.
Principio di covarianza generale: le equazioni della Fisica
devono essere scritte in una forma che resti invariata quando si
passa da un sistema di coordinate gaussiane a un altro.
I due problemi fondamentali da risolvere
1) Introdurre una nuova geometria dello spazio-tempo
utilizzando coordinate “distorte”, del tutto generali e prive di
significato fisico (coordinate gaussiane).
2) Formulare equazioni per il campo gravitazionale che risultino
ugualmente valide in tutti i sistemi di questo tipo di
coordinate.
Siamo alla metà di Agosto del 1912… ci vollero ancora tre anni e
tre mesi per giungere alla completa risoluzione di questi due
enormi problemi.
Verso una nuova matematica: l’elemento lineare
Come calcolare le distanze su una superficie curva?
L’elemento lineare fornisce la distanza tra due punti
infinitamente vicini su una superficie curva.
Per mezzo dell’elemento lineare, Gauss definì i concetti di
curvatura e di geodetica.
Curvatura: un numero che indica quanto una superficie si
discosta dalla piattezza, ovvero dall’essere un piano.
Geodetica: linea più breve che unisce due punti su una
superficie curva (meridiani ed equatore su una sfera).
Bernhard Riemann generalizzò poi i risultati di Gauss a spazi ndimensionali (varietà n- dimensionali).
Verso una nuova matematica: i tensori
Funzione scalare: assegna un numero reale o complesso a ogni
punto di uno spazio (es.: temperatura, energia).
Funzione vettoriale: assegna una multipla di numeri
(componenti del vettore) a ogni punto di uno spazio (es.:
velocità, accelerazione).
Un vettore è rappresentato da componenti. L’azione di un
vettore è uguale alla somma delle azioni delle sue componenti.
Verso una nuova matematica: i tensori
V = 10 passi avanti + 5 passi a dx + 8 passi in su
Parte scalare: a = 10 passi, b = 5 passi, c = 8 passi
Parte vettoriale: i = vettore unitario che punta in avanti, j =
vettore unitario che punta a dx, k = vettore unitario che punta in
su.
V = ai + bj + ck
Operazioni tra vettori: somma, prodotto interno e prodotto
cartesiano.
Verso una nuova matematica: i tensori
U +V =W
U ·V =⌘
U ⇥V =S
I vettori possono anche essere moltiplicati per degli scalari per
ottenere nuovi vettori con diverso modulo ma uguale
direzione.
↵V = ↵V u = (↵V )u = u
Ma se volessimo cambiare sia il modulo che la direzione di un
dato vettore?
Serve un nuovo ente matematico: il tensore.
Verso una nuova matematica: i tensori
Tijk
Un tensore è un oggetto matematico (un “blocco” di numeri)
dotato di un insieme di funzioni (le componenti) che si
trasformano, al variare delle coordinate, secondo precise leggi.
I vettori e gli scalari sono casi particolari di tensori.
Verso una nuova matematica: i tensori
In uno spazio a n dimensioni un tensore di rango r ha nr
componenti.
Scalare: tensore di rango zero (1 componente - il modulo)
Vettore: tensore di rango 1 (3 componenti - modulo e una
direzione)
Diade: tensore di rango 2 (32 = 9 componenti - modulo e due
direzioni)
Triade: tensore di rango 3 (33 = 27 componenti - modulo e tre
direzioni)
Il prodotto interno di un vettore e di un tensore di rango 2 da’
come risultato un vettore con un nuovo modulo e una nuova
direzione.
Verso una nuova matematica: i tensori
Nonostante i tensori non siano invarianti rispetto a un
cambiamento di coordinate, le relazioni tra tensori restano
sempre le stesse per qualsiasi trasformazione di coordinate.
Ma perché per la Relatività Generale servono proprio i tensori?
Perché i tensori consentono di scrivere equazioni generalmente
covarianti rispetto a un qualsiasi cambiamento di coordinate.
Tutte le grandezze fisiche presenti in equazioni covarianti sono
necessariamente rappresentate da tensori.
Verso una nuova matematica: la metrica
Riemann introdusse poi un potente strumento: la metrica,
ovvero la “regola” per trovare le distanze tra i punti di una data
varietà (per calcolare l’elemento lineare in modo generale).
Teorema di Pitagora per distanze infinitesime:
2
2
ds = dx + dy
2
Distanza su una varietà generica bidimensionale con coordinate
curvilinee x, y:
2
2
ds = Adx + Bdxdy + Cdy
2
I numeri A, B e C cambiano a seconda del punto considerato e
dipendono dalle coordinate x e y.
Verso una nuova matematica: il tensore metrico
L’insieme dei coefficienti A, B e C forma il tensore metrico.
Il tensore metrico permette di definire un certo tipo di varietà e
la sua geometria (distanze, geodetiche, curvatura, etc.).
Per descrivere la curvatura di varietà a più dimensioni sono
necessari più parametri (6 in 3D… 20 in 4D).
L’insieme dei parametri che esprimono la curvatura di una
varietà a più di due dimensioni si chiama tensore di curvatura.
Verso una nuova matematica: la derivata covariante
Le equazioni della fisica sono equazioni differenziali:
contengono incrementi infinitesimi delle variabili e dei loro
rapporti, ovvero delle derivate delle funzioni incognite.
Problema: la derivata di un tensore generalmente non è un
tensore… .
Serve una nuova operazione di derivazione che consenta di
conservare le proprietà della derivazione ordinaria e in grado di
garantire l’invarianza delle relazioni differenziali tra
grandezze.
Serve dunque un’operazione che converta tensori in tensori.
Questa nuova operazioni si chiama derivata covariante.
FINE SECONDA PARTE
TESTI DI RIFERIMENTO
-
F. Toscano (2004), Il genio e il gentiluomo. Einstein e il matematico italiano che salvò la teoria della Relatività
Generale, Sironi Editore, Milano.
R. DiSalle (2006), Capire lo spazio-tempo. Lo sviluppo filosofico della fisica da Newton a Einstein, Bollati
Boringhieri, Torino.
