Appunti del Corso di
Meccanica del Veicolo
L’Autoveicolo
Andrea Rindi
Susanna Papini
Luca Pugi
Jury Auciello
Dipartimento di Energetica “Sergio Stecco”
Sezione di Meccanica Applicata
Università di Firenze
via S. Marta 3, 50139 Firenze, Italy
[email protected]
18 maggio 2012
Mirko Ignesti
Indice
Indice
i
Elenco delle figure
iv
Elenco delle tabelle
viii
Introduzione
ix
I
1
La dinamica longitudinale
1 Contatto ruota–strada
1.1 Modello di Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Modello di Coulomb: azioni combinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Limiti del modello di Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
5
6
2 Cinematica del rotolamento
2.1 Sistema di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
8
3 Il modello a spazzola
12
3.1 Scorrimento longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Scorrimento laterale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Coefficiente di aderenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Aderenza generalizzata
4.1 Magic Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Aderenza generalizzata in direzione laterale . . . . .
4.2.1 Spinta di campanatura . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Diagramma di Gough . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Carpet Plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Rigidezza di deriva e di campanatura . . . . .
4.2.5 Magic formulae per il comportamento laterale
4.3 Interazione tra forze longitudinali e trasversali . . . .
4.3.1 Diagramma polare . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Richiami di aerodinamica
37
5.1 Sistemi di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2 Forze aerodinamiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
i
INDICE
INDICE
6 Frenatura
6.1 Decelerazione costante . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Contributo dei freni . . . . . . . . . . .
6.1.2 Contributo delle azioni aerodinamiche .
6.1.3 Contributo dell’attrito di rotolamento .
6.1.4 Contributo della Pendenza della strada
6.2 Modello semplificato di veicolo in frenatura . .
6.2.1 Trasferimento di carico . . . . . . . . . .
6.2.2 Decelerazione massima . . . . . . . . . .
6.2.3 Ripartizione della frenatura . . . . . . .
6.2.4 Variazione del coefficiente di aderenza .
6.2.5 Efficienza della frenatura . . . . . . . .
6.2.6 Influenza della posizione del baricentro .
6.2.7 Bloccaggio delle ruote . . . . . . . . . .
6.2.8 Correttori di frenata . . . . . . . . . . .
6.2.9 ABS (Antilock Braking System) . . . .
6.2.10 BAS (Brake Assistance System) . . . .
6.2.11 CBC (Cornering Break Control) . . . .
6.2.12 ESP (Electronic Stability Program) . .
6.2.13 FDR (Regelung Fahr-Dynamik) . . . . .
6.3 Frenatura ideale: “parabola di frenatura” . . .
6.4 Ripartitore di frenatura . . . . . . . . . . . . .
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7 Prestazioni del veicolo
7.1 Caratteristica meccanica di un motore a combustione interna
7.2 Dinamica longitudinale in piano . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Modello di Coulomb (1 grado di libertà) . . . . . . . .
7.2.2 Modello a tre gradi di libertà . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Calcolo delle prestazioni di un autoveicolo . . . . . . . . . . .
7.3.1 Forza resistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Massima pendenza superabile . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3 Massima pendenza compatibile con l’aderenza . . . . .
7.3.4 Accelerazione massima . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.5 Criteri di massima per il dimensionamento del cambio
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La dinamica laterale
8 Sterzatura
8.1 Sterzatura cinematica . . . . . . . . . .
8.1.1 Il modello a bicicletta . . . . . .
8.2 Limite di slittamento e ribaltamento . .
8.3 Sterzatura dinamica . . . . . . . . . . .
8.3.1 Angoli di deriva . . . . . . . . .
8.3.2 Trasferimento di carico . . . . . .
8.3.3 Equazioni di moto . . . . . . . .
8.3.4 Derivate di stabilità . . . . . . .
8.3.5 Equazioni di moto linearizzate .
8.4 Comportamento direzionale a regime . .
8.4.1 Rigidezza di deriva, punto neutro
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93
INDICE
8.5
8.6
INDICE
8.4.2 Influenza delle forze longitudinali .
8.4.3 Trasferimento di carico trasversale
8.4.4 Convergenza dei pneumatici . . . .
Risposta a sollecitazioni esterne . . . . . .
Stabilità direzionale . . . . . . . . . . . .
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9 Instabilità direzionale
9.1 Slip angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1 La posizione del baricentro . . . . .
9.1.2 Il tipo di trazione . . . . . . . . . . .
9.2 Marcia in rettilineo . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Caso 1: a = p . . . . . . . . . . . .
9.2.2 Caso 2: a > p . . . . . . . . . . . .
9.2.3 Caso 3: a < p . . . . . . . . . . . .
9.3 Marcia in curva . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Studio della dinamica del cornering . . . . .
9.4.1 Influenza dell’angolo di campanatura
9.4.2 Influenza della forza di trazione . . .
III
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La dinamica verticale
10 Dinamica verticale
10.1 Angoli caratteristici del pneumatico
10.2 Analisi cinematica delle sospensioni .
10.3 Schemi di sospensioni tipiche . . . .
10.4 Comfort e guidabilità . . . . . . . . .
10.4.1 Modello a 1 gdl . . . . . . . .
10.4.2 Modello a 2 gdl . . . . . . . .
112
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113
114
116
116
116
116
121
Elenco delle figure
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Azioni normali e tangenziali che si instaurano fra corpi in moto relativo . . . . . . . . . . . .
Schema di corpo rigido per la ruota che rotola senza strisciare . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Andamento qualitativo del coefficiente d’attrito al variare della velocità . . . . . . . . . . . .
Andamento delle pressioni normali nel caso ideale (a) e nel caso reale (b) . . . . . . . . . . .
Andamento del coefficiente d’attrito volvente al variare della velocità per un tipico pneumatico
convenzionale a tele incrociate e uno radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vista laterale e dall’alto delle azioni agenti su un pneumatico . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
2.2
2.3
2.4
Sistema di riferimento per lo studio della cinematica del rotolamento (Fonte: [6]) .
Sα è l’intersezione fra asse elicoidale del moto e piano x − z . . . . . . . . . . . . .
Riposizionamento dell’asse elicoidale nel caso sia applicata una coppia al mozzo (b)
Segno di Vs al variare della coppia applicata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2
3
3
4
5
6
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7
9
10
11
Modello monodimensionale di contatto pneumatico–strada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Andamento delle tensioni longitudinali τx (ξ) secondo il modello a spazzola . . . . . . . . . .
Forza longitudinale al variare dello scorrimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modello a spazzola per deriva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Andamento delle tensioni laterali τy (ξ) secondo il modello a spazzola . . . . . . . . . . . . . .
Momento di autoallinemento secondo il modello a spazzola (Fonte: [2]) . . . . . . . . . . . . .
Andamento qualitativo del coefficiente di aderenza longitudinale µx al variare dello scorrimento pratico s (in figura indicato con σ) (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Andamento di µx in differenti condizioni di asfalto (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Influenza della velocità di marcia sui valori di µx (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Influenza dell’usura sull’andamento del massimo di µx con la velocità (Fonte: [5]) . . . . . . .
3.11 Fenomeno dell’aquaplaning per pneumatico con battistrada (curve A) e senza (curve B)
(Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12 Diminuzione del coefficiente di aderenza longitudinale all’aumentare del carico normale applicato alla ruota (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
14
15
16
17
17
4.1
4.2
25
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
Distorsione dell’orma di contatto per la presenza della deriva [5] . . . . . . . . . . . . . . . .
Deformazioni laterali, distribuzione delle azioni tangenziali e normali, slittamento e velocità
laterali in un pneumatico in deriva [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forza laterale Fy e momento di autoallineamento Mz in funzione dell’angolo di deriva α [5] .
Andamenti di Fy , t e Mz al variare di Fz in funzione di α [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Curve qualitative Fy (α), t (α) e Mz (α) al variare della velocità V [5] . . . . . . . . . . . . . .
Spinta di campanatura in funzione del carico normale e dell’angolo di campanatura [5] . . . .
Forza laterale al variare di γ [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Momento di autoallineamento al variare di γ [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
19
19
21
21
21
22
26
26
27
27
28
29
29
ELENCO DELLE FIGURE
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
5.1
5.2
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
6.16
6.17
6.18
6.19
6.20
6.21
6.22
6.23
ELENCO DELLE FIGURE
Diagramma di Gough per un pneumatico radiale per auto (in alto) e per uno convenzionale
per autocarro (in basso) [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagrammi di Gough a differenti velocità per un carico Fz fissato: a) pneumatico con comportamento soddisfacente; b) pneumatico con comportamento insoddisfacente [5] . . . . . . .
Carpet Plot del coefficiente di aderenza laterale [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rigidezza di deriva in funzione del carico Fz [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Coefficienti di aderenza in funzione dello scorrimento per diversi valori dell’angolo di deriva [5]
Diagramma polare [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagramma polare “ribaltato”: grafico sperimentale [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sistemi di riferimento (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Andamento qualitativo dei coefficienti adimensionali aerodinamici in funzione dell’angolo di
inclinazione del vento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forze agenti su un veicolo in moto su una strada con pendenza tan α (Rielaborato da: [2]) . .
Modello del veicolo in frenatura (Fonte: [6]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Carichi sui due assali in funzione dell’accelerazione longitudinale (Fonte: [6]) . . . . . . . . . .
Zona ammissibile delle possibili coppie di forze frenanti (Fonte: [6]) . . . . . . . . . . . . . . .
Zona ammissibile al variare del coefficiente di aderenza (Fonte: [6]) . . . . . . . . . . . . . . .
Zona ammissibile al variare della posizione del baricentro (arretramento) (Fonte: [6]) . . . . .
Aderenza longitudinale in funzione dello pseudoslittamento percentuale . . . . . . . . . . . . .
Aderenza longitudinale e laterale (per angolo di deriva costante)in funzione dello pseudoslittamento percentuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Curva di proporzionamento dell’impianto frenante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Limitatore semplice (Fonte: [7]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Limitatore semplice: pressione ai cilindri freno (Fonte: [7]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ABS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Intervallo di scorrimento su cui funziona l’ABS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sensore di velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Curve di funzionamento dell’ABS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Curve di funzionamento dell’ABS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funzionamento del BAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schema di funzionamento dell’ESP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forze agenti su un veicolo su strada in pendenza (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Frenatura in condizioni ideali: relazione fra Fx1 e Fx2 per un veicolo con baricentro al centro
del passo a = b, con baricentro arretrato a > b e con baricentro posto anteriormente al centro
del passo a < b. Grafico ottenuto per m = 1000 kg; l = 2,4 m; hG = 0,5 m, strada piana.
(Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ingrandimento della zona utile del grafico di Fig. 6.20. Sono state tracciate anche le rette a
µx1 e µx2 e a decelerazione costante (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagrammi Mf2 (Mf1 ) in condizioni di frenatura ideale: (a) diagramma tipico di vetture
a trazione posteriore con rapporto hG /l basso; (b) diagramma tipico di vettura a trazione
anteriore di classe medio alta e con rapporto hG /l medio; (c) diagramma tipico di vetture
piccole a trazione anteriore, con ripartizione pesi vuoto/pieno squilibrata e con rapporto hG /l
alto (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Confronto fra i momenti frenanti all’avantreno e al retrotreno fra le condizioni di frenatura
ideale e quella in cui il rapporto Kf è costante. Nel caso illustrato il valore di µxP è sufficientemente elevato da produrre lo slittamento oltre il punto A d’intersezione fra le due curve
(Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
30
31
31
33
34
35
35
37
39
40
44
45
48
49
50
50
51
52
52
53
53
54
55
55
55
56
57
58
59
60
60
61
ELENCO DELLE FIGURE
ELENCO DELLE FIGURE
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
Curva caratteristica di un tipico motore ad accensione comandata (Fonte: [5]) . . . . . . . . .
Curve caratteristiche di due tipici motori con relative curve iso–consumo (Fonte: [5]) . . . . .
Moto di avanzamento del veicolo in piano (Fonte: [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forze esterne agenti sul veicolo (Fonte: [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forze agenti sulle ruote anteriori (Fonte: [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forze agenti sulle ruote posteriori (Fonte: [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schema della trasmissione (Fonte: [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forze applicate a un veicolo in marcia su strada in pendenza (Fonte: [2]) . . . . . . . . . . . .
Curve di potenza resa disponibile dal motore e necessaria all’avanzamento per le diverse
condizioni di pendenza e marcia inserita (Fonte: [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.10 Variazione delle curve di potenza massima del motore su scala logaritmica dovute al rapporto
di trasmissione e al rendimento (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.11 Individuazione della massima velocità raggiungibile per un dato rapporto di trasmissione e
una data pendenza (Fonte: [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
64
64
66
67
68
69
71
8.1
8.2
8.3
8.4
77
78
78
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
8.10
8.11
8.12
8.13
8.14
8.15
8.16
8.17
8.18
8.19
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
Schema di veicolo in condizione di sterzatura cinematica (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . .
Giunto di Ackermann (vista dall’alto) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Meccanismo di sterzo a quadrilatero articolato (vista dall’alto) . . . . . . . . . . . . . . . . .
Andamento qualitativo dell’errore commesso rispetto alla condizione di Ackermann utilizzando
un sistema di sterzo come quello di Fig. 8.3 (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schema di modello a bicicletta (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forze agenti su un veicolo che percorre una traiettoria curvilinea (Fonte: [5]) . . . . . . . . . .
Sistema di riferimento per lo studio della dinamica laterale del veicolo (Fonte: [5]) . . . . . .
Posizione e velocità dell’orma di contatto nel sistema di riferimento inerziale (Fonte: [5]) . . .
Trasferimento di carico (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forze al contatto ruota–suolo scomposte secondo gli assi corpo (a)) e secondo gli assi pneumatico (b)) (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forze agenti sul veicolo in condizioni di sterzatura: modello a bicicletta . . . . . . . . . . . .
Sterzatura dinamica: modello a bicicletta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Equilibrio laterale per l’intero veicolo in curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Guadagno della curvatura a regime (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comportamento di direzionale di un veicolo ad un asse sterzante: modello a bicicletta (Fonte: [5])
Variazione del margine statico per veicolo a trazione anteriore e a trazione posteriore per
diversi valori del µxp (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Influenza del trasferimento di carico sulla rigidezza di deriva (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . .
Guadagno della curvatura della traiettoria (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Risposta ad una forza esterna applicata nel baricentro in direzione y: a) veicolo neutro, b)
sottosterzante, c) sovrasterzante (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caso 1: a = p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caso 2: a > p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caso 3: a > p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Effetto della deriva dei pneumatici sulla marcia curvilinea . .
Schema di un veicolo in curva . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Angolo di sterzo in funzione della velocità al variare del segno
Angolo di campanatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modello a bicicletta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. .
del
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. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
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. . . . . . . .
coefficiente di
. . . . . . . .
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. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
sottosterzo
. . . . . . .
. . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
72
73
73
79
80
81
83
85
86
87
90
91
91
93
94
95
96
97
98
104
104
105
106
107
109
110
111
10.1 Sequenza di rotazioni Yaw–Pitch–Roll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
vi
ELENCO DELLE FIGURE
ELENCO DELLE FIGURE
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
Angolo di campanatura o camber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Angolo di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Angolo di incidenza del montante e braccio a terra longitudinale . . . . . . . . . .
Angolo di inclinazione del montante e braccio a terra trasversale . . . . . . . . . .
Sospensione a quadrilateri articolati trasversali (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . .
Sospensione a quadrilateri articolati trasversali con assi cerniera a) non orizzontali
paralleli (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.8 Avantreno a bracci oscillanti longitudinali (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . .
10.9 Retrotreno a bracci oscillanti longitudinali (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . .
10.10Avantreno con sospensioni indipendenti di tipo Mc Pherson (Fonte: [5]) . . . . . .
10.11Modello a 1 grado di libertà per lo studio della dinamica verticale . . . . . . . . . .
10.12Diagramma del rapporto z0 /h0 (Rielaborato da: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.13Diagramma del rapporto z̈0 /h0 (Rielaborato da: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.14Modello a 2 gradi di libertà per lo studio della dinamica verticale (Fonte: [5]) . . .
10.15Diagramma dei rapporti zs0 /h0 e zn0 /h0 (Rielaborato da: [5]) . . . . . . . . . . . .
10.16Diagramma dei rapporti z̈s0 /h0 e z̈n0 /h0 (Rielaborato da: [5]) . . . . . . . . . . . .
vii
.
.
.
.
.
e
.
.
.
.
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.
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.
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. . . . .
. . . . .
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. . . . .
b) non
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
114
115
115
115
117
117
117
118
118
118
120
120
122
122
122
Elenco delle tabelle
1.1
Valori indicativi di fv0 per alcuni tipi di superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.1
3.2
Valori di µP per vari tipi di pneumatici a 30 km/h (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valori di µS per vari tipi di pneumatici a 30 km/h (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
20
5.1
Valori tipici di Cx
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
8.1
8.2
t
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valori tipici del rapporto 2h
Segni delle grandezze che definiscono il comportamento direzionale del veicolo . . . . . . . . .
83
95
viii
Introduzione
Un veicolo terrestre presenta tre aspetti principali che saranno oggetto dei nostri studi:
• DINAMICA LONGITUDINALE;
• DINAMICA LATERALE;
• DINAMICA VERTICALE;
La dinamica longitudinale si occupa delle leggi in base alla quale il veicolo si muove secondo una
traiettoria rettilinea, realizzando moti uniformi, accelerati o decelerati.
Gli aspetti fondamentali legati alla dinamica longitudinale riguardano:
• Dimensionamento del propulsore;
• Dimensionamento dell’impianto frenante e ripartizione delle forze frenanti sugli assi;
• Scelta dei rapporti di trasmissione del cambio;
La dinamica laterale studia le leggi in base alla quale un veicolo si muove lungo una traiettoria curva
(in genere fissando una legge d’avanzamento).
La traiettoria curvilinea, oggetto dello studio, può essere impostata dal sistema di guida (sterzo), oppure
da una perturbazione esterna. A seconda di quale sia il modo in cui viene impostata la traiettoria curvilinea,
si individuano differenti oggetti di studio:
• il comportamento sovra o sottosterzante del veicolo, qualora la curva sia impostata per mezzo del
sistema di guida, come generalmente avviene nello studio di un autoveicolo;
• la stabilità di marcia ad alte velocità e l’assetto in curva del veicolo, nel caso in cui la dinamica laterale
sia dovuta a una perturbazione esterna. Questo campo di indagine si presenta generalmente nello
studio della dinamica laterale di un veicolo ferroviario.
La dinamica verticale studia i moti vibratori con cui il veicolo reagisce in presenza d’irregolarità
stradali.
Tale studio è legato sia a problemi di comfort, sia a quelli di sicurezza di marcia, in relazione a fenomeni
di distacco di una ruota o del ribaltamento.
Bisognerebbe infine parlare di tutti gli aspetti legati al controllo della dinamica di marcia.
L’incremento delle prestazioni di un autoveicolo è oggi strettamente connesso con l’utilizzo d’opportuni
sistemi di controllo, sia su strada (ABS, controllo della trazione, ESP, sospensioni attive, sistemi di sterzata,
ecc. . . ) sia su ferrovia (antipattinante, antislittante, sospensioni attive, ecc. . . ).
Tali aspetti saranno marginalmente trattati nel corso di Dinamica del veicolo e saranno approfonditi nei
corsi successivi.
ix
Parte I
La dinamica longitudinale
1
Capitolo 1
Contatto ruota–strada
Le forze che vengono scambiate nel moto del veicolo sono di varia natura:
• forze alle ruote;
• forze aerodinamiche;
• forze motrici generate dal propulsore;
• forze frenanti dovute all’azione dei freni.
Questi ultimi due tipi di forze sono propriamente forze interne al sistema, ma, poiché generano lavoro,
devono essere messe in conto quando si valuta la dinamica del veicolo.
In questo capitolo presenteremo alcuni modelli utili per l’individuazione delle forze che vengono scambiate
nel contatto ruota–strada.
1.1
Modello di Coulomb
Come schema di prima approssimazione s’ipotizza che ruota e strada siano modellati come corpi rigidi
in modo tale da considerare il loro contatto puntiforme. Se non vi è strisciamento fra i due corpi, vale la
N
T
-T
-N
Fig. 1.1: Azioni normali e tangenziali che si instaurano fra corpi in moto relativo
seguente legge di Coulomb:
|T|
6 fs
|N|
dove |T| e |N| sono le componenti, rispettivamente, tangenziale e normale della forza di contatto.
2
(1.1)
1.1. Modello di Coulomb
1. CONTATTO RUOTA–STRADA
Il parametro adimensionale fs prende il nome di coefficiente d’attrito statico. Esso dipende dal tipo di
materiale a contatto, dalla natura delle superfici e al più dalla velocità: quindi, è indipendente sia dall’area
di contatto sia dal carico applicato.
Con il modello di Coulomb applicato al caso ruota–strada, nell’ipotesi che non vi sia strisciamento fra
i due corpi (e che quindi non sia superato il limite di aderenza definito dalla (1.1)), il punto di contatto
coincide con il centro d’istantanea rotazione C (Fig. 1.2), perciò la velocità di traslazione del centro della
ruota è esprimibile, dalla relazione fondamentale della cinematica dei corpi rigidi, come:
VG = ω ∧ (G − C) .
Fig. 1.2: Schema di corpo rigido per la ruota che rotola senza strisciare
Quando la forza tangenziale supera il valore definito dalla (1.1) si ha strisciamento tra ruota e pavimentazione e in queste condizioni la forza tangenziale ha direzione opposta alla velocità di strisciamento e vale
in modulo:
|T| = fcin |N|
(1.2)
dove fcin è detto coefficiente d’attrito radente (cinetico).
Fig. 1.3: Andamento qualitativo del coefficiente d’attrito al variare della velocità
Dal grafico di Fig. 1.3 si osserva che vale in generale:
fs > fcin .
3
1.1. Modello di Coulomb
1. CONTATTO RUOTA–STRADA
(a) Caso ideale
(b) Caso reale
Fig. 1.4: Andamento delle pressioni normali nel caso ideale (a) e nel caso reale (b)
Abbiamo detto che, essendo i corpi rigidi, il contatto fra pneumatico e strada è di tipo puntiforme. In
realtà, si tiene conto della deformabilità del pneumatico ammettendo che il contatto avvenga non in un
punto, bensì su una superficie limitata, chiamata orma di contatto.
Qualora si consideri il materiale costituente la ruota perfettamente elastico, nel rotolamento del pneumatico sulla strada si instaura in corrispondenza dell’orma di contatto un andamento di pressione perfettamente
simmetrico. La forza normale risultante passa, quindi, per il centro del cerchio (Fig. 1.4a).
A causa della semplicità del modello, per tenere conto delle resistenze di rotolamento, s’introduce il
parametro d’attrito volvente u, che tiene conto della non perfetta elasticità dei corpi a contatto. Infatti,
poiché la ruota non è perfettamente rigida, occorre spendere una certa energia per poterla deformare nel
rotolamento∗ : tale energia, però, non viene interamente restituita a causa delle perdite interne al materiale.
Ne consegue, con riferimento alla Fig. 1.4b, una distribuzione delle pressioni con risultante spostata in avanti
nel senso del moto.
Questo richiede, per poter mantenere in moto la ruota, l’instaurarsi di un momento MA pari a:
MA = N u.
Se valutiamo il lavoro dissipato per unità di percorso, possiamo scrivere:
dϕ
MA ds
MA
Nu
dLs
= MA
=
=
=
.
ds
ds
ds r
r
r
Si definisce perciò il coefficiente d’attrito volvente come:
fv =
dLs/
ds = u
N
r
Il coefficiente d’attrito volvente dipende dalla pressione di gonfiaggio, dal tipo di pneumatico, dal tipo di
strada e dalla velocità.
4
1.1. Modello di Coulomb
1. CONTATTO RUOTA–STRADA
Fig. 1.5: Andamento del coefficiente d’attrito volvente al variare della velocità per un tipico pneumatico convenzionale
a tele incrociate e uno radiale
Da rilevazioni di tipo sperimentale si è individuato per questo coefficiente un andamento come quello
rappresentato qualitativamente in Fig. 1.5.
Si osserva che, per entrambe i tipi di pneumatici, fv ha un andamento lentamente crescente fino a una
certa velocità, detta velocità critica, in corrispondenza della quale si individua un ginocchio nella curva:
oltre questa velocità l’attrito di rotolamento subisce un incremento repentino che lo porta rapidamente ad
assumere valore elevati.
La velocità critica si manifesta in seguito all’instaurarsi di moti vibratori che interessano la struttura
del pneumatico: in corrispondenza di questa velocità, la lunghezza d’onda delle vibrazioni cui è sottoposta
la gomma diventa paragonabile alle dimensioni dell’orma di contatto, il pneumatico tende a distaccarsi dal
suolo nella parte posteriore del contatto e, conseguentemente, la pressione fra ruota e strada deve aumentare
notevolmente a seguito della riduzione della superficie effettiva di contatto.
Per fenomeni di isteresi, poi, la temperatura della gomma cresce e questo comporta l’aumento ulteriore
dell’energia che deve essere dissipata nel rotolamento. Il fenomeno, quindi, si “autoalimenta” e, pertanto, la
velocità critica pone un limite superiore al funzionamento del pneumatico in esame.
L’andamento della curva di Fig. 1.5 può essere rappresentata, nel tratto al di sotto della velocità critica,
da una equazione del tipo:
fv = fv0 + KV 2
(1.3)
dove fv0 e K sono dei coefficienti da determinare sperimentalmente per ciascun tipo di pneumatico nelle
diverse condizioni di asfalto.
In via del tutto indicativa si fornisce la seguente Tab. 1.1† .
1.1.1
Modello di Coulomb: azioni combinate
Il modello di Coulomb viene introdotto tradizionalmente per spiegare la possibilità delle ruote di trasmettere forze longitudinali. Peraltro, è noto che una ruota è in grado di esercitare sia forze longitudinali
∗ Si suppone la ruota assai più deformabile della strada: ciò è generalmente accettabile nel contatto pneumatico–strada, ma
non necessariamente nel caso di contatto ferroviario.
† Il valore di f
v0 per la neve è relativamente alto perché essa tende ad accumularsi davanti al pneumatico. Come avremo
modo di comprendere in seguito, questa è anche la ragione della ridotta efficacia dell’ABS in queste condizioni: la neve che si
accumula tende a bloccare la ruota, ma a questo bloccaggio si oppone il sistema elettronico di controllo, allungando la frenata.
5
1.1. Modello di Coulomb
1. CONTATTO RUOTA–STRADA
Tab. 1.1: Valori indicativi di fv0 per alcuni tipi di superficie
Superficie
f v0
asfalto buono
neve
sabbia
cemento
selciato
0,013–0,015
0,025
0,15–0,3
0,01–0,015
0,033–0,065
che laterali. Il modello di Coulomb può essere usato anche per descrivere questo caso a patto di considerare
la condizione di superamento del coefficiente d’attrito sulla risultante delle forze longitudinali e laterali.
w
N
S
T
Fig. 1.6: Vista laterale e dall’alto delle azioni agenti su un pneumatico
Ancora una volta il modello di Coulomb descrive le sole due condizioni limite di aderenza e slittamento.
1. Aderenza:
p
T 2 + S 2 ≤ fs N ;
V = ωR
p
T 2 + S 2 = fc N ;
V 6= ωR
2. Slittamento:
1.1.2
Limiti del modello di Coulomb
Il modello presentato in questo paragrafo si presta a descrivere con buona approssimazione condizioni
di moto dei veicoli in rettilineo fintanto che le forze longitudinali trasmesse non superano il limite imposto
dalla (1.1). Di fatto, le condizioni di funzionamento previste dal modello sono soltanto due: rotolamento
puro e bloccaggio delle ruote.
Esso si dimostra, però, inadeguato qualora si intenda studiare, per esempio, manovre di frenatura o
accelerazione al limite delle prestazioni o si voglia studiare il comportamento in curva di un veicolo. Analogamente, con questo tipo di approccio non vi è modo di evidenziare i fenomeni di instabilità che intervengono
ad alte velocità sui veicoli ferroviari.
6
Capitolo 2
Cinematica del rotolamento
2.1
Sistema di riferimento
Nello studio della cinematica, che ci tornerà utile per presentare i modelli che superano i limiti di quello
appena presentato, si farà riferimento al sistema di coordinate presentato in Fig. 2.1.
Fig. 2.1: Sistema di riferimento per lo studio della cinematica del rotolamento (Fonte: [6])
Si suppone che all’asse della ruota venga imposto un moto puramente traslatorio con velocità costante
V su una strada perfettamente piana e rettilinea. Il cerchio della ruota∗ ha velocità angolare ω. L’origine
O del sistema di riferimento è presa sul piano della strada e posta in corrispondenza del centro dell’orma di
contatto, ossia è data dall’intersezione di tre piani:
• il piano stradale;
• il piano medio longitudinale del cerchio;
• il piano verticale contenente l’asse di rotazione della ruota.
L’asse x è dato dall’intersezione del piano stradale con quello longitudinale ed è diretto secondo il senso
di marcia; l’asse z è ortogonale alla strada e diretto verso l’alto, mentre l’asse y, di conseguenza, coincide con
∗ Solo
per esso si può parlare di velocità angolare, essendo un corpo rigido.
7
2.2. Cinematica
2. CINEMATICA DEL ROTOLAMENTO
la proiezione sul piano stradale dell’asse della ruota ed è orientato in modo da considerare positive rotazioni
e momenti antiorari.
Gli angoli† rappresentati in Fig. 2.1 sono così chiamati:
angolo di camber o campanatura γ è l’angolo di cui è inclinato il piano medio della ruota rispetto alla
perpendicolare alla strada; è uno dei più importanti angoli che determinano l’assetto del veicolo in
quanto riveste particolare importanza nell’ottica di massimizzare l’impronta a terra del pneumatico al
variare del carico verticale;
angolo di deriva α rappresenta l’angolo fra l’asse x e la velocità V e ad esso è dovuta la possibilità del
pneumatico di esercitare forze laterali.
Supporremo, infine, che le forze (di risultante F = (Fx , Fy , Fz )) trasmesse dalla strada alla ruota siano
applicate in corrispondenza dell’origine O del sistema di riferimento: poiché ciò non sarà, in generale,
verificato, occorre prevedere, per equilibrare il sistema, la presenza di una coppia di risultante:
Mx
M = My
Mz
Di queste componenti‡ , riveste maggiore interesse il momento di autoallineamento Mz , in quanto, nella
manovra di sterzatura, tende a riportare lo sterzo in posizione neutra.
2.2
Cinematica
Supponiamo che il moto rigido del mozzo avvenga con velocità V = (Vx , Vy , 0) costante in modulo e
direzione, parallela alla strada, ma in generale inclinata di un angolo di deriva α. Indicato con V il modulo
della velocità, le due componenti lungo gli assi x e y saranno date da:
Vx = V cos α
Vy = −V sin α
Oltre a traslare il mozzo ruota con velocità angolare§ ω = (0, ω,0) dipendente, oltre che dalla velocità di
traslazione, anche dalla coppia applicata all’asse.
Poiché l’angolo di deriva è stato supposto non nullo, il moto del cerchione non è piano, ma è comunque
individuato, istante per istante, l’asse elicoidale del moto: il moto del mozzo consiste in una rotazione, con
velocità angolare ω attorno a tale asse e in una traslazione con velocità parallela al vettore velocità angolare.
Nel caso in esame, l’asse elicoidale è sempre parallelo all’asse y e i suoi punti hanno una velocità parallela a
y e di modulo pari a Vy .
In Fig. 2.2 è indicato con Sα la traccia dell’asse elicoidale sul piano x − z, mentre per quanto riguarda la
distanza R fra tale punto e il centro del mozzo possiamo scrivere:
R=
Vx
ω
(2.1)
Definiamo condizione di puro rotolamento quella in cui il moto avvenga con deriva nulla (α = 0) e senza
che vi sia alcuna coppia applicata all’asse del mozzo (T = 0). In queste condizioni, il moto sarà perfettamente
† Si
noti, per inciso, che la definizione del sistema di riferimento non cambia per la presenza o meno di detti angoli.
e My vengono chiamate, rispettivamente, momento di ribaltamento e momento di resistenza al rotolamento.
§ Si suppone, come è in generale, l’angolo di campanatura sufficientemente piccolo da poter trascurare la componente lungo
z di ω.
‡M
x
8
2.2. Cinematica
2. CINEMATICA DEL ROTOLAMENTO
Fig. 2.2: Sα è l’intersezione fra asse elicoidale del moto e piano x − z
piano, l’asse elicoidale diventa asse di istantanea rotazione, tutti i suoi punti hanno velocità nulla Vy = 0 e
il mozzo si muove con velocità V diretta secondo l’asse longitudinale x. Se indichiamo con ω0 la velocità
angolare in queste condizioni, la (2.1) diventa:
R0 =
V
ω0
(2.2)
In generale, possiamo affermare:
h < R0 < Re ,
ossia il centro di istantanea rotazione si trova leggermente sotto il piano stradale.
Possiamo, a questo punto, pensare di applicare alla ruota un angolo di deriva non nullo (α 6= 0), pur
mantenendo nulla la coppia applicata (T = 0). In queste condizioni (Fig. 2.3a), il moto del cerchio non è più
piano e detta ω0α la velocità angolare in queste condizioni (minore rispetto a ω0 in cui non si aveva deriva)
avremo (per la (2.1)):
V cos α
(2.3)
R0α =
ω0α
Poiché α è generalmente piccolo, non vi è grossa differenza fra i due valori di R0α e R0 , anche se concettualmente rappresentano grandezze differenti: sono la distanza fra asse elicoidale del moto e asse del cerchio
nel caso in cui sia, rispettivamente, presente o meno la deriva della ruota; fermo restando che sono ottenuti
in assenza di coppie applicate alla ruota.
Qualora si preveda (come in Fig. 2.3b) di applicare una coppia sulla ruota, la velocità angolare ω sarà
diversa dalla ω0α che avevamo in precedenza¶ . Questo comporta che l’asse elicoidale venga a trovarsi a una
distanza
V cos α
R=
ω
rispetto all’asse della ruota diversa dal precedente valore R0α definito dalla (2.3). Il punto Sα , a distanza R0α
dal centro ruota, ha pertanto una velocità di scorrimento Vs rispetto alla strada.
Le componenti di questa velocità sono date da:
(
Vsx = ωR − ωR0α = V cos α − ωR0α = ω0α R0α − ωR0α
(2.4)
Vsy = −V sin α = −Vx tan α = −ω0α R0α tan α
La prima delle (2.4) è stata ottenuta osservando che Vx non cambia con l’applicazione della T e che si
può scrivere per le (2.1) e (2.3):
Vx = ωR = ω0α R0α
¶ Sarà
ω < ω0α con coppia frenante e ω > ω0α con coppia motrice.
9
2.2. Cinematica
2. CINEMATICA DEL ROTOLAMENTO
(a)
(b)
Fig. 2.3: Riposizionamento dell’asse elicoidale nel caso sia applicata una coppia al mozzo (b)
Si definisce anche un vettore velocità di rotolamento dato da:
ωR0α
Vr = 0
0
che rappresenta la parte di V dovuta al solo rotolamento.
Vale, evidentemente:
Vs = V − Vr
Anche se sono vettori definiti nello spazio, queste tre velocità hanno tutte la terza componente nulla e
verranno considerate, qui e nel seguito, come vettori a due componenti.
Per definire lo stato di sollecitazione del pneumatico, si definiscono i due vettori scorrimento pratico:
ω
1− α
Vs
ω0
s=
=
(2.5)
Vx
− tan α
e scorrimento teorico:
ω0α
Vs
1
Vx
σ=
s=
(2.6)
=
s=
s = ωωα− 1
Vr
Vr
ω
1 − sx
− 0 tan α
ω
I due vettori appena definiti differiscono fra di loro solo in modulo, avendo entrambe sempre la stessa
direzione e verso di Vs . In particolare, nel caso di ruota bloccata (ω = 0) in assenza di deriva (α = 0) si ha
s = (1, 0) e σ = (+∞, 0), mentre in condizioni di puro rotolamento sono entrambi nulli.
Concludiamo il capitolo osservando, con l’ausilio della Fig. 2.4, che Vsx > 0 con ruota frenata (T < 0) e
Vsx < 0 quando la ruota è motrice (T > 0).
ω0α
10
2.2. Cinematica
2. CINEMATICA DEL ROTOLAMENTO
z
T<0
w
T>0
Vx
CM
x
VsxF
Sa
Vsx M
CF
Fig. 2.4: Segno di Vs al variare della coppia applicata
11
Capitolo 3
Il modello a spazzola
Abbiamo già osservato che il modello di Coulomb è troppo semplice per poter spiegare alcuni aspetti
fondamentali del moto del veicolo. Qui presenteremo un modello, chiamato “a spazzola” (brush model, in
letteratura anglosassone), che ci permetterà di ottenere un andamento qualitativo delle forze longitudinali e
laterali che vengono scambiate al contatto ruota–strada, sia qualora si consideri la presenza della deriva o
meno.
3.1
Scorrimento longitudinale
Come primo approccio per presentare il modello a spazzola consideriamo la configurazione rappresentata
in Fig.3.1.
Fig. 3.1: Modello monodimensionale di contatto pneumatico–strada
Il sistema è considerato piano, ossia si suppone che il pneumatico abbia larghezza (cioè dimensione
secondo l’asse y, ortogonale al foglio) nulla, in modo da poter supporre che la pressione dovuta al contatto
con la strada sia costante lungo l’asse trasversale e vari, quindi, secondo il solo asse longitudinale x.
Ipotizzeremo, senza perdere in generalità, che l’angolo di camber γ sia nullo; per valutare l’andamento
delle tensioni longitudinali, come ci si propone di fare in questo paragrafo, dobbiamo poi supporre nullo
anche l’angolo di deriva α.
La strada è supposta infinitamente rigida e si assume che il contatto fra i due corpi avvenga in corrispondenza di un segmento di lunghezza 2a, dipendente dalla forza normale agente e dalla deformabilità del solo
12
3.1. Scorrimento longitudinale
3. IL MODELLO A SPAZZOLA
pneumatico. All’interno di questo segmento di contatto si introduce una coordinata ξ con origine nel bordo
d’ingresso e orientata secondo l’asse x nel verso opposto alla direzione di avanzamento.
Per le ipotesi che abbiamo fatto, le deformazioni dovute alle azioni reciproche che si scambiano pneumatico
e strada avvengono tutte esclusivamente sul battistrada: si ipotizza che ciascun tassello elementare di cui
si può pensare costituito il battistrada si deformi in maniera del tutto indipendente dagli altri tasselli. La
deformazione longitudinale del tassello individuato dalla coordinata ξ viene indicata con u (ξ).
La velocità del tassello di battistrada che entra nella zona di contatto è data da∗ :
v (ξ) = Vx − ωR0 +
∂u ∂ξ
du
= Vx − ωR0 +
dt
∂ξ ∂t
(3.1)
Possiamo scrivere:
∂ξ
= Vx
(3.2)
∂t
in quanto la derivata parziale a primo membro rappresenta la “velocità di alimentazione” con cui i tasselli
del battistrada entrano nella superficie di contatto e coincide con la velocità Vx , appunto. La (3.1) si può
così scrivere nella forma:
∂u
(3.3)
v (ξ) = Vx − ωR0 + Vx
∂ξ
Ammettendo che vi sia una relazione lineare fra deformazione e sforzo longitudinale applicato sul singolo
tassello, avremo:
τx (ξ)
u (ξ) =
Ck
dove Ck rappresenta la rigidezza longitudinale del battistrada.
A questo punto, è ragionevole aspettarsi che, almeno per un certo tratto in corrispondenza dell’ingresso
del segmento di contatto, il battistrada aderisca alla superficie stradale. In questa zona di aderenza, la
velocità del tassello espressa dalla (3.1) dovrà annullarsi:
Vx − ωR0 + Vx
da cui si ottiene:
Vx
È immediato scrivere:
1 ∂τx
=0
Ck ∂ξ
Vx − ωR0
1 ∂τx
+
Vx
Ck ∂ξ
(3.4)
=0
∂τx
Vx − ωR0
= −Ck
= −Ck s
∂ξ
Vx
(3.5)
dove si riconosce a secondo membro lo scorrimento pratico† definito dalla (2.5).
Occorre a questo punto fare una precisazione: la velocità, che abbiamo chiamato di “alimentazione”, con
cui il battistrada entra all’interno del contatto non è eguale a Vx , come abbiamo ammesso, bensì a Vr = ωR0 ,
leggermente diversa dalla prima. In ragione di ciò, la (3.2) si trasforma nella:
∂ξ
= ωR0
∂t
e, conseguentemente, dalla (3.1) avremmo ottenuto, invece della (3.5), la seguente:
∂τx
Vx − ωR0
= −Ck
= −Ck σ
∂ξ
ωR0
(3.6)
∗ Avendo supposto α = 0, potremmo scrivere V al posto di V , ma si preferisce seguire questa formulazione perché più
x
generale.
† In realtà, è la sola componente s , ma nel caso in esame coincide con lo scorrimento essendo nullo l’angolo di deriva α.
x
13
3.1. Scorrimento longitudinale
3. IL MODELLO A SPAZZOLA
In realtà, non vi è grossa differenza nell’uso dell’una o dell’altra relazione, poiché, come abbiamo avuto
modo di notare nel precedente capitolo, i due scorrimenti differiscono solo nel modulo. D’altra parte, come
si capirà in seguito, quello a spazzola è un modello di tipo qualitativo, in quanto, per conoscere le τx (ξ),
saremo costretti a ipotizzare un andamento, seppur ragionevole, delle p (ξ).
Pertanto, non perdendo alcuna informazione in merito all’andamento qualitativo delle τx , preferiamo per
semplicità far uso dello scorrimento pratico, anziché di quello teorico.
Detto questo, integrando la (3.5), otteniamo:
τx (ξ) = τx (0) − Ck sξ
Poiché in corrispondenza del bordo d’ingresso il battistrada non può essere compresso, in quanto proviene
da una zona non in contatto con la strada e, pertanto, non sottoposto ad alcuna forza, avremo:
τx (0) = 0
e, quindi:
τx (ξ) = −Ck sξ
(3.7)
La precedente è valida fintanto che vale la (3.4), ossia fintanto che il battistrada aderisce alla strada.
Nella zona posteriore della superficie di contatto, si instaureranno degli strisciamenti fra pneumatico e
strada: se ammettiamo che il tassello si comporti in base alla legge di Coulomb, avremo che la relazione
appena trovata sarà valida fintanto che le τx non superino il valore limite imposto dal prodotto fs p (ξ),
mentre nella restante parte sarà τx (ξ) = fcin p (ξ).
Concludendo, abbiamo:
(
τx (ξ) = −Ck sξ
ove τx (ξ) ≤ fs p (ξ)
(3.8)
τx (ξ) = −fcin p (ξ)
altrove
Si comprende ora quello che si è detto sul carattere qualitativo di questo modello: l’andamento delle
τx (ξ) è ottenuto in funzione di quello della p (ξ), per ottenere il quale andrebbero svolte indagini più precise
e complesse (come, ad esempio, analisi ad elementi finiti). Generalmente, si preferisce ipotizzare per la
sua semplicità un andamento delle pressioni parabolico, con l’accortezza di imporre in corrispondenza degli
estremi del segmento 2a una pressione nulla, come fisicamente richiesta dalla presenza di una certa rigidezza
del pneumatico.
(a) Caso fcin = fs
(b) Caso fcin < fs
Fig. 3.2: Andamento delle tensioni longitudinali τx (ξ) secondo il modello a spazzola
14
3.2. Scorrimento laterale
3. IL MODELLO A SPAZZOLA
In Fig. 3.2 si riporta graficamente la soluzione‡ della espressione (3.8), in cui si distingue l’andamento
lineare delle tensioni longitudinali fintanto che è soddisfatta la condizione di aderenza (per quel dato valore
di scorrimento) e il successivo andamento parabolico (o comunque proporzionale a quello ipotizzato per la
pressione) nel restante tratto finale di miscroslittamenti.
La forza longitudinale risultante, data dall’integrale della (3.8):
Tx =
Z2a
τx (ξ) dξ
0
è rappresentata in Fig. 3.3 al variare dello scorrimento.
Fig. 3.3: Forza longitudinale al variare dello scorrimento
3.2
Scorrimento laterale
In maniera del tutto analoga, si può sfruttare il modello a spazzola per valutare le azioni tangenziali che
si scambiano ruota e strada. Si pensi semplicemente di applicare un angolo di deriva non nullo al sistema che
abbiamo già presentato nel precedente paragrafo e al contempo supporre nulla la componente longitudinale Tx
della forza di contatto, ossia nullo lo scorrimento longitudinale del pneumatico (la componente longitudinale
della velocità del centro della ruota è uguale a quella di puro rotolamento). A questa configurazione si da il
nome di deriva semplice del pneumatico.
La configurazione dell’orma di contatto è quella di fig. 3.4, dove si è indicato con w (ξ) la deformazione
laterale che subisce il tassello di pneumatico individuato dalla coordinata ξ, ancora orientata in verso opposto
a x e con origine nel bordo di ingresso dell’orma di contatto. Anche in questo caso si considera (modello a
spazzola) che la deformazione di ciascun tassello è indipendente da quella dei tasselli adiacenti.
Considerando ancora il singolo elemento di battistrada di posizione ξ, la velocità laterale con la quale si
muove nell’orma di contatto è data da:
vy (ξ) = V sin α +
dw
dt
(3.9)
Occorre, a questo punto, osservare che l’angolo di deriva α è, nelle normali condizioni di marcia, dell’ordine
di 2°–4°; si potranno pertanto considerare accettabili le seguenti approssimazioni:
sin α ≈ tan α ≈ α.
‡ Più
precisamente il modulo.
15
3.2. Scorrimento laterale
3. IL MODELLO A SPAZZOLA
Fig. 3.4: Modello a spazzola per deriva
Si può pertanto riscrivere la (3.9) nella forma:
vy (ξ) = V α +
∂w ∂ξ
∂w
=Vα+V
∂ξ ∂t
∂ξ
(3.10)
Nella zona di aderenza dovrà realizzarsi la condizione:
vy = 0,
ossia:
Vα+V
Vale, in definitiva:
∂w
= 0.
∂ξ
∂w
= −α
∂ξ
(3.11)
w (ξ) = −αξ
(3.12)
Integrando, si ottiene:
avendo già considerato che la deformazione al bordo di ingresso deve essere nulla perché il battistrada
proviene da una regione non soggetta sollecitazioni.
Indicando con Ck 0 la rigidezza trasversale del pneumatico, si può ipotizzare una relazione lineare fra
deformazione e tensione:
τy (ξ)
w (ξ) =
.
Ck 0
Sfruttando la (3.12), possiamo scrivere:
τy (ξ) = −Ck0 αξ
(3.13)
Per le stesse ragioni che abbiamo detto nel caso delle tensioni longitudinali, la (3.13) vale fintanto che
τy (ξ) ≤ fs p (ξ). Sarà, in definitiva:
(
τy (ξ) = −Ck0 αξ
ove τy (ξ) ≤ fs p (ξ)
(3.14)
τy (ξ) = −fcin p (ξ)
altrove
La risultante delle forze laterali si ottiene integrando la precedente:
Ty (ξ) =
Z2a
0
16
τy (ξ) dξ
3.2. Scorrimento laterale
3. IL MODELLO A SPAZZOLA
Fig. 3.5: Andamento delle tensioni laterali τy (ξ) secondo il modello a spazzola
Poiché, come si osserva dalla Fig. 3.5, la distribuzione delle tensioni non è simmetrica, si genera un
momento diretto secondo l’asse z dato da:
Mz (ξ) =
Z2a
τy (ξ) (ξ − a) dξ
0
L’andamento del momento Mz , detto di autoallineamento, è rappresentato in Fig. 3.6. Si osserva che per
valori di α molto piccoli, la zona di aderenza coincide approssimativamente con l’intera orma di contatto e
conseguentemente il momento di autoallinamento vale:
a
Mz (ξ)|α→0 ≈ Ty
3
Invece, per valori alti di α, in corrispondenza dei quali la distribuzione delle tensioni tangenziali è pressoché
simmetrica, il momento, in virtù di detta simmetria, dovrà annullarsi.
Fig. 3.6: Momento di autoallinemento secondo il modello a spazzola (Fonte: [2])
Concludiamo osservando che la zona effettiva di aderenza è individuata da una relazione del tipo:
τ (ξ) < fs p (ξ)
17
3.3. Coefficiente di aderenza
3. IL MODELLO A SPAZZOLA
dove con τ si è indicato il modulo della tensione tangenziale totale, pari alla somma (vettoriale) delle due
tensioni longitudinale τx e laterale τy . In altri termini, possiamo affermare che l’impegno di aderenza in una
direzione toglie aderenza nell’altra.
3.3
Coefficiente di aderenza
Quando si studiano le forze scambiate nell’interfaccia pneumatico–strada (o, analogamente, ruota–rotaia)
piuttosto che parlare in termini di coefficiente d’attrito si preferisce introdurre un nuovo coefficiente, chiamato
coefficiente di aderenza e definito dalla seguente relazione:
µ (s, α, N ) =
T
N
(3.15)
Dalla definizione (3.15) appare evidente che concettualmente coefficiente d’attrito e coefficiente di aderenza sono la stessa cosa: si preferisce usare quest’ultimo, però, per evidenziare la dipendenza di questo
fattore da valori locali di alcune grandezze significative, quali appunto lo scorrimento s, l’angolo di deriva α
e il carico normale N .
Nello studio della dinamica longitudinale di un veicolo è di interesse immediato l’andamento, al variare
dello scorrimento, del coefficiente di aderenza µx :
µx =
Tx
N
Questa curva si ricava immediatamente dai risultati trovati nel paragrafo 3.1, con particolare riferimento
alla (3.8) e alla Fig. 3.3. Occorre, però, fare una precisazione: tutti i grafici sperimentali che valutano
l’andamento delle forze e dei coefficienti di aderenza in funzione degli scorrimenti fanno uso di una convenzione
opposta a quella da noi usata nella definizione di scorrimento. Fermo restando la validità dei risultati ottenuti,
ci uniformeremo, qui e nel seguito, a questa convenzione, cambiando il segno allo scorrimento, le cui “nuove”
componenti saranno date da:
sx =
ω
−1
ω0
sy = tan α
(3.16)
Sul grafico di Fig. 3.7 si riporta l’andamento qualitativo del coefficiente di aderenza longitudinale µx al
variare dello scorrimento.
Si individuano due valori notevoli del coefficiente di aderenza: il valore di picco µP e il valore in slittamento puro µS . A rigore, come giustamente segnalato in figura, questi valori differiscono fra la frenatura e
l’accelerazione, ma la differenza è tale da poter ammettere che siano uguali.
Si fa notare che il superamento del valore di picco µPf in frenatura rappresenta una condizione instabile: all’aumento della coppia frenante abbiamo visto corrispondere un aumento dello scorrimento§ , a cui
corrisponde, da quanto si evince dalla Fig. 3.7, una riduzione del µx , ossia della forza frenante. Ne consegue
l’immediato bloccaggio delle ruote.
In Fig. 3.8 è mostrato la forte variabilità del coefficiente di aderenza al variare delle condizioni dell’asfalto.
Condizione particolarmente critica (non prendendo in considerazione il caso di strada innevata o ghiacciata,
in cui l’aderenza si mantiene su valori sempre molto bassi) è quella in cui la strada sia solo parzialmente
bagnata e piena di sporcizia, condizione che si realizza piuttosto frequentemente alle prime acque autunnali.
In tali condizioni, il coefficiente di aderenza è assai variabile da punto a punto e, mentre dove si realizzano
condizioni di scarso scorrimento l’aderenza è ragionevolmente elevata, là dove lo scorrimento è più alto il
coefficiente µx può assumere valori assai più bassi del massimo.
§ Del
valore assoluto, con la nuova convenzione dei segni.
18
3.3. Coefficiente di aderenza
3. IL MODELLO A SPAZZOLA
Fig. 3.7: Andamento qualitativo del coefficiente di aderenza longitudinale µx al variare dello scorrimento pratico s
(in figura indicato con σ) (Fonte: [5])
Fig. 3.8: Andamento di µx in differenti condizioni di asfalto (Fonte: [5])
19
3.3. Coefficiente di aderenza
3. IL MODELLO A SPAZZOLA
In tabb. 3.1 e 3.2 si riportano i valori tipici che possono assumere i due coefficienti µP e µS per diverse
tipologie di pneumatici e strada: si osservi come in condizione di asfalto favorevole con i diffusi pneumatici
radiali la massima forza longitudinale trasmissibile possa anche superare del 20% il carico normale agente
sulla ruota.
Tab. 3.1: Valori di µP per vari tipi di pneumatici a 30 km/h (Fonte: [5])
Tipo pneumatico
Tipo di strada
Cemento
Radiale
Convenzionale
Radiale (da neve)
Convenz. (da neve)
Catene
Asfalto
Asciutto
Bagnato
Asciutto
Bagnato
Neve
Ghiaccio
1,19
1,13
1,04–1,12
0,86–1,02
0,99
0,84
0,62–0,83
0,59–0,70
1,22
1,02
1,00–1,09
0,81–0,89
1,10
1,07
1,00–1,10
0,78–1,02
0,45
0,27
0,36–0,47
0,41–0,48
0,60
0,25
0,24
0,24–0,44
0,29–0,37
0,40
Tab. 3.2: Valori di µS per vari tipi di pneumatici a 30 km/h (Fonte: [5])
Tipo pneumatico
Tipo di strada
Cemento
Radiale
Convenzionale
Radiale (da neve)
Convenz. (da neve)
Asfalto
Asciutto
Bagnato
Asciutto
Bagnato
Neve
Ghiaccio
0,95
0,99
0,88–1,00
0,72–0,90
0,73
0,62
0,50–0,61
0,47–0,57
1,03
0,88
0,87–0,99
0,70–0,78
0,90
0,80
0,77–0,93
0,67–0,84
0,43
0,22
0,35–0,45
0,39–0,47
0,16
0,18
0,22–0,41
0,29–0,36
Il valore massimo della forza longitudinale diminuisce all’aumentare della velocità, ma questa diminuzione
è fortemente influenzata dalle condizioni della strada: come si può osservare dalla fig. 3.9, questa diminuzione
non è molto importante su strada asciutta, ma diventa significativa su strada bagnata.
La Fig. 3.10 mostra come l’aumento di µP dovuto all’usura del battistrada possa essere molto sensibile
alle alte velocità. La cosa non deve trarre in inganno: il grafico di Fig. 3.10 fa riferimento a superfici asciutte,
mentre la presenza di uno strato di acqua peggiora l’aderenza in maniera molto più sensibile su pneumatici
usurati (si veda al riguardo la Fig. 3.11).
Infatti, qualora lo spessore dello strato di acqua è notevole e la velocità abbastanza sostenuta, può
realizzarsi una condizione di sostentamento idrodinamico noto come aquaplaning. La superficie di contatto
è in queste condizioni assai ridotta e le condizioni di contatto che ne derivano ricordano un po’ quelle tipiche
delle superfici lubrificate.
Osserviamo, infine, che il coefficiente di aderenza longitudinale diminuisce all’aumentare del carico
(Fig. 3.12): al contempo, però, la forza longitudinale aumenta essendo essa pari al prodotto del coefficiente
di aderenza per il carico normale.
20
3.3. Coefficiente di aderenza
3. IL MODELLO A SPAZZOLA
Fig. 3.9: Influenza della velocità di marcia sui valori di µx (Fonte: [5])
Fig. 3.10: Influenza dell’usura sull’andamento del massimo di µx con la velocità (Fonte: [5])
Fig. 3.11: Fenomeno dell’aquaplaning per pneumatico con battistrada (curve A) e senza (curve B) (Fonte: [5])
21
3.3. Coefficiente di aderenza
3. IL MODELLO A SPAZZOLA
Fig. 3.12: Diminuzione del coefficiente di aderenza longitudinale all’aumentare del carico normale applicato alla ruota
(Fonte: [5])
22
Capitolo 4
Aderenza generalizzata
Per lo studio dei fenomeni di interazione fra pneumatico e strada sono stati sviluppati diversi modelli,
oltre a quello a spazzola presentato nel precedente capitolo. Sostanzialmente, i modelli si suddividono in:
fisici: riproducono il reale contatto fra pneumatico e strada, così da prevedere il comportamento dei fenomeni;
semiempirici: si basano su formule matematiche che riproducono in maniera approssimata ma abbastanza
precisa l’andamento delle forze di un dato pneumatico, al variare di alcune grandezze caratteristiche.
Dipendono da alcuni coefficienti che devono necessariamente essere valutati per via sperimentale.
In questo capitolo, ci proponiamo di presentare uno dei più validi modelli semiempirici per la ricostruzione
“analitica” del contatto e di sviluppare alcuni concetti sull’interazione dei vari parametri nell’aderenza del
pneumatico.
4.1
Magic Formula
Fra i modelli empirici di maggior rilevanza per l’accuratezza dei risultati ottenuti vi è il modello matematico di Pacejka ([8]), anche detto della magic formula. Questa formula si può utilizzare per esprimere diverse
grandezze, come la forza di deriva o il momento di autoallineamento o la forza longitudinale, in funzione
degli altri parametri.
Applicandola al caso della forza longitudinale, avremo qualcosa del tipo:
!
h
i
Fx = D sin C arctan B 1 − E sx + Sh + E arctan B sx + Sh
+ Sv
(4.1)
dove i coefficienti B, C, D, E, Sh , Sv dipendono dal carico Fz e dall’angolo di campanatura γ, devono essere
ricavati sperimentalmente e non hanno significato fisico.
Si fanno le seguenti osservazioni:
• è una funzione dispari, antisimmetrica: è sostanzialmente una funzione seno;
• D fornisce direttamente il valore massimo di Fx ;
• vale, per quanto detto al punto precedente: D = µxP Fz ;
• Sh e Sv sono parametri di offset per permettere eventualmente valori non nulli di forza in corrispondenza
di scorrimento nullo;
• il prodotto BCD fornisce la pendenza della curva per sx + Sh = 0.
23
4.2. Aderenza generalizzata in direzione laterale
4. ADERENZA GENERALIZZATA
Si assume poi:
• µxP = b1 Fz + b2 ;
• C = b0 ;
• b0 = 1,65;
• BCD = b3 Fz2 + b4 Fz e−b5 Fz ;
• E = b6 Fz2 + b7 Fz + b8 ;
• Sh = b9 Fz + b10 ;
• Sv = 0.
Dalla formula (4.1) e successive assunzioni si osserva che la funzione Fx = f (N, sx ) viene fatta dipendere
da 10 parametri bi che vengono calcolati con metodi di identificazione in maniera da interpolare la curva
sperimentale. Per la sua stessa espressione, si accetta implicitamente che il comportamento in frenatura e
in accelerazione sia antisimmetrico.
Inoltre, poiché B, C e D dipendono dal carico normale, può essere conveniente studiarli in forma
adimensionale, fornendo le seguenti definizioni:
fattore di forma: C = PC1 λC
fattore di picco: D = µFz
coefficiente d’attrito: µ = (PD1 + PD2 dfz ) λµ
fattore di curvatura: E = PE1 + PE2 dfz + PE3 dfz2 · {1 − PE4 sign (s + Sh )} λE
rigidezza di slittamento: K = Fz (PK1 + PK2 dfz ) e−PK3 dfz λK
fattore di rigidezza: B = K/CD
shift orizzontale: Sh = (PH1 + PH2 dfz ) λH
shift verticale: SV = Fz (PV1 + PV2 dfz ) λV λµ
In questo modo, la dipendenza da Fz viene tenuta in conto con:
dfz =
Fz − Fz0
Fz0
Con questa formulazione, vengono introdotti 6 fattori di scala (λC , λµ , λE , λK , λH , λV ) che permettono
di scalare, appunto, la formula senza cambiare tutti i parametri in essa contenuti.
4.2
Aderenza generalizzata in direzione laterale
La generazione di forze tangenziali nel contatto ruota–strada avviene in seguito alla deformazione del
pneumatico in direzione laterale. In particolare, la forza scambiata fra ruota e strada (o rotaia) è dovuta
alla presenza di una zona, più o meno estesa, in cui si instaurano dei microslittamenti fra le due superfici in
contatto. La presenza di un angolo di deriva implica il fatto che la ruota non sia in rotolamento puro ma
questo non significa che essa strisci sulla strada. Infatti, la deformabilità del pneumatico permette alla ruota
di muoversi con la stessa velocità del suolo, ossia di aderire ad esso. Tuttavia, per ripristinare le condizioni di
moto del pneumatico indeformato, in corrispondenza dell’uscita dell’orma di contatto, si dovranno instaurare
degli slittamenti fra pneumatico e strada che coinvolgeranno una zona sempre più estesa man mano che la
24
4.2. Aderenza generalizzata in direzione laterale
4. ADERENZA GENERALIZZATA
deriva aumenta, fino a coinvolgere l’intera orma di contatto e a portare così la ruota in una condizione di
vero e proprio slittamento.
Il fatto, insito nella presenza stessa dell’angolo di deriva, che il vettore velocità non giaccia nel piano
medio della ruota implica che la forma della superficie di contatto sia distorta, come mostrato in Fig. 4.1.
Nella stessa figura si mostra anche, qualitativamente, l’incremento dell’estensione della zona di strisciamento
all’aumentare dell’angolo di deriva.
Fig. 4.1: Distorsione dell’orma di contatto per la presenza della deriva [5]
Per comprendere le ragioni di questa deformazione, si consideri un tassello del battistrada giacente, a
riposo, sul piano medio del pneumatico, la cui proiezione è l’asse X 0 di Fig. 4.1. Se si segue il moto di questo
tassello a partire dalla zona indeformata, ossia al di fuori dell’orma, mano a mano che esso si avvicina al
punto di contatto A, esso tenderà a “uscire” dal piano medio per poter seguire la traiettoria impostagli dalla
direzione della velocità V . Il tassello del battistrada seguirà, quindi, una traiettoria parallela alla velocità
fino al punto B, mantenendosi aderente al suolo. Oltre il punto B le forze di richiamo verso il piano di
simmetria saranno di intensità tale da farlo deviare, costringendolo a strisciare sul terreno. È intuitivo che
maggiore è l’angolo di deriva, maggiori saranno le deformazioni che subirà il pneumatico nel tratto A − B,
maggiori saranno le forze di richiamo e, conseguentemente, maggiore dovrà essere l’estensione della zona di
strisciamento B − C necessaria per riallineare il battistrada con il centro ruota.
In Fig. 4.2 sono riportati gli andamenti delle grandezze fondamentali lungo l’orma di contatto di un
pneumatico in deriva. Si osserva che le distribuzioni delle azioni tangenziali τy e normali σz non sono
simmetriche e questo implica che le risultanti Fy e Fz non sono applicate nel centro della zona di contatto:
la Fz è applicata in un punto spostato in avanti rispetto alla direzione di moto e determina il momento
resistente dovuto al rotolamento, mentre la risultante Fy delle azioni laterali è applicata in una posizione
arretrata di un braccio t rispetto al centro dell’orma. Si instaura, quindi, un momento di autoallineamento
Mz = Fy t che tende a riportare il piano di simmetria della ruota nella direzione della velocità.
Nelle figure seguenti si riportano gli andamenti delle grandezze fondamentali al variare di diversi parametri
significativi del moto. In particolare, dalla Fig. 4.5 si osserva che, all’aumentare della velocità, le grandezze
Fy (α), t (α) e Mz (α), dopo un primo tratto in cui assumono pressoché lo stesso valore, tendono a diminuire
per valori più elevati di α.
4.2.1
Spinta di campanatura
Qualora sia presente un angolo di campanatura non nullo, si instaura una forza laterale, chiamata spinta
di campanatura, anche se non si ha deriva. A parità di angoli γ e α, la spinta di campanatura è generalmente
assai inferiore rispetto alla forza di deriva. Essa dipende dal carico normale Fz e, fissato che sia quest’ul-
25
4.2. Aderenza generalizzata in direzione laterale
4. ADERENZA GENERALIZZATA
Fig. 4.2: Deformazioni laterali, distribuzione delle azioni tangenziali e normali, slittamento e velocità laterali in un
pneumatico in deriva [5]
Fig. 4.3: Forza laterale Fy e momento di autoallineamento Mz in funzione dell’angolo di deriva α [5]
26
4.2. Aderenza generalizzata in direzione laterale
4. ADERENZA GENERALIZZATA
Fig. 4.4: Andamenti di Fy , t e Mz al variare di Fz in funzione di α [5]
Fig. 4.5: Curve qualitative Fy (α), t (α) e Mz (α) al variare della velocità V [5]
27
4.2. Aderenza generalizzata in direzione laterale
4. ADERENZA GENERALIZZATA
timo, varia in maniera pressoché lineare con l’angolo di campanatura (Fig. 4.6: si osservi che la spinta di
campanatura è negativa per γ > 0, ossia la direzione è opposta a quella mostrata schematicamente in figura).
Fig. 4.6: Spinta di campanatura in funzione del carico normale e dell’angolo di campanatura [5]
La spinta di campanatura è di solito applicata anteriormente al centro dell’orma di contatto e produce
un momento Mzγ di entità generalmente trascurabile.
Si tenga presente che le forze laterali dovute alla campanatura e alla deriva sono applicate contemporaneamente e la risultante che si ottiene, come mostrato in Fig. 4.7, risente maggiormente del contributo
dovuto alla campanatura per bassi valori dell’angolo di deriva.
Da quanto abbiamo fin qui esposto, ci si può ragionevolmente aspettare che, annullando gli angoli di deriva
e di campanatura, la forza laterale e il momento di autoallineamento generati dal pneumatico si annullino
anch’essi. In realtà, ciò non è quasi mai verificato per una serie di ragioni. Innanzitutto, il comportamento
di un pneumatico non è mai “simmetrico”, ma, a causa dell’isteresi dovuta al materiale di cui è costituito,
può rimanere una piccola forza residua anche quando si sia annullata la deriva del pneumatico stesso. A
questo si aggiunge la possibilità che, per le imprecisioni di lavorazione, la forma della ruota presenti una
certa conicità: essa tenderà quindi a rotolare su una traiettoria non più rettilinea, bensì circolare.
Un altro fattore che influenza questa “asimmetria” di comportamento di un pneumatico è il cosiddetto ply
steer, dovuto alla sua tipica struttura a tele incrociate. Infatti, l’angolo e l’ordine con cui sono posizionate
le varie tele fa sì che, anche in rotolamento puro, il pneumatico rotoli lungo una retta inclinata rispetto al
suo piano medio: ciò determina l’instaurarsi di una forza laterale, il cui verso, però, non cambia pur se si
monta il pneumatico ruotato di 180° sul cerchio.
Appare evidente che l’effetto dovuto al ply steer può essere controllato con una buona precisione, in
quanto dipende sostanzialmente dalla progettazione della disposizione delle tele. Questa controllabilità del
fenomeno può essere sfruttata per limitare l’uso della convergenza, il cui scopo è garantire alla traiettoria
28
4.2. Aderenza generalizzata in direzione laterale
4. ADERENZA GENERALIZZATA
Fig. 4.7: Forza laterale al variare di γ [5]
Fig. 4.8: Momento di autoallineamento al variare di γ [5]
29
4.2. Aderenza generalizzata in direzione laterale
4. ADERENZA GENERALIZZATA
rettilinea la condizione di moto stabile; con la differenza che il ply steer, rispetto alla convergenza, non
comporta l’aumento della resistenza al rotolamento.
4.2.2
Diagramma di Gough
Per avere un quadro di insieme sul comportamento laterale del pneumatico, è molto utile far uso di un
diagramma del tipo rappresentato in Fig. 4.9, dove la forza laterale Fy è riportata in funzione del momento
di autoallineamento Mz con Fz , α e t come parametri.
Fig. 4.9: Diagramma di Gough per un pneumatico radiale per auto (in alto) e per uno convenzionale per autocarro
(in basso) [5]
Si è detto che il momento di autoallineamento viene percepito dal guidatore come una reazione sullo
sterzo: poiché (come è evidente dalla Fig. 4.9) al diminuire della forza laterale il momento tende a zero, la
diminuzione della reazione sullo sterzo dovrebbe essere sentore di condizione di rischio.
In realtà, un pneumatico di cattiva qualità può conservare un valore relativamente elevato di momento
di autoallineamento anche per valori pericolosamente bassi della spinta laterale. La Fig. 4.10 mostra come
il pneumatico di curva caratteristica b) al crescere della velocità presenta una marcata riduzione della forza
di deriva che però non è accompagnata dalla riduzione del momento.
4.2.3
Carpet Plot
In quest’altro tipo di diagramma si riportano le grandezze considerate (tipicamente forze o coefficienti di
aderenza) in funzione dell’angolo di deriva per diversi valori del carico verticale, con l’accortezza di traslare
lungo l’asse delle ascisse le curve ottenute per diversi valori di Fz di quantità proporzionali al carico stesso
(in Fig. 4.11 ne è riportato un esempio).
Per poter leggere un digramma di questo tipo, poiché le curve sono shiftate a seconda del carico verticale,
occorre riportare anche le curve “iso–deriva”, come fatto in figura.
30
4.2. Aderenza generalizzata in direzione laterale
4. ADERENZA GENERALIZZATA
Fig. 4.10: Diagrammi di Gough a differenti velocità per un carico Fz fissato: a) pneumatico con comportamento
soddisfacente; b) pneumatico con comportamento insoddisfacente [5]
Fig. 4.11: Carpet Plot del coefficiente di aderenza laterale [5]
31
4.2. Aderenza generalizzata in direzione laterale
4.2.4
4. ADERENZA GENERALIZZATA
Rigidezza di deriva e di campanatura
Abbiamo visto (Fig. 4.3, per esempio) che per bassi valori dell’angolo di deriva la forza laterale ha un
andamento pressoché lineare con α, per cui si può definire una rigidezza di deriva come la pendenza della
curva Fy (α) nell’origine:
∂Fy (4.2)
Cα =
∂α α=0
Pertanto, per bassi valori di α è lecito scrivere:
Fy = −Cα α
(4.3)
Si definisce anche un coefficiente di rigidezza laterale come il rapporto fra la rigidezza di deriva e il carico
normale: valori tipici di questo rapporto sono di 0,15 °−1 per pneumatici radiali e 0,12 °−1 per pneumatici
convenzionali.
In maniera analoga si definisce la rigidezza di campanatura:
∂Fycamp (4.4)
Cγ =
∂γ γ=0
Al rapporto fra questa grandezza e la forza normale si da il nome di coefficiente di rigidezza di campanatura
e assume valori dell’ordine di 0,021 °−1 per pneumatici radiali e 0,01 °−1 per pneumatici convenzionali.
Per il calcolo della forza laterale può, quindi, essere conveniente utilizzare un modello linearizzato ed
esprimere la Fy come∗ :
Fy = −Cα α + Cγ γ
(4.5)
La validità della (4.5) è del tutto accettabile per angoli α ≤ 4° e γ ≤ 10°, circa.
Un procedimento del tutto analogo può essere applicato al momento di autoallineamento, definendo le
rigidezze come:
∂Mz (Mz ),α =
∂α α=0
∂Mz (Mz ),γ =
∂γ γ=0
ed esprimere il momento secondo un’espressione lineare del tipo:
Mz = (Mz ),α α + (Mz ),γ γ
I coefficienti di rigidezza per il momento di autoallineamento assumono i seguenti valori:
(Mz ),α
Fz
(Mz ),γ
Fz
h
i
0,01 m/deg conven.
h
i
≈
0,013 m/deg radiali
h
i
0,001 m/deg conven.
h
i
≈
0,0003 m/deg radiali
Occorre osservare che nella definizione che abbiamo dato dei coefficienti di rigidezza di deriva e di campanatura è implicita una dipendenza lineare delle forze laterali dal carico normale applicato. In realtà, la
rigidezza di deriva ha un andamento lineare con il carico normale soltanto per bassi valori di quest’ultimo:
per valori più alti, la rigidezza cresce in maniera molto meno sensibile, al punto che si può spesso ritenere
che si raggiunga una sorta di saturazione (Fig. 4.12).
∗ Si
tenga presente l’osservazione fatta sul segno della spinta di campanatura che è negativa per γ > 0.
32
4.2. Aderenza generalizzata in direzione laterale
4. ADERENZA GENERALIZZATA
Fig. 4.12: Rigidezza di deriva in funzione del carico Fz [5]
4.2.5
Magic formulae per il comportamento laterale
Si riportano di seguito le magic formulae ricavate con il modello semi-empirico di Pacejka [8]: valgono le
stesse considerazioni che si sono fatte ad inizio del capitolo.
h
Fy = D sin C arctan B 1 − E α + Sh + E arctan B α + Sh
!
i
+ Sv
(4.6)
dove vale:
BCD = Cα
essendo Cα la rigidezza di deriva.
In maniera del tutto analoga al caso già presentato si forniscono una serie di espressioni per i vari
componenti:
• C = a0 = 1,30;
• D = µyP Fz ;
• µyP = a1 Fz + a2 ;
• E = a6 Fz + a9 ;
h
i
• BCD = sin 2 arctan Fa4z (1 − a5 |γ|);
• Sh = a8 γ + a9 Fz + a10 ;
• Sv = a11 Fz + a12 Fz + a13 ;
• a11 = a111 Fz + a112
Si osserva, per inciso, che i termini Sv e Sh tengono conto del ply steer e della conicità del pneumatico.
Espressione analoga si definisce anche per il momento di autoallineamento:
33
4.3. Interazione tra forze longitudinali e trasversali
4. ADERENZA GENERALIZZATA
h
Mz = D sin C arctan B 1 − E α + Sh + E arctan B α + Sh
i
!
+ Sv
(4.7)
dove però si pone:
• C = C0 ;
• D = c1 Fz2 + c2 Fz ;
• E = c7 Fz2 + c8 Fz + c9 (1 + c10 |γ|);
• BCD = c3 Fz2 + c4 Fz (1 − c6 |γ|) e−c5 Fz ;
• Sh = c11 γ + c12 Fz + c13 ;
• Sv = c14 Fz2 + c15 Fz γ + c16 Fz + c17
Anche in questo caso le varie grandezze non sono dimensionalmente congruenti essendo espresse Fz in
(kN), α e γ in (deg), Fy in (N) e Mz in (N m).
4.3
Interazione tra forze longitudinali e trasversali
Abbiamo già avuto modo di notare nel precedente capitolo che quanto fin qui esposto è valido solamente
quando il pneumatico sviluppa forze solamente longitudinali o trasversali; ben diversa può essere la situazione
se gli è richiesta la contemporanea produzione di forze in entrambe le direzioni. Infatti, l’impegno di
aderenza in una direzione riduce l’aderenza disponibile nell’altra.
Più precisamente, applicando una forza motrice o frenante ad un pneumatico che abbia un certo angolo di
deriva, la forza di deriva si riduce, così come si riduce la forza longitudinale che un pneumatico può esercitare
se è presente anche una forza laterale.
Fig. 4.13: Coefficienti di aderenza in funzione dello scorrimento per diversi valori dell’angolo di deriva [5]
Il fenomeno è chiarito dalla Fig. 4.13: al crescere della deriva, il valore di aderenza longitudinale di
picco si riduce considerevolmente, mentre resta pressoché invariata l’aderenza in condizioni di slittamento.
Al contempo l’aderenza laterale, a parità di angolo di deriva, dimuisce in maniera assai considerevole con
l’aumentare dello scorrimento: il valore di aderenza laterale a ruote bloccate è comunque sempre alquanto
limitato.
34
4.3. Interazione tra forze longitudinali e trasversali
4.3.1
4. ADERENZA GENERALIZZATA
Diagramma polare
Si può pensare quindi di riportare la forza laterale in funzione di quella longitudinale prendendo come
parametro l’angolo di deriva: ciascun punto della curva ottenuta corrisponde a valori diversi dello scorrimento longitudinale. Il procedimento può essere esteso anche al momento di autoallineamento, ottenendo la
Fig. 4.14.
Fig. 4.14: Diagramma polare [5]
A rigore, le curve di forza non sono simmetriche rispetto alle ordinate, ossia il massimo di forza laterale
sviluppabile dal pneumatico si raggiunge quando si ha la contemporanea azione di una leggera forza frenante† .
Osservando la Fig. 4.14, si constata che quando si applica una elevata forza frenante il momento cambia
di segno e questo ha un effetto destabilizzante perché tende a far aumentare l’angolo di deriva.
Generalmente si preferisce riportare il digramma polare invertendo l’asse delle ordinate, ottenendo la
Fig. 4.15: la curva tratteggiata rappresenta l’inviluppo dei grafici ottenuti per diversi valori di α e identifica
il valore della forza risultante massima esercitabile dal pneumatico.
Fig. 4.15: Diagramma polare “ribaltato”: grafico sperimentale [5]
Se F è la forza esercitata dal pneumatico e Fx e Fy sono le sue componenti, il coefficiente di aderenza
della forza risultante può essere espresso come:
q
F
= µ2x + µ2y
(4.8)
Fz
Nei modelli più semplici si ipotizza che la curva dell’inviluppo di Fig. 4.15 sia un cerchio, chiamato cerchio
di aderenza. In realtà, µx è maggiore di µy e per di più le curve non sono perfettamente simmetriche. Si
µ=
† Detto
in altri termini, le curve non sono delle vere e proprie semi–ellissi, anche se si approssimano a tali.
35
4.3. Interazione tra forze longitudinali e trasversali
4. ADERENZA GENERALIZZATA
tenga, poi, presente che, qualunque sia il tipo di approssimazione che si faccia, la forza F ha una forte
dipendenza dalla velocità.
Approssimazione ellittica
Generalmente non si commette un grosso errore ad approssimare la curva inviluppo di Fig. 4.15 (per un
dato valore di α) con un ellisse di espressione:
Fy
Fy0
2
+
Fx
Fx0
2
=1
(4.9)
dove Fy0 è il valore di Fy esercitata con Fx = 0 per un dato α, mentre Fx0 è la massima forza longitudinale
per α = 0.
Se si introduce la rigidezza di deriva (4.2), la precedente diventa:
Cα
C0 α
2
+
Fx
Fx0
2
=1
(4.10)
dove C0 è la rigidezza di deriva del pneumatico in assenza di forze longitudinali.
In questo modo la rigidezza di deriva C di un pneumatico che sta esercitando una forza longitudinale
Fx può essere espressa in funzione della rigidezza C0 che lo stesso pneumatico sviluppa in assenza di forze
longitudinali per mezzo della:
s
C = C0
1−
36
Fx
Fx0
2
(4.11)
Capitolo 5
Richiami di aerodinamica
5.1
Sistemi di riferimento
Prima di passare allo studio delle azioni aerodinamiche occorre fare una precisazione sui sistemi di
riferimento di cui si fa uso nello studio del moto di un veicolo:
Sistema assi suolo XYZ: Sistema di riferimento fisso rispetto alla strada. Gli assi X e Y giacciono su
un piano orizzontale (con l’asse X orientato secondo la linea mediana della strada) mentre l’asse Z è
verticale e diretto verso l’alto.
Sistema assi corpo xyz: Sistema solidale al veicolo, centrato nel suo baricentro. L’asse x si trova nel piano
di simmetria del veicolo ed è orizzontale, l’asse z si trova anch’esso nello stesso piano ed è veerticale e
diretto verso l’alto, mentre l’asse y è perpendicolare agli altri due.
Sistema assi vento x0 y0 z0 : Sistema solidale con il veicolo, simile al sistema assi corpo con la differenza che
~r fra aria e veicolo, nel verso opposto (FIg. 5.1). È il
l’asse x0 è diretto secondo la velocità relativa V
sistema di riferimento usato nello studio dell’aerodinamica.
Fig. 5.1: Sistemi di riferimento (Fonte: [5])
~r dell’aria rispetto al veicolo è la differenza fra la velocità V
~ del veicolo stesso e
La velocità relativa V
quella ~vv del vento.
~ forma con l’asse x si da il nome di angolo di deriva del veicolo o angolo
All’angolo β che la velocità V
~r , e l’asse x prende il nome di angolo di deriva
di assetto. Analogamente, l’angolo βa fra lasse x0 , ossia V
aerodinamico.
37
5.2. Forze aerodinamiche
5.2
5. RICHIAMI DI AERODINAMICA
Forze aerodinamiche
La risultante F~a delle azioni aerodinamiche è applicata nel centro di spinta, che generalmente non coincide
con il baricentro. Poiché risulta più agevole, anche dal punto di vista sperimentale, ritenere la Fa applicata
nel baricentro, occorrerà introdurre dei momenti di trasporto aerodinamici per rendere conto di questo
“disallineamento”.
Si definiscono le seguenti componenti delle azioni aerodinamiche nel sistema assi vento:
resistenza Fxv : è l’unica che compie lavoro;
devianza Fyv
portanza Fzv
Le componenti della forza aerodinamica rispetto al sistema assi corpo prendono il nome di:
resistenza longitudinale Fxa
resistenza laterale Fya
resistenza verticale Fza
Quelle del momento aerodinamico nello stesso sistema assi corpo sono dette invece:
momento di rollio Mxa
momento di beccheggio Mya
momento di imbardata Mza
Nello studio sperimentale dell’aerodinamica di un veicolo si introducono i coefficienti adimensionali:
Cx =
−Fxa
1
2
2 ρSVr
Cy =
Fya
1
2
ρSV
r
2
Cz =
Fza
1
2
ρSV
r
2
C̃x =
Max
1
2
2 ρSlVr
C̃y =
May
1
2
2 ρSlVr
C̃z =
Maz
1
2
2 ρSlVr
In Tab. 5.1 sono riportati valori tipici assunti dal Cx per diverse tipologie di veicoli: si tenga presente che
i coefficienti adimensionali vengono calcolati per βa = 0 fissando la superficie S e la lunghezza l (tipicamente
si assume S = 2 m2 ); poi, mantenendo S e l costanti, si vede come variano i coefficienti adimensionali al
variare di βa .
Tab. 5.1: Valori tipici di Cx
Tipo veicolo
Cx tipico
auto
bus
autocarri
0,28–0,32
0,6–0,7
0,8
38
5.2. Forze aerodinamiche
(a) Cx
5. RICHIAMI DI AERODINAMICA
(b) Cy
(c) C̃z
Fig. 5.2: Andamento qualitativo dei coefficienti adimensionali aerodinamici in funzione dell’angolo di inclinazione del
vento
39
Capitolo 6
Frenatura
Si consideri la Fig. 6.1, in cui sono mostrate tutte le forze agenti su un veicolo in salita su una strada
in rettilineo, in assenza di vento laterale. Il veicolo è modellato come un corpo rigido in moto traslatorio.
Con questa ipotesi si considerano nulli gli effetti delle sospensioni (in termini di beccheggio della cassa) e
si suppone che non vi sia diversità di comportamento fra i pneumatici destro e sinistro dello stesso asse,
escludendo così rotazioni di imbardata.
Fig. 6.1: Forze agenti su un veicolo in moto su una strada con pendenza tan α (Rielaborato da: [2])
La legge di moto per il veicolo considerato si scrive (si prende un asse x parallelo alla strada e diretto
come la velocità):
M ẍ = −Fx1 − Fx2 − Faer − M g sin α −
X
i
fvi Fzi
(6.1)
avendo indicato con Fx1 e Fx2 le forze frenanti applicate, rispettivamente, all’asse anteriore e posteriore,
P
con Faer = 21 ρA V 2 SCx la resistenza aerodinamica e con
i fvi Fzi la resistenza all’avanzamento dovuta
all’attrito volvente.
In particolare, se ammettiamo che il coefficiente d’attrito volvente sia uguale per tutte le ruote:
X
X
fvi Fzi = fv
Fzi
i
i
ed esprimendo le forze frenanti per mezzo del coefficiente d’aderenza:
Fxi = µxi Fzi
40
6.1. Decelerazione costante
6. FRENATURA
la (6.1) diviene:
P
µxi Fzi − 21 ρA V 2 SCx − fv i Fzi − M g sin α
ẍ =
(6.2)
M
Si osserva che nelle equazioni scritte non compaiono termini riferiti alle ruote.
La massa M è la massa traslante complessiva del veicolo (comprese quindi anche le ruote) e non è la
massa ridotta alla traslazione longitudinale; in altri termini le masse rotanti sono direttamente rallentate dai
freni e, dunque, non devono rientrare nel computo della massa ridotta.
P
i
6.1
Decelerazione costante
Supponiamo che il moto del veicolo sia uniformemente decelerato, ossia sia sottoposto a forze frenanti
costanti. Integrando l’equazione di moto possiamo ottenere un’espressione del tutto generica dalla quale
possiamo risalire al tempo o lo spazio percorso dal veicolo durante la manovra di frenatura.
Sia dunque Ftot la forza totale (costante) agente sul veicolo. La precedente si modifica nella:
ẍ =
Ftot
M
ossia:
dV
Ftot
=
= ax
(6.3)
dt
M
Il tempo tf necessario a portare il veicolo dalla velocità V0 alla Vf si ottiene svolgendo l’integrale:
−
ZVf
Ftot
dV = −
M
Ztf
dt ⇒ V0 − Vf =
Ftot
tf = ax tf
M
0
V0
Il tempo d’arresto a partire dalla velocità V0 si ottiene dalla precedente ponendo Vf = 0:
tarr =
M
V0
V0 =
Ftot
ax
(6.4)
Si può anche scrivere:
V =
dx
dt
che, sfruttando la (6.3), diviene:
V =−
dx
dV Ftot
m
Integrando quest’ultima:
ZVf
V dV = −
Zxf
Ftot
dx
M
x0
V0
si perviene a:
V02 − Vf2
Ftot
=−
(xf − x0 )
2
M
Lo spazio necessario per arrestare il veicolo dalla velocità V0 è quindi:
sarr =
M V02
V2
= 0
Ftot 2
2ax
41
(6.5)
6.1. Decelerazione costante
6. FRENATURA
Dalla (6.5) risulta immediato che lo spazio necessario per arrestare un veicolo sottoposto ad una decelerazione costante aumenta, a parità di decelerazione, con il quadrato della velocità da cui si inizia a
frenare.
Analizziamo adesso i singoli contributi delle forze agenti sul veicolo nell’equazione della dinamica (6.2).
6.1.1
Contributo dei freni
Le forze dovute ai freni su ciascuna ruota si possono esprimere come prodotto del coefficiente di aderenza
longitudinale per il carico agente sulla ruota stessa, quindi la forza totale frenante è data da:
Ff reni =
X
i
(6.6)
µxi Fzi
Supponendo che i coefficienti di aderenza siano uguali per ogni pneumatico (frenatura ideale), la precedente diviene:
Ff reni = µx
X
i
Fzi = µx M g
(6.7)
La decelerazione che si può imporre al veicolo per la sola azione dei freni è quindi fornita da:
Ff reni
= −µx g
(6.8)
M
Quindi la massima decelerazione a cui può essere sottoposto il veicolo è direttamente proporzionale al
coefficiente di aderenza longitudinale µx . In altri termini, possiamo dire che la massima forza longitudinale
che le ruote possono esercitare è pari al prodotto del peso del veicolo per il coefficiente di aderenza µx .
Il tempo di arresto e lo spazio di arresto in questo caso valgono rispettivamente:
ẍf reni = −
tarr =
6.1.2
V0
µx g
sarr =
V02
2µx g
Contributo delle azioni aerodinamiche
Integriamo adesso l’equazione (6.2) considerando assieme all’azione dei freni, costante per semplicità,
il contributo dato dalla resistenza aerodinamica all’avanzamento. In questo caso la forza totale agente sul
veicolo può essere scritta nel modo seguente:
Ftot = Ff reni + cV 2
dove c = 21 ρSCx .
L’equazione di moto diventa:
−M
dV
= Ff reni + cV 2
dt
−M
dV
= dt
Ff reni + cV 2
da cui:
o anche:
−M
V dV
= V dt
Ff reni + cV 2
Essendo:
V dt = dx
42
6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura
6. FRENATURA
si può ricavare lo spazio d’arresto integrando la precedente:
sZarr
dx = M
0
Z0
V0
V dV
Ff reni + cV 2
ottenendo:
sarr =
M
Ff reni + cV02
ln
2c
Ff reni
(6.9)
Le forze frenanti di natura aerodinamiche sono del tutto trascurabili nello studio della dinamica della
frenatura; infatti se si considera un veicolo che si muove con una velocità di V = 40 m/s (144 km/h) la
resistenza aerodinamica vale Faer = 600 N che, confrontata con le altre forze frenanti, (che, come visto,
possono superare il peso del veicolo in condizioni di buona aderenza: 8000–18 000 N) risulta effettivamente
trascurabile.
Per V = 20 m/s = 76 km/h le forze aerodinamiche Faer = 150 N.
6.1.3
Contributo dell’attrito di rotolamento
L’attrito di rotolamento opponendosi al moto fornisce un effetto benefico ai fini della frenatura. Utilizu
, la resistenza dovuta all’attrito si può esprimere come:
zando il parametro d’attrito volvente fv = R
X
Fv =
fvi Fzi
i
che, se supponiamo che tutti i parametri di attrito volvente siano uguali per tutte le ruote, diventa:
Fv =
X
i
fvi Fzi = fv
X
i
Fzi = fv M g
(6.10)
e la decelerazione dovuta al solo attrito di rotolamento sarà fornita dalla:
Fv
= −fv g
(6.11)
M
L’attrito di rotolamento è spesso trascurabile, essendo come ordine di grandezza equivalente ad una
decelerazione di 0,01 g.
ẍ = −
6.1.4
Contributo della Pendenza della strada
La pendenza può dare ovviamente un contributo positivo o negativo alla forza frenante.
La componente della forza peso in direzione parallela a quella di avanzamento può essere espressa come:
Fpend = M g sin α
Il contributo alla decelerazione dovuta alla sola pendenza (indicata con i = tan α) sarà dato da∗ :
ẍ = −gi
(6.12)
Per cui l’effetto di una pendenza, ad esempio del 4%, è quello di decelerare o accelerare il veicolo di 0,04 g.
6.2
Modello semplificato di veicolo in frenatura
Per lo studio semplificato della dinamica della frenatura adottiamo lo schema riportato nella Fig. 6.2, nel
quale si si fa uso una convenzione non standard sui versi delle azioni agenti sul veicolo.
In riferimento alla suddetta figura poniamo:
∗ Per
i bassi valori di α normalmente ammessi sulle strade, si può ragionevolmente porre: sin α ≈ α ≈ tan α.
43
6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura
6. FRENATURA
Fig. 6.2: Modello del veicolo in frenatura (Fonte: [6])
• X1 e X2 sono le forze longitudinali, rispettivamente, sull’assale anteriore e posteriore;
• Z1 e Z2 sono le forze verticali, rispettivamente, sull’assale anteriore e posteriore;
• u e u̇ sono, rispettivamente, la velocità e l’accelerazione del veicolo;
• l è il passo del veicolo;
• a e b sono la distanza dal baricentro, rispettivamente, dell’asse anteriore e posteriore;
• h è l’altezza del baricentro;
• W = mg è il peso del veicolo;
• G è la posizione del baricentro;
• O0 x0 z0 è un sistema di riferimento solidale con la strada;
• Gxz è un sistema di riferimento solidale con il veicolo
Supponiamo che il veicolo si stia muovendo su una strada piana ed orizzontale, che gli angoli di sterzo di
tutte le ruote siano nulli e che si muova in aria ferma, o meglio che sia assente qualunque componente laterale
del vento. Queste ipotesi equivalgono a dire che tutti gli pneumatici si trovano in condizioni di frenatura
pura, cioè con angoli di deriva tutti nulli.
Se si pensa di studiare una manovra di frenatura con forze frenanti costanti è possibile trascurare i
moti di beccheggio della carrozzeria; tali moti sono infatti localizzati nei primi istanti di applicazione delle
forze frenanti e implicano, comunque, rotazioni della cassa di pochi gradi; per questo motivo l’altezza h
del baricentro può essere ritenuta costante. Quest’ultima semplificazione equivale in sostanza a trascurare
totalmente l’effetto delle sospensioni e a considerare quindi il veicolo come un unico corpo rigido.
Supponiamo inoltre che le ruote di uno stesso assale si trovino nelle stesse condizioni di aderenza, carico
verticale e forze frenanti.
Con le ipotesi fatte ci siamo ricondotti a considerare un veicolo come un sistema piano in moto rettilineo
uniformemente ritardato.
Come abbiamo visto, possiamo trascurare in prima approssimazione anche il contributo delle forze
aerodinamiche e dell’attrito di rotolamento.
Le equazioni di moto per il veicolo si possono dunque scrivere:
44
6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura
6. FRENATURA
mu̇ = − (X1 + X2 )
0 = Z1 + Z2 − mg
0 = (X + X )h − Z a + Z b
1
2
1
2
(6.13)
Inoltre le forze frenanti sono limitate dal coefficiente µ secondo le seguenti disequazioni:
|X1 | 6 µZ1
|X2 | 6 µZ2
(6.14)
Nella (6.14) con µ abbiamo indicato un coefficiente d’aderenza fittizio, definito come rapporto tra la
massima forza longitudinale ed il corrispondente carico verticale (è assunto indipendente dal carico verticale)
ed è uguale per tutte le ruote.
Alle (6.13) e (6.14) vanno aggiunte le condizioni di vincolo monolatero per la strada, ossia le forze verticali
che essa esercita sul veicolo devono essere dirette verso l’alto:
Z1 > 0
Z2 > 0
(6.15)
Osserviamo che le equazioni scritte rappresentano il comportamento del veicolo anche in accelerazione
semplicemente cambiando il segno alle forze longitudinali e applicando tali forze solo all’asse motore.
6.2.1
Trasferimento di carico
In condizioni di marcia uniforme (velocità costante), sui due assali gravano i cosiddetti carichi statici W1
e W2 che dipendono solo dalla posizione del baricentro† :
b
l
(6.16)
a
W2 = mg
l
In frenatura (u̇ < 0) si ha un aumento ∆Z del carico sull’assale anteriore e una conseguente pari
diminuzione su quello posteriore.
Infatti, dalle equazioni d’equilibrio (6.13) si ottiene per u̇ generica:
W1 = mg
mh
u̇
l
mh
u̇
Z2 = W2 − ∆Z = W2 +
l
Z1 = W1 + ∆Z = W1 −
Fig. 6.3: Carichi sui due assali in funzione dell’accelerazione longitudinale (Fonte: [6])
†I
carichi statici si determinano ponendo u̇ = 0 nella (6.13).
45
(6.17)
6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura
6. FRENATURA
Il trasferimento di carico dipende quindi linearmente dall’accelerazione longitudinale ed è tanto maggiore
quanto maggiore è il rapporto h/l tra l’altezza del baricentro ed il passo del veicolo (Fig. 6.3).
La ripartizione delle forze frenanti tra asse anteriore e asse posteriore (X1 /X2 ) non ha alcuna influenza
sul trasferimento di carico (∆Z), ma quello che conta è solo la forza frenante totale (X1 + X2 )‡ .
La condizione Z2 = 0 corrisponde al distacco delle ruote posteriori e quindi all’incipiente ribaltamento
in senso longitudinale del veicolo.
Tale condizione si ottiene per una decelerazione pari a:
u̇ = −g
6.2.2
a
h
Decelerazione massima
La massima decelerazione si realizza quando tutte le ruote si trovano al limite di aderenza, cioè quando:
X1 = µZ1
X2 = µZ2
(6.18)
Sostituendo nelle equazioni d’equilibrio (6.13):
|u̇|max = µg
(6.19)
La massima decelerazione non dipende quindi dalle caratteristiche dell’impianto frenante che determinano
invece la possibilità di realizzarla nelle varie condizioni di utilizzo.
La condizione d’incipiente ribaltamento in direzione longitudinale va messa in relazione con la massima
decelerazione realizzabile; infatti, perché si abbia il ribaltamento del veicolo dovrà sussistere la relazione:
|u̇| =
ag
6 |u̇|max = µg
h
ossia:
a
6µ
(6.20)
h
Dalla (6.20) si comprende che la condizione di incipiente ribaltamento in frenatura dipende esclusivamente
dalle caratteristiche geometriche e di massa del veicolo (posizione longitudinale e altezza del baricentro) e
dall’aderenza disponibile.
Nei normali autoveicoli, anche in condizioni d’elevata aderenza, tale disequazione non è mai verificata,
quindi le ruote iniziano a slittare prima che il veicolo si ribalti in senso longitudinale.
Inserendo le equazioni (6.17) e (6.19) nelle (6.18) si ottengono i valori delle forze frenanti X1P e X2P in
condizioni limite d’aderenza, cioè i massimi valori possibili con le date condizioni di aderenza:
h
X1P = µ W1 + m µg
l
h
X2P = µ W2 − m µg
l
(6.21)
Sfruttando le (6.16), la precedente si modifica nella:
m
g (b + µh)
l
m
= µ g (a − µh)
l
X1P = µ
X2P
‡ Si
consideri la prima delle (6.13): u̇ varia con X1 + X2 e quindi ∆Z varia di conseguenza.
46
(6.22)
6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura
6.2.3
6. FRENATURA
Ripartizione della frenatura
Le forze frenanti X1P e X2P in condizioni limite d’aderenza sono le massime esercitabili fissati il coefficiente d’aderenza fittizio µ. Consideriamo il rapporto tra questi due valori:
Z1
b + µh
X1P
= P =
X2P
Z 2P
a − µh
(6.23)
Tale rapporto indica come ripartire le forze frenanti fra i due assali in modo da raggiungere contemporaneamente le condizioni limite ed ottenere quindi una frenatura ottimale.
Tali condizioni sono, di fatto, esclusivamente teoriche ed è quindi necessario studiare tutte le possibili
condizioni di frenatura di un veicolo.
Supponiamo quindi di imporre una forza frenante e che l’altra assuma il valore massimo compatibile con
l’aderenza; supponiamo cioè che X2 sia nota e che X1 = µZ1 e sostituiamo nell’equazione di moto (6.13):
X1 = µ
W1 + hl X2
!
(6.24)
1 − hl µ
In maniera del tutto analoga, fissiamo X1 e sia X2 = µZ2 ; si ottiene:
X2 = µ
W2 − hl X1
1 + hl µ
!
(6.25)
Le (6.24) e (6.25) esprimono la forza al limite di aderenza, rispettivamente, sull’assale anteriore e
posteriore note che siano le forze frenanti sull’altro assale.
Come casi particolari si considerano la frenatura solo sull’asse anteriore (X2 = 0):
X10 =
µW1
1 − µ hl
X20 =
µW2
1 + µ hl
e solo sull’asse posteriore (X1 = 0):
Si può osservare che la forza frenante sull’assale anteriore è maggiore del prodotto tra il coefficiente
d’aderenza e il carico statico, mentre quella sull’assale posteriore è minore per effetto del trasferimento di
carico dal retrotreno all’avantreno.
Se sul piano di coordinate X1 e X2 tracciamo le due rette definite dalle equazioni (6.24) e (6.25) si ottiene
il grafico di Fig. 6.4.
La zona del piano delimitata dai due assi cartesiani e dalle due rette di cui sopra (in grigio) delimita
tutte le possibili coppie di forze frenanti per un dato coefficiente di aderenza µ (regione ammissibile).
In altri termini, ogni coppia di forze appartenente alla regione ammissibile dà origine ad una frenatura
del veicolo senza che si bocchi nessun assale. Oltre la retta superiore si bloccano le ruote anteriori, mentre
oltre la retta a destra si bloccano le ruote posteriori.
L’intersezione delle due rette individua il punto P di coordinate X1P , X2P (eq. (6.18)) in cui si ha la
massima decelerazione e si bloccano contemporaneamente i due assali.
La retta per l’origine e per P ha la seguente equazione:
X1 =
b + µh
X2
a − µh
(6.26)
Confrontando la precedente con la (6.23), si comprende che tale retta definisce come ripartire in maniera
ottimale le forze frenanti sui due assali, nota che sia l’aderenza disponibile.
Le rette inclinate di −45◦ individuano i punti in cui è costante la somma X1 + X2 : in base alla prima
delle (6.13), corrispondono a coppie di forze frenanti che danno uguale decelerazione.
47
6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura
6. FRENATURA
Fig. 6.4: Zona ammissibile delle possibili coppie di forze frenanti (Fonte: [6])
Si osserva che per avere decelerazione massima l’unica possibilità è trovarsi nella situazione individuata da
P , mentre, per livelli inferiori di decelerazione, si hanno infinite combinazioni dei valori X1 , X2 (il segmento
d’ogni retta a −45◦ compreso nella zona ammissibile).
6.2.4
Variazione del coefficiente di aderenza
Se l’aderenza disponibile fosse nota e costante il dimensionamento dell’impianto frenante sarebbe ultimato
con le considerazioni fatte al paragrafo precedente; ovvimente l’aderenza può variare moltissimo nelle varie
situazioni di guida e, in genere, non è nota.
Per questo motivo è necessario studiare come variano le regioni ammissibili al variare di µ.
A tale scopo indichiamo con µ1 e µ2 i coefficienti d’aderenza in due differenti condizioni di asfalto. In
generale, se µ1 < µ2 , la regione corrispondente a µ1 è interamente contenuta in quella corrispondente a µ2 .
Al crescere dell’aderenza le due rette che delimitano la zona ammissibile diventano sempre più inclinate e il
loro punto d’intersezione, cioè i vari punti P , si sposta su di una parabola, come vederemo in seguito.
La situazione è rappresentata in Fig. 6.5, dove sono raffigurate tre diverse zone ammissibili per coefficienti d’aderenza crescenti µ1 < µ2 < µ3 : è evidente il non parallelismo delle rette che delimitano la zona
ammissibile nelle tre differenti condizioni d’aderenza.
Supponiamo di aver dimensionamento l’impianto frenante in modo da avere una frenatura ottima per
µ = µ2 :
X1 =
b + µ2 h
X2
a − µ2 h
Se si è in condizioni di ridotta aderenza per µ = µ1 si esce attraverso la corrispondente zona ammissibile
attraverso il lato superiore (punto A), cioè le ruote anteriori si bloccano prima di aver completamente
utilizzato l’aderenza disponibile sulle ruote posteriori.
Se si è in condizioni di aderenza migliore (µ = µ3 ) si esce attraverso la corrispondente zona ammissibile
attraverso il lato di destra (punto B), cioè le ruote posteriori si bloccano prima di aver completamente
utilizzato l’aderenza disponibile sulle ruote anteriori.
Quindi, una variazione del coefficiente di aderenza rispetto a quello utilizzato per ripartire le forze frenanti
porta necessariamente ad una frenatura non ottimale (cioè non si riesce ad ottenere la decelerazione massima
possibile con quel coefficiente di aderenza, µ3 g o µ1 g).
48
6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura
6. FRENATURA
Fig. 6.5: Zona ammissibile al variare del coefficiente di aderenza (Fonte: [6])
6.2.5
Efficienza della frenatura
Supponiamo ancora di aver dimensionato l’impianto frenante in modo da avere una frenatura ottima per
µ = µ2 .
Come detto, sia nel caso di ridotta aderenza (µ1 ) che d’aderenza maggiore (µ3 ) non si riesce ad avere la
frenatura ottimale (che corrisponderebbe a decelerazioni rispettivamente di µ1 g e µ3 g): la retta per P2 non
passa né per P1 né per P3 .
Nei due casi otteniamo invece una decelerazione pari rispettivamente a ε1 µ1 g e ε3 µ3 g, dove con ε1 e ε3
abbiamo indicato l’efficienza della frenatura nelle due condizioni d’aderenza, definita dalle seguenti relazioni:
b
b + h (µ2 − µ1 )
a
ε3 =
a + h (µ3 − µ2 )
ε1 =
6.2.6
se µ1 < µ2
(6.27)
se µ3 > µ2
(6.28)
Influenza della posizione del baricentro
La forma e le dimensioni della zona ammissibile di frenatura nel piano X1 − X2 dipendono anche dalla
posizione del baricentro del veicolo e dal rapporto hl (eq. (6.22)).
Gli spostamenti del baricentro sono dovuti, per esempio, alle condizioni di carico del veicolo.
A parità di coefficiente d’aderenza µ, la posizione del baricentro non influenza la decelerazione massima
ottenibile essendo come visto (eq. (6.19)):
|u̇|max = µg
Pertanto il punto P d’intersezione delle due rette, al variare della posizione del baricentro, si mantiene
sulla retta a −45◦ , caratteristica per quell’aderenza µ e d’equazione:
µg = X1P + X2P
(6.29)
In altri termini, ricordando le (6.16) e la (6.24), si constata che la pendenza delle rette che definiscono i
contorni della zona ammissibile dipende solo da hl e né da a né da b: al variare della posizione del baricentro,
le rette suddette trasleranno senza cambiare inclinazione.
49
6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura
6. FRENATURA
Fig. 6.6: Zona ammissibile al variare della posizione del baricentro (arretramento) (Fonte: [6])
Ancora una volta, se l’impianto frenante è stato dimensionato secondo la condizione individuata da P ,
una variazione della posizione del baricentro porta a condizioni di frenatura non ottimali (punto A) in cui si
ha il bloccaggio delle ruote anteriori (G è in questo caso in posizione più arretrata§ ).
6.2.7
Bloccaggio delle ruote
Come abbiamo visto, se ad una ruota si applica una forza frenante troppo elevata si ha il bloccaggio della
stessa.
Il bloccaggio delle ruote è una condizione assolutamente da evitare perché:
• riduce la capacità di frenare: si passa da un valore del coefficiente d’aderenza prossimo a µP al valore
µS come risulta dalla figura seguente.
Fig. 6.7: Aderenza longitudinale in funzione dello pseudoslittamento percentuale
• si perde il “potere direzionale” del pneumatico: quando la ruota è bloccata di fatto non funziona
più come ruota, ma come un corpo che striscia sulla strada; il coefficiente di aderenza laterale per
pseudoslittamenti longitudinali prossimi ad 1 si riduce enormemente (Fig. 6.8).
§ Infatti,
se b diminuisce (cioè il baricentro arretra), dalla (6.16) si ha che anche il carico statico sull’anteriore W1 diminuisce:
la zona corrispondente al bloccaggio delle ruote anteriori si abbassa anch’essa perché anche il limite di aderenza anteriore X1P
si è abbassato (eq. (6.18)); quindi, il punto P̂ è sotto P .
50
6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura
6. FRENATURA
Fig. 6.8: Aderenza longitudinale e laterale (per angolo di deriva costante)in funzione dello pseudoslittamento
percentuale
6.2.8
Correttori di frenata
Abbiamo visto che se le condizioni d’aderenza e di carico variano rispetto a quelle di progetto, le forze
frenanti possono portare al bloccaggio delle ruote.
Il bloccaggio delle ruote anteriori provoca, in generale, la perdita delle capacità di indirizzare il veicolo,
qualunque sia l’angolo di sterzo impostato. Il veicolo procede lungo la “tangente” e gli spostamenti laterali,
se presenti, sono dovuti esclusivamente alla forza del vento o alla pendenza laterale della sede stradale.
Il bloccaggio delle ruote posteriori porta ad una condizione d’equilibrio instabile per il veicolo: un qualsiasi
disturbo laterale, peraltro sempre presente, induce il veicolo a ruotare su se stesso; le ruote anteriori, che
ruotano col veicolo, sviluppano un momento che tende a favorire la rotazione innescata dal disturbo e solo
quando il veicolo si è completamente girato, torna in una condizione d’equilibrio stabile.
Si traccino le regioni ammissibili per vari valori di µ e delle condizioni di carico e per ciascuna condizione si
disegni il segmento a 45◦ relativo ad una certa efficienza della frenatura: in questo modo, per ogni condizione
di aderenza e di carico si definiscono dei triangoli che individuano condizioni di frenatura accettabili, anche
se non ottimali.
L’impianto frenante dovrà fornire un legame tra le forze sull’asse posteriore e quello sull’asse anteriore
tale da attraversare tutti i triangoli e in modo da uscire sempre dalle varie regioni ammissibili dalla parte
alta (bloccaggio delle ruote anteriori).
Se l’impianto frenante è stato dimensionato per mantenere un rapporto fisso tra la forze frenanti anteriore
X1 e posteriore X2 , cioè imponendo la relazione definita dall’equazione (6.26) per un dato valore di aderenza,
non si hanno in generale condizioni ottimali di frenatura per tutte le possibili condizioni di aderenza e carico.
Quindi un primo metodo per proporzionare l’impianto frenante è quello di imporre che la relazione tra
forze anteriori e posteriori sia descritta da una spezzata, anziché da una retta (Fig. 6.9); in pratica si impone
che da un certo punto in poi le forze frenanti sull’asse posteriore crescano meno di quelle sull’asse anteriore.
Questo tipo di proporzionamento assicura in genere il rispetto delle due condizioni di attraversamento
di tutti i “triangoli” e di uscita dalle regioni ammissibili dalla parte “alta” al variare delle condizioni di
aderenza.
Ovviamente, non si può garantire in questo modo che per tutte le condizioni di aderenza si abbia il
massimo dell’efficienza della frenatura; infatti ciò richiederebbe di proporzionare l’impianto secondo una
legge parabolica, che definisce appunto la parabola che passa per tutti i vertici delle regioni ammissibili.
Per tener conto dell’influenza del baricentro, il correttore di frenata dovrebbe essere sensibile alla variazione di carico in modo da far variare la posizione del “ginocchio” della spezzata.
I metodi tradizionali per proporzionare l’impianto frenante fanno uso dei cosidetti limitatori di presione,
che ci accingiamo a descrivere brevemente.
51
6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura
6. FRENATURA
Fig. 6.9: Curva di proporzionamento dell’impianto frenante
Limitatore di pressione
Da un punto di vista pratico, come detto, si può quindi accettare che le ruote si blocchino purché a farlo
siano quelle anteriori su fondo poco aderente; questo è ovviamente un compromesso, infatti così facendo il
veicolo perde direzionalità, ma non va in testa-coda come succederebbe se si bloccassero le ruote posteriori.
Questa condizione si realizza inserendo nel circuito dei freni degli opportuni meccanismi che limitano l’azione
frenante dei freni posteriori in funzione della forza frenante richiesta o della distribuzione di carico.
Fig. 6.10: Limitatore semplice (Fonte: [7])
Il funzionamento di questo dispositivo è molto semplice: per un certo valore della pressione dell’impianto
frenante e, quindi, della forza frenante esercitata, la reazione della molla non è più sufficiente a tenere aperto
il condotto dei freni posteriori; da questo valore in poi la pressione sul condotto posteriore rimane costante,
mentre può continuare a crescere quella nel condotto anteriore (Fig. 6.11).
I correttori di frenata diventano meno importanti se il veicolo è dotato di sistemi attivi di frenatura. In
questo caso il dimensionamento dell’impianto frenante viene fatto su considerazioni di durata e riscaldamento,
piu che sugli aspetti della ripartizione delle forze frenanti.
52
6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura
6. FRENATURA
Fig. 6.11: Limitatore semplice: pressione ai cilindri freno (Fonte: [7])
6.2.9
ABS (Antilock Braking System)
È un sistema che impedisce alle ruote di bloccarsi durante la frenata, conservandone quindi la direzionalità
(possibilità di sterzare la vettura) e che consente di ridurre gli spazi d’arresto nella maggioranza dei casi,
specie sui fondi scivolosi.
(a) ABS: schema funzionale
(b) Centralina di distribuzione del
fluido di lavoro
Fig. 6.12: ABS
Prendiamo come riferimento la condizione di frenata di panico, che viene effettuata dal conducente in
presenza di un improvviso ostacolo, affondando con forza il pedale del freno; in tali condizioni, molto spesso,
la riduzioni degli spazi d’arresto ottenute con l’ABS non sarebbero sufficienti ad evitare un incidente mentre,
la possibilità di sterzare la vettura permette in molti casi di schivare l’ostacolo.
Il risultato è ottenuto “modulando” la frenata, vale a dire con un sistema in grado di percepire se una o più
ruote stanno per bloccarsi e quindi di intervenire per ridurre la pressione del fluido di lavoro e quindi la forza
frenante sulla ruota che sta per bloccarsi. Occorre, quindi, un sistema che misura la velocità di rotazione di
ciascuna ruota, che la paragoni a quella delle altre ruote e che intervenga sul freno. Concettualmente l’ABS
ha originato molti sistemi di controllo della trazione e ora anche della stabilità (ASC Automatic stability
control, ESP Electronic Stability Program, CBC Cornering Break Control ecc.).
53
6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura
6. FRENATURA
Principio di funzionamento
Per prevenire il bloccaggio di una ruota la forza frenante deve essere continuamente modulata intorno ad
una posizione ottima.
Un sistema ABS è in grado di misurare istante per istante le velocità delle quattro ruote, di confrontarle
tra di loro e quindi di individuare le condizioni di incipiente bloccaggio di una ruota, stimando la decelerazione
del veicolo; in questo caso il sistema interviene facendo diminuire la forza frenante sulla ruota che sta per
bloccarsi.
Fig. 6.13: Intervallo di scorrimento su cui funziona l’ABS
Dal confronto delle velocità misurate, il sistema ABS è in grado di stimare per ciascun pneumatico le
condizioni di slittamento.
Per ottenere il massimo effetto frenante lo slittamento di ciascuna ruota dovrebbe essere mantenuto in
prossimità del valore di picco, che di solito si trova per slittamenti relativi dell’ordine del 15%. Peraltro le
condizioni di massima manovrabilità laterali si hanno per valori dello slittamento relativo prossimi a zero.
Si deve quindi accettare un compromesso tra le due esigenze e normalmente gli ABS mantengono lo
slittamento percentuale tra l’otto e il trenta percento.
Slittamento percentuale ottimale = 8–30%
Sensore di velocità
Il sensore di velocità sfrutta la variazione di riluttanza magnetica che avviene al passaggio di ciascun
dente della ruota solidale all’asse di moto. Il sensore è formato da un magnete permanente sul quale è
avvolta una spira di filo di rame alimentato. Il filo di rame è soggetto a una variazione d’intensità del campo
magnetico al passaggio d’ogni dente e quindi si genera agli estremi del filo una differenza di potenziale di
tipo alternato la cui frequenza è proporzionale alla velocità della ruota.
6.2.10
BAS (Brake Assistance System)
Il sistema è anche conosciuto come BDC (Brake Dynamic Control).
Molto spesso in caso d’emergenza l’automobilista comune non applica la necessaria forza sul pedale del
freno e quindi non si riesce ad entrare nel campo d’azione dell’ABS: questo provoca un allungamento della
frenata e perciò un rischio. Il BAS è un dispositivo di “aiuto” alla frenata d’emergenza che fa sì che, qualora in
caso di pericolo il conducente prema rapidamente il freno senza però esercitare la debita pressione, l’impianto
rileva le intenzioni del pilota e interviene applicando la pressione massima sull’impianto frenante.
54
6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura
6. FRENATURA
Fig. 6.14: Sensore di velocità
(a) Velocità angolare delle ruote e del
veicolo
(b) Operazioni dell’ABS
Fig. 6.15: Curve di funzionamento dell’ABS
(a) Un unico circuito idraulico
(b) Andamento della pressione dell’olio
e della velocità delle ruote e del veicolo
con ABS
Fig. 6.16: Curve di funzionamento dell’ABS
55
6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura
6. FRENATURA
Fig. 6.17: Funzionamento del BAS
In poche parole, se in caso di emergenza il pedale del freno non fosse pigiato con la necessaria forza,
il BAS, rivelando un innalzamento improvviso della pressione nell’impianto frenante, applica la pressione
massima possibile istantaneamente. Ad occuparsi del non bloccaggio delle ruote se n’occuperà l’ABS senza
il quale il BAS non potrebbe esistere.
6.2.11
CBC (Cornering Break Control)
È un tipo di funzionamento dei freni per mezzo del quale, durante un rallentamento in curva, la forza
frenante è distribuita opportunamente fra le ruote in modo da evitare un effetto d’imbardata. In curve dove
si frena e in cui si sviluppa più di 0,6 g d’accelerazione trasversale (registrata da un apposito sensore), la
ruota posteriore interna non viene frenata in modo che nasca, tramite le altre tre ruote frenanti, una coppia
di riassestamento. Il CBC agisce per frenate che non necessitano di intervento dell’ABS.
L’ESP (e l’analogo DSC 3 ) è un gradino più avanti, perché fa intervenire i freni anche se il pilota non
frena; il sistema è però complicato dalla necessità di un sensore di imbardata e uno di rotazione del volante.
6.2.12
ESP (Electronic Stability Program)
Sistema elettronico basato sull’impianto dell’ABS, con le funzioni aggiuntive BAS (Brake Assist) e ASR
(Acceleration Slip Regulation) o TCS (Traction Control System), dove la regolazione automatica e separata
dei freni (ovviamente senza bloccaggio), del motore e della trasmissione impedisce perdite di stabilità della
vettura in curva.
Occorrono sensori d’assetto (di tecnica aeronautica) che comandano la centralina di funzionamento ABS,
la quale, frenando opportunamente solo alcune ruote, ristabilisce il contatto col terreno di tutte e quattro le
ruote e impone un “momento d’imbardata” che recupera le perdite di stabilità. I sensori aggiuntivi a quelli
dell’impianto ABS riguardano l’angolo di sterzata, la velocità d’imbardata e l’accelerazione traversale del
retrotreno.
Storicamente, la Mercedes “classe A” è la prima vettura “media” ad essere equipaggiata con ESP di
serie, in conseguenze delle modifiche decise dopo i noti fatti connessi con il non superamento, nel 1997, della
“prova dell’alce”.
La centralina dell’ESP ha una potenzialità quattro volte superiore di quella di un ABS ed esegue un
controllo di stabilità a intervalli di 20 millesimi di secondo. La logica di funzionamento consiste nel determinare, in base alla sterzata del pilota, qual è la reazione del veicolo che egli desidera o si aspetta, controllare
quale sta per essere in realtà la risposta del veicolo e agire con i freni per adeguarla al desiderio del pilota.
56
6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura
6. FRENATURA
Fig. 6.18: Schema di funzionamento dell’ESP
L’ESP è conosciuto con una serie di sinonimi, a seconda della ditta che lo produce o lo monta sulle
proprie autovetture:
• VSC (Vehicle Stability Control);
• VDC (Vehicle Dynamic Control);
• DSC (Dynamics Stability Control);
• AHBS (Active Handling Brake System);
• PSM (Porsche Stability Management);
• EDS (Electronic Dynamic System);
• CSC (Corner Stability Control).
In poche parole, la logica di funzionamento di tale dispositivo può essere così riassunta: l’ESP, attraverso
i suoi sensori, intuisce quali sono le intenzioni del pilota e se per varie ragioni (scarsa aderenza, eccessiva
velocità, ecc.) l’auto dovesse comportarsi in modo diverso, agendo sui freni (e non solo, vedi sopra) ne
correggerebbe il comportamento. Quindi in condizioni critiche aiuta anche il conducente più inesperto a
padroneggiare i comportamenti della propria vettura.
Anche se stiamo guidando una vettura dotata di ESP ricordiamoci sempre che le leggi della fisica regnano
sovrane e quindi, se il fondo stradale è ghiacciato, nessun sistema al mondo può consentire alla nostra
autovettura di affrontare una curva a 100 km/h!
6.2.13
FDR (Regelung Fahr-Dynamik)
Sistema di sicurezza attiva per il controllo della dinamica di marcia messo a punto dalla Bosch in collaborazione con la Mercedes. All’occorrenza ripristina la stabilità della vettura intervenendo automaticamente
su freni e acceleratore.
Mentre l’ABS e l’antipattinamento servono a eliminare gli slittamenti in senso longitudinale, l’FDR
entra in funzione per impedire gli slittamenti trasversali, ossia i fenomeni di sovrasterzo o sottosterzo che si
innescano quando una o più ruote perdono aderenza. Se, per ipotesi, tutte e quattro perdessero aderenza
contemporaneamente, esso sarebbe inefficace perché, ovviamente, non può rivoluzionare le leggi della fisica.
La regolazione dinamica può, invece, correggere efficacemente l’accenno di sbandata dovuto alla perdita
d’aderenza di una ruota modificando opportunamente la coppia sulle altre tre.
57
6.3. Frenatura ideale: “parabola di frenatura”
6. FRENATURA
Per esempio, se l’auto scivola con l’avantreno verso l’esterno della curva, ossia sottosterza, l’FDR interviene frenando la ruota posteriore interna in modo da riallineare la vettura. Il sistema avverte la perdita di
stabilità del veicolo grazie ad un sensore d’imbardata, in altre parole un “captatore” in grado di rilevare la
sbandata attorno all’asse verticale che passa per il baricentro dell’auto. Oltre a questo, l’FDR si avvale di
tutta una serie di sensori che lo informano sulla velocità delle ruote, sull’entità dell’accelerazione trasversale,
della rotazione del volante e, infine, sulla pressione esercitata sui pedali del freno e sull’acceleratore (carico
motore).
Per memorizzare nella centralina tutti questi dati e attuare, in un tempo brevissimo, le eventuali azioni
correttive, l’FDR necessita di una capacità di calcolo e di una memoria assai elevata. Questa è di 48 kB,
ossia quattro volte superiore a quella richiesta per il funzionamento di un impianto ABS e il doppio di quella
necessaria per un sistema antipattinamento.
6.3
Frenatura ideale: “parabola di frenatura”
Si userà in questo paragrafo la convenzione per cui Fx > 0 se la forza longitudinale è diretta in avanti,
Fz > 0 se verso l’alto (Fig. 6.19).
La frenatura ideale è definita come la condizione in cui tutte le ruote frenano con lo stesso coefficiente di
aderenza longitudinale µ.
Fig. 6.19: Forze agenti su un veicolo su strada in pendenza (Fonte: [5])
La forza frenante totale vale:
Fx =
X
i
µxi Fzi
e l’equazione di moto longitudinale si scrive:
P
P
1
2
du
i µxi Fxi − 2 ρSCx V − f
i fzi − mg sin α
=
(6.30)
dt
m
Si ponga particolare attenzione al fatto che le parti ruotanti sono rallentate direttamente dai freni e
quindi non devono comparire nell’espressione precedente. In sostanza, m è la massa del veicolo e non quella
ridotta.
La resistenza aerodinamica e di rotolamento sono in genere trascurabili e, trascurando anche l’effetto
dovuto alla portanza, si può scrivere nella frenatura ideale (µxi = µ):
P
µ i Fzi − mg sin α
du
µmg cos α − mg sin α
=
=
(6.31)
dt
m
m
Nel caso di strada piana, otterremo:
58
6.3. Frenatura ideale: “parabola di frenatura”
6. FRENATURA
du
= µg
dt
L’ipotesi di frenatura ideale implica anche che, se i raggi di rotolamento sono tutti uguali, i momenti
applicati alle ruote sono proporzionali a Fzi .
Calcoliamo adesso le forze che le ruote devono esercitare per avere una frenatura ideale. Per far ciò occorre
calcolare le Fzi ; con riferimento alla Fig. 6.19, dall’equlibrio alla rotazione rispetto, alternativamente, ai punti
di applicazione delle Fz2 e Fz1 si ottiene:
Fz1
Fz2
du
m
gb cos α − ghG sin α − hG
=
l
dt
m
du
=
ga cos α − ghG sin α + hG
l
dt
(6.32)
Riscrivendo la (6.31):
du
µFz1 + µFz2
=
− g sin α
dt
m
e sostituendovi le (6.32) si ottiene:
mg
(b cos α − µhG )
l
mg
Fx2 = µ
(a cos α + µhG )
l
Eliminando µ dalla precedente, otteniamo:
Fx1 = µ
a
b
2
(Fx1 + Fx2 ) + mg cos α Fx1 − Fx2
=0
h
h
(6.33)
(6.34)
La (6.34) è l’equazione di una parabola: nella fattispecie, è il luogo geometrico delle coppie di forze Fx1
e Fx2 che danno luogo alla frenatura in condizioni ideali.
Fig. 6.20: Frenatura in condizioni ideali: relazione fra Fx1 e Fx2 per un veicolo con baricentro al centro del passo
a = b, con baricentro arretrato a > b e con baricentro posto anteriormente al centro del passo a < b. Grafico ottenuto
per m = 1000 kg; l = 2,4 m; hG = 0,5 m, strada piana. (Fonte: [5])
In Fig. 6.20 è riportata la parabola di frenatura per un tipico autoveicolo: solo il tratto con valori negativi
è d’interesse, in quanto corrisponde a frenatura con marcia in avanti.
59
6.3. Frenatura ideale: “parabola di frenatura”
6. FRENATURA
La parabola in sostanza mi dice come ripartire la forza tra assale anteriore e assale posteriore per ottenere
una data decelerazione a prescindere da quale sia l’aderenza. Infatti, le “curve ad accelerazione costante”
sono le rette a −45° e posso pensare di riportare anche le rette di Fx1 in funzione di Fx2 e viceversa per vari
valori di µx1 e µx2 , ottenendo le curve a µx1 e µx2 costante.
Fig. 6.21: Ingrandimento della zona utile del grafico di Fig. 6.20. Sono state tracciate anche le rette a µx1 e µx2 e
a decelerazione costante (Fonte: [5])
La parabola la posso vedere come il luogo dei punti P che dà decelerazione massima al variare dell’aderenza.
Come si è detto le relazioni che legano Fx1 e Fx2 , in altre parole Mf1 e Mf2 nelle condizioni di frenatura
ideale, dipendono dalla posizione del baricentro (a, b, h), dalla massa del veicolo e quindi dalla condizione
di carico dello stesso.
Fig. 6.22: Diagrammi Mf2 (Mf1 ) in condizioni di frenatura ideale: (a) diagramma tipico di vetture a trazione
posteriore con rapporto hG /l basso; (b) diagramma tipico di vettura a trazione anteriore di classe medio alta e con
rapporto hG /l medio; (c) diagramma tipico di vetture piccole a trazione anteriore, con ripartizione pesi vuoto/pieno
squilibrata e con rapporto hG /l alto (Fonte: [5])
60
6.4. Ripartitore di frenatura
6.4
6. FRENATURA
Ripartitore di frenatura
Si può definire un fattore di ripartizione di frenatura:
Kf =
Mf1
Mf2
come il rapporto fra il momento frenante sull’avantreno e quello al retrotreno. Tale rapporto dipende dalle
caratteristiche costruttive e dalla configurazione di esercizio dell’impianto frenante.
Fig. 6.23: Confronto fra i momenti frenanti all’avantreno e al retrotreno fra le condizioni di frenatura ideale e quella in
cui il rapporto Kf è costante. Nel caso illustrato il valore di µxP è sufficientemente elevato da produrre lo slittamento
oltre il punto A d’intersezione fra le due curve (Fonte: [5])
Sfruttando il grafico di Fig. 6.23, per ogni valore di decelerazione si può ottenere un valore di Kf per il
quale si ha una ripartizione ideale.
Se Kf è costante nel piano Mf1 e Mf2 , le caratteristica di ripartizione dell’impianto frenante è una retta.
Il punto A di intersezione tra la parabola e la retta da la condizione nelle quali l’impianto funziona in maniera
ideale (a sinistra di A).
61
Capitolo 7
Prestazioni del veicolo
Per procedere nello studio della dinamica longitudinale occorre conoscere, sostanzialmente, la potenza
necessaria e quella disponibile per il moto del veicolo. Mentre la prima di queste potenze va intesa come la
potenza resistente che occorre per mantenere il veicolo in moto in determinate condizioni di pendenza, velocità, resistenze aerodinamiche e di rotolamento, la potenza disponibile altro non è che la potenza installata
sul veicolo, cioè la potenza del motore (a meno delle perdite negli ingranaggi della trasmissione).
7.1
Caratteristica meccanica di un motore a combustione interna
In Fig. 7.1 è riportata la curva caratteristica di un tipico motore ad accensione comandata.
Fig. 7.1: Curva caratteristica di un tipico motore ad accensione comandata (Fonte: [5])
Si tratta di un grafico, ottenuto per via sperimentale, in cui viene plottata la potenza erogata dal motore
in funzione del regime di rotazione, per diversi gradi di ammissione: a pieno carico (grado di ammissione
γ pari a 1) si ottiene la curva superiore di figura, mentre a grado di ammissione nullo si individua la curva
inferiore∗ ; ogni punto che giace nel piano compreso fra le due curve rappresenta un punto di funzionamento
parzializzato del motore.
∗ Si riconosce il tipico assorbimento di potenza che ha un motore ad accensione comandata qualora si parzializzi molto
l’aspirazione: a questo comportamento è riconducibile il fenomeno del cosiddetto “freno–motore”.
62
7.1. Caratteristica meccanica di un motore
7. PRESTAZIONI DEL VEICOLO
Benché in uno studio delle prestazioni di un veicolo la caratteristica sperimentale del motore sia generalmente disponibile, è molto più agevole, in uno studio di massima, ricondursi a una espressione algebrica
della potenza in piena ammissione:
Pm =
3
X
(7.1)
i
Pmi ωm
i=0
Per i coefficienti Pmi si ritiene generalmente valido:
Pm0 = 0
Pm3 = −
Pmax
3
ωmax
per tutti i tipi di motore a combustione interna,
Pm1 =
Pmax
ωmax
Pm 2 =
Pmax
2
ωmax
per i motori ad accensione comandata,
Pm1 = 0,6 ·
Pmax
ωmax
Pm2 = 1,4 ·
Pmax
2
ωmax
per i motori Diesel ad iniezione indiretta e
Pm1 = 0,87 ·
Pmax
ωmax
Pm2 = 1,13 ·
Pmax
2
ωmax
per i motori Diesel ad accensione diretta.
La coppia sviluppata dal motore si ottiene direttamente dalla potenza:
Pm
ωm
Mm =
(7.2)
e, sfruttando la (7.1), si può scrivere:
Mm =
3
X
i−1
Pmi ωm
(7.3)
i=0
In Fig. 7.1 sono mostrate anche le curve di potenza ottenute a parità di rendimento η: per un motore ad
accensione comandata, il rendimento risulta più alto in condizioni di funzionamento assai vicine alla coppia
massima di piena ammissione e si riduce piuttosto rapidamente allontanandosi da esse. Questa riduzione è
molto più limitata per un motore ad accensione per compressione (Fig. 7.2).
Generalmente, si preferisce parlare, piuttosto che di rendimento, di consumo specifico di combustibile
definito dalla:
1
(7.4)
Hi · η
dove si è indicato con Hi il potere calorifico inferiore del combustibile: evidentemente, il consumo specifico
non è più un termine adimensionale come il rendimento ma ha l’unità di misura di una massa per l’inverso
di un’energia, ossia si misura in kg J−1 nel sistema SI.
Dai grafici che abbiamo fin qui mostrato appare evidente che si evidenziano distintamente le curve di
coppia e/o di potenza massime (a piena ammissione) e minime (ammissione nulla); per valutare la coppia
che si sviluppa con grado d’ammissione genrico γ si ipotizza una relazione lineare del tipo:
q=
Mm = Mmmax γ + Mmmin (1 − γ)
63
(7.5)
7.2. Dinamica longitudinale in piano
7. PRESTAZIONI DEL VEICOLO
(a) Motore ad accensione comandata
(b) Motore ad accensione spontanea
Fig. 7.2: Curve caratteristiche di due tipici motori con relative curve iso–consumo (Fonte: [5])
7.2
Dinamica longitudinale in piano
In questo paragrafo saranno ricavate le equazioni che descrivono il moto di avanzamento su strada piana
di un autoveicolo.
Fig. 7.3: Moto di avanzamento del veicolo in piano (Fonte: [2])
La condizione di moto è quella rappresentata in Fig. 7.3: vengono evidenziate tutte le variabili che
descrivono il moto delle varie parti del veicolo e le forze agenti sullo stesso. In particolare, delle azioni aerodinamiche si prende in considerazione la sola componente di resistenza Faer e si suppongono le componenti
normali delle forze di contatto avanzate del parametro d’attrito volvente u. Il veicolo è supposto in moto
puramente rettilineo e privo di sospensioni, ossia si considerano nulle tutte le rotazioni della cassa rispetto
alle ruote; la stessa ipotesi ci porta a ritenere uguali le forze agenti sulle ruote dello stesse asse.
Per quest’analisi si utilizzeranno due modelli differenti delle forze di contatto ruota–strada:
• il modello di Coulomb, che porterà a considerare il sistema di Fig. 7.3 dotato di un solo grado di libertà;
• le formule di Pacejka, per utilizzare le quali occorre considerare tre differenti gradi di libertà del sistema.
7.2.1
Modello di Coulomb (1 grado di libertà)
Supponiamo, appunto, che il contatto fra pneumatico e strada segua la legge di Coulomb. Si può individuare una relazione cinematica fra le velocità angolari delle ruote e la velocità di traslazione dell’intero
veicolo:
θ̇A = θ̇P = ωr =
64
ẋ
R
(7.6)
7.2. Dinamica longitudinale in piano
7. PRESTAZIONI DEL VEICOLO
in quanto, in questa formulazione, le ruote supposte rigide, il loro raggio di rotolamento R, cioè le loro
dimensioni, uguali e il loro moto avviene senza strisciamento con velocità angolare ωr .
Supporremo, senza perdere in generalità, che il nostro veicolo sia a trazione posteriore:
ωm =
θ̇P
θ̇P
=
τ
τc τp
(7.7)
ove si è indicato con τc e τp il rapporto di trasmissione, rispettivamente, al cambio e al ponte del differenziale.
Indicando con Wm , Wr , Wp , rispettivamente, le potenze motrice, resistente e perduta e con Ec l’energia
cinetica, si può scrivere il bilancio energetico del sistema di Fig. 7.3:
Wm + Wr + W p =
dEc
dt
(7.8)
La potenza motrice sarà quella fornita dal motore:
W m = Pm = M m ω m
(7.9)
mentre per la potenza resistente si potrà scrivere:
1
Wr = Wrrot + Wraer = −2NP fv Rθ̇P − 2NA fv Rθ̇A − ρSCx ẋ2 ẋ
2
L’equilibrio alla traslazione verticale comporta:
(7.10)
2NA + 2NP = M g
(7.11)
Wrrot = −M gfv ẋ
(7.12)
che, per la (7.6), porta a:
La potenza perduta si ottiene una volta che siano note le caratteristiche del motore e il rendimento della
trasmissione:
Wp = − (1 − η) (Mm − Jm ω̇m ) ωm
(7.13)
Nell’espressione precedente al momento motore Mm è stato decurtata quella quota parte che tiene conto
dell’inerzia delle parti rotanti, ossia il momento Jm ω̇m che serve per accelerare le suddette parti.
L’energia cinetica può essere scomposta in quella del motore:
Ecm =
1
2
Jm ωm
2
e in quella delle parti che stanno a valle della trasmissione† :
Ecu =
Si può scrivere, allora:
1
1
M ẋ2 + 4Jr ωr2
2
2
dEc
= Jm ωm ω̇m + mẋẍ + 4Jr ωr ω̇r
dt
Sfruttando le (7.6) e (7.7), la precedente diviene:
dEc
ẋ
ẍ
ẋ ẍ
= Jm
+ mẋẍ + 4Jr
dt
Rτc τp Rτc τp
RR
Sfruttando le (7.9), (7.10), (7.13) e (7.14), la (7.8) diviene:
†È
l’energia cinetica “utile”, ossia quella posseduta dalle ruote e dalla cassa del veicolo.
65
(7.14)
7.2. Dinamica longitudinale in piano
7. PRESTAZIONI DEL VEICOLO
1
ẋ
ẍ
ẋ ẍ
Mm ωm − (1 − η) (Mm − Jm ω̇m ) − M gfv ẋ − ρSCx ẋ3 = Jm
+ mẋẍ + 4Jr
2
Rτc τp Rτc τp
RR
(7.15)
Semplificando e raccogliendo, si giunge a:
1
ηMm
− M gfv − ρSCx ẋ2
Rτc τp
2
ẍ =
ηJm
4Jr
M+ 2 + 2 2 2
R
R τc τp
(7.16)
A regime, potendo porre:
ẍ = 0
ẋ = V = cost
si può calcolare facilmente la coppia motrice che deve fornire il motore per mantenere il veicolo in moto alla
velocità V :
M̄m
Rτc τp
=
η
1
2
M gfv + ρSCx V
2
(7.17)
e il grado di ammissione da dare al motore per sviluppare suddetta coppia:
γ̄ =
M̄m − Mmin ω̄m
Mmax − Mmin ω̄m
(7.18)
avendo posto:
ω̄m =
V
Rτc τp
Il modello utilizzato (e quindi la (7.16)) vale soltanto finché siamo in condizioni di aderenza. Affinché si
possa quindi sfruttare la (7.16) occorre verificare che sia soddisfatta la suddetta condizione.
Per far ciò occorre prendere in considerazione le forze esterne‡ che agiscono sul veicolo (Fig. 7.4): si dovrà
supporre che esso abbia un ulteriore grado di libertà per poter considerare la perdita di aderenza di un asse.
Fig. 7.4: Forze esterne agenti sul veicolo (Fonte: [2])
Le condizioni di equilibrio alla traslazione verticale e longitudinale e alla rotazione attorno al punto P si
scrivono come:
‡ Il
momento motore Mm non viene preso in considerazione perché è una forza interna al sistema e non compie lavoro.
66
7.2. Dinamica longitudinale in piano
7. PRESTAZIONI DEL VEICOLO
M g − 2NP − 2NA = 0
1
−M ẍ − ρSCx ẋ2 + 2TxA + 2TxP = 0
2
2NP p − M g (a + u) − M ẍh1 − 1 ρSCx ẋ2 h2 − 2Jr θ̇A − 2Jr θ̇P = 0
2
Poiché per l’assenza di strisciamento si può porre:
θ̈A =
ẍ
R
θ̈P =
(7.19)
ẍ
R
avremo:
M g − 2NP
NA =
2
M
g
(a
+ u) + M ẍh1 + 21 ρSCx ẋ2 h2 + 4 JRr ẍ
NP =
2p
(7.20)
Occorre a questo punto aggiungere un’ulteriore equazione d’equilibrio per poter esplicitare le forze
longitudinali.
Fig. 7.5: Forze agenti sulle ruote anteriori (Fonte: [2])
Per far ciò, si prenda in considerazione la Fig. 7.5, dove sono rappresentate le forze agenti sulle ruote
anteriori, comprese le componenti orizzontale e verticale delle reazioni che il telaio scambia con le ruote
stesse. Sarà:
− 2Jr θ̈A − 2Na u − 2TxA R = 0
(7.21)
da cui:
Jr
u
−
ẍ
R R2
Unendo la precedente con la seconda delle (7.19), si potrà verificare che siano soddisfatte le condizioni di
aderenza imposte dal modello di Coulomb:
TxA = −NA
TxA NA 6 fs
TxP
NP
67
6 fs
(7.22)
7.2. Dinamica longitudinale in piano
7.2.2
7. PRESTAZIONI DEL VEICOLO
Modello a tre gradi di libertà
Con questo modello vengono meno le relazioni cinematiche (7.6) che legano la velocità della cassa con
le velocità angolari delle ruote: queste sono, invece, i gradi di libertà del nostro modello (che è sempre
raffigurato dalla configurazione di Fig. 7.3). La differenza è che, adesso, non sono più incognite le forze
longitudinali TxA e TxP , le quali si suppongono ricavata da un modesllo ad hoc (brush model o magic
formula).
Valgono sempre le stesse relazioni trovate per l’equilibrio longitudinale:
1
−M ẍ − ρSCx ẋ2 + 2TxA + 2TxP = 0
2
e per l’equilibrio della ruota non motrice§ :
−2Jr θ̈A − 2NA u − 2TxA R = 0
Fig. 7.6: Forze agenti sulle ruote posteriori (Fonte: [2])
A questo punto occorre aggiungere la condizione di equilibrio per le ruote motrici (Fig. 7.6): deve essere
presa in considerazione anche la coppia Cr trasmessa dai semiassi alle ruote:
− 2Jr θ̈P − 2NP u − 2TxP R + Cr = 0
(7.23)
Raccogliendo tutte le equazioni avremo:
2TxA + 2TxP − 12 ρSCx ẋ2
ẍ
=
M
−2NA u − 2TxA R
θ̈A =
2Jr
−2N
u
P − 2TxP R + Cr
θ̈P =
2Jr
(7.24)
Per poter risolvere le (7.24) occorre esprimere le azioni TxA , TxP e Cr in funzione delle coordinate libere
del sistema.
Per far ciò si faccia riferimento alla Fig. 7.7, in cui è rappresentato lo schema della trasmissione di un
generico autoveicolo.
Il bilancio energetico del sistema di figura, escludendo le ruote (ossia degli elementi racchiusi dal riquadro
di Fig. 7.7) sarà dato da:
§ Continueremo
a supporre, senza perdere in generalità, il veicolo a trazione posteriore.
68
7.2. Dinamica longitudinale in piano
7. PRESTAZIONI DEL VEICOLO
Fig. 7.7: Schema della trasmissione (Fonte: [2])
dEc
dt
Per la potenza “utile”, ossia la potenza che è effettivamente disponibile alle ruote, avremo:
Wm + Wp − Wu =
(7.25)
Wu = Cr θ̇P
(7.26)
Wm = Mm ωm
(7.27)
Wp = − (1 − η) (Mm − Jm ω̇m ) ωm
(7.28)
per quella motrice:
per la potenza perduta:
e per l’energia cinetica:
1
2
Jm ωm
2
Inserendo queste espressioni nella 7.25 si può scrivere:
(7.29)
Ecm =
Mm ωm − (1 − η) (Mm − Jm ω̇m ) ωm − Cr θ̇P = Jm ωm ω̇m
(7.30)
Continuando a valere:
ωm =
θ̇P
ωr
=
τc τp
τc τp
si avrà in definitiva:
Cr =
η (Mm − Jm ω̇m ) ωm
Mm
Jm θ̈P
=η
−η 2 2
τc τp
τc τp
θ̇P
(7.31)
Per avere ẍ, θ̈A e θ̈P occorre conoscere la T = T (N, s). Ricordando la definizione di scorrimento:
s=
v
ω − ω0
=
V
ω
avremo:
sA =
ẋ − Rθ̇A
ẋ
sP =
Nel moto a regime possiamo porre:
69
ẋ − Rθ̇P
ẋ
(7.32)
7.3. Calcolo delle prestazioni di un autoveicolo
ẍ = 0
7. PRESTAZIONI DEL VEICOLO
θ̈A = 0
θ̈P = 0
e ricercare le θ̇A e θ̇P supponendo nota la ẋ = V = cost.
Continuando a valere le (7.19) e (7.21), avremo:
M g (a + u) + 21 ρSCx V 2 h2
N̄P =
2p
N̄A = M g − 2N̄P
2
(7.33)
u
T̄
=
−
N̄
x
A
A
R
−2
T̄
+ 12 ρSCx V 2
x
A
T̄ =
xP
2
Le formule di Pacejka non sono facilmente invertibili, per cui non si può ricavare s direttamente da T e
N . Per questo, si dovrà valutare iterativamente:
TxA sA , N̄A − T̄xA 6 con > 0 piccolo a piacere. Una volta trovati sA (e sP ) si può porre:
V
θ̇¯A = (1 − sA )
R
C̄m = 2N̄P u + 2T̄xA
7.3
V
θ̇¯P = (1 − sP )
R
τ C̄m
M̄m =
η
ω̄m =
θ̇¯P
τ
Calcolo delle prestazioni di un autoveicolo
Le prestazioni del veicolo si studiano in termini di:
• massima pendenza superabile:
• massima velocità ed accelerazione su strada piana.
Generalmente, per questo tipo di studio, data l’eccessiva complicazione del modello a tre gradi di libertà,
si preferisce fare uso del modello di Coulomb, assicurandosi di essere in condizioni lontane dalla perdita
d’aderenza.
Per procedere allo studio di questi fenomeni occorre in primo luogo valutare la potenza necessaria
all’avanzamento di un veicolo.
7.3.1
Forza resistente
Le forza di resistenza all’avanzamento è data in generale da:
1
1
2
f0 + kV 2 + ρSCx V 2 + M g sin α
R = M g cos α − ρSCz V
2
2
Possiamo notare che:
• La parte di peso verticale deve essere decurtata della portanza, che spinge verso l’alto;
• fv non è costante con la velocità, ma vale fv = f0 + kV 2
70
(7.34)
7.3. Calcolo delle prestazioni di un autoveicolo
7. PRESTAZIONI DEL VEICOLO
La (7.34) può essere riscritta in forma differente, per mettere in risalto la dipendenza dalle varie potenze
della velocità:
R = A + BV 2 + CV 4
(7.35)
dove i termini moltiplicativi valgono:
A = M g (f0 cos α + sin α)
1
B = ρS (Cx − f0 Cz ) + M gk cos α
2
C = − 1 ρSCz k
2
Il termine C, che moltiplica la quarta potenza della velocità, dipende quindi dalla portanza e dall’attrito
di rotolamento: la sua influenza diventa significativa solo per macchine sportive. A velocità di uso comune
il termine di maggior rilevanza è la pendenza.
La potenza resistente si ottiene direttamente dalla (7.35):
Wr = RV = AV + BV 3 + CV 5
7.3.2
(7.36)
Massima pendenza superabile
Sul veicolo in marcia a velocità costante in salita agiscono la forza peso mg e la resistenza aerodinamica
Faer , nell’ipotesi di moto a regime non si hanno forze o coppie di inerzia agenti sul veicolo.
Fig. 7.8: Forze applicate a un veicolo in marcia su strada in pendenza (Fonte: [2])
Sia Wms la potenza che il motore deve erogare per muovere il veicolo in salita a velocità costante. Questa
può essere calcolata attraverso un bilancio di potenze a regime:
Wm s + Wr + Wp = 0
(7.37)
La potenza resistente in salita è data da:
1
Wr = −2 (NA + NP ) fv V − ρSCx V 3 − M gV sin α
2
Dall’equilibrio del veicolo in direzione perpendicolare al moto si ha:
2 (NA + NP ) = M g cos α
71
(7.38)
7.3. Calcolo delle prestazioni di un autoveicolo
7. PRESTAZIONI DEL VEICOLO
Per cui la (7.38) diventa:
1
Wr = −M g (fv cos α + sin α) V − ρSCx V 3
2
La potenza perduta nel moto a regime in salita vale:
Wp = − (1 − η) Wms
(7.39)
(7.40)
La (7.37) diventa:
Wm s =
1
1
1
M g (fv cos α + sin α) V + ρSCx V 3 = − Wr
η
2
η
Per pendenze stradali si ha:
(7.41)
cos α = 1
sin α = tan α = i
per cui avremo:
Wm s =
1
1
(fv + i) M gV + ρSCx V 3
η
2
(7.42)
Quindi, la potenza richiesta per superare la pendenza i è la somma di un termine proporzionale alla
velocità e che aumenta al crescere della pendenza, e di un termine che dipende dalla terza potenza della
velocità ed è indipendente dalla pendenza. Perché l’autoveicolo proceda in salita ad una certa velocità e
con una certa pendenza, occorre che la potenza resa disponibile dal motore Wm sia uguale o superiore alla
potenza necessaria Wms .
In Fig. 7.9 si riportano le curve di potenza motrice e potenza necessaria all’avanzamento in salita in
funzione della velocità. La curva di potenza fornita (Wm = Wm (ωm ), con V = ωm Rτ ) è una caratteristica
del motore.
Fig. 7.9: Curve di potenza resa disponibile dal motore e necessaria all’avanzamento per le diverse condizioni di
pendenza e marcia inserita (Fonte: [2])
Per valutare Wm in funzione di V c’è un fattore di scala Rτ : in scala logaritmica, la moltiplicazione per
un fattore di scala si traduce in una traslazione in direzione orizzontale della curva. Poiché il fattore di scala
dipende dal rapporto di trasmissione, si avranno diverse curve di potenza disponibile, al variare della marcia
inserita, tutte corrispondenti a diverse traslazioni in orizzontale (Fig. 7.10).
72
7.3. Calcolo delle prestazioni di un autoveicolo
7. PRESTAZIONI DEL VEICOLO
Fig. 7.10: Variazione delle curve di potenza massima del motore su scala logaritmica dovute al rapporto di trasmissione
e al rendimento (Fonte: [5])
Se le curve di potenza fornita e necessaria risultano tangenti (come avviene in Fig. 7.9 per cambio in III
marcia e pendenza pari a 0,15), si ottiene in ordinata la velocità che consente di superare quella pendenza
alla marcia impostata. Si ottiene una condizione di marcia instabile in cui, a fronte di una piccola variazione
della velocità, la vettura tende ad arrestarsi.
Pertanto, per poter considerare superabile una data pendenza, è necessario che per un dato intervallo di
velocità la curva della potenza disponibile sia al di sopra della curva della potenza richiesta. Evidentemente,
la curva di potenza disponibile che consente il superamento della maggiore pendenza è quella più vicina
all’asse delle potenze, che corrisponde al valore minimo del rapporto di trasmissione al cambio che si ottiene
con la I marcia innestata.
La condizione di moto a regime su strada piana costituisce un caso particolare del moto a regime in salita,
ove si consideri pendenza nulla i = 0. La velocità massima si ottiene quando il rapporto di trasmissione è
tale da posizionare il massimo della curva di potenza disponibile Wm (V ) in corrispondenza con l’intersezione
con la curva della potenza necessaria per l’avanzamento Wms (Fig. 7.11).
Fig. 7.11: Individuazione della massima velocità raggiungibile per un dato rapporto di trasmissione e una data
pendenza (Fonte: [2])
7.3.3
Massima pendenza compatibile con l’aderenza
La massima pendenza superabile da un veicolo va considerata anche tenendo conto dell’aderenza disponibile, in quanto questa influisce sulla capacità di trasmettere a terra sulle ruote motrici una forza longitudinale
73
7.3. Calcolo delle prestazioni di un autoveicolo
7. PRESTAZIONI DEL VEICOLO
di trazione sufficientemente elevata.
Si scrive l’equazione della rotazione dell’intero veicolo intorno al punto P di Fig. 7.8 (trazione posteriore):
Trascurando:
1
2Np p − M gh sin α − ρSCx V 2 hs − M g(a + u) cos α = 0
2
(7.43)
• le forze aerodinamiche essendo pendenze superabili a basse velocità;
• l’avanzamento dell’azione normale ti dovuto all’attrito volvente rispetto al semipasso: u p/2
la precedente diviene:
2Np p − M ghi − M ga = 0 ⇒ Np =
M g (hi + a)
2p
(7.44)
L’equilibrio in direzione longitudinale comporta:
1
2TxA + 2TxP − ρSCx V 2 − M g sin α = 0
(7.45)
2
Poiché le forze longitudinali sui pneumatici posteriori (motrici) sono maggiori di quelle sugli anteriori
(condotti), trascurando poi anche le resistenze aerodinamiche si ha:
2TxP = M gi
(7.46)
Imponendo che le espressioni delle forze Np e Tx ottenute rispettino la condizione di aderenza:
Tx
=
NP
i
a+ih
p
6 fs
si ottiene:
i 6 fs
a/
p
= imax
1 − fs h/p
(7.47)
La (7.47) fornisce il valore della massima pendenza superabile con aderenza fs a V = cost.
Svolgendo lo stesso procedimento per un veicolo a trazione anteriore, la pendenza massima risulta:
i 6 fs
(p − a)/
p
= imax
h
1 + fs /p
(7.48)
Si tenga presente che la pendenza superabile da un veicolo a trazione anteriore è generalmente inferiore
rispetto a una trazione posteriore.
Infatti, la (7.48) rappresenta un numero minore rispetto alla (7.47), considerando che ha un denominatore
minore a fronte di un numeratore pressoché eguale (il baricentro generalmente si trova in una posizione poco
discoste dal centro longitudinale del veicolo, per cui b = p − a differisce poco da a).
7.3.4
Accelerazione massima
Riprendiamo l’espressione dell’accelerazione longitudinale di un veicolo su strada piana:
ẍ =
ηMm
Rτ
− M gfv − 12 ρCx S ẋ
ηJm
(Rτ )2
+ 4 JRR2 + M
Si fanno alcune assunzioni:
• si trascurano:
74
(7.49)
7.3. Calcolo delle prestazioni di un autoveicolo
7. PRESTAZIONI DEL VEICOLO
– le resistenze aerodinamiche;
– la potenza dovuta all’attrito di rotolamento;
– l’inerzia delle ruote JR ;
• l’inerzia del motore varia invece con il rapporto di trasmissione (in I marcia è dell’ordine di M ,
nell’ultima marcia è circa 1/20M )
Otterremo:
ẍ =
ηMm
+ Rτ M
(7.50)
ηJm
Rτ
Tale espressione fornisce il valore di accelerazione in funzione del rapporto di trasmissione. Per trovare
il τ per cui si ha il massimo dell’accelerazione si minimizza il denominatore:
∂
∂τ
ηJm
+ Rτ M
Rτ
=0
ottenendo:
r
τ=
7.3.5
ηJm
RM
(7.51)
Criteri di massima per il dimensionamento del cambio
Concludiamo elencando i punti fondamentali su cui si basa la procedura di dimensionamento del cambio
da associare a un motore di caratteristica nota:
1. Si sceglie il rapporto di trasmissione alla velocità più alta in modo da ottenere la massima velocità
su strada piana, corrispondente alla IV marcia (di solito si pone τC = 1 e si definisce τP in modo da
ottenere la condizione di cui sopra).
2. Si sceglie il rapporto di trasmissione in prima marcia τCI in modo da realizzare la massima accelerazione.
3. Si definiscono i rapporti di trasmissione intermedi in maniera opportunamente graduata (per esempio
seguendo una progressione geometrica per minimizzare i tempi di ripresa).
75
Parte II
La dinamica laterale
76
Capitolo 8
Sterzatura
8.1
Sterzatura cinematica
Si definisce sterzatura cinematica il moto di un veicolo su una traiettoria curva determinata dal puro
rotolamento delle ruote.
Da questa definizione segue che, in condizioni di sterzatura cinematica, la velocità delle ruote è contenuta
nel loro piano medio e gli angoli di deriva sono tutti nulli, perciò le ruote non possono esercitare forze
trasversali per equilibrare la forza centrifuga dovuta alla traiettoria curvilinea.
Quindi la sterzatura cinematica è una pura astrazione ed è possibile solo se la velocità sulla traiettoria
curva tende a zero.
Fig. 8.1: Schema di veicolo in condizione di sterzatura cinematica (Fonte: [5])
Perché le condizioni di sterzatura cinematica siano verificate, il centro istantaneo di rotazione O di tutte
le ruote coincide: tale punto è anche il centro di curvatura dell’intero veicolo (Fig. 8.1).
In queste condizioni, i due angoli di sterzo non possono essere uguali, infatti devono valere le relazioni:
l
tan δ2 =
(8.1)
t
t
R1 −
R1 +
2
2
Eliminando R1 dalle precedenti, si ottiene una relazione diretta fra gli angoli δ1 e δ2 , nota come relazione
di Ackermann:
tan δ1 =
l
77
8.1. Sterzatura cinematica
8. STERZATURA
t
(8.2)
l
Un dispositivo capace di rispettare pienamente la condizione (8.2) è il giunto di Ackermann (Fig. 8.2).
cot δ2 − cot δ1 =
Fig. 8.2: Giunto di Ackermann (vista dall’alto)
Infatti, per uno spostamento x dell’asse di comando, le due ruote ruotano di un angolo α (δ1 ) e β (δ2 ).
Dalla Fig. 8.2 si ottiene:
x = h tan δ − h tan (δ − δ1 ) = h tan (δ + δ2 ) − h tan δ
(8.3)
cot δ2 − cot δ1 = 2 tan δ
(8.4)
Ne consegue:
Confrontando la (8.4) con la (8.2) è immediato verificare che il giunto di Fig. 8.2 realizza pienamente la
condizione di Ackermann qualora si faccia in modo che:
2 tan δ =
t
l
Il rapporto tl è una caratteristica del veicolo e permette di trovare l’angolo di cui devono essere inclinate
le guide prismatiche del sistema di sterzo che sia realizzato con un giunto del tipo quello di Fig. 8.2.
Fig. 8.3: Meccanismo di sterzo a quadrilatero articolato (vista dall’alto)
Tale meccanismo non viene in pratica mai utilizzato a causa delle presenze delle coppie prismatiche che
richiedono costi e manutenzione eccessivi; si preferisce usare un meccanismo a quadrilatero articolato come
quello rappresentato in Fig. 8.3. Con un sistema di questo tipo, però, non si è in grado di rispettare la
condizione di Ackermann. Si può dimostrare, infatti, che per il sistema di Fig. 8.3 vale:
sin(δ − δ2 ) + sin(δ + δ1 ) =
s
l2
− 2 sin δ
l1
78
2
2
− cos(δ − δ2 ) cos(δ − δ1 )
(8.5)
8.1. Sterzatura cinematica
8. STERZATURA
Per valutare di quanto ci si discosta dalla condizione di sterzatura cinematica si riporta l’errore ∆δ2 =
δ2 − δ2ACK rispetto a δ1 (Fig. 8.4): generalmente, si tende a preferire una situazione di compromesso,
imponendo δ = 18°.
Fig. 8.4: Andamento qualitativo dell’errore commesso rispetto alla condizione di Ackermann utilizzando un sistema
di sterzo come quello di Fig. 8.3 (Fonte: [5])
L’importanza delle condizioni d’Ackerman per un buon comportamento direzionale è stata spesso sovrastimata, infatti:
• è sempre presente un angolo di deriva;
• le sospensioni generano un effetto sterzante dovuto al rollio del veicolo;
• le ruote sterzanti sono convergenti;
• le deformazioni delle sospensioni inducono piccoli angoli che dipendono dalle forze scambiate in direzione verticale.
L’errore di sterzatura ha effetto su una maggiore usura delle ruote anteriori e sulla centratura dello sterzo:
il momento con cui lo sterzo reagisce deve aumentare gradualmente all’aumentare dell’angolo di sterzatura
che si può ottenere con una corretta geometria di Ackermann.
In definitiva, le condizioni di Ackermann al più minimizzano il consumo di battistrada, in quanto
realizzano le condizioni in cui nessuna ruota striscia.
8.1.1
Il modello a bicicletta
Per ottenere delle relazioni di più facile utilizzo si preferisce fare uso di un modello semplificato, il quale
prevede che le ruote destre e sinistre si comportino allo stesso modo: il veicolo è, quindi, ricondotto allo
schema di un semplice biciclo (Fig. 8.5).
Con la simbologia di Fig. 8.5 abbiamo:
cot δ =
Eliminando
t
2
dalle (8.1), la precedente diviene:
79
R1
l
8.2. Limite di slittamento e ribaltamento
8. STERZATURA
Fig. 8.5: Schema di modello a bicicletta (Fonte: [5])
cot δ1 + cot δ2
2
Il raggio R di curvatura della traiettoria del baricentro risulta:
cot δ =
R=
q
b2 + R12 =
p
(8.6)
b2 + l2 cot2 δ
Se il raggio di curvatura è grande rispetto al passo del veicolo e l’angolo di sterzo piccolo, si può porre:
l
R∼
= l cot δ ∼
=
δ
che può essere riscritta nella forma:
1
1
=
Rδ
l
(8.7)
La (8.7) definisce il guadagno della curvatura della traiettoria, che rappresenta il rapporto fra la curvatura
che percorre il veicolo e l’angolo di sterzo imposto: in condizioni di sterzatura cinematica, detto rapporto
rimane costante e uguale all’inverso del passo del veicolo.
Un’espressione analoga può essere ricavata per l’angolo β di deriva del veicolo. Dalla Fig. 8.5 si ha:
β = arctan
√
b
R 2 − b2
b
∼
= arctan
R
(8.8)
Sfruttando la (8.7), sempre con l’ipotesi di piccoli angoli, otteniamo la relazione cercata:
β
b
=
δ
l
8.2
(8.9)
Limite di slittamento e ribaltamento
Un veicolo che percorra una curva ad una determinata velocità è sottoposto a una forza centrifuga che
varia col variare del raggio della curva e della velocità con cui percorre la suddetta curva. A seconda
dell’intensità delle forze di aderenza, ci sarà un limite per cui le ruote cominceranno a slittare lateralmente
80
8.2. Limite di slittamento e ribaltamento
8. STERZATURA
oppure il veicolo può giungere a ribaltarsi. In questo paragrafo si vuole valutare quando intervengono questi
limiti.
Fig. 8.6: Forze agenti su un veicolo che percorre una traiettoria curvilinea (Fonte: [5])
La situazione è quella rappresentata in Fig. 8.6: il veicolo percorre in condizioni stazionarie (V = cost) una
strada piana con inclinazione laterale αt e curvatura di raggio costante R; si trascurano le forze aerodinamiche
lungo x ma non quelle dovute alla portanza; il veicolo non si trova in condizioni di sterzatura cinematica,
ma sono presenti su tutte le ruote i rispettivi angoli di deriva, senza i quali non si potrebbero produrre le
forze laterali necessarie al moto curvilineo.
Si considera un sistema di riferimento Gηz, con asse η parallelo alla superficie stradale e passante per il
centro O0 di istantanea rotazione del veicolo: la Fy non giace su η, ma l’angolo compreso fra gli assi η e y è
tale da poter ammettere che Pηi = Fyi .
L’equilibrio alla traslazione in direzione η comporta:
m
X
X
V2
cos αt − mg sin αt =
Pηi =
Fyi
i
i
R
(8.10)
mentre quello lungo z:
1
mV 2
sin αt − ρSCz V 2
(8.11)
R
2
Se supponiamo che il coefficiente d’aderenza sia lo stesso per tutte le ruote (µyi = µy ∀i), possiamo
scrivere:
Fz = mg cos αt +
X
i
Fyi =
X
i
µyi Fzi = µy
X
i
Fzi = µy Fz
e, per la (8.11), la (8.10) diviene:
V2
V2
1 ρSCz V 2
− tan αt = µy · 1 +
· tan αt −
gR
gR
2 mg cos αt
Ponendo:
M=
1 ρSCz V 2
2 mg cos αt
81
(8.12)
8.2. Limite di slittamento e ribaltamento
8. STERZATURA
la precedente diventa:
tan αt + µy 1 − M V 2
V2
=
gR
1 − µy tan αt
(8.13)
che rappresenta il rapporto fra accelerazione centrifuga e accelerazione di gravità.
Il valore massimo di tale rapporto si ha in corrispondenza del valore di picco di µ:
V2
R
max
tan αt + µyP 1 − M V 2
=g
= gfs
1 − µyP tan αt
(8.14)
Al termine:
tan αt + µyP 1 − M V 2
fs =
1 − µyP tan αt
(8.15)
si da il nome di fattore di slittamento.
L’espressione (8.14) fornisce il valore massimo della velocità di percorrenza di una curva di raggio R
compatibilmente con l’aderenza disponibile: se si percorre una curva con una velocità maggiore di quella
definita da questa relazione, il veicolo inevitabilmente slitta lateralmente. Si noti che la (8.14) è un’espressione
indiretta; se si vuole un’espressione diretta della Vmax , dopo alcuni passaggi avremo:
s
Vmax
p
= Rg ·
tan αt + µyP
1 − µyP · (tan αt − RgM )
Se si trascurano i termini aerodinamici, dalle (8.14) e (8.15), si ottiene direttamente:
Vmax =
p
Rg ·
p
fs
Come già detto ad inizio del paragrafo, il limite alla velocità di percorrenza di una curva dovuto
all’aderenza dei pneumatici non è l’unico: infatti un ulteriore limitazione viene dal pericolo di ribaltamento.
Le condizioni di ribaltamento imminente si hanno quando la risultante delle forze nel piano yz cade fuori
dal punto A della figura 8.6. Facendo l’equilibrio alla rotazione rispetto al punto A e considerando che sul
pneumatico destro e sinistro agisca Fz /2 si ha:
mV 2
1
h cos αt − mgh sin αt =
R
2
1
mV 2
sin αt − ρSCz V 2 t
mg cos αt +
R
2
(8.16)
Dividendo per mg cos αt e riordinando:
t
tan αt +
· 1 − MV 2
V2
2h
=
t
gR
1−
· tan αt
2h
In analogia al caso precedente si definisce un fattore di ribaltamento come:
fr =
t
· 1 − MV 2
2h
t
1−
· tan αt
2h
tan αt +
(8.17)
(8.18)
per cui la (8.17) diviene:
V2
R
= gfr
max
In conclusione, il limite di percorrenza della curva sarà:
82
(8.19)
8.3. Sterzatura dinamica
8. STERZATURA
V2
R
= g min (fs , fr )
(8.20)
max
t
Generalmente, si verifica che µyP <
, ossia fs < fr : questo significa che la vettura tenderà a slittare
2h
prima di ribaltarsi.
Tab. 8.1: Valori tipici del rapporto
Tipo Veicolo
Autovettura
Veicolo commerciale
TIR o Autobus
t
2h
t
2h
1,1–1,6
0,8–1,1
0,4–0,8
Occorre a questo punto fare alcune osservazioni: l’ipotesi che il coefficiente d’aderenza sia uguale per tutte
le ruote non è facilmente realizzabile nella realtà, ma l’ipotesi più restrittiva è l’aver trascurato completamente
l’effetto delle sospensioni, che hanno, invece, un’influenza notevole nei fenomeni analizzati. Ad esse sono
correlati, infatti, i trasferimenti di carico che si hanno fra ruota esterna e interna alla curva, il moto di rollio
cui è sottoposta la cassa del veicolo (che porta a una diversa disposizione del baricentro) e tutta una serie
di fenomeni dinamici che potrebbero, a seguito, per esempio, di un’eccitazione come l’urto della ruota con
un marciapiede, portare il sistema vibrante telaio–sospensioni–ruote a condizioni di risonanza.
Le considerazioni svolte in questo paragrafo sono, comunque, utili per avere un quadro d’insieme del
problema.
8.3
Sterzatura dinamica
L’autoveicolo viene considerato un corpo rigido avente tre gradi di libertà. Utilizzando il sistema di
riferimento di Fig. 8.7, si possono prendere come coordinate del sistema le coordinate X e Y del baricentro
e l’angolo di imbardata ψ fra gli assi “locale” x e “assoluto” X.
Fig. 8.7: Sistema di riferimento per lo studio della dinamica laterale del veicolo (Fonte: [5])
Le equazioni di moto sono:
83
8.3. Sterzatura dinamica
8. STERZATURA
mẌ = FX
mŸ = FY
J ψ̈ = M
Z
(8.21)
Z
È noto che per passare dal sistema di riferimento assi corpo xyz al sistema assi inerziale∗ XY Z occorre
moltiplicare le espressioni trovate nel primo sistema per la matrice di rotazione R(ψ): poiché ψ non è
piccolo, le espressioni ottenute non sono linearizzabili. Difatti, l’utilizzo di questo modello è indirizzato alla
risoluzione numerica del problema dinamico.
Avremo:
" # "
FX
cos ψ
=
FY
sin ψ
− sin ψ
cos ψ
#" #
Fx
Fy
(8.22)
dove la matrice:
"
cos ψ
R (ψ) =
sin ψ
− sin ψ
cos ψ
#
(8.23)
rappresenta la matrice di rotazione per passare dalle coordinate del sistema di riferimento mobile xyz a
quello fisso XY Z. Evidentemente, la matrice R gode di tutte le proprietà delle matrici di rotazione; in
particolare† :
RT = R−1
Con riferimento alla Fig. 8.7 e dalla definizione (8.23) possiamo porre:
" #
" #
Ẋ
u
=R
Ẏ
v
(8.24)
ossia:
(
Ẋ = u cos ψ − v sin ψ
Ẏ = u sin ψ + v cos ψ
(8.25)
Derivando rispetto al tempo:
(
Ẍ = u̇ cos ψ + uψ̇ sin ψ − v̇ sin ψ − v ψ̇ cos ψ
Ÿ = u̇ sin ψ + uψ̇ cos ψ + v̇ cos ψ − v ψ̇ sin ψ
(8.26)
e raccogliendo:
(
Ẍ = u̇ − v ψ̇ cos ψ − v̇ − uψ̇ sin ψ
Ÿ = u̇ − v ψ̇ sin ψ + v̇ + uψ̇ cos ψ
(8.27)
Le equazioni di moto (8.21) diventano allora:
m
u̇
−
v
ψ̇
cos
ψ
−
v̇
−
u
ψ̇
sin
ψ
= FX
m
u̇
−
v
ψ̇
sin
ψ
+
v̇
+
u
ψ̇
cos
ψ
= FY
JZ ψ̈ = MZ
∗ Si
noti che nei due sistemi di riferimento gli assi z e Z coincidono.
(8.23) basta verificare che RRT = I e ricordare che per definizione R−1 è tale che: RR−1 = I.
† Dalla
84
(8.28)
8.3. Sterzatura dinamica
8. STERZATURA
Osservando che:
"
R−1
cos ψ
=
− sin ψ
sin ψ
cos ψ
#
e premoltiplicando per essa il secondo membro della (8.27) dopo alcuni passaggi otteniamo:
"
cos ψ
− sin ψ
sin ψ
cos ψ
#"
# "
#
u̇ − v ψ̇ cos ψ − v̇ − uψ̇ sin ψ
u̇ − ψ̇v
=
u̇ − v ψ̇ sin ψ + v̇ + uψ̇ cos ψ
v̇ + ψ̇u
(8.29)
Dalla (8.22) si ha anche:
" # " #
FX
Fx
=
FY
Fy
(8.30)
m u̇ − ψ̇v = Fx
m v̇ + ψ̇u = Fy
J ψ̈ = M
Z
Z
(8.31)
R
−1
che, unita alla (8.28) e alla (8.29), porta a:
Le espressioni trovate, pur essendo ancora non lineari, sono, rispetto alle (8.21), più semplici da scrivere
e più facilmente linearizzabili.
8.3.1
Angoli di deriva
Anche gli angoli di deriva possono essere espressi in funzione delle coordinate assolute.
Fig. 8.8: Posizione e velocità dell’orma di contatto nel sistema di riferimento inerziale (Fonte: [5])
Con riferimento alla Fig. 8.8, si può esprimere la velocità del centro Pi dell’orma dell’i-esima ruota come:
VPi
" #
"
#
u
u − ψ̇yi
= VG + ψ̇k ∧ (Pi − G) =
+ ψ̇k ∧ xi i + yi j =
v + ψ̇xi
v
L’angolo βi fra la velocità del punto Pi e l’asse x è dato da:
85
(8.32)
8.3. Sterzatura dinamica
8. STERZATURA
vi
βi = arctan
ui
v + ψ̇xi
= arctan
u − ψ̇yi
!
(8.33)
mentre l’angolo di deriva αi da (δi è l’angolo di sterzo):
v + ψ̇xi
αi = βi − δi = arctan
u − ψ̇yi
8.3.2
!
− δi
(8.34)
Trasferimento di carico
Per valutare l’influenza delle forze normali (e, in particolare, la loro asimmetria dovuta, appunto, al
trasferimento di carico) sulla sterzatura occorre considerare la deformabilità delle sospensioni, anche se è
stata trascurata nel modello fin qui sviluppato.
Fig. 8.9: Trasferimento di carico (Fonte: [5])
Con riferimento alla Fig. 8.9, indicati con Fzi e ∆Fzi il carico totale e il trasferimento di carico agenti
sull’assale i-esimo, le forze agenti sulle ruote destra e sinistra dello stesso assale valgono:
Fz
Fzis = i + ∆Fzi
2
F
F = zi − ∆F
zi
zid
2
L’equilibrio alla rotazione attorno all’asse x porta poi a:
X
i
Fyi hG +
X
i
ti ∆Fzi + Mxaer = 0
(8.35)
(8.36)
dove generalmente Mxaer viene trascurato.
Se si considera, a questo punto, la rigidezza torsionale kti dell’assale i-esimo e si indica con φ l’angolo di
rollio, avremo:
ti ∆Fzi = kti φ
(8.37)
Questa relazione può essere estesa all’intero veicolo:
X
k
tk ∆Fzk = φ
X
k
ktk
Ricavando φ dalla precedente e sostituendo nella (8.37):
P
kti
k tk ∆Fzk
P
∆Fzi =
k
ti
k tk
86
(8.38)
(8.39)
8.3. Sterzatura dinamica
8.3.3
8. STERZATURA
Equazioni di moto
Fig. 8.10: Forze al contatto ruota–suolo scomposte secondo gli assi corpo (a)) e secondo gli assi pneumatico (b))
(Fonte: [5])
Facendo riferimento alla Fig. 8.10, la (8.31) diventa:
X
X
1
m u̇ − ψ̇v =
Fxip cos δi −
Fyip sin δi − ρSCx V 2 − mg sin α
i
i
2
X
X
1
m v̇ + ψ̇u =
Fxip sin δi +
Fyip cos δi + ρSCy V 2 + mg sin αt
i
i
X
X
X2
X
J
ψ̈
=
F
x
sin
δ
+
F
x
cos
δ
−
Fxip yi cos δi +
Fyip yi sin δi
Z
xip i
i
yip i
i
i
i
i
i
X
1
+
Mzi + ρS C̃z V 2 l
i
2
(8.40)
Queste espressioni sono facilmente linearizzabili se si suppone che tutti gli angoli siano piccoli: questa
ipotesi è generalmente accettabile nelle normali condizioni di esercizio, laddove non siano richieste alte
prestazioni.
Quindi, se si suppone β ≈ 0:
(
u = V cos β ≈ V
v = V sin β ≈ V β
Se si indica la velocità di imbardata con r = ψ̇, la (8.31) diventa:
m V̇ − rV β = Fx
m (v̇ + rV ) = mV β̇ + r + mβ V̇ = Fy
J ṙ = M
Z
(8.41)
(8.42)
Z
Se si considera solo la prima equazione del sistema (8.42) e si suppone che siano trascurabili i termini
δi ≈ 0 e rβ ≈ 0, si avrà:
1
mV̇ = Fxm + Fxnm − ρSCx V 2
(8.43)
2
avendo indicato con i termini Fxm e Fxnm , rispettivamente, la forza motrice (o frenante) e la forza non
motrice esercitata sulle ruote folli. Se si suppone nota la legge V (t), si ottiene immediatamente Fxm e Fxnm
87
8.3. Sterzatura dinamica
8. STERZATURA
senza bisogno di conoscere le azioni agenti lungo y: ciò equivale a dire che il comportamento longitudinale
del veicolo non è influenzato da quello laterale.
Anche le espressioni degli angoli di deriva possono essere linearizzate. Dalle (8.33) e (8.34), poiché ψ̇yi è
assai più piccolo di V , si ha:
βi =
V β + rxi
V
xi
− δi
V
αi = β + r
(8.44)
L’espressione linearizzata delle forze laterali si ottiene direttamente dalla (8.40):
1
Fyip + ρSCy V 2 + mg sin αt
(8.45)
2
Riprendendo la definizione di rigidezza di deriva, nelle ipotesi in cui ci siamo posti, possiamo scrivere:
Fy =
X
i
Fxip δi +
X
i
xi
Fyip = −Ci αi = −Ci β + r − δi
(8.46)
V
In questa espressione si sono trascurati i termini dovuti alla rigidezza di campanatura in quanto essa è
generalmente assai più piccola rispetto a quella di deriva e perché, avendo completamente trascurato il rollio
in questo modello di veicolo privo di sospensioni, le forze di campanatura di uno stesso asse sono eguali e
opposte.
Se si linearizza anche il coefficiente aerodinamico:
Cy =
∂Cy .
β = (Cy ),β β
∂β
e si suppone:
δ i = ki δ
la (8.45) diventa:
Fy =
8.3.4
X
i
Fxip ki δ −
1
xi
Ci β + r − ki δ + ρS(Cy ),β βV 2 + mg sin αt
i
V
2
X
(8.47)
Derivate di stabilità
La precedente equazione può essere riscritta raccogliendo le variabili del moto β, r e δ:
X
hX
X r
i
1
2
Fy = −
+
ki Ci + Fxip δ + mg sin αt
Ci + ρSV (Cy ),β β −
xi
i
i
i
2
V
Ai parametri moltiplicativi si da il nome di derivate di stabilità:
X
1
Y
=
−
Ci + ρSV 2 (Cy ),β
β
i
2
1 X
xi Ci
Yr = − V
i
X
Yδ =
ki Ci + Fxip
(8.48)
(8.49)
i
Dalle espressioni (8.49) è evidente che, in generale, le derivate di stabilità non sono costanti, ma dipendono
dalla velocità.
Espressioni analoghe si possono ottenere per i momenti d’imbardata. La terza delle (8.40) viene linearizzata in:
MZ =
X
i
Fxip xi δi +
X
i
Fyip xi −
X
i
Fxip yi +
88
X
i
Fyip yi δi +
X
i
1
Mzi + ρS C̃z V 2 l
2
(8.50)
8.3. Sterzatura dinamica
8. STERZATURA
P
Nella precedente il termine i Fyip yi δi è generalmente trascurabile rispetto agli altri termini, mentre,
P
per quanto riguarda il termine i Fxip yi , il contributo delle forze frenanti o di trazione è nullo perché dette
forze per ruote dello stesso asse sono uguali, opposte e danno pertanto momento nullo. L’unico termine che
dà momento è quello dovuto al trasferimento di carico e all’attrito di rotolamento (che, pur essendo piccolo,
varia con il quadrato della velocità):
X
i
Fxip yi =
X
i
ti ∆Fzi f0 + KV 2
(8.51)
Trascurando il momento aerodinamico nella (8.36), si ha:
X
i
Fyi hG +
X
i
ti ∆Fzi = 0
(8.52)
che sostituita nella precedente porta a:
X
i
Fxip yi = −
X
i
Fyi hG f0 + KV 2
(8.53)
Se si linearizza anche l’espressione del momento di autoallineamento:
Mzi = (Mzi ),α α
(8.54)
JZ ψ̈ = Nβ β + Nr r + Nδ δ + Mze
(8.55)
l’ultima delle (8.40) diventa:
in cui si sono definite le derivate di stabilità del momento come:
X h
i 1
2
N
=
C
x
+
(M
),
+
h
f
+
KV
Ci + ρS(C̃y ),β V 2 l
β
i i
zi α
G
0
i
2
i
1 X h
2
2
N
=
C
x
+
(M
),
x
+
h
f
+
KV
C
x
r
i i
zi α i
G
0
i i
i
V
X h
i
Nδ =
ki Ci xi − (Mzi ),α + Fxip xi − hG f0 + KV 2 Ci
(8.56)
i
8.3.5
Equazioni di moto linearizzate
In definitiva, le espressioni finali delle equazioni di moto linearizzate sono:
(
mV β̇ + r + mV̇ β = Yβ β + Yr r + Yδ δ + Fye
(8.57)
J ṙ = Nβ β + Nr r + Nδ δ + Mze
Si seguono generalmente due metodi di studio:
• a comandi bloccati: si considera assegnato l’angolo di sterzo δ e le azioni esterne Fye e Mze ;
• a comandi liberi: l’angolo di sterzo è anch’esso variabile; occorre aggiungere un’equazione aggiuntiva
che descriva la legge di sterzo.
Nel primo caso, qualora si ipotizzi che non vi siano (ovvero, siano trascurabili) né azioni aerodinamiche,
né trasferimento di carico, né interazione fra le forze longitudinali e trasversali, si può mostrare che le derivate
di stabilità sono costanti, qualora sia costante anche la velocità.
Riprendendo l’espressione (8.46), possiamo scrivere (Fig. 8.11):
Fya = −Ca αa
αa = β + r
Fyp = −Cp αp
a
−δ
V
αp = β − r
89
b
V
8.4. Comportamento direzionale a regime
8. STERZATURA
Fig. 8.11: Forze agenti sul veicolo in condizioni di sterzatura: modello a bicicletta
e le (8.57) diventano‡ :
(
mV β̇ + r + mV̇ β = Fya + Fyp
(8.58)
J ṙ = Fya a − Fyp b
ossia:
a
b
mV
β̇
+
m
V̇
+
C
+
C
β
+
mV
+
C
+
C
r = Ca δ
a
p
a
p
V
V
b2
a2
J ṙ + (Ca a − Cp b) β + Ca + Cp
r = Ca aδ
V
V
Si può esprimere la precedente anche in forma matriciale. Posto:
" #
"
#
β
Ca
x=
c=
r
Ca a
"
#
mV
0
mV̇ + Ca + Cp
A=
B=
0
JZ
Ca a − Cp b
(8.59)
b
a
+ Cp
V
V
b2
a2
Ca + Cp
V
V
mV + Ca
si ha:
Aẋ + Bx = c δ
8.4
(8.60)
Comportamento direzionale a regime
Studiamo il comportamento del veicolo a regime imponendo un angolo di sterzo δ costante e una velocità
V di percorrenza costante, cioè:
V = cost
δ=0
In queste condizioni la velocità angolare r vale:
‡ Poiché
δ ≈ 0.
90
8.4. Comportamento direzionale a regime
8. STERZATURA
r=
V
R
Fig. 8.12: Sterzatura dinamica: modello a bicicletta
Come risulta anche dalla Fig. 8.12, l’angolo tra le due normali alle velocità effettive dei pneumatici vale
δ − αa + αp .
Risulta quindi:
l
R
Gli angoli di deriva in funzione delle forze trasversali sono espressi da:
δ − αa + αp =
αa = −
Fya
Ca
(8.61)
αp = −
Fyp
Cp
(8.62)
Fig. 8.13: Equilibrio laterale per l’intero veicolo in curva
In curva, le forze di contatto devono equilibrare solo la forza centrifuga del veicolo (Fig. 8.13):
Fya = −
mV 2 b
R l
Fyp = −
mV 2 a
R l
(8.63)
In definitiva, si avrà:
l
mV 2
δ=
+
R
Rl
b
a
−
Ca
Cp
91
=
l
1 + KV 2
R
(8.64)
8.4. Comportamento direzionale a regime
8. STERZATURA
dove si è chiamato coefficiente di sottosterzo il parametro:
m
K= 2
l
b
a
−
Ca
Cp
(8.65)
Quindi, in condizioni di sterzatura dinamica il guadagno della curvatura della traiettoria non è più
costante, ma varia con la velocità secondo la legge:
1
1
1
= ·
Rδ
l 1 + KV 2
(8.66)
Il coefficiente (8.65) definisce il comportamento sovrasterzante o sottosterzante del veicolo:
• K > 0: sottosterzante;
• K = 0: neutro;
• K < 0: sovrasterzante.
Infatti, dall’espressione (8.66), per K > 0 il guadagno della curvatura diminuisce all’aumentare di V ,
ossia l’angolo di sterzo δ che si deve impostare per percorrere una curva di raggio R cresce al crescere della
velocità di percorrenza della curva stessa: il veicolo dimostra, appunto, un comportamento sottosterzante.
Viceversa, per K < 0, l’angolo di sterzo che si deve impostare per percorrere una data curva diminuisce
all’aumentare della velocità di percorrenza della curva, ossia il veicolo è sovrasterzante.
Si possano fare le precedenti considerazioni in termini di guadagno della curvatura di traiettoria, anziché
di angolo di sterzo.
1
può essere interpretato come un fattore correttivo che permette di ottenere la risposta
Il termine
1 + KV 2
in condizioni dinamiche a partire dalla risposta in condizioni di sterzatura cinematica:
• Se K > 0 e V aumenta, la curvatura è più piccola: il veicolo è sottosterzante.
• Se K < 0 e V aumenta, la curvatura è più grande: il veicolo è sovrasterzante.
Per entrambe le tipologie di veicoli si individua una velocità “particolare”, dal diverso significato fisico.
Si definisce velocità caratteristica di un veicolo sottosterzante la velocità alla quale l’angolo di sterzo
necessario per seguire una data traiettoria è il doppio dell’angolo di Ackermann (ossia dell’angolo di sterzo
che si deve dare per quella curvatura in condizione di sterzatura cinematica): a questa velocità, il guadagno
della traiettoria vale 1/2l.
Ponendo nella (8.66):
1
1
=
2
1 + KV
2
risulta:
1
(8.67)
K
Per un veicolo sovrasterzante, si definisce velocità critica quella in corrispondenza della quale il guadagno
di curvatura tende ad infinito: è un condizione di instabilità, in quanto la vettura tende a sterzare senza che
sia applicato alcun angolo di sterzo δ.
Ricercando nella (8.66)
r
Vcar =
lim
V →Vcrit
1
=∞
Rδ
è sempre:
92
8.4. Comportamento direzionale a regime
8. STERZATURA
Fig. 8.14: Guadagno della curvatura a regime (Fonte: [5])
r
Vcrit =
−
1
K
(8.68)
Si può ricercare un’espressione analoga alla (8.66) per il guadagno dell’angolo di deriva, che risulta:
β
b
maV 2
=
1−
δ
l
blCp
!
1
1 + KV 2
(8.69)
Si vuole ora capire come varia la traiettoria seguita del veicolo in funzione del suo comportamento sovra
o sottosterzante. Con riferimento alla Fig. 8.15, si considera un veicolo a due ruote con il solo asse anteriore
sterzante.
Per velocità tendenti a zero si è in condizioni di sterzatura cinematica: gli angoli di deriva sono nulli e il
veicolo si muove su una traiettoria curvilinea di centro O e raggio R.
Al crescere della velocità le ruote si muovono con angoli di deriva αa e αp crescenti.
Se gli angoli di deriva sono uguali αa = αp , l’angolo B Ô0 A continua a valere δ e quindi il punto O0 si
trova su una circonferenza passante per i punti di contatto A e B e il centro O di curvatura della traiettoria
in condizioni cinematiche: il raggio di curvatura della traiettoria R0 è pressoché uguale a quello in condizioni
cinematiche R: il veicolo è neutro.
Se invece αa > αp , il centro si sposta in O00 e ne segue che R00 > R: il veicolo è sottosterzante.
Viceversa, se αa < αp , O000 è il nuovo centro di istantanea rotazione e quindi R000 < R: il veicolo è
sovrasterzante.
8.4.1
Rigidezza di deriva, punto neutro e margine statico
Le espressioni (8.65) e (8.66) mostrano che l’assetto in curva del veicolo e di conseguenza il suo comportamento sotto o sovrasterzante dipende in primo luogo dalla rigidezza di deriva dei due assi anteriore
e posteriore e dalla posizione del baricentro del veicolo rispetto ai due assi. Un veicolo con rigidezza di
deriva dell’asse anteriore inferiore a quella dell’asse posteriore (Ca < Cp ) e contemporaneamente con baricentro spostato verso l’asse anteriore (b > a) presenterà un comportamento sottosterzante, mentre al
contrario un veicolo con bassa rigidezza di deriva dell’asse posteriore tenderà a mostrare un comportamento
sovrasterzante.
La presenza di una forza longitudinale (di trazione o di frenatura) su uno dei due assi, tende a ridurre
la corrispondente rigidezza di deriva. Ne consegue che un veicolo a trazione anteriore mostrerà di norma
un comportamento sottosterzante, mentre un veicolo a trazione posteriore mostrerà tendenzialmente un
93
8.4. Comportamento direzionale a regime
8. STERZATURA
Fig. 8.15: Comportamento di direzionale di un veicolo ad un asse sterzante: modello a bicicletta (Fonte: [5])
comportamento sovrasterzante. Poiché le resistenze al moto crescono con il quadrato della velocità, la
rigidezza di deriva dell’asse motore e di conseguenza il comportamento sotto/sovrasterzante cambieranno
con la velocità.
Si definisce punto neutro il punto in cui si pensa applicata la risultante delle forze laterali di deriva dei
pneumatici con δ = 0 e r = 0.
Se si sfrutta il modello linearizzato, le forze di deriva sono date da:
Fya = −Ca β
Fyp = −Cp β
e la coordinata del punto neutro risulta pertanto:
xN =
aCa − bCp
Ca + Cp
(8.70)
Più in generale, per mezzo delle derivate di stabilità si può porre:
Fyβ = Yβ β
Myβ = Nβ β
e la coordinate del punto neutro diventa:
xN =
Nβ
Yβ
(8.71)
Si definisce poi margine statico il rapporto fra la coordinata del punto neutro e il passo del veicolo:
xN
(8.72)
l
In Tab. 8.2 sono riassunti i segni assunti dalle caratteristiche che definiscono il comportamento direzionale
del veicolo.
Ms =
94
8.4. Comportamento direzionale a regime
8. STERZATURA
Tab. 8.2: Segni delle grandezze che definiscono il comportamento direzionale del veicolo
8.4.2
Comp. direz.
K
Ms
xN
|αa | − |αp |
Sottosterzante
Neutro
Sovrasterzante
⊕
0
0
⊕
0
⊕
⊕
0
Influenza delle forze longitudinali
Riprendendo le espressioni dell’approssimazione ellittica ottenute nel paragrafo 4.3.1, si può scrivere per
ciascun assale:
s
C = C0
1−
Fx
µp Fz
2
s
= C0
1−
µx
µxp
2
(8.73)
Quindi il comportamento direzionale è fortemente influenzato dall’aderenza.
Fig. 8.16: Variazione del margine statico per veicolo a trazione anteriore e a trazione posteriore per diversi valori del
µxp (Fonte: [5])
In particolare, all’aumentare della velocità deve aumentare la forza traente Fx necessaria a mantenere il
veicolo in moto a quella velocità e quindi, poiché la forza traente massima µp Fz rimane costante una volta
che sia fissato µp , deve diminuire la rigidezza di deriva C dell’assale motore. Pertanto, se il veicolo è a
trazione posteriore aumenta il comportamento sovrasterzante, mentre se è a trazione anteriore aumenta il
comportamento sottosterzante.
Come si osserva dalla Fig. 8.16, questo comportamento è più accentuato quanto più alta è la velocità o
più bassa l’aderenza.
8.4.3
Trasferimento di carico trasversale
Nel modello a bicicletta non è stato considerato il trasferimento di carico trasversale. Poiché la rigidezza
di deriva ha un andamento simile a quello di Fig. 8.17, se ∆z è piccolo (entro il valore rappresentato da
(∆z)lim ) il trasferimento di carico ha poca influenza, mentre, quando ∆z è maggiore, la diminuzione della
rigidezza sull’assale più scaricato non è compensato dall’aumento su quello dell’altra ruota.
Per limitare in parte questa situazione, si può pensare di introdurre una barra antirollio che, aumentando
la rigidezza dell’asse su cui è posta e incrementandone il trasferimento di carico, ne riduce la rigidezza di
deriva.
95
8.5. Risposta a sollecitazioni esterne
8. STERZATURA
Fig. 8.17: Influenza del trasferimento di carico sulla rigidezza di deriva (Fonte: [5])
8.4.4
Convergenza dei pneumatici
Come sarà chiarito nel seguito, i pneumatici degli autoveicoli sono generalmente montanti in modo che
i loro piani medi non siano perfettamente simmetrici ma piuttosto convergano anteriormente all’assale: la
ragione principale di questo montaggio va ricercata nel fatto che in questo modo la traiettoria rettilinea
risulta una condizione stabile nel moto del veicolo.
Si indichi con αc l’angolo di convergenza pari alla semiapertura delle direzioni di tali piani. Gli angoli di
deriva delle due ruote anteriori destra e sinistra sono:
a
r − δ − αc = α − αc
V
a
= β + r − δ + αc = α + αc
V
αad = β +
αas
(8.74)
La forza sull’assale è:
1
Fy = −
2
"
αa − αc
∂C
C + ∆Fz
∂Fz
+ αa + αc
∂C
C − ∆Fz
∂Fz
#
(8.75)
ossia:
Fy = C |αa | + αc ∆Fz
∂C
∂Fz
(8.76)
Trascurando il trasferimento di carico, l’effetto della convergenza non è rilevante finché la rigidezza rimane
lineare.
Se però non si trascura il trasferimento di carico, la convergenza produce un aumento della forza di deriva
esercitata dall’assale interessato.
8.5
Risposta a sollecitazioni esterne
Le considerazione sul comportamento direzionale con il parametro K fin qui fatte, valgono quando le
derivate di stabilità non dipendono dalla velocità. Altrimenti K non è costante e il veicolo varia il suo
comportamento direzionale al variare della velocità.
Sfruttando le derivate di stabilità, l’espressione del guadagno della curvatura della traiettoria è:
96
8.5. Risposta a sollecitazioni esterne
8. STERZATURA
1
Yδ Nβ − Yβ Nδ
i
= h
Rδ
V Nβ mV − Yr + Yβ Nr
(8.77)
Se le derivate di stabilità non sono costanti, non ha quindi senso definire il comportamento direzionale
per mezzo di K.
Con la velocità pesano i termini aerodinamici, in particolare
il momento di imbardata può avere un
effetto importante sul comportamento direzionale: C̃z ,β > 0 porta ad un aumento del comportamento
sottosterzante.
Fig. 8.18: Guadagno della curvatura della traiettoria (Fonte: [5])
In definitiva, il comportamento direzionale di un veicolo è rappresentato da un grafico del tipo rappresentato in Fig. 8.18, dal quale risulta che si può definire una velocità V 0 di comportamento neutro
come:
∂
∂V
1 =0
Rδ V =V 0
(8.78)
Si pensi ora di avere un veicolo in marcia in rettilineo. A seguito dell’applicazione di una forza laterale
baricentrica, se il veicolo è neutro la traiettoria seguita (a regime, dopo il transitorio immediatamente
successivo all’applicazione della forza) sarà sempre rettilinea (ma “deviata” rispetto a quella iniziale), mentre
se il veicolo è sovra o sottosterzante le traiettorie saranno curvilinee secondo lo schema di Fig. 8.19.
97
8.5. Risposta a sollecitazioni esterne
8. STERZATURA
Fig. 8.19: Risposta ad una forza esterna applicata nel baricentro in direzione y: a) veicolo neutro, b) sottosterzante,
c) sovrasterzante (Fonte: [5])
98
8.6. Stabilità direzionale
8.6
8. STERZATURA
Stabilità direzionale
Se a un veicolo in moto stazionario si impone una perturbazione, il suo moto si modifica e si possono
verificare i seguenti casi:
• stabilità non asintotica (stabilità statica): qualunque sia la perturbazione introdotta sul sistema, esso continua a muoversi discostandosi di poco dalla condizione stazionaria rispetto alla quale è stato
perturbato, ma non ritorna in tale condizione;
• stabilità asintotica (stabilità dinamica): qualunque sia la perturbazione introdotta sul sistema, esso
continua a muoversi in prossimità della condizione di equilibrio o stazionaria e ritorna ad essa per un
tempo, al limite, infinito;
• instabilità statica: esiste almeno una possibile perturbazione (combinazione di spostamento e velocità
iniziale) a seguito della quale il sistema si allontana dalla condizione di moto stazionaria senza più
ritornarvi;
• instabilità dinamica: esiste almeno una perturbazione a seguito della quale il sistema compie oscillazioni
intorno alla posizione di equilibrio o condizione di moto stazionario, ma l’ampiezza delle oscillazioni
aumenta nel tempo.
Nel seguito, lo studio della stabilità del veicolo verrà eseguito tenendo conto che:
• non si fa riferimento alla traiettoria, bensì alle variabili di stato;
• si prescinde dall’intervento del pilota (comandi bloccati).
Le equazioni del moto sono quelle già trovate in termini di derivate di stabilità:
b
a
+
C
r = Ca δ
mV
β̇
+
m
V̇
+
C
+
C
β
+
mV
+
C
p
a
p
a
V
V
a2
b2
J ṙ + (Ca a − Cp b) β + Ca + Cp
r = Ca aδ
V
V
(8.79)
Nell’ipotesi di moto stazionario (V̇ = 0) e comandi bloccati (δ = cost), definito il vettore di stato:
" #
β
x=
r
il sistema (8.79) si riduce alla forma:
Aẋ + Bx = Cδ
(8.80)
avendo posto:
"
mV
A=
0
0
J
#
a
b
C
+
C
mV
+
C
+
C
p
p
a
a
V
V
B=
a2
b2
Ca a − Cp b
Ca + Cp
V
V
"
#
Ca
C=
Ca a
Come noto, la soluzione del moto perturbato la si può esprimere come somma del moto stazionario e di
un termine xp indotto dalla perturbazione. La soluzione stazionaria si ottiene facilmente ponendo:
ẋsta = 0 → xsta = cost
99
8.6. Stabilità direzionale
8. STERZATURA
da cui risulta:
Bxsta = Cδ
La (8.80) diventa pertanto:
Aẋp + Bxp = 0
(8.81)
Il moto indotto dalla perturbazione è rappresentato dall’omogenea associata al moto, ossia dall’equazione
appena scritta.
Dalla teoria delle equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti, l’integrale generale di una equazione
del secondo ordine è del tipo:
xp = x0 eλt
Derivando e sostituendo, ricercando solo la soluzione diversa da quella banale:
det λA + B = 0
dovremo risolvere un polinomio di secondo grado in λ, nella forma:
P λ2 + Qλ + R = 0
in cui:
P = mJV
Q = m Ca a2 + Cp b2 + J Ca + Cp
2
i
1h
Ca Cp a + b − mV 2 Ca a − Cp b
R=
V
Le soluzioni sono:
λ1,2
Q
±
=−
2P
s
Q
2P
2
−
R
P
Posto:
∆=
Q
2P
2
−
R
P
si distinguono tre casi§ :
√
.
1. R > 0, ∆ > 0 ⇒ Q > 2 P R = Qcrit . Si ottengono due soluzioni reali negative:
s
2
R
Q
Q
−
−
= −α1 ∈ R
λ1 = −
2P
2P
P
s
2
Q
Q
R
λ2 = −
+
−
= −α2 ∈ R
2P
2P
P
Il sistema non oscilla e si dice che è asintoticamente stabile.
§ Si
indicheranno con α, α1 , α2 e ω generici numeri reali positivi.
100
8.6. Stabilità direzionale
8. STERZATURA
2. R > 0, ∆ < 0 ⇒ Q < Qcrit . Si ottengono due soluzioni complesse coniugate:
s
2
Q
Q
R
= −α ± jω
λ1,2 = −
±j
−
2P
P
2P
Il sistema oscilla ma tende a ritornare nella condizione di equilibrio: asintoticamente stabile
oscillante.
3. R < 0. Si ottiene una soluzione reale negativa e una positiva:
s
2
Q
Q
R
λ1 = −
−
−
= −α1 ∈ R
2P
2P
P
s
2
R
Q
Q
−
λ2 = −
+
= α2 ∈ R
2P
2P
P
Il sistema si allontana indefinitamente dalla condizione di equilibrio senza oscillare: staticamente
instabile.
Nel moto di un veicolo i tre casi sopra presentati sono gli unici possibili: infatti, essendo sempre P > 0
e Q > 0, l’instabilità dinamica non può esistere.
Nel caso di veicolo sottosterzante (K > 0), il coefficiente R è sempre positivo e dunque la vettura risulta
sempre stabile, indipendentemente dalla velocità di marcia.
Nel caso di veicolo sovrasterzante (K < 0), il coefficiente R è positivo solo al di sotto della velocità critica
p
( 1/K) e la vettura risulta stabile solo a velocità inferiori alla velocità critica. Quindi, al crescere della
velocità, un veicolo sovrasterzante passa da una condizione stabile a una instabile.
Abbiamo definito un valore critico per il coefficiente Q come:
q
√
Qcrit = 2 P R = 2 Ca Cp Jml2 1 + KV 2
Si possono presentare tre casi:
1. K = 0: Qcrit = cost
2. K > 0: Qcrit cresce se V cresce
3. K < 0: Qcrit diminuisce all’aumentare di V
Quindi, un veicolo sottosterzante al crescere della velocità può passare da una condizione asintoticamente
stabile ad asintoticamente stabile con oscillazione.
101
Capitolo 9
Instabilità direzionale
In questo capitolo si vuole mostrare un’altro tipo di approccio al problema della dinamica laterale. Si
ritroveranno molti dei risultati ottenuti nei precedenti capitoli, ma per giungere ad essi seguiremo una
strada un po’ diversa.
Durante il normale utilizzo dell’autoveicolo, il conducente presume che la traiettoria venga eseguita come
da lui impostata, ma normalmente ciò non avviene. Infatti il veicolo è continuamente sottoposto all’azione
di forze esterne, come per esempio una raffica di vento o una pendenza, che non fanno altro che alterarne il
percorso.
In tutte le situazione in cui la traiettoria impostata dallo sterzo varia sotto l’azione di tali perturbazioni
esterne diremo di avere instabilità direzionale. Da notare che la seguente definizione non esclude nessuna
direzione: comprende sia traiettorie rettilinee che curve. I casi sono comunque da esaminare separatamente
in quanto fenomeni distinti.
La causa di queste variazioni è da ricercare sostanzialmente alle variazioni degli angoli di deriva dei
rispettivi pneumatici: come abbiamo già visto, infatti, sotto l’azione di una forza trasversale l’impronta del
pneumatico forma un certo angolo rispetto alla direzione teorica.
9.1
Analisi dell’angolo di deriva (slip angle)
Prima di osservare i vari casi di instabilità, è bene definire i principali parametri che influenzano l’angolo
di deriva.
Dal grafico gia visto dell’andamento della deriva in funzione del carico trasversale si definisce rigidità laterale la tangente dell’angolo che la curva forma (almeno nel primo tratto per < 5°, dove si può approssimare
come lineare).
La forza perturbatrice F è chiamata forza di cornering e può essere scritta come:
F = Cα α
(9.1)
L’andamento della curva dipende sostanzialmente, dal tipo di pneumatico, dal peso M g agente sul pneumatico, dalle caratteristiche del fondo stradale e dalla pressione di gonfiaggio p. Si può dimostrare che la
deriva è funzione dei rapporti f /M g e M g/p, dove f è la forza che agisce assialmente alla ruota.
Si nota altre sì come M g abbia un effetto contrastante. L’esperienza infatti dimostra come il carico M g
possa avere sia un effetto stabilizzante che destabilizzante.
Nel nostro caso in cui il carico sui due assi è di solito inferiore a 5000 N, si è visto che ha un effetto
maggiormente stabilizzante.
Ci sono anche cause esterne che influenzano l’angolo di deriva, che sono:
• la posizione del baricentro;
102
9.2. Marcia in rettilineo
9. INSTABILITÀ DIREZIONALE
• il tipo di trazione (anteriore, posteriore, integrale).
9.1.1
La posizione del baricentro
Idealmente il baricentro si potrebbe pensare al centro dei due assi, cosi facendo si avrebbe una distribuzione simmetrica del peso, ma in realtà non è cosi. Infatti, la posizione dei vari organi (es: motore, cambio),
fanno si che il baricentro sia spostato e quindi i due assi caricati in modo diverso.
Tutto questo fa sì che ci siano diverse aderenze e, in presenza di una forza perturbante trasversale, diverse
deformazioni e angolo di deriva.
Quindi i pneumatici più vicini al baricentro avranno maggior deriva, in quanto essa è proporzionale
all’intensità della forza trasversale.
9.1.2
Il tipo di trazione
Visto che le gomme non devono solo sostenere il peso del veicolo e resistere alle sollecitazioni del fondo
stradale, ma devono anche trasmettere la coppia torcente data dal motore, si intuisce facilmente come il
limite di aderenza sia raggiunto prima dalle ruote che trasmettono anche la coppia.
Nel caso si abbia la trazione integrale le cose non cambiano: infatti, la potenza non è mai ripartita al
50%. È comunque da sottolineare il fatto che la trazione integrale, offrendo la possibilità di suddividere la
coppia motrice o di decelerazione (freno motore), lascia ad ogni ruota più forza a disposizione per contrastare
le forze laterali (es: centrifuga, raffica di vento).
A questo punto si possono considerare gli effetti dei diversi angoli di deriva suddividendo come abbiamo
fatto tra traiettoria rettilinea e curvilinea.
9.2
Marcia in rettilineo
In questa trattazione useremo delle ipotesi restrittive e più precisamente:
• il veicolo sia a velocità costante;
• il conducente dopo la forza esterna mantenga almeno per un breve tempo lo sterzo nella stessa posizione
(con angolo di sterzata nullo);
• la forza perturbatrice si pensa applicata completamente al baricentro e coincide esattamente con il
centro di spinta.
L’ultima ipotesi è necessaria in quanto nella realtà una tale perturbazione di carattere aerodinamico
genererebbe inevitabilmente un momento di imbardata.
Si possono distinguere allora tre casi (indicando con a e p gli angoli di deriva, rispettivamente, anteriore
e posteriore):
1. a = p ;
2. a > p ;
3. a < p .
103
9.2. Marcia in rettilineo
9.2.1
9. INSTABILITÀ DIREZIONALE
Caso 1: a = p
Essendo uguali gli angoli di deriva, il veicolo subirà uno spostamento laterale verso la parte della forza
perturbatrice, quindi durante l’azione della forza il vettore velocità sarà inclinato esattamente dell’angolo di
deriva, ma successivamente continuerà a mantenere la stessa traiettoria.
Questa situazione non è molto pericolosa in quanto non c’è nessuna forza che si oppone al moto prestabilito.
Fig. 9.1: Caso 1: a = p
9.2.2
Caso 2: a > p
L’angolo di deriva delle ruote davanti è maggiore. In questo caso il veicolo tende a cambiare di traiettoria
incurvandosi maggiormente dalla parte anteriore. Così si verranno a generare istantaneamente delle forze
centrifughe che tenderanno a riportare il veicolo nella traiettoria originale, quindi a contrastare l’instabilità.
Questa è la migliore condizione che si possa ottenere (in termini di stabilità).
Fig. 9.2: Caso 2: a > p
104
9.3. Marcia in curva
9.2.3
9. INSTABILITÀ DIREZIONALE
Caso 3: a < p
La deriva del retrotreno è maggiore dell’avantreno. La rotazione crea una forza centrifuga concorde con
la forza perturbatrice: in questo modo la deviazione compiuta viene esaltata e la stabilità è maggiormente
compromessa.
Questo è il caso più sfavorevole per la stabilità.
Fig. 9.3: Caso 3: a > p
In conclusione, si può notare che in fase di progetto si deve ricercare preferibilmente maggior deriva
sull’avantreno che sul retrotreno, in quanto in questo modo il controllo della vettura risulta più “intuitivo”
anche per un guidatore meno esperto.
9.3
Marcia in curva
Riterremo ancora valide le ipotesi fatte nel caso di moto rettilineo.
Anche questa volta si possono esaminare distintamente tre casi e anch’essi differiscono tra loro esattamente
come in precedenza, cioè con la relazione di ordine tra gli angoli di deriva dell’avantreno e del retrotreno.
Chiameremo inoltre l’angolo di sterzo α.
Si ricorda anche che, se le velocità di avanzamento tendono a zero, gli angoli di deriva si riducono
drasticamente e si può utilizzare lo schema di sterzatura cinematica.
Il centro di istantanea rotazione è comunque individuato dalle perpendicolari alle direzioni delle velocità
delle ruote. Si può notare (Fig. 9.4 a pagina 106) come questo punto sia molto spostato verso la parte
posteriore del veicolo.
Andiamo adesso a vedere nel caso di velocità sostenute come si comporta il mezzo.
Nel primo caso, si considerino gli angoli di deriva uguali sull’avantreno e sul retrotreno.
Andando a tracciare come prima le perpendicolari si nota come il centro di rotazione si sposti leggermente
in avanti ma il raggio di curvatura rimanga uguale.
In questo modo il veicolo ha un comportamento neutro.
Nel secondo caso, gli angolo di deriva anteriori sono maggiori dei posteriori.
Questa volta tracciando le linee si vede chiaramente che il raggio di curvatura è aumentato rispetto al
neutro (il veicolo quindi tende a compiere una curva di raggio maggiore).
105
9.3. Marcia in curva
9. INSTABILITÀ DIREZIONALE
Fig. 9.4: Effetto della deriva dei pneumatici sulla marcia curvilinea
Nell’ultimo caso, con deriva maggiore nelle ruote posteriori, si vede che il raggio è diminuito e quindi la
traiettoria tende a “stringere”.
In base al comportamento del veicolo in curva, si può dire quindi che un veicolo è:
neutro: quando percorre una traiettoria con raggio di curvatura che corrisponde all’incirca con quello
impostato dal conducente;
sottosterzante: quando ha tendenza a percorrere una traiettoria con raggio di curvatura maggiore di quello
della traiettoria voluta dal conducente, tende cioè ad allargare la curva;
sovrasterzante: quando ha tendenza a percorrere una traiettoria con raggio di curvatura minore di quello
della traiettoria voluta dal conducente, tende cioè a stringere la curva.
In fase di progettazione quasi tutte le vetture vengono studiate in modo tale da avere un comportamento
sottosterzante. Infatti, tale condotta viene considerata come uno dei fattori di sicurezza passiva.
Il veicolo che si trova in una situazione sottosterzante tende a compiere una traiettoria più larga (tale
situazione limita oltretutto la forza centrifuga), cosicché il pilota, portato d’istinto a stringere la curva, esegue
una manovra corretta.
Al contrario, nel caso di sovrasterzo la macchina tenta di compiere una traiettoria più stretta con raggio
di curvatura minore: aumenta la forza centrifuga, a scapito del grip. Inoltre, la manovra di correzione
necessaria è innaturale per il guidatore, che si ritrova a dover sterzare dalla parte opposta alla curva.
Nonostante si pensi che il comportamento neutro sia il migliore si è visto che in curva, quando la macchina
comincia a sbandare, perde il grip quasi contemporaneamente su tutte e quattro le ruote, il che rende ancora
più complicata la manovra di ripresa.
I parametri su cui si può “giocare” per dare sotto-sovrasterzo sono i seguenti:
• interventi sugli ammortizzatori;
106
9.4. Studio della dinamica del cornering
9. INSTABILITÀ DIREZIONALE
Fig. 9.5: Schema di un veicolo in curva
• barre anti-rollio;
• rigidità degli elementi elastici;
• convergenza;
• campanatura;
• diversa pressione di gonfiaggio delle gomme;
• posizione dei centri di rollio e del baricentro.
I parametri che influenzano maggiormente sono quelli del sistema sospensivo.
9.4
Studio della dinamica del cornering
Adesso che sono chiari i concetti, almeno intuitivamente, si può passare allo studio della capacità di
affrontare una curva dal punto di vista analitico.
Prima di iniziare è bene ricordare la relazione di Ackermann che porta a:
L
(9.2)
R
A questo valore di δ si dà talvolta il nome di angolo di Ackermann.
Iniziamo intanto con l’applicare la seconda equazione di Newton al veicolo che si sta impegnando in una
curva (si osserva che in tutta la trattazione si suppone per semplicità di aver a che fare con un modello
cosiddetto “a bicicletta”):
δ=
X
i
Fi = Fa + Fp = M
dove:
• Fa è la forza laterale applicata all’asse anteriore;
• Fp è la forza laterale applicata all’asse posteriore;
• M è massa del veicolo;
• V è la velocità di avanzamento;
• R è il raggio di curvatura.
107
V2
R
(9.3)
9.4. Studio della dinamica del cornering
9. INSTABILITÀ DIREZIONALE
Adesso imponiamo che la sommatoria dei momenti rispetto al baricentro sia nulla (condizione valida fino
a che vi è abbastanza grip):
Fa b − Fp c = 0
(9.4)
che risolta in Fa :
c
b
(9.5)
b V2
L R
(9.6)
Wa V 2
Cαa gr
Wp V 2
αp =
Cαp gr
(9.7)
Fa = Fp
Sostituendo nella (9.3) si ha:
Fp = M
Per la (9.1) si può dire allora:
αa =
avendo chiamato con Wa e con Wp rispettivamente il carico sull’assale anteriore e posteriore.
Dal semplice studio geometrico della precedente figura si ricava l’effettivo angolo di sterzata delle ruote
anteriori (che indicheremo con δ):
L
+ αa − αp
R
Ed infine sostituendo dalle (9.7) si ricava l’angolo di sterzata in funzione degli angoli di deriva:
δ=
L
δ=
+
R
Wa
Wp
−
Cαa
Cαp
V2
gR
(9.8)
(9.9)
Si nota come attraverso queste equazioni si riesca a determinare l’angolo di sterzata attraverso il raggio
di curvatura
o l’accelerazione.
Wp
a
− Cαp
i permette di determinare la direzione della sterzata. Ognuno dei due termini è in
Inoltre CWαa
proporzione al carico sull’asse anteriore o posteriore e alla rigidezza.
Questo termine viene generalmente chiamato grado di sottosterzo e viene indicato con la lettera K. Le
sue dimensioni sono (s2 m−1 °) e indica “la quantità di angolo di deriva per ogni g di forza centrifuga”.
Ognuno dei due termini di K viene detto angolo di conformità.
Nonostante tali termini si riferiscano alla traiettoria curva si è visto che determina la risposta del veicolo
nel moto rettilineo in presenza di disturbi.
La precedente diviene quindi:
δ=
L
V2
+K
R
gR
(9.10)
Come è naturale pensare il segno del coefficiente K determina il comportamento neutro, sottosterzante
o sovrasterzante del veicolo.
Neutro (Wa /Cαa = Wp /Cαp → K = 0 → αa = αp ): in questo caso è importante notare come in caso di
curva costante sia necessario un angolo teorico di sterzata pari all’angolo di Ackerman. Equivale a
dire che l’accelerazione centrifuga imprime una forza al centro di spinta (per semplicità idealmente
coincidente con il centro di massa), che genera angoli di deriva anteriori e posteriori coincidenti.
108
9.4. Studio della dinamica del cornering
9. INSTABILITÀ DIREZIONALE
Fig. 9.6: Angolo di sterzo in funzione della velocità al variare del segno del coefficiente di sottosterzo
Sottosterzo (Wa /Cαa > Wp /Cαp → K > 0 → αa > αp ): in questo caso la forza centrifuga applicata al centro di spinta “aprirà” maggiormente la deriva anteriore, e farà tendere come già sappiamo a compiere al
veicolo una traiettoria con raggio di curvatura maggiore. L’analisi da noi effettuata rispecchia esattamente tale supposizione: infatti, essendo K > 0, aumenta l’angolo effettivo di sterzata δ, è per questo
motivo che il pilota è costretto a “stringere la curva”.
Sovrasterzo (Wa /Cαa < Wp /Cαp → K < 0 → αa < αp ): a questo punto è intuitivo il caso del sovrasterzo.
La deriva è maggiore sulle ruote posteriori, il termine K è negativo e ciò implica perché sia necessario
“aprire la curva”. È opportuno ripetere ancora una volta come in fase di progetto si tenda a progettare
il veicolo perché abbia un comportamento sottosterzante proprio per l’innaturalezza da parte del pilota
di compiere tale manovra.
Dall’analisi si nota anche come la velocità influenzi in modo maggiore l’effettivo angolo di sterzata in
quanto la forza centrifuga dipende dal quadrato della velocità (l’unico caso escluso è il comportamento neutro
dove l’angolo di sterzata rimane sempre L/R).
Per questo è importante affrontare le curve a moderate velocità, infatti aumentando la forza centrifuga
ed essendo costretti a stringere la virata, il grip a disposizione è sempre limitato.
Il livello di sottosterzo viene anche identificato dal valore della velocità caratteristica (Vcar ), che è
la velocità necessaria per ottenere all’incirca un angolo di sterzata reale all’incirca doppio dell’angolo di
Ackerman:
Vcar =
r
L
g
K
(9.11)
Nel caso del sovrasterzo l’angolo di sterzo scende con il quadrato della velocità, e arriva a zero ad una
certa velocità detta velocità critica ∗ :
Vcrit =
r
−L
g
K
(9.12)
Ricordando che L è il passo della macchina si nota come un veicolo con passo maggiore raggiunga la
velocità critica solo ad un valore più alto.
Dall’analisi da noi effettuata sembra che progettando una vettura con carattere sottosterzante si siano
risolti sostanzialmente i problemi di sicurezza, ma come tutti sappiamo la realtà non è questa.
Infatti noi abbiamo supposto che la forza perturbatrice agisca esattamente nel centro di massa. Nella
maggioranza dei casi ovviamente non è cosi e la forza si potrà pensare spostata di una certa distanza rispetto
∗ Non
deve stupire il segno − sotto radice in quanto si ricorda che in tal caso K < 0.
109
9.4. Studio della dinamica del cornering
9. INSTABILITÀ DIREZIONALE
Fig. 9.7: Angolo di campanatura
a G, il che comporterà una deriva maggiore, davanti o dietro. Questa è la spiegazione per cui lo stesso veicolo
assume tutti e tre i comportamenti a seconda della situazione in cui si trova.
Esisterà comunque un punto a una certa distanza dal baricentro che mi dia lo stesso angolo di deriva
sull’avantreno e sul retrotreno; questo punto è detto punto neutro di deriva (si ricorda infatti che se αa e αp
sono uguali si ha il comportamento neutro).
La distanza dal baricentro da tale punto è chiamata margine statico.
Una delle caratteristiche più importanti di tale punto è la sua mobilità, si pensi infatti alle continue frenate
e accelerazioni; abbiamo già visto come la coppia di trazione ridistribuisca diversamente il carico sugli assali
e abbiamo visto che la deriva è proprio in funzione anche dei carichi. Questi continui cambiamenti provocano
inevitabilmente lo spostarsi del punto neutro di deriva.
9.4.1
Influenza dell’angolo di campanatura
Come è possibile immaginarsi l’angolo di campanatura influirà anch’esso sull’angolo di sterzo.
Con riferimento alla Fig. 9.7, si indica con γg (interno i o esterno o) l’angolo di campanatura rispetto al
terreno, con γb (interno i o esterno o) l’angolo di campanatura rispetto al telaio, con φ l’angolo di rollio.
L’angolo di campanatura totale durante il cornering sarà:
γg = γb + φ
(9.13)
È importante sottolineare come l’angolo di campanatura influisca molto meno rispetto a quello di deriva.
Infatti per avere la stessa forza si ha bisogno di 5° del primo rispetto ad uno solo del secondo.
Ripetendo i calcoli analitici molto simili ai precedenti ma tenendo di conto anche della campanatura si
arriva facilmente alla seguente:
Cγp ∂γp ∂φ V 2
Wa
Wp
Cγa ∂γa
L
+
−
+
−
(9.14)
δ=
R
Cαa
Cαp
Cαa ∂φ
Cαp ∂φ ∂ay gR
Dalla precedente si nota, ovviamente, la presenza dell’angolo di sottosterzo derivante dall’angolo di deriva
visto in precedenza ed in più la parte di angolo di sottosterzo derivante dalla campanatura:
Cγp ∂γp ∂φ
Cγa ∂γa
Kcamp =
−
(9.15)
Cαa ∂φ
Cαp ∂φ ∂ay
9.4.2
Influenza della forza di trazione
Infine andiamo proprio ad analizzare gli effetti delle forze di trazione sviluppate dal motore e trasmesse
alle ruote. Andremo quindi alla ricerca di una formula il più generale possibile indipendentemente dal fatto
che la trasmissione sia a 2 (anteriori – FWD – o posteriori – RWD –) o quattro ruote motrici (4WD).
Ancora una volta usiamo il modello a bicicletta e applichiamo il secondo principio della dinamica, in
direzione laterale:
110
9.4. Studio della dinamica del cornering
9. INSTABILITÀ DIREZIONALE
Fig. 9.8: Modello a bicicletta
V2
= Fya cos(αa + δ) + Fxa sin(αa + δ)
Rg
V2
= Fyp cos(αp ) + Fxp sin(αp )
Wp
Rg
Wa
(9.16)
dove le Fy sono le forze perturbatrici e le Fx sono le forze di trazione.
Con l’ipotesi di piccoli angoli, risolvendo αa e αp e sostituendo nella (9.8) si ottiene:
Wp V 2
Wa V 2
L
Cαp Rg
C Rg
R
δ=
+ αa
+
Fx a
Fxa
Fx p
1+
1+
1+
Cαa
Cαa
Cαp
(9.17)
D’altra parte:
1
1+
Fxa
Cαa
1
1
1+
Fxa
Cαa
≈1−
Fx a
Ca
e quindi la precedente diventa:
L
"
Wa
Wp
R
δ=
+
−
−
Fx a
Cαa
Cαp
1+
Cαa
Wp Fxp
Wa Fxa
−
2
Cαa
Cα2 p
!#
V2
Rg
(9.18)
Come si può notare è composta da tre termini: il primo è l’angolo di Ackermann, ma alterato da un
fattore che dipende dalla forza di trazione anteriore, che se positiva (FWD) aumenta l’angolo di sterzata,
se negativa (RWD) lo diminuisce; il secondo termine non è altro che il grado di sottosterzo relativo alla
rigidità laterale; il terzo termine, invece, è influenzato unicamente dalle forze di trazione e ovviamente varia
in funzione dei tre tipi di trazione.
Ovviamente ci sono altri fattori che influenzano il grado di sottosterzo, di cui tralasciamo la trattazione
analitica: in particolare, il fattore più importante è dato dal rollio.
Infine, si ricorda che l’effettivo angolo di sterzo è dato semplicemente dalla somma dei vari contributi che
abbiamo esaminato.
111
Parte III
La dinamica verticale
112
Capitolo 10
Dinamica verticale
Il problema della dinamica verticale consiste nel determinare la risposta del veicolo (in termini di moto
vibratorio e di forze scambiate con la strada) indotto dalla geometria del fondo stradale (o del binario per
un veicolo ferroviario).
Di particolare interesse in questo senso è la presenza lungo la via di corsa di irregolarità dovute ad
imperfezioni del fondo stradale che si generano sia durante la posa del fondo stesso sia per effetto di cedimenti
anelastici del terreno, fenomeno quest’ultimo che porta ad una crescita dell’irregolarità con l’esercizio della
via stradale/ferrata. La presenza di queste irregolarità ha un effetto negativo nel comfort o nella sicurezza
di marcia del veicolo.
Nello studio della dinamica verticale, perciò, si considerano le sospensioni, che hanno il duplice effetto di:
• ripartire le forze scambiate fra terreno e cassa del veicolo (elementi elastici)
• smorzare le suddette forze (elementi smorzanti)
Si definisce:
massa sospesa: tutto ciò che sta sopra le sospensioni;
massa non sospesa: tutto ciò che sta sotto le sospensioni (principalmente, le ruote).
Il rapporto tra queste due grandezze viene considerato come un indice di comfort.
La sospensione ideale è quella che è in grado di permettere i soli moti verticali fra ruota e massa sospesa.
Un veicolo a quattro ruote ha in generale 10 gradi di libertà, che sono:
• le coordinate xyz del baricentro delle masse sospese;
• i 3 angoli di imbardata, rollio e beccheggio;
• 4 coordinate per il moto verticale ruota–cassa.
Le tre rotazioni di imbardata ψ (yaw), beccheggio ϑ (pitch) e rollio ϕ (roll) possono essere anche viste
come le rotazioni da dare al sistema assi suolo per ottenere il sistema assi corpo. In particolare, gli angoli di
imbardata, beccheggio e rollio sono considerati come rotazioni attorno agli assi, rispettivamente, z, y e x.
Poiché il risultato di una sequenza di rotazioni dipende dall’ordine con cui queste vengono eseguite, si
assume che queste vengano fatte in terna corrente (ogni rotazione viene eseguita rispetto alla terna ottenuta
con la precedente rotazione) secondo l’ordine Yaw–Pitch–Roll (Fig. 10.1).
Da un punto di vista del cinematismo si parla di:
sospensioni a ruote indipendenti: ogni sospensione è collegata alla vettura in maniera indipendente (1
gdl libero)
sospensione ad assale rigido: le ruote dello stesso assale sono collegare tra loro (2 gdl liberi)
113
10.1. Angoli caratteristici del pneumatico
10. DINAMICA VERTICALE
Fig. 10.1: Sequenza di rotazioni Yaw–Pitch–Roll
Fig. 10.2: Angolo di campanatura o camber
10.1
Angoli caratteristici del pneumatico
Si definiscono gli angoli caratteristici del montaggio del pneumatico:
angolo di campanatura o camber: è l’angolo formato dal piano medio del pneumatico e dalla verticale
al terreno (Fig. 10.2). Riveste un ruolo primario nel massimizzare la superficie di contatto.
angolo di convergenza: è l’angolo formato dei piani medi delle ruote rispetto alla direzione di avanzamento
(Fig. 10.3). La presenza di una convergenza positiva garantisce la stabilità della traiettoria rettilinea.
angolo di incidenza del montante: è l’angolo formato dall’asse di sterzatura rispetto a una direzione
verticale passante per il centro dell’impronta (Fig. 10.4). La formazione di un braccio a terra longitudinale crea un’azione “raddrizzante” della traiettoria, “richiamando” lo sterzo ma rendendolo più
“duro” alla risposta a basse velocità, con un incremento delle perturbazioni che giungono su di esso.
angolo di inclinazione del montante: è l’angolo formato dall’asse di sterzatura rispetto a una direzione verticale passante per il centro dell’impronta, misurato su un piano verticale frontale del veicolo
(Fig. 10.5). La presenza di un braccio a terra trasversale controbilancia gli effetti del braccio a terra
longitudinale.
114
10.1. Angoli caratteristici del pneumatico
10. DINAMICA VERTICALE
Fig. 10.3: Angolo di convergenza
Fig. 10.4: Angolo di incidenza del montante e braccio a terra longitudinale
Fig. 10.5: Angolo di inclinazione del montante e braccio a terra trasversale
115
10.2. Analisi cinematica delle sospensioni
10.2
10. DINAMICA VERTICALE
Analisi cinematica delle sospensioni
Si è già detto che una sospensione ideale dovrebbe far muovere la ruota rispetto alla cassa nella sola
direzione verticale. Nella pratica, i moti permessi sono determinati dalla geometria e quindi dalla cinematica
della sospensione: ciascuno schema sospensivo avrà una cinematica più o meno vicina a quella che abbiamo
definita “ideale”.
Nello studio cinematico delle sospensioni si vuole, pertanto, capire come la geometria di ciascuna sospensione determina la cinematica del moto ruota–cassa. Per far questo si studiano le variazioni di campanatura
(γ), angolo di sterzo (δ), carreggiata (t) a seguito di variazioni ∆z dello scuotimento della sospensione e ∆ϕ
di rollio della cassa.
Si definiscono pertanto scorrettezze del sistema sospensivo le derivate:
∂t ∂t ∂δ ∂δ ∂γ ∂γ
,
,
,
,
,
∂ϕ ∂z ∂ϕ ∂z ∂ϕ ∂z
Si danno le seguenti definizioni:
asse di rollio: asse d’istantanea rotazione∗ a rollio del veicolo.
centro di rollio (per asse): punto d’intersezione fra asse di rollio e piano verticale passante per i punti di
contatto delle due ruote.
Per ragioni di simmetria† , il centro di rollio sta sul piano di simmetria del veicolo.
Per come è definito, il centro di rollio è il centro di istantanea rotazione del corpo vettura rispetto al
suolo. La sua individuazione è fondamentale in quanto è il punto del corpo vettura nel quale una forza
laterale applicata non genera rotazione.
10.3
Schemi di sospensioni tipiche
Si riportano di seguito alcuni schemi di tipi di sospensioni utilizzati in campo automobilistico: per alcune
di esse è riportato il procedimento per l’individuazione del centro di rollio, basato sul teorema delle catene
cinematiche.
10.4
Comfort e guidabilità
Lo studio del comfort e della guidabilità di un veicolo si avvale della teoria delle vibrazioni di sistemi
meccanici schematizzati per mezzo di corpi rigidi ed elementi elastici e smorzanti. Questo tipo di approccio
prevede la modellazione dell’intero veicolo in un sistema avente 1 o più gradi di libertà e per il quale si
studiano le vibrazioni indotte dalle irregolarità della strada. Ci limiteremo a presentare due soli modelli.
10.4.1
Modello a 1 gdl
Con questo modello si considerano i moti nelle tre direzioni indipendenti l’uno dall’altro e si prende in
considerazione il solo moto verticale della sospensione.
Con riferimento alla Fig. 10.11, indicheremo con m la quota parte di massa sospesa che grava sulla sospensione in esame, V la velocità del veicolo e λ la lunghezza d’onda dell’irregolarità della strada: supporremo,
pertanto, che la forzante dovuta alle irregolarità sia di tipo armonico h(t) = h0 ejωt con pulsazione ω = 2πV
λ .
∗ Si
tratta di un asse di istantanea rotazione in quanto è variabile nel tempo.
da eventuali asimmetrie costruttive delle sospensioni (tipiche di formule sportive americane) o generate da
spostamento della cassa, causato ad esempio da trasferimento di carico o non perfetta planarità trasversale della strada.
† Prescindendo
116
10.4. Comfort e guidabilità
10. DINAMICA VERTICALE
Fig. 10.6: Sospensione a quadrilateri articolati trasversali (Fonte: [5])
Fig. 10.7: Sospensione a quadrilateri articolati trasversali con assi cerniera a) non orizzontali e b) non paralleli
(Fonte: [5])
Fig. 10.8: Avantreno a bracci oscillanti longitudinali (Fonte: [5])
117
10.4. Comfort e guidabilità
10. DINAMICA VERTICALE
Fig. 10.9: Retrotreno a bracci oscillanti longitudinali (Fonte: [5])
Fig. 10.10: Avantreno con sospensioni indipendenti di tipo Mc Pherson (Fonte: [5])
Fig. 10.11: Modello a 1 grado di libertà per lo studio della dinamica verticale
118
10.4. Comfort e guidabilità
10. DINAMICA VERTICALE
La forza peso determina la condizione di equilibrio iniziale e dunque la freccia statica:
−mg
k
Come noto, questo è un termine costante che ha influenza solo sull’individuazione della condizione di
equilibrio, ma non sulla dinamica del moto che risulta determinata dall’equazione:
zp =
mz̈ + cż + kz = cḣ + kh − mg
(10.1)
Data la linearità del sistema la soluzione sarà anch’essa di tipo armonico:
z(t) = z0 ejωt
Sostituendo nella precedente, avremo:
−mω 2 + jωc + k z0 = (jωc + k) h0
Il rapporto
z0
h0
(10.2)
è un numero complesso nella variabile reale ω, con modulo e fase pari a:
s
z0 c2 ω 2 + k 2
=
2
h0 c2 ω 2 + (k − mω 2 )
−cmω 2
ϕ = arctan
k k − mω 2 + c2 ω 2
!
(10.3)
Introducendo i parametri adimensionali:
r
k
: pulsazione naturale;
• ωn =
m
√
• ccr = 2 km: smorzamento critico;
c
• ξ=
: smorzamento adimensionale;
ccr
ω
: frequenza adimensionale,
• ω∗ =
ωn
si ha:
z0
1 + j2ξω ∗
=
(10.4)
h0
1 − ω ∗ 2 + j2ξω ∗
Per considerazioni relative al comfort assume maggiore importanza il parametro accelerazione, legato agli
spostamenti da:
z̈0 = ω 2 z0 h0 h0 Si possono fare le seguenti osservazioni:
• per valori della pulsazione della forzante molto inferiori alla pulsazione propria del sistema, il rapporto
z0 /h0 è prossimo ad 1, ossia l’ampiezza di vibrazione della massa m risulta paragonabile all’ampiezza
dell’irregolarità stradale: in tali condizioni, la massa segue “rigidamente” il moto del punto di contatto,
come se il veicolo non fosse dotato di sospensioni;
• per valori della pulsazione della forzante prossimi alla pulsazione propria del veicolo, l’ampiezza di
oscillazione diviene molto elevata in rapporto a quella dell’irregolarità stradale e tende a divenire infinita nella condizione di risonanza. Poiché la forzante è data in forma di spostamenti, la sua pulsazione
dipende in ultima analisi dalla velocità di avanzamento del veicolo e dalla lunghezza d’onda dell’irregolarità: per una data lunghezza d’onda, è possibile definire un particolare valore della velocità
(Vcr = 2πλωr ) per la quale il veicolo entra in risonanza;
119
10.4. Comfort e guidabilità
10. DINAMICA VERTICALE
Fig. 10.12: Diagramma del rapporto z0 /h0 (Rielaborato da: [5])
Fig. 10.13: Diagramma del rapporto z̈0 /h0 (Rielaborato da: [5])
120
10.4. Comfort e guidabilità
10. DINAMICA VERTICALE
• se la pulsazione della forzante è molto superiore alla pulsazione propria del sistema, l’ampiezza di
vibrazione del veicolo risulta inferiore all’ampiezza dell’irregolarità e tanto inferiore quanto maggiore
è il valore del rapporto adimensionale. Da questo esame, si evidenzia che la presenza della elasticità
della sospensione rende il veicolo in grado di attenuare la vibrazione impressa dalla strada al punto di
contatto, a patto che la pulsazione propria del veicolo sia sufficientemente piccola rispetto a quella del
moto impresso dalla irregolarità stradale.
Volendo ottimizzare il comfort dei passeggeri (ossia minimizzare le accelerazioni a cui questi risultano
esposti, a fronte di una data irregolarità stradale) un possibile criterio è quello di cercare lo smorzamento c
che porta ad un massimo relativo (oalmeno punto di stazionarietà) nel punto A di Fig. 10.12.
Derivando l’espressione di ω 2 hz00 rispetto a ω e imponendo che la derivata sia nulla in A si ottiene:
r
cott =
km
ccr
= √
2
2 2
(10.5)
Poiché la componente dinamica della forza che i pneumatici esercitano sul suolo è:
Fz = c ż − ḣ + k (z − h) = −mz̈
il cott trovato minimizza anche la forza trasmessa al suolo e quindi anche il comportamento direzionale.
Per la scelta della rigidezza della sospensione bisogna tener conto che:
• un valore troppo piccolo della rigidezza significa abbassamenti statici elevati;
• un valore troppo basso della pulsazione propria significa che il transitorio di oscillazione innescato, ad
esempio, dal superamento di un ostacolo localizzato si attenuerà in un tempo elevato, peggiorando in
questo modo il comfort dei passeggeri.
In generale per il dimensionamento della rigidezza si cerca di assicurare un buon effetto filtrante tra
1–1,5 Hz, campo di maggiore sensibilità del corpo umano. Di fatto, si cerca di fare in modo che:
r
ωn
1
k
fn =
=
≈ 1 Hz
2π
2π m
10.4.2
Modello a 2 gdl
In questo modello si prende in considerazione anche l’elasticità del pneumatico (Fig. 10.14, in cui si è
indicato con m la massa sospesa sulla sospensione e con mn la massa non sospesa, mentre P e cp sono,
rispettivamente, la rigidezza e lo smorzamento del pneumatico).
Individuando le matrici di massa, rigidezza e smorzamento e i vettori degli spostamenti e delle forzanti
del sistema:
"
m 0
M=
0 mn
" #
zs
Z=
zn
#
"
K
K=
−K
"
F=
−K
K +P
#
#
"
c
C=
−c
−c
c + cp
#
0
cp ḣ + cp h
l’equazione di moto scritta in forma matriciale è:
MZ̈ + CŻ + KZ = F
(10.6)
Procedendo come nel caso precedente, si individuano le risposte ad una forzante di tipo armonico (h(t) =
h0 e ) in termini di spostamenti ed accelerazioni sia per le masse sospese sia per quelle non sospese.
jλt
121
10.4. Comfort e guidabilità
10. DINAMICA VERTICALE
Fig. 10.14: Modello a 2 gradi di libertà per lo studio della dinamica verticale (Fonte: [5])
Fig. 10.15: Diagramma dei rapporti zs0 /h0 e zn0 /h0 (Rielaborato da: [5])
Fig. 10.16: Diagramma dei rapporti z̈s0 /h0 e z̈n0 /h0 (Rielaborato da: [5])
122
10.4. Comfort e guidabilità
10. DINAMICA VERTICALE
pm
In Figg. 10.15 e 10.16 le risposte sono riportate in funzione della frequenza dimensionale λ∗ = λ K
.
Come nel caso precedente, si ottiene lo smorzamento ottimale rendendo minima l’accelerazione:
r
cott =
Km
2
s
123
kp + 2K
kp
(10.7)
Bibliografia
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[2]
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deposito locomotive, capi tecnici e operai della trazione, segretari tecnici, macchinisti, appassionati di
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124
