Scheda per l’insegnante
Menditti Filomena
Titolo : Alla “scoperta” dell’ortocentro con Cabrì
Destinatari: I - II anno di liceo scientifico.
Prerequisiti :Possedere gli elementi introduttivi della geometria euclidea ( quali definizione di
segmenti semipiani, angoli, rette, semirette; assiomi di appartenenza); conoscenza dei poligoni con
particolare riferimento ai triangoli e alle loro proprietà generali ; conoscenza dei criteri di
congruenza dei triangoli; conoscenza dei concetti fondamentali sul parallelismo e sulla
perpendicolarità; conoscenza delle proprietà della circonferenza e del cerchio; conoscenza dei
poligoni inscritti e circoscritti; saper utilizzare il programma Cabrì.
Obiettivo scheda: Costruzione dell’ortocentro in un qualsiasi triangolo, utilizzando una macro;
verifica che i punti simmetrici O' , O'', O''' dell'ortocentro di un triangolo rispetto ai lati
appartengono alla circonferenza circoscritta al triangolo di centro C'.
Obiettivi cognitivi desunti dalla scheda: individuare uno dei punti notevoli di un triangolo qualsiasi,
quale l’ortocentro e acquisirne le proprietà tramite l’uso del programma Cabrì..
Obiettivi operativi: riuscire ad arrivare alle proprietà dell’ortocentro, utilizzando un
metodo”costruttivo”; saper interpretare, tradurre e risolvere un problema; saper utilizzare un
linguaggio matematico appropriato.
Obiettivi educativi: Favorire l’autostima e l’autonomia; sviluppare la capacità di ascolto nei
confronti dei propri compagni ( nella discussione collettiva finale).
Strategie didattiche: uso del software Cabrì
Tempi: 30 min
Nb. Si introduce questa scheda dopo che si è data la definizione di poligoni inscritti e circoscritti.
L’intento di questa scheda è quello di far arrivare i ragazzi alla “scoperta” delle proprietà di uno dei
punti notevoli del triangolo, quale l’ortocentro, ispirandomi ad una didattica del Costruttivismo.
Attraverso, infatti, l’uso del programma Cabrì e di relative domande, il ragazzo costruisce da solo
la nuova conoscenza, integrandola con quella vecchia. Infatti, tale programma non solo permette di
verificare le proprietà già acquisite (per esempio, come costruire la circonferenza passante per tre
punti non allineati o la nozione di simmetria assiale ) ma anche di costruirne delle nuove, per poi
formalizzarle in un secondo momento, insieme all’insegnante. Quindi, quello che appare
importante nella scheda che segue è il connubio tra teoria e costruzione/ scoperta, in quanto, a
differenza del classico libro di geometria, dove quest’ultima è presentata con impostazione
ipotetico-deduttiva e dove sono evidenziati assiomi, definizioni e dimostrazioni qui, invece, si
utilizzano cammini paralleli, in cui il “sapere” e il “saper fare” si evolvono in maniera graduale, con
interazioni continue e arricchimenti reciproci, ossia la nuova conoscenza viene dimostrata
all’allievo non semplicemente detta.
Attraverso l’uso del software Cabrì, i ragazzi si sentono più motivati ( in quanto diventano in prima
persona costruttori della propria conoscenza “facendo” ) sviluppano l’intuizione e superano la
contingenza dei casi particolari, grazie alla deformazione dinamica, “sperimentando”, da soli, che
l’ortocentro può essere sia interno che esterno al triangolo e possano ricavare “direttamente” se ci
sono casi in cui l'ortocentro coincide con uno dei vertici o quando cade sul perimetro. Quindi, gli
studenti vengono guidati, attraverso le domande, a ragionare e a riflettere, sviluppando quello che
si chiama “pensiero anticipatorio”, ossia la capacità di anticipare le definizioni che, poi, verranno
1
formalizzate. La scheda, infatti, richiede che le costruzioni vadano giustificate in base ai risultati
acquisiti.
In questo percorso, il ruolo dell’insegnante è quello di tutor, di “ impalcatura di sostegno”, nel
senso che dovrà guidare e sollecitare gli alunni, alla maniera vygotskjana, a farli arrivare alle
proprietà richieste, formalizzando i risultati ottenuti mediante un linguaggio appropriato, sia quando
rispondono alle domande sia, in un secondo momento, quando si discuterà collettivamente su
quanto “costruito”.
Domande che accompagnano la scheda come stimolo al ragionamento:
1) Disegna un triangolo e traccia le altezze dei suoi lati. Che proprietà hanno tali altezze1 ?
2) Indica con O l’intersezione delle tre altezze. Qual è la proprietà di tale punto ( d'ora in poi il
punto O lo chiamerai ortocentro) 2? Costruisci una macro per poter costruire l'ortocentro di un
qualsiasi triangolo.
3) L'ortocentro è sempre interno o può essere anche esterno al triangolo 3 (varia i vertici del
triangolo) ?
4) Dove si trova l'ortocentro in un triangolo ottusangolo4? E in un triangolo acutangolo?
5) C'è un caso in cui l'ortocentro coincide con uno dei vertici? Qual è? 5
6) Per quali casi l’ortocentro cade sul perimetro? 6
7)Verifica che i punti simmetrici O' , O'', O''' dell'ortocentro di un triangolo rispetto ai lati
appartengono alla circonferenza circoscritta al triangolo di centro C'7.
8) Da quanto disegnato e ricordando quando un poligono può essere inscritto, il triangolo può
essere inscritto in una circonferenza? Se si perché? 8
9) Ti è stato utile utilizzare il programma Cabrì? Perchè?
Osservazione: La seguente scheda sfrutta la proprietà secondo cui le altezze si intersecano in un
solo punto detto ortocentro. Si può, però, costruire l’ortocentro di un triangolo anche utilizzando la
proprietà che l'altezza di un triangolo è asse di un altro triangolo, ottenuto considerando per ogni
vertice la parallela al lato opposto.
La costruzione, in questo caso è la seguente:
Assegnato il triangolo ABC individuandone i tre vertici si tracci da ogni vertice la parallela alla
retta individuata dagli altri due vertici e si trovino i punti M, N ed L come intersezione delle tre rette
così ottenute. L'ortocentro del triangolo ABC coinciderà con il circocentro del triangolo MNL.
I ragazzi devono ricordare il teorema secondo cui “ In un triangolo le tre altezze passano per un unico punto”.
Il nome ortocentro, dato al punto O deriva dal greco orthos ( che significa retto riferito agli angoli) e, nel caso del
triangolo, sta ad indicare il punto di intersezione delle perpendicolari condotte dai vertici, cioè dalle altezze. Si farà
notare, a tal punto, che il triangolo che ha per vertici i piedi delle tre altezze è detto triangolo ortico.
3
L’ortocentro può essere sia interno che esterno al triangolo.
4
L’ortocentro in un triangolo ottusangolo si trova esternamente al triangolo, mentre in un triangolo acutangolo si trova
internamente.
5
L’ortocentro coincide con uno dei vertici quando il triangolo è rettangolo, ossia quando il triangolo è inscritto in metà
circonferenza.
6
L’ortocentro cade sul perimetro quando il triangolo è rettangolo.
7
I ragazzi devono ricordare come si costruisce una circonferenza per tre punti, ossia dato il triangolo (ABC) e i segmenti
AB e BC bisogna tracciare i loro assi, trovare il punto d’intersezione C’ e costruire la circonferenza che ha centro in C’
e passa per uno dei punti O’, O’’ oppure O’’’ . Questa domanda permette l’ uso del “dimostratore di proprietà”
“appartiene a?”.
8
I ragazzi devono ricordare che condizione sufficiente affinché un poligono sia inscrivibile è che il poligono deve avere
gli assi dei lati che passano per uno stesso punto e siccome in un triangolo i tre assi dei lati passano tutti per uno stesso
punto ( cosa che hanno verificato anche con Cabrì nella domanda precedente per disegnare la circonferenza
circoscritta) il triangolo è sempre inscrivibile.
1
2
2
Esercizi con Cabrì per l’approfondimento
1) Il triangolo (MPN) ha i vertici nei punti medi dei lati di un triangolo (ABC); dimostra con Cabrì
che:
a. i due triangoli hanno lo stesso baricentro;
b. l’ortocentro di MPN è il circocentro di ABC.
Ps. Questo esercizio permette ai ragazzi di visualizzare “direttamente” le varie proprietà,
motivandoli maggiormente a porsi, in un secondo momento, il perché si verifica una certa proprietà.
2) Nel triangolo ortocentro, baricentro e circocentro sono allineati, con l’ortocentro e circocentro da
parti opposte rispetto al baricentro e distanziati in modo che la distanza ortocentro- baricentro è
doppia della distanza baricentro- circocentro9.
Ps. Quest’ultima proprietà permette di evidenziare l’importanza dell’uso del programma Cabrì, in
quanto attraverso semplici comandi è possibile far vedere che i tre punti sono allineati.
Attenzione. E’ importante sottolineare ai ragazzi che, come in tutti i software, può succedere nelle
misure che si ottengono valori non esatti (ad esempio, per il triangolo 179° o 181°) ed è importante
che i ragazzi capiscano ( per esempio, nella domanda n. 5, quando devono individuare l’angolo di
90° per poter affermare che il triangolo è rettangolo) che l'imprecisione non è dovuta ad un errore
del programma ma al fatto che le misure sono approssimate (si hanno solo due cifre decimali per le
lunghezze dei segmenti e numeri interi per gli angoli).
9
La retta che passa per l’ortocentro, il baricentro ed il circocentro di un triangolo si chiama retta di Eulero.
3
