Resistenze in serie Resistenze in parallelo Più resistori

Resistenze in serie
Consideriamo lo schema elettrico riportato di seguito. Due resistori sono collegati in serie. La corrente I scorre sia nel
resistore R1 che in R2. Per la legge di Ohm le tensione V1 e V2 , rispettivamente ai capi di R1 e di R2 si calcolano come:
V1 = R1 I
V2 = R2 I
Osserviamo i seguenti passaggi analitici, in cui V è la tensione complessiva ai capi del resistore
equivalente
V=V1 + V2 = I R1 + I R2 = ( R1 + R2 ) I = Req I
Da questa espressione ricaviamo
Req = R1 + R2
Questo risultato può essere enunciato nel modo seguente.
Più resistori collegati in serie si comportano come un solo resistore
la cui resistenza è la somma delle singole resistenze.
Resistenze in parallelo
Consideriamo il circuito riportato di seguito. Due resistori sono collegati in parallelo. La corrente I nel nodo si divide in
due correnti I1 e I2 che scorrono rispettivamente nei due resistori R1 ed R2. Ai capi dei due
resistori è presente una stessa tensione V. Il circuito può essere paragonato ad un circuito
con una sola resistenza di valore Req. Possiamo scrivere:
I = V / Req = I1 + I2 = V / R1 + V / R2 = V ( 1/R1 + 1/R2 )
Da questa espressione si ricava:
1 / Req = 1 / R1 + 1 / R2
Questo risultato si può esprimere nel modo seguente.
Più resistori collegati in parallelo si comportano come un unico resistore la cui
resistenza si calcolata nel modo seguente (vedi nota)
NOTA: L’inverso della resistenza 1/R si chiama conduttanza. In questo modo la conduttanza equivalente di resistori
collegati in parallelo è data dalla somma delle conduttanze. La conduttanza si misura in Siemens S (= 1/Ω ).
Condensatori in serie
Consideriamo lo schema elettrico riportato di seguito: due condensatori collegati in serie. La corrente I che scorre nel
ramo passa sia nel condensatore C1 che in C2. Poiché la corrente è la stessa, anche la carica elettrica Q accumulata sulle
armature dei due condensatori è la stessa. La tensione ai capi dei due condensatori non è la stessa poiché le capacità
sono diverse, e precisamente valgono:
V1 = Q / C1
V2 = Q / C2
Il sistema dei due condensatori si comporta come se costituito da un solo condensatore ai cui
capi vi è una tensione V, paria alla somma V1+V2. Poiché in questo condensatore (equivalente)
vi passa la corrente I, Q sarà la carica elettrica che accumula. Pertanto possiamo scrivere:
V = Q / Ceq = V1+V2 = Q / C1 + Q / C2 = Q ( 1/C1 + 1/C2 )
Da questa espressione si ricava:
1/Ceq = 1/C1 + 1/C2
Da questa espressione si deduce la seguente regola generale:
Più condensatori collegati in serie si comportano come un unico condensatore la cui
capacità si calcola nel modo seguente (vedi nota)
Condensatori in parallelo
Lo schema riportato di seguito mostra due condensatori collegati in parallelo. La corrente I che scorre nel circuito si
divide nel nodo in due correnti I1 e I2 che scorrono, rispettivamente, in C1 e C2. Poiché questi sono in parallelo, ciò
comporta che sono sottoposti ad una stessa tensione V. Pertanto possiamo scrivere:
V = Q1/C1
V = Q2/C2
Q1 = V * C1
Q2 = V * C2
Al nodo deve valere il principio di Kirchhoff sulle correnti, ossia deve essere I=I1+I2.
Lo stesso principio deve valere anche per la quantità di carica che passa per il nodo, e
cioè Q = Q1 + Q2, dove Q rappresenta la carica elettrica che entra al nodo e Q1 e Q2
sono rispettivamente le quantità di cariche che passano per i due condensatori. Il
sistema si comporta come un solo condensatore equivalente con una capacità Ceq
sottoposto ad una tensione V. Quindi possiamo scrivere:
Da questa espressione si ricava:
Q=Q1+Q2=V*Ceq=V*C1 + V*C2 = V * (C1+C2)
Ceq = C1 + C2
Da questa espressione si deduce la seguente regola generale:
Più condensatori collegati in parallelo si comportano come un unico
condensatore la cui capacità è data alla somma delle singole capacità
dei condensatori.
NOTA: L’inverso della capacità 1/C si chiama elastanza, o anche elastanza capacitiva. In questo modo nella serie di
più condensatori l’elastanza capacitiva complessiva è la somma delle singole elastanze capacitive.
Induttori in serie
Consideriamo lo schema elettrico che segue. Due induttori sono posti in serie, attraversati dalla stessa corrente I,
variabile nel tempo. In genere una corrente che varia nel tempo viene indicata con i(t), ma tralasciamo per il momento
questa notazione. Per il fatto che in ciascun induttore scorre una stessa corrente I la caduta di tensione
ai capi degli induttori è:
V1 = L1 I / t
V2 = L2 I / t
Dove si è indicato I la variazione di corrente che avviene nell’intervallo di tempo t. Il sistema si
comporta come un circuito in cui è presente un solo induttore con induttanza Leq in cui scorre una
corrente I, variabile nel tempo, e che produce ai suoi capi una tensione V. Allora possiamo scrivere:
V = Leq I / t = V1 + V2 = L1 I / t + L2 I / t = (L1 + L2) I / t
Da questa espressione si ricava:
Leq = L1 + L2
Questa espressione si enuncia dicendo:
Più induttori collegati in serie si comportano come un solo induttore la cui
induttanza è la somma delle singole induttanze.
Induttori in parallelo
Osserviamo lo schema riportato di seguito, raffigura due induttori in parallelo. Poiché sono in parallelo una stessa
tensione V si trova sia ai capi di L1 che di L2. La corrente I, supponiamo che sia variabile nel tempo, nel punto di nodo
si divide in due correnti I1 e I2. Possiamo scrivere:
V = L1 I1 / t
I1 / t = V / L1
V = L2 I2 / t
I2 / t = V / L2
Nel nodo deve valere il principio di Kirchhoff per le correnti, ed anche per le variazioni di correnti, ossia:
I/ t=
( I1 + I2 ) / t = I1 / t + I2 / t = V / L1 + V / L2 = ( 1/L1 + 1/L2 ) V = ( 1 / Leq ) V
Da questa espressione si ricava la seguente espressione tra induttanze, ossia:
1/Leq = 1/L1 + 1/L2
Questa espressione si enuncia dicendo:
Più induttori collegati in parallelo si comportano come un
solo induttore la cui induttanza equivalente si calcola nel
modo seguente (vedi nota)
NOTA: Il reciproco dell’induttanza 1/L si chiama elastanza, o anche elastanza induttiva. In questo modo nel parallelo
di più induttanze l’elastanza induttiva equivalente è la somma delle singole elastanze induttive.