Richiami di Algebra Vettoriale

IL TUBO DI PITOT
Henri Pitot (1695-1771) realizzò uno strumento per la misura della velocità in un
canale, formato da due tubi: uno era semplicemente un tubo rettilineo aperto ad
una estremità ed immerso nell’acqua in movimento (in senso trasversale al moto,
per la misura della pressione statica), mentre il secondo era un tubo piegato ad
angolo retto con l’estremità aperta allineata al flusso, ma in senso contrario ad
esso, al fine di misurare la pressione totale del liquido. Pitot associò per la prima
volta la differenza di pressione misurata nei due tubi (sotto forma di dislivello di
liquido in un tubo ad U che li univa) alla velocità del fluido in moto.
IL TUBO DI PITOT
Facendo riferimento alla figura, una particella di fluido localizzata in posizione 1
incontra l’estremità aperta del tubo ed entra all’interno del condotto fino a giungere
al contenitore B. Seguitando a far fluire il fluido, ad un certo punto, tutto il canale ed
il contenitore sarà pieno di fluido e quindi ogni particella presente all’imbocco 2
verrà bloccata; in questo modo tutte le particelle che transitano sulla linea di flusso
che collega 1 a 2 verranno rallentate fino ad avere velocità nulla in 2.
L’ipotesi importante che viene fatta a questo punto è che il processo di
rallentamento sia isotermo ed isoentropico e che il fluido sia incomprimibile.
2
Il punto 2 caratterizzato da velocità
nulla viene chiamato PUNTO DI
RISTAGNO.
Per le ipotesi sulla trasformazione
subita da 1 a 2 è possibile applicare
l’equazione di Bernoulli sulla linea di
flusso percorsa.
1
IL TUBO DI PITOT
1
p + ρV 2 = cos t.
2
1
p1 + ρV12 = p2 : pressione di ristagno
2
1
2
Per conoscere la velocità è necessario quindi conoscere la pressione statica nel
punto 1: è per questo motivo che si utilizza il secondo condotto nell’apparato di
Pitot, che essendo posto ortogonalmente alla direzione del flusso non risente del
contributo cinematico della velocità ma solo del contributo statico della pressione.
IL TUBO DI PITOT
Nel campo delle misure fluidodinamiche si fa
una distinzione fra:
•
il tubo di Pitot, che è solo il ramo ad
angolo retto atto a misurare la pressione
di ristagno del fluido
•
Il tubo di Pitot STATICO, (Pitot Static
Tube) che invece è fornito di ambedue le
prese di pressione (statica e di ristagno) e
che permette una misura diretta della
differenza fra le due pressioni
Mediante il tubo di Pitot Statico è possibile misurare la
velocità di un fluido incomprimibile (Mach<0.3)
mediante l’applicazione della equazione di Bernoulli, ma
per valori del numero di Mach compresi fra 0.3 e 1.0
(flusso subsonico) non è possibile trascurare la
comprimibiltà del fluido: questo effetto modifica il modo
con cui da un Pitot Static Tube viene dedotta la velocità.
V1 =
2( prist − p1 )
ρ
Effetto della comprimibilità
Considerando un fluido non viscoso, in assenza di forze di massa, l’equazione di
Eulero assume la forma finale seguente:
dp = − ρ ⋅ V ⋅ dV
Ipotizzando ancora una volta la trasformazione da 1 a 2 come adiabatica
reversibile è possibile ottenere, dal primo principio della termodinamica:
∂q = dh − vdp = 0
Sostituendovi la relazione di Eulero e ricordando che v =1/ρ si ha:
1
1 2
2
dh + VdV = 0 ⇒ dh + d (V ) = 0 ⇒ h + V = Cost.
2
2
L’equazione vale su una linea di flusso; equivale a scrivere:
V2
c PT +
2
Effetto della comprimibilità
Applicando la formula appena vista alla trasformazione da 1 a 2 si può scrivere:
T2
V12
1 2
cPT1 + V1 = cPT2 da cui:
= 1+
T1
2
2cPT1
γR
Ora, poiché cP =
e c1 = γ RT1 (vel. del suono) si ottiene:
γ −1
T2
γ − 1 V12
γ −1 2
= 1+
= 1+
M1
2
2 c1
2
T1
Con M1: numero di Mach nel punto 1. Come accennato in precedenza il processo
da 1 a 2 è stato ipotizzato isoentropico. Per questo è possibile esprimere il
rapporto tra le temperature in funzione del rapporto tra le pressioni:
γ / (γ −1)
p2  T2 
= 
p1  T1 
Effetto della comprimibilità
Sostituendo il rapporto delle temperature ed esplicitando la variabile velocità si ha:
γ −1


2
γ
2 ⋅ c1  p2 − p1 
2

+
−
1
1
V1 =




γ − 1  p1



Poiché un tubo di Pitot statico è in grado di misurare solo (p2-p1) non può essere
utilizzato da solo per la determinazione della velocità nel punto 1; infatti dalla
formula sopra si nota che è necessario conoscere anche la pressione statica in 1.
Per misure di velocità in flussi comprimibili è perciò necessario dotarsi di due tubi
di Pitot: uno di tipo statico ed uno standard.
Un confronto utile da fare è verificare quali differenze sussistano nell’equazione di
Bernoulli qualora venisse estesa a flussi comprimibili. Nel Caso di fluido
incomprimibile si ha:
1
p1 + ρV12 = p2
2
Effetto della comprimibilità
Nel Caso di fluido Comprimibile si ottiene dalle precedenti:
γ / (γ −1)
 1 γ −1 ρ V 
p1 1 +

p1 
 2 γ
2
1 1
= p2
Questa, riscritta riprendendo la definizione di velocità del suono e numero di Mach
conduce alla seguente:
γ / (γ −1)
 γ −1 2 
p1 1 +
M1 
2


= p2
Espandendo la relazione in serie binomiale si ottiene:
2
4


M
M
1
2
1
1
p2 = p1 + ρ1V1 1 +
+
+ ... 
2
4
40


Effetto della comprimibilità
Mediante la relazione appena ricavata è più facile identificare la differenza fra
l’espressione della pressione di ristagno per un fluido incomprimibile e
comprimibile; per un numero di Mach pari a circa 0.2, che corrisponde ad una
velocità dell’aria di circa 60 m/s ad una velocità del suono di circa 340 m/s, il
secondo termine dell’espansione in serie diventa uguale a 0.01 volte la pressione
cinematica nel punto 1 e gli altri termini sono trascurabili.
In altre parole per velocità inferiori a 60 m/s il valore di p2 dato dall’espansione in
serie differisce da quello di un flusso incomprimibile di una quantità minore dell’1%
della pressione cinematica.
Da un punto di vista dell’errore introdotto sul calcolo della velocità abbiamo che il
rapporto dei valori di velocità, quello considerando il flusso incomprimibile con
quello comprimibile, può essere ottenuto dall’espressione seguente:
V1,incomp
V1,comp
=
( p2 − p1 ) ρ1 2
( p2 − p1 ) ( ρ1 2 ) (1 + M 12 4 + M 14
4 0 + ...) 
= 1 + M 12 4 + M 14 4 0 + ...
Effetto della comprimibilità
Considerando come in precedenza un numero di Mach pari a 0.2 si ottiene:
V1,incomp
V1,comp
= 1 + 0.22 4 + 0.24 4 0 + ... ≅ 1.005
Questo significa un errore pari a circa lo 0.5% sul valore della velocità.
Per velocità dell’aria maggiori di 60 m/s è necessario usare l’equazione per flussi
comprimibili eccetto nei casi in cui il tubo di Pitot può causare la formazione di
onde d’urto (ossia a velocità Transoniche e Supersoniche)
Misure tramite Tubo di Pitot Statico
Costruttivamente un tubo di Pitot è
realizzato da due tubi concentrici, uno
interno che termina nel punto di ristagno
ed uno esterno su cui vengono ricavate le
prese di pressione statica.
Stelo
Raccordo
Prese Statiche
Naso – Presa di Ristagno
In realtà si assume che un tubo di Pitot
Statico misuri la pressione dinamica
secondo la formula a lato:
In questo modo viene misurata la
differenza fra la Pressione di
Ristagno (o Totale) e la pressione
statica all’interno del tubo esterno.
Per questo motivo, poiché il tubo
ha dimensioni finite e le prese di
pressione sono poste in posizioni
diverse si avrà che la pressione
cinematica misurata non risulta
esattamente pari a quella reale.
1
∆p = K ⋅ ρV12
2
Effetto del Naso e dello Stelo
Il fattore ‘K’ dipende da molti fattori, quali la posizione delle prese statiche,
la forma del naso e del raccordo, etc.
La posizione delle prese statiche lungo
il tubo è importante in quanto esse
devono essere poste in una regione in cui
la pressione statica è pari a quella del
flusso a monte del Pitot; però sia la
presenza del naso che quella dello stelo
alterano il profilo di velocità e di
pressione in prossimità del tubo e solo
mediante una indagine sperimentale è
possibile individuare la posizione ottimale
delle prese statiche.
La presenza del Naso porta ad una
accelerazione del fluido e di conseguenza
(caso incomprimibile) riduce la sua
pressione statica, che in prossimità delle
prese statiche sarà quindi minore di
quella a monte del tubo.
Effetto del Naso e dello Stelo
Viceversa la presenza dello Stelo porta ad un riaumento delle pressione a monte di
esso, a causa del fatto che si comporta come un ostacolo al flusso e di
conseguenza ne diminuisce la velocità riaumentando la pressione
Poiché i due effetti sono contrapposti è prevedibile che esista una posizione delle
prese che annulla l’errore risultante dai due contributi. In tale posizione vengono
effettuati i fori per le prese statiche.
N.P.L. : National Physical Laboratories
Standard emisferical nose pitot static tube
Per questo motivo
esiste una
standardizzazione
sulla costruzione
dei tubi di Pitot
statici, che impone
la posizione delle
prese statiche in
funzione della
forma del naso, del
raccordo e del
diametro del tubo.
Pitot a naso rastremato
Nel 1912 la N.P.L. propose un tubo a naso rastremato; tale sonda si dimostrò
migliore di quella a naso emisferico ma di contro presentava una maggiore
sensibilità ai danneggiamenti.
Il confronto fra i due Pitot statici è basato sul valore di ‘K’ al variare del numero di
Reynolds calcolato con il diametro del tubo.
Rastremato
d=3.8 mm
N.P.L. standard tapered nose
Pitot static tube
Emisferico
d=3.9 mm
Retubo
K
Retubo
K
330
1.020
335
1.055
655
0.989
670
1.006
985
0.995
1000
1.001
1310
0.992
1335
0.996
1640
0.991
1670
0.992
1970
0.992
2005
0.991
2295
0.995
2340
0.992
2625
0.998
2675
0.996
2920
0.999
3005
0.999
3280
1.000
3340
1.001
Pitot a naso ellissoidale
Legando ‘K’ al Reynolds ci si è svincolati dal diametro del tubo e dal tipo di fluido
utilizzato: due Pitot statici dello stesso tipo ma con di diametri diversi avranno lo
stesso K se il Reynolds è uguale (in misure in aria, ipotizzando che non vi siano
grosse variazioni di temperatura e pressione, ‘K’ dipenderà solo dal prodotto ‘v·D’)
Successivamente la N.P.L. adottò un tipo di tubo a naso ellissoidale, notando
che in misure in aria la sonda non presentava dipendenze dai fattori di scala (ossia
‘K’ rimaneva invariato) per un range di velocità compreso fra 13 e 60 m/s.
Per una sonda avente un
diametro esterno di 8
mm ciò corrisponde ad
un numero di Reynolds
di tubo compreso fra
6500 e 39000.
Effetto del raccordo
Si osservò inoltre sperimentalmente che qualora lo stelo presenti un raccordo
circolare anziché ad angolo retto, il valore di ‘K’ varia in modo diverso.
Dall’analisi dei valori di K
delle tabelle, si può
dedurre che qualora sia
accettabile un errore sulla
stima della velocità dello
0.5%, e nell’ipotesi che si
utilizzi un Pitot statico
come quelli visti finora, si
può assumere K=1 per
velocità comprese fra 1,2
e 60 m/s. Al di sotto di 1.2
l’errore raggiunge l’1%.
Num diametri (A)
39
28
20
17
14
12
10
K raccordo ad angolo
1.002
1.001
1.000
0.999
0.998
0.997
0.996
K raccordo circolare
1.000
1.000
1.000
1.000
0.998
0.9975
9
0.995
8
0.994
0.9975
Misure in flussi turbolenti
Finora si è ipotizzato un flusso a basso livello di turbolenza. In realtà questo incide sulla
misura effettuata tramite il tubo di Pitot in quanto le componenti di velocità turbolente incidono
sulla pressione cinematica del fluido.
Per questo motivo la pressione di
ristagno subirà la seguente correzione:
La presa statica invece leggerà una
pressione pari a:
1
1
2
prist = p + ρV + ρ (Vx 2 + Vy 2 + Vz 2 )
2
2
1
- x - : direzione
pstatica = p + ρ Vy 2 + Vz 2
del flusso medio
2
(
Qualora la turbolenza sia distribuita in modo isotropo si può assumere che:
)
Vx 2 = Vy 2 = Vz 2
Combinando le relazioni precedenti è possibile determinare la lettura di un Pitot Statico in
questo modo:
2


V
1
2
x
∆p = ρV 1 + 2 2 
2
V 

Questa relazione vale per tutte le rilevazioni in cui la
turbolenza è su piccola scala, ovvero il diametro dei
vortici risulta piccolo se comparato al diametro del tubo.
Per turbolenze su grossa scala viene utilizzata una formula più generale in cui il fattore ‘2’
viene sostituito con un parametro ‘α ’ che varia da 1 a 5.
Effetto di un gradiente di velocità
Quando si utilizza un Pitot Statico per rilevare la distribuzione di velocità in zone in
cui la stessa presenta forti gradienti, ad esempio la velocità all’interno di un
condotto o di uno strato limite, è necessario apportare alcune correzioni al valore
letto.
L’errore risiede non tanto nel valore letto quanto nella posizione geometrica vera di
tale valore, infatti il baricentro della distribuzione di velocità risulta spostato rispetto
all’asse del tubo; poiché quest’ultimo viene preso come riferimento geometrico per
la ricostruzione del profilo di velocità, ne consegue un erroneo posizionamento
della velocità locale.
Una formula generale per la
valutazione dello scostamento ‘Z’
è difficile da fornire in quanto
dipende fortemente dal tipo di
sonda usata. Un valore indicativo
può essere stimato tramite la:
Z
d
= 0.13 + 0.08 ⋅
D
D
Effetto di un gradiente di velocità
Per tubi di Pitot aventi naso a spigolo vivo, come quello precedente, esiste una
formula empirica, dovuta a Sami:
Z
= 1.025 ⋅ β − 4.05 ⋅ β 2
D
Z
= 0.195
D
per
per
β < 0.3
β > 0.3
D ∆V
β=
⋅
2V ∆y
- y - : distanza dalla
parete solida
Nella rilevazione della distribuzione di velocità in uno strato limite si utilizzano
molte volte dei Pitot con imbocco Ovale; in questo l’effetto del gradiente di velocità
risulta più contenuto e, per tubi aventi h/H pari a 0.6 e W/H pari a 1.6, può essere
espresso dalla relazione seguente:
Z
H
= 0 . 19 ± 0 . 01
Effetto di parete in flussi viscosi
Un altro tipo di errore che si commette nell’uso del tubo di Pitot è quando lo stesso
viene utilizzato per misurare la pressione dinamica in prossimità di una parete
solida; in questo caso la presenza della sonda disturba lo strato limite aderente alla
parete inducendo un errore che risulta funzione del rapporto fra la distanza
dell’asse del Pitot dalla parete ed il diametro stesso della sonda.
In particolare la velocità misurata dalla
sonda risulterà inferiore a quella reale e
quindi il valore misurato dovrà essere
aumentato di una quantità ricavabile dal
grafico a fianco. Dalla curva emerge inoltre
che l’influenza del Pitot è rilevante solo per
distanze adimensionali minori di 1.9. Questo
vuol dire che nel caso di una sonda da 2
mm di diametro la distanza dalla parete alla
quale l’effetto del disturbo diventa
trascurabile è di 3.8 mm. Ciò indica che solo
in condotti di piccolo diametro l’errore
indotto dalla presenza del Pitot è rilevante.
Effetto di disallineamento
Quando un Pitot statico è immerso nel flusso è difficile sapere a priori sa il suo asse è ben
allineato alla direzione del moto del fluido; infatti non bisogna dimenticare che il Pitot statico
misura una differenza di pressione: non è possibile affermare che quando quest’ultima è
massima il tubo si trova allineato con il flusso. In genere per sonde N.P.L. standard esistono
delle curve di influenza dell’angolo di disallineamento, riportate nel grafico sotto.
Si può notare che se l’incertezza
sull’angolo di disallineamento arriva a
20-25°, la sonda a naso emisferico
sembra preferibile, in quanto il massimo
errore commesso è all’interno del ±5%
sul calcolo della pressione cinematica
(che corrisponde a circa ±2% sulla
velocità). Se invece la direzione del
flusso è nota con uno scarto di 15° è
preferibile la sonda ellissoidale.
Per la sonda a naso rastremato il
corretto allineamento corrisponde al
minimo valore di ∆p: per essere sicuri
che la sonda sia allineata si può
pensare di ruotarla fino ad ottenere la
minima lettura.
Prese di pressione statica
Non necessariamente le prese statiche e di ristagno devono stare sulla stessa sonda. E’
possibile, ad esempio, utilizzare un tubo di Pitot per la rilevazione della pressione totale ed
una presa statica separata per la componente statica della pressione. Nelle rilevazioni di
velocità in strati limite, all’esterno di una superficie o all’interno di un canale, le prese statiche
vengono realizzate effettuando dei fori sulla parete bagnata del fluido.
E’ fondamentale quindi che il foro sia di piccole dimensioni
al fine di non disturbare il flusso; purtroppo non sempre è
possibile agire con precisione nella foratura ed oltretutto un
foro molto piccolo rallenta la risposta dello strumento alla
variazione di pressione.
E’ dimostrato che quando il fluido lambisce la parete ed
incontra il foro, subisce una deflessione ed una parte di
esso penetra all’interno dell’orifizio; il risultato è che la
presa statica rileverà anche una componente
cinematica della pressione.
L’entità dell’errore dipende sia dalle dimensioni del foro che dalla sua profondità, nonché dal
tipo di collegamento della presa con il misuratore di pressione. Da studi effettuati l’errore di
pressione statica è legato al rapporto L/d’ (fig.sopra) aumentando con esso fino a valori di L/d’
pari a 1.5.
Prese di pressione statica
Per valori di L/d’>1.5 l’errore non sembra dipendere più da tale parametro e l’unica variabile di
rilievo rimane la condizione fluidodinamica in prossimità del foro.
Questa condizione è ben evidenziata dalla
distribuzione degli sforzi viscosi alla parete e
viene spesso caratterizzata mediante un
parametro chiamato ‘shear velocity’ o ‘fricition
velocity’, definito come:
Shear Velocity =
τ0
ρ
τ0 rappresenta lo sforzo viscoso alla parete,
definito come:
 dV 
1
2
=
τ0 = µ 
ρ
f
V

dy
2

 y =0
f: fattore di Fanning, è calcolabile tramite correlazioni sperimentali esistenti in letteratura.
Nel grafico è possibile calcolare l’errore di pressione
statica dato in funzione del ‘numero di Reynolds del
foro’, calcolato con la shear velocity e il diametro del foro:
Re*d' = d '
ν
τ0
ρ
Prese di pressione statica
E’ evidente che la trattazione fatta finora
prevedeva che il foro fosse privo di asperità
dovute a lavorazione meccanica e che i suoi
bordi fossero a spigolo vivo. In realtà è pressoché
impossibile effettuare una foratura a spigolo vivo
e perfettamente perpendicolare. Perciò sono stati
fatti studi per valutare l’effetto della forma degli
angoli del foro rispetto alla configurazione ideale
(figura a lato).
In aggiunta è stata introdotta una differente
configurazione di presa, dotata di una camera di
calma. In questo modo si permette un grosso
recupero di pressione al fluido entrante nel foro.
In tal modo viene ridotta
la quantità di flusso
entrante nella presa
migliorando la lettura
della pressione statica.
Effetto di bloccaggio della sonda
Quando un tubo di Pitot è utilizzato per la misura in un condotto, l’inserimento della
sonda riduce la sezione effettiva di passaggio del flusso e, quindi, la velocità
misurata sarà superiore a quella reale in assenza del tubo. L’errore è denominato
Probe Blockage Error.
Il Probe Blockage Factor è definito come il rapporto
fra la variazione di velocità indotta della presenza della
sonda sul valore vero di velocità:
ε = ∂V V
Da studi effettuati si è visto che tale parametro influenza la pressione statica,
cinematica, la densità e la temperatura secondo le relazioni seguenti:
∂p
∂ρ
p
ρ
= −γ M 2ε
∂pv
= − M 2ε
∂T
pv
T
= (2 − M 2 )ε
{p
v
= 1 ρV 2
2
}
= − (γ − 1) M 2ε
Conoscendo il valore ed il segno del fattore di bloccaggio ed il numero di Mach del
flusso fluido, si è in grado di valutare come vengono modificate le varie quantità
termodinamiche dall’inserimento del tubo di Pitot nel condotto.
Effetto di bloccaggio della sonda
E’ stato dimostrato in passato che in
flussi subsonici il Probe Blockage
Factor può essere ricavato dalla
seguente relazione:
 CD  ( S / C )
ε =

2
2

 (1 − M )
Dove CD è il fattore di attrito di forma ed è correlato nel
caso riportato in figura al numero di Mach, nella forma:
CD = 1.15 + 0.75 ( M − 0.2 )
Mentre S/C non è altro che il rapporto fra l’area frontale della porzione di tubo di Pitot inserito
nel condotto e l’area del flusso del condotto stesso.
Nel caso di Pitot cilindrici immersi fino all’asse
centrale del condotto si ottiene:
Sostituendo il tutto nelle
formule precedenti è
possibile calcolare
l’errore commesso nella
lettura della pressione
cinematica:
∂pv
S /C =
( 2)
d D
π D2
4
2d
=
πD
1.15 + 0.75 ( M − 0.2 ) 2d
1
= 2−M )
⋅
2
pv (
πD
1− M
2
2