Propagazione degli Errori

Propagazione degli Errori
La maggior parte delle grandezze fisiche di solito non può essere misurata attraverso una
singola misura diretta ma viene invece determinata in due passi distinti, come detto nella
definizione di misure indirette:
1. Si misurano una o più grandezze che possono essere misurate direttamente e dalle quali
la grandezza che ci interessa può essere calcolata
2. Utilizzando i valori misurati si calcola la grandezza in questione
Un tipico esempio è la velocità media di un corpo. Essa necessita la misura dello spazio
percorso e dell’intervallo di tempo necessario per percorrerlo:
v  x / t
x  3.21  0.04 m
t  1.23  0.09 s
( m  0.01 m)
( m  0.03 s )
v  x / t  2.6098 m / s
Quanto vale l’errore sulla velocità in questo caso ?
Propagazione degli Errori
In un caso come questo, quando la misura comporta queste due fasi, allora anche la stima
delle incertezze necessita di due fasi distinte.
1. Occorre stimare le incertezze nelle grandezze che sono state misurate direttamente
2. Occorre trovare come gli errori si sono propagati
Questa ultima fase si chiama: Propagazione degli errori
Nota:
Il libro di testo presenta prima una serie di relazioni approssimate poi dimostra la relazione
generale. Noi salteremo subito alla relazione generale
Propagazione degli Errori
Supponiamo che le osservabili fisiche x,y, ..., z siano misurate ciascuna con deviazione
standard x,y,…,z . Supponiamo che le osservabili x,y,…,z siano necessarie per estrarre il
valore della osservabile q attraverso la formula q(x,y,…,z)
q0  q( x0 , y0 ,..., z0 )
Allora, se gli errori di x,y,…,z sono indipendenti e casuali tra loro, la deviazione standard
q è espressa dalla relazione:
2
 q( x, y,..., z ) 
 q ( x, y,..., z ) 
 q( x, y,..., z ) 

q  
 x2  
 y2  ...  
 z2


x
y
z

 x  x0 , y  y0 ,..,z  z0

 x  x0 , y  y0 ,..,z  z0

 x  x0 , y  y0 ,..,z  z0
2
2
dove
 q ( x, y,..., z ) 
 derivata parziale rispetto ad x calcolata in x 0 , y0 ,..., z0 misurati


x

 x  x0 , y  y0 ,..,z  z0
 x  deviazione standard
Esempio
Calcoliamo l’errore sul seno di un angolo
Sia q = 1.484 radianti
Sia q = 0.017 radianti
85 gradi
0.97 gradi
Voglio conoscere come l’errore si propaga l’errore su
x 
cosq 2  q2
x 
cos1.4842 0.017 2
 0.0014737
Quindi
x  0.9962356
x  0.9962  0.0015
 x  0.0014737
x  f (q )  sinq 
Esercizio:
Un gruppo di studenti vuole misurare l’accelerazione di gravità utilizzando un pendolo.
Effettua una serie di misure per estrarre il periodo di oscillazione e la lunghezza del
pendolo. Supponendo che
g  4 2
d
T2
d  0.9532 m   0.0012 m
T  1.945 s
  0.012 s
 m  0.0004 m
 m  0.005 s
g  9.947285
( si usano tutti i decimali perche  non è stato ancora calcolato )
Applicando la formula generale di propagazione degli errori
2
 q( x, y,..., z ) 
 q( x, y,..., z ) 
 q( x, y,..., z ) 

q  
 x2  
 y2  ...  
 z2


x
y
z

 x  x0 , y  y0 ,..,z  z0

 x  x0 , y  y0 ,..,z  z0

 x  x0 , y  y0 ,..,z  z0
2
2
alla relazione che da g
 g (d , T ) 
 g (d , T ) 
g  
 d2  
 T2


 d  d d 0 ,T T0
 T  d d 0 ,T T0
2
2
Si ottiene
2
2
1 
2d 


 g   4 2 2 
 d2    4 2 3 
 T2
T  d d 0 ,T T0
T  d d 0 ,T T0


Da cui
1 
2  0.9532 


 g   4 2
0.0012 2    4 2
0.012 2 
2 
3 
1.945 
1.945 


2
 g  0.000157  0.015066  0.12
2
3.3212  0.00122  3.2562 0.0122
Domina errore su T
Notate che la propagazione degli errori puo’ anche avere un uso predittivo, infatti si
potrebbe anche rispondere al seguente quesito
A che angolo viene minimizzato l’errore di misura su D ?
L’incertezza che contribuisce di più all’errore sulla gittata è quello relativo alla velocità
Provate a fare gli esercizi dal 3.43, 3.45, 3.46, 3.47, 3.48, 3.49, 3.50,
Quando non posso usare la relazione della propagazione degli errori
cosi come è stata formulata finora ?
Quando l’errore delle variabili x0, y0, .. non è indipendente tra loro, quando cioè una
sovrastima o sottostima di x0 implica una sovrastima o sottostima di y0
Allora la relazione di propagazione degli errori, nell’ipotesi di una funzione a due
variabili x e y, diventa:
 q(a, b) 
 q(a, b) 
 q(a, b) q(a, b) 
2
q  
 a2  
 b2  
2 ab



b  a  a0 ,b b0
 a  a  a0 ,b b0
 b  a  a0 ,b b0
 a
2
2
dove
1
n  N

2
 ab
 Covarianza  lim 







b

b
a

a


i
i

Nota:
Se ci fosse la massima correlazione tra le incertezze delle osservabili allora
2
 ab
 Covarianza   a b
 q(a, b) 
 q(a, b) 
 q(a, b) q(a, b) 
q  
 a2  
 b2  
2 a b




a

b

a

b

 a  a0 ,b b0

 a  a0 ,b b0

 a  a0 ,b b0
2
2
 q(a, b) 
 q(a, b) 
 a 
 b
 a  a  a0
 b b b0
q  
Le incertezze quindi si sommerebbero !
La covarianza stima in che proporzione “a” fluttua assieme a “b”.
Se le osservabili non fluttuano in modo indipendente gli scarti avranno hanno spesso lo stesso
segno (positivo o negativo), il loro prodotto sarà in corrispondenza sempre positivo e renderà
maggiore di zero σ2ab
Analogamente, se “a” e “b” fluttuano in modo indipendente, il prodotto degli scarti sarà tanto
positivo che negativo e quindi avrà sommatoria nulla.
Quando le osservabili a e b non sono indipendenti tra loro ?
1) Calcolate la covarianza
2) Riflettete sulla fisica del sistema che state studiando
- Esempio:
- Avete una serie di coppie dati sperimentali che devono seguire un andamento
lineare (i.e. la lunghezza del pendolo L e il suo periodo al quadrato T2)
- Avete estratto dai dati sperimentali i coefficienti di una retta (coefficiente
angolare a±a e termine noto b ±b (ad esempio con una regressione lineare)
y = ax + b
ad esempio
L = a T2 + b
- Volete estrapolare il valore della retta yo nel punto xo e volete anche avere
una stima dell’errore sulla vostra estrapolazione
- ad esempio la lunghezza che deve avere un pendolo per oscillare con un
periodo di 5 s
Allora il valore della variabile yo è dato da
y0 = a x0 + b
ad esempio
L = 25 a + b
L’errore si dovrà calcolare con la propagazione degli errori
In questo caso però le osservabili a e b (termine noto e coefficiente angolare) sono
correlate perche estratte da dati sperimentali, in altra parole se cambia una deve
cambiare anche l’altra opportunamente per riprodurre i dati sperimentali
2
 y  xo2 a2   b2  2 x0 ab
0
Attenzione che la covarianza si calcola a partire dai dati sperimentali con i quali
avete estratto il parametro a (coefficiente angolare) e b (termine noto). Nel caso del
pendolo a partire dai periodi e dalle lunghezza misurate
Esempio (pg. 53 bevington):
N
x
x1  x2  ...  x N i 1
x

N
N
i
2

x 
N
1
 x  2


 x   i  
 i

N
1
 x 


 x 
 i
2
Se le misure sono ripetibili,
indipendenti e senza errore
sistematico allora la deviazione
standard è sempre la medesima
indipendentemente dall’indice ‘i’
cioè 
  x   x1  x2  ...  x N 1 
1



x1  x2  ...  x N 
 x  x
N
N xi
N
i
 i

x 
x 
2
N
1

N
N
1
  
N2
N
E’ tutto Chiaro ?
Dovreste aver chiari i seguenti argomenti:
• Propagazione degli errori
• Quando usare la covarianza nella propagazione degli errori
Discrepanza
Nella stragrande maggioranza dei casi le conclusioni sperimentali implicano il confronto tra
due o più valori. Questi valori possono essere delle misure (e quindi con un’incertezza), delle
stime teoriche (con o senza incertezza) o grandezze note.
Nell’ipotesi che i dati sperimentali si distribuiscono su una gaussiana è possibile fare un
confronto quantitativo.
Data una misura sperimentale xbest ±  con deviazione dalla media pari a m ed una stima
teorica xteo della medesima quantità, definiamo:
D  xbest  xteo
t
xbest  xteo
m
La quantità D è detta discrepanza, mentre la quantità t indica quanto è distante xbest da xteo
in unità di deviazione standard (lo abbiamo già incontrato quando abbiamo parlato della
gaussiana, ma concettualmente ha un significato differente)
Se t = 0.32 significa che xbest dista da xteo di 0.32 deviazioni standard della media. Quindi:
- esiste il 75% di probabilità che xteo sia il valore medio della distribuzione statistica misurata
- esiste il 75% di probabilità che la differenza tra xteo e xbest sia di origine statistica.
Da questo si conclude che la misura sperimentale è compatibile con il valore atteso !
Se t = 3.5 significa che xbest dista da xteo di 3.5 deviazioni standard della media. Quindi:
- esiste il 0.05 % di probabilità che xteo sia il valore medio della distribuzione statistica misurata
- esiste il 0.05 % di probabilità che che la differenza tra xteo e xbest sia di origine statistica
Da questo si conclude che la misura NON è compatibile con il valore atteso !
In altre parole:
•
•
•
•
•
•
•
Lo strumento non funziona correttamente (poco probabile)
La mia procedura di misura non è corretta
Esistono degli effetti fisici che disturbano la misura
Esiste un errore sistematico
……………
……………
Ho fatto una scoperta !
Nota:
Quale è il significato ‘statistico’ di t ?
- Ho ottenuto una misura xbest con deviazione standard  deviazione standard dalla media m
- Devo verificare se xbest o xteo sono statisticamente uguali
- Questo equivale a verificare con che probabilità D = | xbest - xteo | sia zero
- Poiché xbest è una misura allora con la propagazione degli errori posso ricavare l’errore su D
D  xbest  xteo
D 

in questo caso particolar e posso estendere la relazione alla
deviazione dalla media (ho una sola variabile )
 Dm   m
- Allora t non è altro che la distanza di D da zero in unità di sigma dalla media
t
D
 Dm

xbest  xteo
m
Cosa succede se devo confrontare due misure sperimentali o due osservabili, ciascuna con
una incertezza ?
Data una misura sperimentale xbest1 ± 1 con deviazione dalla media pari a m1 effettuata
dallo studente A ed una misura una misura sperimentale xbest2 ± 2 con deviazione dalla
media pari a m2 effettuata dallo studente B
D  xbest1  xbest2
t
xbest1  xbest2

2
m1

2
m2
Il resto è esattamente lo stesso
Notate che si può dimostrare la formula sopra con la propagazione degli errori
 Il limite entro il quale stabilire la compatibilità è stabilito a priori e varia tra i diversi
ambiti sperimentali. Nel caso di questo corso di laboratorio lo stabiliremo entro 2
oppure 2m . Se è tra due o tre sigma allora l’esperimento non è conclusivo. Quindi:
• un dato sperimentale è compatibile con una stima teorica/attesa se t < 2
• una misura sperimentale con  e m è compatibile con un’altra misura (con  e m )
o con un valore noto se t < 2
 Abbiamo già visto in una gaussiana (non necessariamente per le altre distribuzioni
statistiche) l’intervallo xbest ±  corrisponde al 68 % dei dati
In altre parole, nel caso di una distribuzione gaussiana, le singole misure
cadranno nell’intervallo <x> ±  con “livello di confidenza” pari al 68%
Analogamente per 2  (95%) o 3 (99.7%) o X
 Per distribuzioni non gaussiane, si dice xo ± xx al 95% C.L.
Questo significa che il 95% delle misure cadono nell’intervallo xo-xx xo+xx
Quindi:
Quando devo confrontare due misure o una previsione teorica ed una misura devo
1) Sapere quali sono gli intervalli di confidenza (in altre parole la finestra entro la
quale ho il 68%, 95%, 99.7% degli eventi)
2) Decidere una soglia di probabilità oltre la quale ritengo la probabilità
irragionevolmente piccola. Cioè decidere ad esempio che "se l'evento è
fuori da un intervallo di confidenza del 95% allora è improbabile"
3) Calcolare la discrepanza, t, P(t), (1-P(t)) - Lo so fare con la gaussiana (eventualmente
correggo con la ‘t’ di Student - Non lo so fare con altre distribuzioni (ho bisogno di
conoscere il confidence level)
4) Con il criterio del punto 1 e 2 verifico se vale a) b) o c)
a) t > 2 o il valore che segue dalla ‘t’ di Student
b) P(t) > 95%
c) 1-P(t) < 5%
Allora la probabiltà che le due misure rappresentino la stessa quantità è irragionevole
Significatività Statistica
Significatività
Se 1-P(t) < 5 % (oppure t > 1.96) - cioè se x0 NON è entro 1.96 dal valor medio si dice che ho
evidenza significativa che x0 NON appartenga alla distribuzione statistica che ha generato
xbest e . Ovvero la discrepanza è significativa .
Se 1-P(t) < 1 % (oppure t > 2.32) - cioè se x0 NON è entro 2.56 dal valor medio si dice che ho
evidenza altamente significativa che x0 NON appartenga alla distribuzione statistica che ha
generato xbest e  . Ovvero la discrepanza è altamente significativa .
xbest
HP : Distribuzione gaussiana e misure ripetibili ed indipendenti
Cosa significa scartare i dati la cui differenza dal valor medio sia significativa ?
- Significa scartare i dati per i quali t > 1.96
- Significa che sono sicuro di eliminare il 5% di dati ‘buoni’
- Significa che avrò il 5% di probabilità di avere un ‘falso positivo’
- cioè di scartare un evento (definito come falso) che in realtà è buono (positivo)
Esempio:
Ho delle scatole con 1000 componenti elettrici che devono avere un valore di resistenza
pari a 10 ± 1 Ohm. Poichè non posso misurare la resistenza di tutti i componenti elettrici
della scatola ne piglio 20 e ne misuro la resistenza. Se il valor medio della resistenza è
compreso tra 8.04 ed 11.96 Ohm (nota 1.96 = 1.96, quindi 10-1.96=8.04 e 10+1.96=11.96)
allora la scatola viene avviata alla vendita. In caso contrario si butta via.
In questo caso, poichè il mio limite è 2 sigma, sono sicuro di buttare via il 5% di scatole
buone (con resistenza 10 ± 1 Ohm) insieme a quelle con resistenza diversa da 10 ± 1 Ohm
HP : Distribuzione gaussiana e misure ripetibili ed indipendenti
Cosa significa scartare i dati la cui differenza dal valor medio sia altamente significativa ?
- Significa scartare i dati per i quali t > 2.56
- Significa che sono sicuro di eliminare l’1% di dati ‘buoni’
- Significa che avrò l’1% di probabilità di avere un ‘falso positivo’
- cioè di scartare un evento (definito come falso) che in realtà è buono (positivo)
Esempio:
Ho delle scatole con 1000 componenti elettrici che devono avere un valore di resistenza
pari a 10 ± 1 Ohm. Poichè non posso misurare la resistenza di tutti i componenti elettrici
della scatola ne piglio 20 e ne misuro la resistenza. Se il valor medio della resistenza è
compreso tra 7.44 ed 12.56 Ohm allora la scatola viene avviata alla vendita. In caso
contrario si butta via.
In questo caso, poichè il mio limite è 2.56 sigma, sono sicuro di buttare via solo l’1% di
scatole buone insieme a quelle con materiale difettoso
Notate che in questo caso butto via meno scatole (solo l’1%) ma è più facile avviare alla
vendita scatole con materiale difettoso
Media Pesata
Può capitare che una grandezza sia stata misurata più volte da persone o con tecniche
differenti
Ciascuna di queste misure a sua volta è il risultato di molte misure e quindi è nella forma
x  x1   1
x  x2   2
x  x3   3
Il calcolo del semplice valor medio potrebbe non essere conveniente se le incertezze non
sono uguali o molto simili. E’ in generale più corretto usare la media pesata definita come
xb est 
w x
w
i
i
wi 
i
i
1
 i2
i
 b est


   wi 
 i

1 / 2
Attenzione: controllare che le misure siano consistenti, cioè che la discrepanza tra le
diverse misure non sia sensibilmente maggiore delle rispettive deviazioni standard
25
Provate a fare gli esercizi dal 5.17 al 5.28 e dal 5.34 al 5.37
E’ tutto Chiaro ?
Dovreste aver chiari i seguenti argomenti:
• Discrepanza
• Livello di confidenza
• Compatibilità