Programma svolto - Pietro d`Avenia

Politecnico di Bari
Programma del corso di Analisi Matematica
(L3 in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni)
Anno Accademico 2010/2011
Prof. Alberto Capozzi (I modulo)
Dott. Pietro d’Avenia (II modulo)
I MODULO
Numeri
Insiemi e logica. Concetti di base sugli insiemi. Un po’ di logica elementare.
Sommatorie e coefficienti binomiali. Il simbolo di sommatoria. Fattoriale di n. Coefficienti binomiali e formula di Newton.
Campi ordinati.
Numeri reali. Estremo superiore e assioma di continuità. Inadeguatezza dell’insieme dei razionali per misurare le lunghezze. Estremo superiore e assioma di continuità. Valore assoluto. Disuguaglianza
triangolare. Intervalli.
Radicli, potenze, logaritmi. Radici n-sime aritmetiche. Potenze a esponente reale. Logaritmi. Approssimazioni.
Insiemi infiniti.
Il principio di induzione.
Numeri complessi. Definizione di C e struttura di campo. Coniugato e modulo. Forma trigonometrica.
Radici n-sime.
Funzioni di una variabile
Il concetto di funzione.
Funzioni reali di variabile reale. Generalità. Funzioni limitate. Funzioni simmetriche. Funzioni
monotone. Funzioni periodiche.
Funzioni elementari. Funzioni potenza. Funzioni esponenziali e logaritmiche. Funzioni trigonometriche. Fenomeni vibratori. Funzioni parte intera e mantissa. Funzioni iperboliche. Operazioni sui grafici.
Funzioni definite a tratti.
Funzioni composte e inverse. Funzioni composte. Funzioni invertibili; funzioni inverse. Le funzioni
trigonometriche inverse. Le funzioni iperboliche inverse.
Limiti e continuità
Successioni. Definizione di successione. Definizione di limite. Successioni monotone. Il calcolo dei
limiti. Il numero e. Confronti e stime asintotiche.
Limite di funzioni, continuità, asintoti.
Il calcolo dei limiti. Proprietà fondamentali di limiti e continuità. Limiti notevoli. Confronti e stime
asintotiche.
Porprietà globali delle funzioni continue o monotone su un intervallo. Funzioni continue su
un intervallo. Funzioni monotone su un intervallo. Continuità e invertibilità. Infinitesimi ed infiniti.
1
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Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
Introduzione al calcolo differenziale.
Derivata di una funzione. Derivata e retta tangente. Altre interpretazioni della derivata. Derivate
di funzioni elementari. Punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale.
Regole di calcolo delle derivate. Algebra delle derivate. Derivata di una funzione composta. Derivata
di funzione inversa.
Il Teorema del valor medio e le sue conseguenze. Punti stazionari. Massimi e minimi locali.
Teorema del valor medio. Test di monotonia. Il teorema di de l’Hospital. Limite della derivata e
derivabilità.
Derivata seconda. Derivata seconda, concavità e convessità.
Studio del grafico di una funzione.
Calcolo differenziale e approssimazioni. Differenziale e approssimazione lineare. Il simbolo di o
piccolo. Formula di Taylor-MacLaurin con resto secondo Peano. Formula di Taylor-MacLaurin con resto
secondo Lagrange.
Serie
Serie numeriche. Definizione e primi esempi. Serie a termini non negativi. Serie a termini di segno
variabile.
Calcolo integrale per funzioni di una variabile
Introduzione al calcolo integrale.
L’integrale come limite di somme. La definizione di integrale. Classi di funzioni integrabili.
Proprietà dell’integrale.
Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi elementari per la ricerca di una primitiva.
Calcolo di integrali indefiniti e definiti. Integrali immediati, per scomposizione, per sostituzione.
Integrazione delle funzioni razionali. Integrazione per parti. Integrazione delle funzioni trigonometriche.
Integrazione delle funzioni irrazionali. Integrazione di funzioni discontinue.
Integrali generalizzati. Integrazione di funzioni non limitate. Criteri di integrabilità al finito. Integrazione su intervalli illimitati. Criteri di integrabilità all’infinito.
Funzioni integrali.
Teorema di Bolzano-Weierstrass, continuità uniforme e integrabilità delle funzioni continue.
Alcuni risultati fondamentali per le successioni di numeri reali. Continuità uniforme.
II MODULO
Equazioni differenziali
Modelli differenziali.
Equazioni del primo ordine. Generalità. Equazioni a variabili separabili. Equazioni lineari del primo
ordine.
Equazioni lineari del secondo ordine. Spazi di funzioni. Generalità sulle equazioni lineari. Problema
di Cauchy. La struttura dell’integrale generale. Equazioni omogenee a coefficienti costanti. Equazioni
non omogenee. Vibrazioni meccaniche.
Complementi. Cenni alle equazioni lineari di ordine n. Equazione di Bernoulli. Equazioni riconducibili
ad equazioni differenziali a variabili separabili. Equazioni differenziali omogenee.
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Calcolo infinitesimale per le curve
Richiami di calcolo vettoriale.
Funzioni a valori vettoriali, limiti e continuità.
Curve regolari e calcolo differenziale vettoriale. Esempi introduttivi. Arco di curva continua.
Derivata di una funzione vettoriale. Arco di curva regolare. Integrale di una funzione a valori vettoriali.
Alcune classi di curve piane.
Lunghezza di un arco di curva. Curve rettificabili e lunghezza. Cambiamento di parametrizzazione,
curve equivalenti. Parametro arco o ascissa curvilinea.
Integrali di linea (di prima specie).
Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili reali
Grafici e insiemi di livello.
Limiti e continuità per funzioni di più variabili. Definizioni e proprietà di limiti e funzioni continue.
Calcolo del limite in più variabili: analisi delle forme di indeterminazione.
Topologia in Rn e proprietà delle funzioni continue. Concetti fondamentali. Proprietà topologiche
delle funzioni continue.
Derivate parziali, piano tangente, differenziale. Derivate parziali. Piano tangente. Differenziabilità e approssimazione lineare. Derivate direzionali. Calcolo delle derivate.
Derivate di ordine superiore e approssimazioni successive. Derivate di ordine superiore. Differenziale secondo, matrice hessiana, formula di Taylor al secondo ordine.
Ottimizzazione. Estremi liberi. Generalità sui problemi di ottimizzazione. Estremi liberi. Condizioni necessarie del prim’ordine. Studio della natura dei punti critici.
Funzioni definite implicitamente. Funzione implicita di una variabile. Funzione implicita di n variabili.
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali a valori vettoriali
Funzioni di più variabili a valori vettoriali: generalità. Superfici in forma parametrica. Trasformazioni di coordinate. Campi vettoriali.
Limiti, continuità e differenziabilità per funzioni f : Rn → Rm .
Superfici regolari in forma parametrica.
Trasformazioni di coordinate e loro inversione. Il teorema della funzione inversa. Trasformazione
di operatori differenziali.
Ottimizzazione. Estremi vincolati. Vincoli di uguaglianza e moltiplicatori di Lagrange: funzioni di
due variabili. Moltiplicatori di Lagrange: il caso generale.
Calcolo integrale per funzioni di più variabili
Integrali doppi. Integrale di una funzione limitata definita su un rettangolo. Funzioni integrabili
su domini non rettangolari. Insiemi semplici, regolari, misurabili. Proprietà elementari dell’integrale
doppio. Calcolo degli integrali doppi: metodo di riduzione e cambiamento di variabili.
Integrali doppi generalizzati.
Campi vettoriali
Campi vettoriali e integrali di linea di seconda specie. Linee di campo. Gradiente, rotore e
divergenza. Integrale di linea di un campo vettoriale. Lavoro e circuitazione. Campi conservativi e
potenziali. Campi irrotazionali. Insiemi semplicemente connessi. Campi solenoidali e potenziale vettore.
Il linguaggio delle forme differenziali. Formula di Gauss-Green nel piano.
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ELENCO TEOREMI DIMOSTRATI
I MODULO.
1
T1.8, T1.9, T1.10, T3.13, T3.16, T3.17, T3.26, T3.28, T3.31, T4.1, T4.5, T4.7.
2
II MODULO. T1.2, T1.3, T1.5, T1.6, T1.7, P2.1, T2.1, P2.4, T3.7, P3.2, T3.8, T3.9, T3.12, T3.13,
T3.15, T3.16, T3.17, T3.22, T4.7, P6.1, L6.1, T6.23, P6.2, L6.6, T6.7.
Testi di riferimento
(1) M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli.
(2) M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli.
(3) P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. 1 e 2, pp. 1 e 2, Liguori.
Altri testi consigliati
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, McGraw-Hill.
1La numerazione è quella del testo di riferimento 1.
2La numerazione è quella del testo di riferimento 2. La dimostrazione dei teoremi in corsivo è facoltativa.
3In parte facoltativo.