IL TEOREMA DI TOLOMEO E I
QUADRILATERI CICLICI
Giuseppe e Marina De Cecco
1
Introduzione
Osservando i problemi proposti alle Olimpiadi della Matematica da vari Paesi ([C],[G],[O1],[O2]), si nota che il teorema di Tolomeo e una sua
estensione sono utilizzati spesso nelle soluzioni, segno che esso fa parte (o si
ritiene che faccia parte) del bagaglio usuale di conoscenze degli studenti di
una Scuola Superiore. Poiché in Italia ci sembra un po’ trascurato, riteniamo opportuno ricordarlo e vederne alcune conseguenze alla luce anche dei
problemi proposti.
La proposizione attribuita al famoso astronomo dell’antichità Claudio Tolomeo (85-165) probabilmente era già nota precedentemente (ad Apollonio?),
ma subito è stata attribuita a lui, che l’ha utilizzata per costruire tavole di
corde ([Gs]), che ora chiamiamo tavole dei seni, giacché il seno di un angolo non è altro che la metà della corda corrispondente all’angolo doppio.
Anzi per alcuni storici questa è l’unica differenza tra la teoria greca delle
corde e la trigonometria attuale, per cui si può far risalire la fondazione della
trigonometria ad Ipparco di Nicea (II sec.a.C.) e a Tolomeo. Lo stesso vocabolo seno, in latino sinus, secondo alcuni proviene dall’abbreviazione del
latino semi-inscripta chorda, da cui S-ins o sins e infine sinus. Per altri la
storia è più lunga e curiosa. Aryabhata il Maggiore (476-550) chiamava la
semicorda ardhya-jya semplicemente jya, da cui gli Arabi avevano derivato
foneticamente jyba, che era scritto jb (omettendo come al solito le vocali).
La parola probabilmente proviene dall’indiano jiva = corda. Ora jyba, fuori
dell’ambito tecnico, non aveva alcun significato, e fu sostituito dalla parola
jaib, che contiene le stesse consonanti ma corrispondeva ad una parola esistente: insenatura, piegatura della veste, seno. Cosı́ Gherardo da Cremona
(1150) tradusse jaib con sinus, da cui la nostra parola seno.
1
Ritorniamo ora al teorema di Tolomeo, che si trova nella sua celebre opera
Composizione matematica il cui nome venne mutato dai suoi ammiratori in
Grande composizione (Mγ άλη σ ύν τ αξ ις) ed è passato alla storia col nome
arabo di Almagesto (da µγίστ η, il massimo).
La relazione di Tolomeo lega la lunghezza dei lati e delle diagonali di
un quadrilatero inscritto in una circonferenza, detto appunto ciclico, le cui
proprietà angolari sono interessanti di per sé ed utili nella risoluzione di
parecchi problemi geometrici.
Ricordiamo che un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se e solo
se i suoi angoli opposti sono supplementari; un quadrilatero è circoscrivibile
ad una circonferenza se e solo se la somma di due lati opposti è uguale alla
somma degli altri due.
2
Il teorema di Tolomeo
Enunciamo il teorema nella forma classica e ne diamo una dimostrazione, molto vicina a quella originaria di Tolomeo ([B]), che usa similitudini;
le dimostrazioni che di trovano generalmente nei libri di testo delle Scuole
superiori fanno invece uso della Trigonometria ([F]).
Teorema di Tolomeo. Il rettangolo costruito con le diagonali di un quadrilatero inscritto in un cerchio è uguale alla somma dei rettangoli costruiti
con le coppie dei lati opposti.
Dim.
Sia ABCD un quadrilatero inscritto in una circonferenza. Usando la stessa
notazione per indicare i segmenti e la loro misura, si tratta di provare che
AC · BD = AB · CD + BC · DA
[ = DBC.
\ Ora CAB
[ = CDB
\
Consideriamo su AC il punto E tale che ABE
poiché insistono sullo stesso arco BC. Inoltre i triangoli ABE e DBC sono
simili avendo due coppie di angoli uguali; quindi
AE : AB = DC : DB ⇒ AE · DB = AB · DC.
[ = DBC,
\ si ha ABD
\ = EBC.
\ Ma BDA
\ = BCA
[
Ovviamente, poiché ABE
poiché insistono sullo stesso arco AB. Inoltre i triangoli ABD e EBC sono
simili, quindi
AD : DB = CE : CB ⇒ EC · DB = AD · CB.
2
Da cui la conclusione:
AC · DB = (AE + EC) · DB = AE · DB + EC · DB = AB · DC + AD · CB.
Un caso particolare del teorema di Tolomeo si trova anche nell’opera di
Euclide:
Teorema 1. Sia ABC un triangolo inscritto in un cerchio. Se BD è una
[ allora
corda bisecante l’angolo ABC,
(AB + BC) : BD = AC : AD.
Dim.
Si fa vedere dapprima che il triangolo ADC è isoscele su base AC e poi
si usano argomenti di similitudine.
Indichiamo con H il punto di intersezione tra AC e BD. Essendo i
triangoli ABD e BHC simili si ha
BD : BC = AD : HC ⇒ BD · HC = AD · BC
analogamente essendo simili i triangoli ABD e AHD si ha
BD : AD = AB : AH ⇒ AD · AB = BD · AH
da cui, tenendo conto che AD = DC si ha
AD · BC + AB · DC = BD · HC + BD · AH = BD(HC + AH),
da cui la tesi essendo HC + AH = AC.
Si osservi che per il quadrilatero inscritto ABCD, nell’ipotesi del Teorema
2 si ha proprio il teorema di Tolomeo:
AC · BD = AD · BC + AB · DC.
Una notevole estensione del teorema di Tolomeo, molto utilizzata nelle
applicazioni, è la seguente
Teorema 2. In ogni quadrilatero convesso il prodotto delle diagonali è
minore o uguale alla somma dei prodotti dei lati opposti. L’uguaglianza vale
se e solo se il quadrilatero è ciclico.
3
In simboli
AC · BD ≤ AB · CD + BC · DA
La dimostrazione di questo teorema non è elementare; noi non la daremo
ma useremo il risultato per rispondere ad alcuni quesiti.
Osserviamo inoltre che esso dà un semplice criterio per vedere se quattro punti del piano appartengono ad una stessa circonferenza: basta infatti
conoscere solo le loro mutue distanze.
3
Osservazioni
Si osservi che se il quadrilatero è un rettangolo (che è inscrivibile in una
circonferenza), il teorema di Tolomeo diventa il teorema di Pitagora.
Supponiamo ora che la diagonale BD, del quadrilatero ABCD coincida
con il diametro 2r della circonferenza. Chiamando α l’angolo opposto ad AB
(nel triangolo rettangolo ABD) e β l’angolo opposto a BC (nel triangolo
rettangolo BCD) si ha
AB = 2r sin α,
BC = 2r sin β,
CD = 2r cos β,
AD = 2r cos α,
BD = 2r.
Per il teorema dei seni AC = 2r sin(α + β) Allora, per il teorema di Tolomeo,
BD · AC = AD · BC + AD · CD da cui
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
cioè la formula di addizione della funzione seno!
Analogamente, considerando un lato coincidente con il diametro AOD e
indicando con α l’angolo opposto a BD (nel triangolo rettangolo ADB) e
con β quello opposto a CD (nel triangolo rettangolo ADC) si ha
AC = 2r cos β
BC = 2r sin(α − β)
BD = 2r sin α
AB = 2r cos α
AD = 2r
CD = 2r sin β
da cui, tenendo conto del teorema di Tolomeo, segue
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β
cioè la formula di sottrazione per la funzione seno!
Tolomeo, usando queste considerazioni geometriche riuscı́ a costruire una
tavola delle corde che procede di mezzo grado in mezzo grado da 1◦ a 180◦ .
4
4
Problemi
Problema 1. ([G]) Siano AB una corda di una circonferenza γ ed r ed s
le rette tangenti a γ in A e B. Se P è un punto di γ si indichino con R, S, Q
le proiezioni ortogonali di P rispettivamente su r, s, AB. Provare che P Q è
la media geometrica di P R e P S.
(Suggerimento: si provi dapprima che i triangoli P RQ e P QS sono simili).
Se AB è un diametro, il risultato del precedente problema quale teorema
elementare diventa ?
Problema 2. ([CR]) Dimostrare che le altezze di un qualsiasi triangolo
bisecano gli angoli del corrispondente triangolo ortico (cioè del triangolo che
ha per vertici i piedi delle altezze).
Traccia di soluzione
Si indichino con A1 , B1 , C1 il piede dell’altezza condotta rispettivamente
da A, B, C e con H l’ortocentro. La tesi segue facilmente dopo aver osservato
che i quadrilateri HA1 CB1 e HC1 BA1 sono ciclici; infatti
\ \
[
\
\
\
\
B\
1 A1 C = B1 HC, C1 A1 B = BAC ⇒ B1 A1 C = C1 A1 B ⇒ B1 A1 A = AA1 C
poiché complementari dello stesso angolo. Si osservi che se il triangolo (acutangolo) ABC rappresenta una stanza
con pareti riflettenti, il triangolo ortico è il solo cammino triangolare che la
luce può percorrere nella stanza. Da qui segue anche che il triangolo ortico
ha il perimetro minimo rispetto a tutti i triangoli inscritti nel triangolo (acutangolo) dato. (Questo è il cosiddetto problema di Fagnano (1682-1766).) Il
triangolo ortico dà la risposta anche al seguente problema: in quale direzione
bisogna lanciare una palla giacente su un tavolo da biliardo triangolare in
modo che ritorni alla sua posizione di partenza dopo due riflessioni ?
Problema 3. ([C]) Sia ABC un triangolo equilatero e sia P un punto
del cerchio circoscritto appartenente all’arco AB. Sia Q l’intersezione del
segmento P C con il lato AB. Si dimostrino le seguenti uguaglianze:
a)
AP + P B = P C;
b)
1
1
1
+
=
.
AP
BP
PQ
Traccia di soluzione.
La a) segue immediatamente dal teorema di Tolomeo applicato al quadrilatero AP BC.
5
Per provare la b) si prolunghi il segmento AP e si prenda su di esso
un punto D tale che P D = P B. Si faccia vedere che il triangolo P BD è
equilatero e che i triangoli AQP e ABD sono simili. Allora
DB : P Q = DA : P A = (P A + DP ) : P A = 1 + DP/P A
da cui la tesi.
Problema 4. ([C]) Dato un triangolo acutangolo ABC siano M1 , M2 ,
M3 i punti medi dei lati, O il centro del cerchio circoscritto di raggio R e ρ
il centro del cerchio inscritto. Si dimostri che
OM1 + OM2 + OM3 = R + ρ.
(Per la soluzione vedere [C] pag.110)
Problema 5. ([C]) Se P è un punto del cerchio cicoscritto al quadrato
ABCDE, appartenente all’arco AB, si dimostri che
(P A + P C) : (P B + P D) = P D : P C
Soluzione
Indichiamo con ` la lunghezza del lato del quadrato e con d la sua diagonale. Per il teorema di Tolomeo applicato ai quadrilateri DCBP e DCP A si
ha
DB · P C = DC · P B + BC · DP,
AC · P D = DC · P A + AD · P C,
cioè
d · P C = ` · P B + ` · P D,
d · PD = ` · PA + ` · PC
da cui la conclusione.
Problema 6. ([C]) ABCDE è un pentagono regolare. Sia P un punto
del cerchio circoscritto appartenente all’arco AB. Dimostrare che
AP + BP + DP = CP + EP
(Per la soluzione vedere [C] pag. 111)
Problema 7. ([C]) Siano A, B, C, D, quattro vertici consecutivi di un
poligono regolare di n lati. Si supponga che
1
1
1
=
+
AB
AC AD
e si trovi n.
6
(Per la soluzione vedere [C] pag. 113)
Problema 8. ([O2]) ABC è il triangolo con baricentro G e lati a =
BC, b = CA, c = AB. Trovare il punto P nel piano che minimizza
AP · AG + BP · BG + CP · CG
e trovare il minimo in funzione di a, b, c.
(Per la soluzione vedere [O2], 42nd IMO 2001 shortlist.)
Problema 9. ([O2], 24th Austrian-Polish 2001) Mostrare che l’area di
un quadrilatero è al piú (ac + bd)/2, dove le lunghezze dei lati sono a, b, c, d
(con a opposto al lato c). Quando vale l’uguaglianza ?
Soluzione
L’area del quadrilatero è S = 21 xy sin α, dove α è l’angolo tra le diagonali
x e y. Naturalmente S = 12 xy se e solo se sin α = 1, cioè α = π/2.
Poiché sin α ≤ 1 si ha
1
1
S = xy sin α ≤ xy
2
2
e dall’estensione del teorema di Tolomeo xy ≤ ac + bd da cui
1
S ≤ (ac + bd)
2
Da quanto precede segue che
1
S = (ac + bd) ⇔ il quadrilatero è ciclico e sin α = 1
2
Vogliamo ora studiare piú da vicino l’area S di un quadrilatero.
Teorema 3. Sia dato un quadrilatero di lati a, b, c, d e supponiamo che
i primi due comprendono l’angolo α e gli altri due l’angolo β. Allora
16S 2 = 4a2 b2 + 4c2 d2 − 8abcd cos(α + β) − (a2 + b2 − c2 − d2 )2
Traccia di dimostrazione
Si consideri il quadrilatero come costituito da due triangoli aventi come
base la diagonale x a cui si oppongono gli angoli α e β; allora
2S = ab sin α + cd sin β.
7
Ma per il teorema di Carnot applicato ai due triangoli si ha
a2 + b2 − 2ab cos α = x2 = c2 + d2 − 2cd cos β
da cui
a2 + b2 − c2 − d2 = 2ab cos α − 2cd cos β.
Elevando al quadrato e sommando con 16S 2 si ha la conclusione.
Ora fissati a, b, c, d, l’area massima si ha quando cos(α + β) = −1 ⇒
α + β = π, quindi
Teorema 4. Fissate le lunghezze dei lati, il quadrilatero ha area massima
quando esso è ciclico.
In tal caso
16S 2 = 4(a2 b2 +c2 d2 )+8abcd−(a2 +b2 −c2 −d2 ) = 4(ab+cd)2 −(a2 +b2 −c2 −d2 )2 .
Indicando con P = 2p il perimetro, si ha
16S 2 = (P − 2a)(P − 2b)(P − 2c)(P − 2d) ⇒ S 2 = (p − a)(p − b)(p − c)(p − d)
e quindi il seguente teorema:
Teorema 5. Per un quadrilatero ciclico vale la seguente formula di Brahmagupta (VI sec. d.C.)
p
S = (p − a)(p − b)(p − c)(p − d)
Si osservi che quando il quadrilatero degenera in un triangolo (d = 0) si
ha la ben nota formula di Erone (I sec. d. C.) per l’area in funzione dei lati
p
S = p(p − a)(p − b)(p − c)
Si osservi che
(p − a) + (p − b) + (p − c) + (p − d) = 4p − 2p = 2p
quindi tenendo conto del teorema fondamentale citato in Appendice, possiamo concludere che
Teorema 6. Fra tutti i quadrilateri di dato perimetro il quadrato ha l’area
massima. Fra tutti i triangoli di dato perimetro il triangolo equilatero ha
l’area massima.
8
5
Appendice
Un risultato molto utile nelle applicazioni è il seguente, chiave di volta
della teoria delle diseguaglianze ([K], si conoscono più di 50 dimostrazioni
diverse).
Teorema fondamentale. ([K]) Il prodotto di n numeri positivi aventi
una data somma è massimo quando essi sono tutti uguali. Più precisamente
se A è la media aritmetica dei numeri dati, si ha
n
X
ai = nA
(ai > 0) ⇒ a1 a2 ...an ≤ An
i=1
a1 a2 ...an = An
⇔
a1 = a2 = ... = an
√
Se indichiamo con G = n a1 a2 ...an la media geometrica dei numeri a1 , a2 ,
..., an , dal teorema segue che
G≤A
e
G = A ⇔ a1 = a2 = ... = an
Per n = 2 questo risultato è diretta conseguenza del teorema di Euclide (in
un triangolo rettangolo l’altezza è media proporzionale tra le proiezioni dei
cateti sull’ipotenusa) e il teorema si può facilmente dedurre dalla seguente
identità algebrica, nota fin dalle scuole medie inferiori
2 2
x−y
x+y
2
2
(x + y) − (x − y) = 4xy ⇔ xy =
−
2
2
Se x = m2 e y = n2 con m, n numeri interi, l’dentità considerata dà
(m2 + n2 )2 = (m2 − n2 )2 + (2mn)2 ,
che permette di trovare tutte le cosiddette terne pitagoriche (a, b, c), dove
a, b, c sono interi e a2 + b2 = c2 , ponendo per m > n
a = m2 − n2 ,
b = 2mn,
c = m2 + n2 .
La ricerca delle terne pitagoriche (problema eminentemente algebrico, anche
se la formula a2 + b2 = c2 richiama il teorema di Pitagora) è precedente certamente alla Scuola pitagorica (VI sec. a. C.). Infatti la tavoletta babilonese,
9
chamata Plimpton 322 (risalente al periodo tra il 1900 e il 1600 a. C.) riporta
una lista di terne ”pitagoriche”. La terna fondamentale (3, 4, 5) si trova con
significato mistico in tante religioni orientali.
Se x + y = 2s, cioè se consideriamo tutti i numeri reali che hanno somma
costante, allora da
xy = s2 − (x − y)2 /4
segue
Teorema 7. Il prodotto di due numeri reali positivi aventi somma data
è massimo quando essi sono tra loro uguali.
Interpretazione del risultato precedente è
Teorema 8. Fra tutti i rettangoli di dato perimetro, il quadrato è quello
di area massima.
Ora ad ogni problema di massimo corrisponde un problema duale di
minimo; nel nostro caso si ha:
Teorema 9. Fra tutti i rettangoli aventi una area fissata, il quadrato ha
perimetro minimo.
Sempre nell’ipotesi x + y = 2s, tenendo conto che
x2 + y 2 = 4s2 − 2xy
segue che x2 + y 2 è minimo quando xy è massimo, cioè quando x = y = s.
La corrispondente interpretazione geometrica è
Teorema 10. Fra i triangoli rettangoli di cui è data la somma dei cateti
o l’area, quello isoscele ha la minima ipotenusa,
e quindi
Teorema 11. Fra i quadrati inscritti in un quadrato dato, quello che ha
per vertici i punti medi di codesto quadrato ha perimetro ed area minimi.
Nella teoria degli isoperimetri il teorema fondamentale, di semplice enunciato, ma di non facile dimostrazione, è:
Teorema 12 (Zenodoro, circa 180 a. C.). Fra tutti gli n-agoni con
medesimo perimetro, l’n-agono regolare ha l’area massima.
Questa è la versione poligonale del celebre teorema isoperimetrico, che
risponde al noto problema di Didone (En.I, 360-368)
...taurino quantum possent circumdare tergo
10
cioè, fra tutte le curve piane di ugual perimetro quale sia quella che racchiude la massima area. Una delle vie per raggiungere elementarmente i risultati è quella indicata da J. Steiner (1796-1863), la cui idea fondamentale
si può formulare dicendo che la figura massimale (necessariamente convessa) deve avere un asse di simmetria in ogni direzione. Da qui segue che la
risposta al problema isoperimetrico nel piano è data dal cerchio, nello spazio
dalla sfera.
Questo tipo di problemi, in particolare la loro versione analitica, fa parte
del ramo della matematica detto Calcolo delle variazioni, nato sul finire del
secolo XVII, per opera in particolare dei fratelli Bernoulli, in connessione a
problemi di massimo e di minimo che dipendono da una o piú curve o superficie (ad es. curva di minima lunghezza tra due punti dati detta geodetica,
curva di minimo tempo detta brachistocrona, superficie di area minima, bolle
di sapone).
Le questioni di massimo e di minimo hanno sempre avuto un grande valore
anche nell’interpretazione dei fenomeni naturali, perché su questi domina un
principio generale di economia: la natura, nelle sue manifestazioni, tende a
risparmiare il piú possibile l’energia che deve impiegare. L. Euler (1707-1783)
diceva che, essendo la costruzione del mondo la piú perfetta possibile, come
quella di un Creatore infinitamente saggio, in natura nulla avviene che non
presenti proprietà di massimo o di minimo. Ad es. Erone, Fermat (1601-1665)
e Huyghens (1629-1695) hanno dedotto da un principio di minimo le leggi
della riflessione, della rifrazione e della propagazione generale della luce; H.R
Hertz (1857-1894) ha enunciato un principio di inerzia molto generale.(Un
punto, che si muove su una superficie, per inerzia segue una geodetica della
superficie stessa).
Notevoli contributi nel campo del Calcolo delle Variazioni sono stati dati
da eminenti matematici come L. Euler, G.L. Lagrange, al quale si deve il
concetto di variazione (1755), concetto che ha consentito di estendere ai
problemi della nuova teoria i procedimenti con i quali il calcolo differenziale
giunge alla determinazione dei massimi e minimi delle funzioni numeriche.
In questo secolo progressi significativi sono stati ottenuti da Ennio De
Giorgi (1928-1996), il matematico leccese a cui è intitolato il Dipartimento
di Matematica dell’Università di Lecce. Egli, maestro di scienza e di vita per
tanti di noi, ha sempre creduto nella possibilità di comunicare ai non esperti
problemi e risultati di matematica anche superiore, convinto che l’equilibrato
sviluppo di tutta la società dipende in larga misura dall’armonioso sviluppo
delle varie forme del pensiero umano, scientifico, artistico, etico, religioso.
11
6
Problemi
Problema 10. ([K]) Fra tutte le scatole (a forma di parallelepipedo rettangolo) di superficie (totale) data, quale è quella che ha il massimo volume?
Soluzione
Siano a, b, c le lunghezze degli spigoli della scatola avente superficie S e
volume V . Allora
V = abc,
S = 2(ab + bc + ca) = costante.
Ponendo a1 = ab, a2 = bc, a3 = ca, per il teorema fondamentale si ha
1
(ab · bc · ca)1/3 ≤ ((ab + bc + ca) ⇒ (V 2 )1/3 ≤ S/6.
3
Il massimo per il volume si ha quando vale l’uguaglianza, cioè
ab = bc = ca
⇒
a = b = c,
cioè quando la scatola è un cubo. Problema 11. ([K]) Fra tutte le scatole senza coperchio di superficie
data, quale è quella che ha il massimo volume ?
Soluzione
Togliamo la faccia ab. Allora
S = 2ac + 2bc + ab = costante,
V = abc.
Ora
(2ac)(2bc)(ab) = 4a2 b2 c2 = 4V 2 ,
quindi V è massimo quando
2ac = 2bc = ab
⇒
a = b = 2c,
cioè la scatola deve essere metà di un cubo. Problema 12. ([K]) Fra tutte le scatole che possono essere impacchettate
da un filo di spalo di data lunghezza `, quale è quella di massimo volume ?
Soluzione
Facendo un disegno e chiamando con c l’altezza della scatola, si vede
facilmente che
2a + 2b + 4c < `
⇒ a + b + 2c < `/2.
12
Per il teorema fondamentale
(a · b · 2c) ≤
1`
1`
⇒ (2V )1/3 ≤
32
32
Si ha quindi il massimo per
a = b = 2c
⇒
c ≤ `/12.
Problema 13. ([K]) E’ data la somma delle lunghezze degli spigoli di
una scatola. Dimostrare che tra tutte le scatole in tali condizioni, il cubo ha
la massima area superficiale e il massimo volume.
Problema 14. ([K]) Fra tutti i barattoli (a forma di cilindro circolare
retto) di dato volume, qual è quello che ha la minima superficie (totale)?
Traccia di soluzione
Indichiamo con V il volume, S la superficie, r il raggio ed h l’altezza del
cilindro. Allora
V
V
2
2
2
S = 2π(r + rh), V = πr h ⇒ S = 2π r +
+
.
2πr 2πr
Ponendo a1 = r2 , a2 = a3 = V /(2πr), si ha a1 + a2 + a3 = S/(2π) = cost.,
quindi la minima superficie per
a1 = a2 = a3 ⇒
V
= r2 ⇒ V = 2πr3 ⇒ h = 2r.
2πr
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Bibliografia
[B]
C.B. Boyer, Storia della matematica, Mondadori, 1980.
[C]
F. Conti, M. Barsanti, T. Franzoni (a cura di), Le Olimpiadi
della Matematica, Zanichelli, Bologna, 1994.
[CR] R. Courant, H. Robbins, Che cos’è la matematica ?, (edizione
riveduta da I. Stewart), Bollati Boringhieri, Torino, 2000
[E]
H. Eves, A survey of geometry, Allyn and Bacon Inc. 1963.
[F]
U. Forti, Trigonometria, Zanichelli, Bologna 1960.
[G]
R. Gelca, Mathematical Olympiad Challenges, forward by M. Saul,
Birkhäuser, 2000 .
[Gs] E. Giusti,La trigonometria greca, http://www.math.unifi.it, Il
giardino di Archimede.
[K]
N. D. Kazarinoff, Disuguaglianze geometriche, Zanichelli, Bologna
1983.
[O1] Internet, http://olimpiadi.ing.unipi.it, vedi Appendici: Una
breve escursione tra alcuni teoremi di geometria poco noti.
[O2] Internet, http://www.kalva.demon.co.uk, (contiene una ricca
raccolta di problemi dati alle Olimpiadi di diversi Paesi).
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