SOLUZIONE

SOLUZIONE
TERZA ESERCITAZIONE MACROECONOMIA
Questa esercitazione riguarda gli argomenti della crescita (senza progresso
tecnologico e con progresso tecnologico) e delle aspettative.
Per ciascun argomento, trovate un esercizio che sarà svolto in aula durante
l’esercitazione (due nel caso di aspettative); ulteriori esercizi aggiuntivi, utili per
comprendere meglio l’argomento in questione.
PARTE PRIMA – CRESCITA SENZA PROGRESSO TECNOLOGICO
ESERCIZIO DA SVOLGERE AD ESERCITAZIONE
Il governo del paese Y, partendo da una posizione di
bilancio in pareggio, incorre in un disavanzo pari a una
certa percentuale (d) del PIL.
a)
Ipotizzando che il tasso di risparmio privato e la
popolazione
non
cambino,
illustrate
graficamente
l’impatto del disavanzo sul reddito pro-capite e sul
capitale pro-capite in un modello di crescita.
In presenza di un disavanzo di bilancio la funzione
dell’investimento diventa:
I = sYt - dYt.
L’accumulazione di capitale è quindi data da:
Kt+1 = (1 – δ) Kt + I = (1 – δ) Kt + sYt - dYt
Dividendo entrambi i lati per N (numero di occupati) e
riordinando si ottiene:
Kt + 1 Kt
Yt
Yt
Kt
−
= s − d −δ
N
N
N
N
N
Ponendo
Yt
Kt
= f ( ) si ha che:
N
N
1
Kt + 1 Kt
Kt
Kt
−
= (s − d ) f ( ) − δ
N
N
N
N
Questa relazione è indicata nel grafico sottostante
DEPREZZAMENTO δ (Kt/N)
PRODOTTO PER
Y0/
N
YI/N
ADDETTO f (Kt/N)
RISPARMIO
E
PRIVATO
RISPARMIO
E’
PRIVATO+
RISPARMIO PUBBLICO
(s-d)f (Kt/N)
KI/N
K0/N
CAPITALE PER
ADDETTO
L’effetto
di
un
disavanzo
di
bilancio
costante
e
proporzionale al reddito sarà pari a quello di una
riduzione del tasso di risparmio complessivo. In stato
stazionario si raggiunge un minor livello di capitale e di
prodotto per addetto.
b)
Illustrate le differenze fra lo stato stazionario
precedente e quello successivo alla creazione del
disavanzo, spiegando se questo disavanzo influisce sul
tasso di crescita dell’economia.
Valgono
Solow:
dunque
tutte
le
considerazioni
2
del
modello
di
1) Il tasso di risparmio non ha alcun effetto sul tasso di
crescita della produzione nel lungo periodo
2) Il tasso di risparmio determina il livello di prodotto
per addetto nel lungo periodo
3) Variazioni
del
tasso
di
risparmio
provocheranno
variazioni nella crescita solo nel breve periodo
PARTE PRIMA – CRESCITA CON PROGRESSO TECNOLOGICO
ESERCIZIO DA SVOLGERE AD ESERCITAZIONE
a)
Partendo dalla relazione di equilibrio del modello di
crescita
con
progresso
tecnologico,
analizzate
graficamente gli effetti di una riduzione del tasso di
risparmio sul capitale e sul prodotto per unità di
lavoro effettivo e date una breve spiegazione economica
dell’accaduto.
Il tasso di risparmio diminuisce. Indichiamo il nuovo tasso
con s’. Intuitivamente, un minor risparmio implica un minor
investimento e quindi una accumulazione inferiore di
K
⎛ K ⎞
s' f ⎜
⎟ = (δ + g N + g A )
NA
⎝ NA ⎠
capitale. In stato stazionario vale:
3
Y/ NA
(d+g N +g A )(K/NA)
f(K/NA)
sf(K/NA)
(Y/NA)
s’f(K/NA )
(Y/NA)’
K/NA
(K/NA)’ (K/NA)
La diminuzione del tasso di risparmio da s a s’ ha
provocato una decumulazione di capitale per unità di lavoro
effettivo
tramite
una
diminuzione
dell’investimento.
Graficamente, questo è dato da uno spostamento verso il
basso della curva dell’investimento da s f(K/NA) a
s’f(K/NA). Diminuiscono quindi sia il capitale per unità
lavoro effettivo di steady state che il livello del reddito
per
unità
lavoro
effettivo.
Durante
l’aggiustamento
l’output per unità di efficienza ha un tasso di crescita
negativo; nel nuovo stato stazionario il reddito ed il
capitale per unità di lavoro effettivo saranno minori, il
loro tasso di crescita di stato stazionario sarà nullo. Per
quanto riguarda il tasso di crescita del reddito, questo
non cambierà nel nuovo stazionario, visto che esso è pari
alla somma dei
tassi di crescita di popolazione e
progresso tecnologico.
b)
Cosa succede se invece cresce il tasso di crescita del
progresso tecnologico?
Se il tasso di crescita del progresso tecnologico aumenta
da gA a gA’. Questo significa che l’investimento è superiore
a quanto necessario per mantenere costante il livello di
4
capitale
valere:
per
unità
di
lavoro
effettivo.
Dovendo
sempre
K
⎛ K ⎞
s f⎜
⎟ = (δ + g N + g A ' )
NA
⎝ NA ⎠
si ha un temporaneo decremento del capitale per unità di
lavoro effettivo, fin quando non si raggiunge il nuovo
stato stazionario, in cui sia il capitale che il prodotto
per unità di lavoro effettivo sono costanti.
Y/ NA
(d+g N +g A ’)(K/NA)
(d+g N +g A )(K/NA)
f(K/NA)
(Y/NA)
sf(K/NA)
(Y/NA)’
K/NA
(K/NA)’
(K/NA)
Va notato che il sentiero di crescita bilanciata ha ora
un’inclinazione
maggiore.
Infatti
nel
nuovo
stato
stazionario K/NA e Y/NA sono diminuiti, ma sia il tasso
di crescita di Y che il tasso di crescita di Y/N sono
aumentati, visto che:
gy = gN + gA'
d (Y / N )
= gA'
Y/N
e gA’> gA.
5
PARTE TERZA – ASPETTATIVE
ESERCIZI DA SVOLGERE AD ESERCITAZIONE
1)
Supponete che il tasso di interesse corrente sia pari al 2%
e che i mercati finanziari si aspettino che l’anno prossimo
il tasso di interesse aumenti del 2% e poi si mantenga a
questo nuovo livello.
a) Calcolate il rendimento alla scadenza di un titolo
annuale; un titolo biennale e un titolo triennale.
Il rendimento alla scadenza di un titolo a n anni è quel tasso di
interesse costante che uguaglia il prezzo del titolo oggi al
valore attuale dei pagamenti futuri.
Da questa definizione, si può dimostrare che il rendimento alla
scadenza è approssimativamente uguale alla media del tasso
corrente a un anno e dei tassi futuri attesi a un anno, per i
successivi (n-1) anni.
Quindi:
i1t = 2%
0,02 + 0,04
i + ie
i2t = 1t 1t +1 =
= 3%
2
2
0,02 + 0,04 + 0,04
i + ie + ie
= 3, 3%
i3t = 1t 1t +1 1t + 2 =
3
3
b) Disegnate
scadenza.
e
spiegate
la
struttura
dei
rendimenti
a
Una curva dei rendimenti positivamente inclinata ci permette di
trarre due conclusioni:
• i rendimenti alla scadenza sono crescenti al crescere della
maturità del titolo
• i mercati finanziari si aspettano che i tassi di interesse a
breve termine aumentino in futuro.
i
3,3%
3%
2%
6
1
2
3
t
2)
Il governo di un paese sta valutando l’efficacia di diverse
politiche economiche sul mercato azionario. Descrivete
l’impatto di ciascuna delle seguenti politiche sul prezzo
delle azioni, indicando come risolvere le eventuali
situazioni ambigue:
a) Una politica monetaria espansiva inattesa
Il prezzo delle azioni è uguale al valore presente scontato dei
dividendi futuri (con π e = 0 ⇒ r = i ):
$Qt =
$ Dte+1
$ Dte+ 2
+
+ ...
1 + i1t (1 + i1t )(1 + i1et +1 )
a) Nel caso di una politica monetaria espansiva inattesa (senza
MS
variazioni della politica fiscale), in seguito a
↑ , la
P
curva LM trasla verso destra, i ↓ , gli investimenti aumentano,
facendo aumentare, via il moltiplicatore,
nuovo equilibrio (E') Y ↑ e i ↓ .
i
il
reddito:
nel
LM
IS
LM'
E
E'
Y
Dalla teoria sappiamo che minori tassi di interesse e maggiori
dividendi provocheranno entrambi un aumento del prezzo delle
azioni:
ƒ Y ↑⇒ profitti ↑⇒ dividendi ↑⇒ $Qt ↑ ,
ƒ
i ↓⇒ $Qt ↑ .
b) Una politica fiscale espansiva inattesa accompagnata da
una politica monetaria che lasci invariato il livello di
produzione.
7
Nel caso di una politica fiscale espansiva inattesa con una
politica monetaria che lasci invariato il livello del reddito,
A ↑ , la curva IS trasla parallelamente verso destra, con un
aumento della produzione e del tasso di interesse, mentre la
curva LM trasla parallelamente verso sinistra, per effetto della
politica monetaria restrittiva: l'equilibrio si sposterà dal
punto E al punto E', con un livello del reddito invariato ed un
incremento del tasso di interesse
LM'
i
LM
E'
E
IS'
IS
Y
L'incremento del tasso di interesse ha un effetto negativo sul
prezzo delle azioni, mentre il reddito non varia e non ha alcun
effetto:
ƒ Y =⇒ profitti =⇒ dividendi =⇒ $Qt = ,
ƒ i ↑⇒ $Qt ↓ .
L'effetto netto è così certo: le due politiche combinate
comportano una diminuzione del prezzo delle azioni.
8
ESERCIZI AGGIUNTIVI
PARTE PRIMA – CRESCITA SENZA PROGRESSO TECNOLOGICO
1)
Considerate il modello di crescita di Solow nel caso di
assenza di progresso tecnologico e di crescita della
popolazione costante. La funzione di produzione è data da:
Y= K N.
Il tasso di deprezzamento è pari a 0.03 ed il capitale per
addetto è pari a 81.
a) Calcolate il valore di equilibrio del tasso di
risparmio e del consumo per addetto.
b) Se il tasso di risparmio aumenta, cosa accade al
consumo per addetto in equilibrio?
c) Ipotizzate un aumento del tasso del risparmio a 0.40 e
l’obiettivo di politica economica sia di mantenere
invariati i livelli del reddito e del capitale per
addetto. Quanto deve variare il tasso di deprezzamento
affinché valga l’equilibrio? Fornite una spiegazione
economica.
9
SOLUZIONE
a)
Considerando la forma funzionale:
Y= K N
1
Y ⎛ K ⎞2
=⎜ ⎟
N ⎝N⎠
In stato stazionario vale il seguente equilibrio (vedi
libro da pagina 230 a pagina 237):
s f(
Kt
K
)=δ t
N
N
1
K
⎛ K ⎞2
s⎜ ⎟ = δ
N
⎝N⎠
s * (81) = 0.03 * 81
s * 9 = 2.43
Î s=0.27
Il consumo per addetto di equilibrio è dato dalla seguente
formula (considera che in questo caso abbiamo come formula
della funzione di produzione Y = K N e di conseguenza
possiamo esprimere il consumo per addetto in funzione del
tasso di risparmio, vedi da pagina 242 a pagina 246) :
C Y
K s (1 − s ) 0.27 * 0.73
=
= 6.57
= −δ
=
N N
N
δ
0.03
10
Y/N
δKt/N
A
Y*/N
=9
f(Kt/N)
sf(Kt/N)
E1
K*/N
=81
Notate che
addetto.
il
segmento
AE1
rappresenta
il
consumo
per
b)
La relazione tra tasso di risparmio e consumo per addetto è
rappresentata dal grafico seguente:
C/N
0
sG
1
s
sG è il tasso di risparmio che massimizza il consumo per
addetto. Per 0<s<sG un aumento del tasso di risparmio genera
un aumento del consumo per addetto di equilibrio, per sG<s<1
un aumento del tasso di risparmio genera una diminuzione
del consumo per addetto di equilibrio.
Considerando la forma funzionale del consumo per addetto
C * s (1 − s )
=
,
N
δ
sostituendo
diversi
valori
per
il
tasso
di
risparmio, si giunge al fatto che se s=0.5 otteniamo la
regola aurea del livello del capitale. Quindi sG=50%.
In questo esercizio abbiamo trovato al punto a) s=27%; di
conseguenza, il tasso di risparmio, nel caso di un aumento
fino a s’=0.5 provocherà un aumento del consumo di
11
equilibrio per addetto. Se tale aumento è superiore della
soglia di s=50%, il consumo per addetto diminuisce.
c)
In questo caso, s’=0.40, mantenendo gli stessi valori per
il reddito e per il capitale per addetto, il nuovo livello
del tasso di deprezzamento di equilibrio è dato da:
s f(
Kt
K
)=δ t
N
N
0.4 * (81) = δ * 81
3.6 = δ * 81
Il nuovo tasso di deprezzamento è 0.044.
L’aumento del tasso di risparmio viene compensato dal
corrispondente aumento del tasso di deprezzamento, affinché
venga mantenuto lo stesso livello di equilibrio, tra la
curva degli investimenti e la curva del deprezzamento.
12
2)
Nel Paese di Atlanta, una sorprendente stagione agricola ha
attirato milioni di abitanti. Tuttavia lo stock di capitale
non è cambiato.
a) Considerando il modello di crescita senza progresso
tecnologico
e
supponendo
che
l’economia
fosse
inizialmente in stato stazionario, spiegate gli
effetti di breve e di lungo periodo dell’aumento
della popolazione sullo stock di capitale per
addetto,
sulla
produzione
per
addetto,
sull’investimento per addetto e sull’ammortamento per
addetto. Mostrate graficamente gli effetti.
b) Considerate i seguenti valori:
S
K
t
= 0 .5Y t
t+1
= I
Yt = K
1
2
t
t
N
1
2
t
Scrivete l’equazione che governa la variazione nel tempo
del capitale per addetto ed il livello di produzione per
addetto di stato stazionario.
SOLUZIONE
a)
Consideriamo N’ la popolazione dopo il flusso migratorio.
L’aumento di N provoca nel breve periodo una diminuzione
istantanea dello stock di capitale per addetto e di
conseguenza provoca una riduzione della produzione per
addetto. In questo caso il livello del capitale per
addetto, l’investimento per addetto e l’ammortamento per
addetto sono inferiori rispetto alla situazione iniziale.
(Infatti,
ora
ci
spostiamo
lungo
la
curva
dell’investimento e non spostiamo nessuna curva). Durante
il processo di aggiustamento verso il lungo periodo, il
capitale per addetto aumenta fino a raggiungere lo stato
13
stazionario iniziale. In questo stato stazionario, il
nuovo stock di capitale è superiore ed è aumentato nella
stessa proporzione in cui la popolazione è aumentata.
In questo processo anche la produzione per addetto
ritorna al livello iniziale e quella aggregata aumenta
nella stessa proporzione di cui N è aumentato.
Y/N
δKt/N
Y*/N
f(Kt/N)
E1
sf(Kt/N)
K/N
K*/N
b)
In equilibrio:
I t = St
⎛ 12 12 ⎞
K t +1 = I t = S t = 0.5Yt = 0.5 * ⎜⎜ K t N t ⎟⎟
⎠
⎝
1
1
⎛
⎞
2
⎜
⎟
⎛
⎞
K t +1 K t
Kt
Kt
N 2
⎛ Kt ⎞
−
=−
+ 0.5 * ⎜ ⎟ =
⎜ 0.5 * ⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎟
N
N
N
N ⎜
⎝N ⎠
⎝ Kt ⎠
⎟
⎝
⎠
Questa è l’equazione che governa la variazione nel tempo
del capitale per addetto.
Ponendo
K t +1 K t
−
=0
N
N
Allora:
14
Kt
N
⎛
⎜
⎛N
⎜ 0.5 * ⎜⎜
⎝ Kt
⎜
⎝
⎛
⎜
⎛N
⎜ 0.5 * ⎜⎜
⎝ Kt
⎜
⎝
1
⎞
⎟
⎞2
⎟⎟ − 1⎟ =0
⎠
⎟
⎠
1
⎞
⎟
⎞2
⎟⎟ = 1⎟
⎠
⎟
⎠
1
⎛ N ⎞2
⎜⎜ ⎟⎟ =2
⎝ Kt ⎠
N
=4
Kt
Kt
= 0.25
N
Ecco il capitale per addetto.
Sostituendo il capitale per addetto di stato stazionario
nella funzione di produzione otteniamo:
1
1
⎛ Yt ⎞ ⎛ K t ⎞ 2
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = (0.25) 2 = 0.5
⎝N⎠ ⎝ N ⎠
15
3)
Il Paese di Razzmatazz presenta la seguente funzione di
1
4
3
4
produzione: Y = K N
Il tasso di risparmio è pari a 0.25 ed il tasso di
deprezzamento è pari a 0.15.
a) Calcolate il livello di capitale per addetto, prodotto
per
addetto
e
consumo
per
addetto
in
stato
stazionario. Fornite una rappresentazione grafica
dell’equilibrio di lungo periodo.
b) Supponete un aumento del tasso di risparmio a 0.45.
Come cambiano i livelli del prodotto per addetto, del
capitale per addetto e del consumo per addetto in
stato
stazionario?
Fornite
una
rappresentazione
grafica ed una spiegazione economica.
c) Supponete che il tasso di deprezzamento aumenti a 0.20
e che il tasso di risparmio sia pari a 0.25. Spiegate
graficamente ed economicamente come cambiano i livelli
del prodotto per addetto, del capitale per addetto e
del consumo per addetto in stato stazionario.
16
SOLUZIONE
a)
In stato stazionario il prodotto pro-capite e il capitale
pro capite sono costanti. Vale cioè che nell’equazione
K t +1 K t
K
K
il membro di sinistra è nullo, in
−
= s f ( t ) −δ t
N
N
N
N
quanto K t +1 = K t e
vale quindi : s f (
Kt
K
) = δ t sotto l’ipotesi implicita che
N
N
N t +1 = N t .
Isolando f(.) e sostituendo i dati dell’esercizio per
trovare il valore del capitale e del prodotto per addetto
in stato stazionario avremo:
Funzione di produzione in termini pro-capite.
1
4
Y = K * N = K *N
3
4
4
3
1
1
3
4
1
−
Y
N4
=K4
= K4 *N 4
N
N
1
Y ⎛ K ⎞4
=⎜ ⎟
N ⎝N⎠
Quindi ricordando
seguente:
s f(
che
deve
valere
in
equilibrio
la
Kt
K
)=δ t
N
N
Sostituisco i valori per trovare il capitale per addetto
in stato stazionario (steady state):
4
1
3
0.25
K
K
K
K
0.15 = 0.25( ) 4 ⇒ ( ) 4 =
= 1.667 ⇒
= 1.667 3 = 1.976
0.15
N
N
N
N
e il valore del prodotto per addetto:
1
1
Y ⎛ K ⎞4
= ⎜ ⎟ = (1.976) 4 = 1.186
N ⎝N⎠
17
Il consumo per addetto è uguale a:
C Y
K
= −δ
= 1.186 − 0.15 * (1.976 ) = 0.889
N N
N
Y/N
δKt/N
Y*/N
f(Kt/N)
E1
sf(Kt/N)
K/N
K*/N
K*/N=1.976 e Y*/N=1.186 indicano, rispettivamente, il
livello di capitale per addetto e prodotto per addetto di
equilibrio.
b)
Nel caso in cui il tasso di risparmio aumenti a 0.45, i
nuovi livelli di equilibrio sono i seguenti:
Ricordando che deve valere in equilibrio la seguente:
s f(
Kt
K
)=δ t
N
N
Sostituisco i valori per trovare il capitale per addetto
in stato stazionario (steady state):
4
1
3
K
K
K
K
0.45
0.15 = 0.45( ) 4 ⇒ ( ) 4 =
=3⇒
= 3 3 = 4.327
0.15
N
N
N
N
18
e il valore del prodotto per addetto:
1
1
Y ⎛ K ⎞4
= ⎜ ⎟ = (4.327 ) 4 = 1.44
N ⎝N⎠
Il consumo per addetto è uguale a:
C Y
K
= −δ
= 1.44 − 0.15 * (4.327 ) = 0.791
N N
N
L’aumento del tasso di risparmio da s a s’ ha provocato
un
accumulazione
di
capitale
tramite
un
aumento
dell’investimento. Graficamente, questo è dato da uno
spostamento verso l’alto della curva dell’investimento da
s f(K/N) a s’f(K/N). Aumentano quindi sia il capitale per
addetto di steady state che il livello del reddito per
addetto; invece il consumo per addetto diminuisce.
L’economia attraversa un periodo di espansione, in quanto
per un certo periodo si ha una crescita positiva, per poi
stabilizzarsi ad un livello superiore di reddito per
addetto. Quando il capitale raggiunge il nuovo valore di
stato stazionario, il risparmio è di nuovo uguale al
deprezzamento e il sistema è di nuovo in equilibrio.
Ricordate che il tasso di crescita del prodotto per
addetto in equilibrio è nullo.
Y/N
δKt/N
(Y*/N)’
f(Kt/N)
Y*/N
s’f(Kt/N)
sf(Kt/N)
K/N
K*/N
(K*/N)’
19
c)
Nel caso in cui il tasso di deprezzamento aumenti a 0.20, i
nuovi valori di equilibrio sono:
Ricordando che deve valere in equilibrio la seguente:
s f(
Kt
K
)=δ t
N
N
Sostituisco i valori per trovare il capitale per addetto
in stato stazionario (steady state):
4
1
3
K
K
K
K
0.25
0.20 = 0.25( ) 4 ⇒ ( ) 4 =
= 1.25 ⇒
= 3 3 = 1.347
0.20
N
N
N
N
e il valore del prodotto per addetto:
1
1
Y ⎛ K ⎞4
= ⎜ ⎟ = (1.347 ) 4 = 1.077
N ⎝N⎠
Il consumo per addetto è uguale a:
C Y
K
= −δ
= 1.077 − 0.20 * (1.347 ) = 0.808
N N
N
In questo caso, l’aumento del deprezzamento implica che
il capitale si deprezza maggiormente e dura di meno.
Quindi a parità di risparmio, il capitale si accumula più
lentamente. Graficamente la curva del deprezzamento per
addetto si sposta verso l’alto e rispetto al caso del
punto a), sia il capitale che il prodotto per addetto
decrescono, così pure il consumo per addetto. L’economia
attraversa un periodo di recessione, in quanto per un
certo periodo si ha una crescita negativa, per poi
stabilizzarsi ad un livello inferiore di reddito per
addetto.
20
Quando il capitale raggiunge il nuovo valore di stato
stazionario,
il
risparmio
è
di
nuovo
uguale
al
deprezzamento e il sistema è di nuovo in equilibrio.
Y/N
δ'Kt/N
δKt/N
Y*/N
f(Kt/N)
sf(Kt/N)
(Y*/N)’
K/N
(K*/N)’
K*/N
21
4)
Il Governo del Paese di Hogwarts registra una situazione di
avanzo di bilancio:
T − G = αYt
Dove α è la percentuale di avanzo in funzione del PIL.
Considerate che il risparmio privato presenti la seguente
forma funzionale: S = sYt .
il
modello
di
crescita
senza
a) Mostrate,
usando
progresso
tecnologico,
l’impatto
dell’avanzo
sul
reddito per addetto e sul capitale per addetto.
b) Che differenze ci sono tra lo stato stazionario
derivato al punto a) e lo stato stazionario nel caso
in cui sia presente esclusivamente il risparmio
privato.
c) Supponendo che
Y= K N
δ = 0.1
K
= 49
N
α = 0.1
Determinare il valore si s che rappresenta il risparmio
privato ed il consumo per addetto.
d) In base al risultato ottenuto al punto precedente, un
aumento del tasso di risparmio implicherà un aumento del
consumo per addetto?
SOLUZIONE
a)
In presenza di un avanzo di bilancio la funzione
dell’investimento diventa:
I = sYt + αYt
L’accumulazione di capitale è quindi data da:
Kt+1 = (1 – δ) Kt + I =(1 – δ) Kt+ sYt + αYt
22
Dividendo entrambi i lati per N (numero di occupati) e
riordinando si ottiene:
K t + 1 Kt
Yt
Yt
Kt
−
= s +α −δ
N
N
N
N
N
Yt
Kt
Ponendo
= f ( ) si ha che:
N
N
Kt + 1 Kt
Kt
Kt
−
= (s + α ) f ( ) − δ
N
N
N
N
δ (Kt/N)
f (Kt/N)
Y1/N
Y0/N
(s+α) f (Kt/N)
E’
E
sf (Kt/N)
K0/N
K1/N
K/N
L’effetto di un avanzo di bilancio costante e proporzionale
al reddito sarà pari a quello di un aumento del tasso di
risparmio complessivo. In stato stazionario si raggiunge un
maggiore livello di capitale e di prodotto per addetto.
23
b)
L’avanzo modifica il tasso di risparmio complessivo
dell’economia, che non ha alcun effetto sul tasso di
crescita dell’economia.
Valgono dunque tutte le considerazioni del modello di
Solow:
4) Il tasso di risparmio non ha alcun effetto sul tasso di
crescita della produzione nel lungo periodo.
5) Il tasso di risparmio determina il livello di prodotto
per addetto nel lungo periodo.
6) Variazioni
del
tasso
di
risparmio
provocheranno
variazioni nella crescita solo nel breve periodo.
c)
In stato stazionario vale la seguente uguaglianza:
Kt
Kt
(s + α ) f ( ) = δ
N
N
Sostituendo i valori dati dal testo:
1
Kt ⎛ K ⎞ 2
f ( ) =⎜ ⎟
N ⎝N⎠
( s + 0.1) 49 = 0.1 * 49
7s+0.7=4.9
Î
s=0.6
C Y
K
= −δ
= 7 − 0.1 * 49 = 2.1
N N
N
Oppure
C (s + α )(1 − α − s ) 0.7 * 0.3
=
=
= 2 .1
0 .1
N
δ
24
d)
Falso, conoscendo la teoria che ci insegna la regola aurea,
sappiamo che se il tasso di risparmio supera il 50%, se
aumentiamo tale tasso, il consumo per addetto diminuirà. In
questo caso specifico, in cui abbiamo anche un avanzo di
bilancio, dobbiamo tener presente che il limite del 50%
sarà dato da (s + α ) e di conseguenza se alpha è maggiore di
zero, il tasso di risparmio avrà un limite inferiore al
50%.
25
PARTE SECONDA – CRESCITA CON PROGRESSO TECNOLOGICO
1)
Considerate l’economia del Paese di Metrica caratterizzata
dai seguenti dati:
Y
⎛ K ⎞
=3 ⎜
⎟
AN
⎝ AN ⎠
K
= 50;
AN
g A = 0.04
2
g N = 0.01
s = 0.3
a)
b)
c)
Determinate il livello di investimento per unità di
lavoro effettivo ed il tasso di deprezzamento.
Come deve variare il tasso di deprezzamento affinché
gli investimenti per unità di lavoro effettivo siano
pari a 5, a parità di altre condizioni?
Il tasso di risparmio è variato affinché gli
investimenti siano pari a 5?
SOLUZIONE
a)
Considerando le equazioni di equilibrio per cui (vedi libro
da pagina 255 a pagina 260):
I
Y
=s
AN
AN
I
⎛ K ⎞
= sf ⎜
⎟
AN
⎝ AN ⎠
Gli investimenti per unità di lavoro effettivo sono dati:
26
2
I
Y
=s
= 0.3 * (50) 3 = 0.3 *13.57 = 4.071
AN
AN
Considerando che l’”investimento necessario” ovvero gli
investimenti per unità di lavoro effettivo sono dati da:
I
K
= (δ + g A + g N )
AN
AN
Di conseguenza:
4.071 = (δ + 0.04 + 0.01) * 50
4.071 − 2.5 = 50δ
Il tasso di deprezzamento è pari a 0.03142.
b)
Nel caso in cui gli investimenti per unità di lavoro
effettivo sono pari a 5, il tasso di deprezzamento è:
5 = (δ + 0.04 + 0.01) * 50
5 − 2.5 = 50δ
δ = 0.05
c)
Ovviamente affinché gli investimenti siano aumentati a 5,
anche il tasso di risparmio è aumentato. Per capire in che
misura è aumentato, dobbiamo prendere in considerazione le
seguenti formule:
I
Y
=s
AN
AN
I
⎛ K ⎞
= sf ⎜
⎟
AN
⎝ AN ⎠
5 = s *13.57 Î s=0.368
Variazione del tasso di risparmio=0.368-0.3=0.068.
27
2)
Considerate
un’economia
chiusa,
caratterizzata
dall’esistenza di progresso tecnologico e crescita della
popolazione.
a) Scrivete la condizione che consente di determinare il
livello di stato stazionario del capitale per unità di
lavoro effettivo. Rappresentate graficamente lo stato
stazionario.
b) Immaginate di confrontare due Paesi, Pinko e Pinki,
che presentano lo stesso tasso di deprezzamento del
capitale, lo stesso tasso di risparmio, ma in Pinko il
tasso di crescita del progresso tecnologico è maggiore
del 2% che in Pinki; invece, in Pinki, il tasso di
crescita della popolazione è maggiore del 2% rispetto
a Pinko. Illustrate graficamente lo stato stazionario
di entrambi i paesi e confrontate il tasso di crescita
dell’output per addetto in entrambi i paesi.
c) Se in Pinko il tasso di crescita della tecnologia è
maggiore del 2% rispetto a Pinki, ma in Pinki il tasso
di crescita della popolazione è maggiore del 3%, come
cambia la risposta al punto precedente? Rispondente
brevemente.
SOLUZIONE
a)
In stato stazionario, il capitale per unità di lavoro
effettivo ed il prodotto per unità di lavoro effettivo
sono costanti. Il risparmio per unità di lavoro effettivo
deve essere sufficiente affinché possa compensare il
deprezzamento del capitale per addetto.
(δ + g A + g N )
K
⎛ K ⎞
= sf ⎜
⎟
AN
⎝ AN ⎠
Come si nota dal grafico, la curva dell’investimento si
interseca con la curva dell’investimento necessario:
28
Y/NA
(d+gN +g A)(K/NA)
f(K/NA)
sf(K/NA)
(Y/NA)
K/NA
(K/NA)
b)
In questo caso, entrambi i paesi sono caratterizzati
dallo stesso livello di capitale per unità di lavoro
effettivo e di prodotto per unità di lavoro effettivo di
crescita stazionaria. Dato che l’unica differenza è
rappresentata dai tassi di crescita, le cui differenze si
compensano. Inoltre, il tasso di crescita dell’output per
addetto è pari a g A in entrambi i paesi ed è più elevato
in Pinko del 2%.
29
Y/NA
(d+gN+gA )(K/NA) PINK O=(d+g N+gA )(K/NA) PINK I
f(K/NA)
sf(K/NA)
(Y/NA)
K/NA
(K/NA)
c)
In questo caso nel paese Pinki la variazione del tasso di
crescita della popolazione è maggiore della variazione
del tasso di crescita tecnologica in Pinko, quindi nel
paese Pinki il livello del capitale e del prodotto per
unità effettive di lavoro sarà minore. Inoltre, il tasso
di crescita dell’output per addetto è pari a g A in
entrambi i paesi ed è più elevato in Pinko del 2%.
30
3)
L’economia del Paese di New Moon presenta un progresso
tecnologico A che cresce al tasso g A ed il numero di
lavoratori N cresce al tasso di g N . Il tasso di risparmio è
pari a s ed il tasso di deprezzamento è pari a δ .
L’economia si trova in stato stazionario.
a)
b)
c)
d)
Discutete e mostrate graficamente l’effetto di una
riduzione del tasso di risparmio da s a s’, spiegando
con cura come variano i livelli di capitale e di
prodotto per unità di lavoro effettivo nel corso del
tempo.
Cosa accade se diminuisce il tasso di crescita della
tecnologia? Fornite una rappresentazione grafica ed
una spiegazione economica.
Cosa accade se aumenta il tasso di crescita della
popolazione? Fornite una rappresentazione grafica ed
una spiegazione economica.
Se il modello non contemplasse progresso tecnologico,
quindi g A =0, come cambiereste la risposta data al
punto c)?
31
SOLUZIONE
a)
Il tasso di risparmio diminuisce. Indichiamo il nuovo tasso
con s’. Intuitivamente, un minor risparmio implica un minor
investimento
e
quindi
un’accumulazione
inferiore
di
K
⎛ K ⎞
s' f ⎜
⎟ = (δ + g N + g A )
NA
⎝ NA ⎠
capitale. In stato stazionario vale:
Y/ NA
(d+g N +g A )(K/NA)
f(K/NA)
sf(K/NA)
(Y/NA)
s’f(K/NA )
(Y/NA)’
K/NA
(K/NA)’ (K/NA)
La diminuzione del tasso di risparmio da s a s’ ha
provocato una decumulazione di capitale per unità di lavoro
effettivo
tramite
una
diminuzione
dell’investimento.
Graficamente, questo è dato da uno spostamento verso il
basso della curva dell’investimento da s f(K/NA) a
s’f(K/NA). Diminuiscono quindi sia il capitale per unità
lavoro effettivo di steady state che il livello del reddito
per unità lavoro effettivo. Durante l’aggiustamento il
prodotto per unità di efficienza ha un tasso di crescita
32
negativo; nel nuovo stato stazionario il reddito ed il
capitale per unità di lavoro effettivo saranno minori, il
loro tasso di crescita di stato stazionario sarà nullo. Per
quanto riguarda il tasso di crescita del reddito, questo
non cambierà nel nuovo stazionario, visto che esso è pari
alla somma dei tassi di crescita di popolazione e progresso
tecnologico. La variazione del risparmio non comporta
nessun effetto permanente sulla crescita del prodotto per
unità di efficienza.
b)
Se il tasso di crescita del progresso tecnologico
diminuisce da gA a gA’. Questo significa che l’investimento
è inferiore a quanto necessario per mantenere costante il
livello di capitale per unità di lavoro effettivo. Dovendo
sempre valere:
K
⎛ K ⎞
s f⎜
⎟ = (δ + g N + g A ' )
NA
⎝ NA ⎠
si ha un temporaneo aumento del capitale per unità di
lavoro effettivo, fin quando non si raggiunge il nuovo
stato stazionario, in cui sia il capitale che il prodotto
per unità di lavoro effettivo sono costanti.
Y/NA
(d+gN +g A)(K/NA)
(d+gN +g A’)(K/NA)
f(K/NA)
(Y/NA)’
sf(K/NA)
(Y/NA)
K/NA
(K/NA)
(K/NA)’
33
Va notato che il sentiero di crescita bilanciata ha ora
un’inclinazione
minore.
Infatti
nel
nuovo
stato
stazionario K/NA e Y/NA sono aumentati, ma sia il tasso
di crescita di Y che il tasso di crescita di Y/N sono
diminuiti, visto che:
gy = gN + gA'
d (Y / N )
= gA'
Y/N
e gA’< gA.
c)
In questo caso l’investimento è superiore a quanto
necessario per mantenere costante il livello di capitale
per unità di lavoro effettivo. Dovendo sempre valere:
K
⎛ K ⎞
s f⎜
⎟ = (δ + g N '+ g A )
NA
⎝ NA ⎠
si ha un temporaneo decremento del capitale per unità di
lavoro effettivo, fin quando non si raggiunge il nuovo
stato stazionario, in cui sia il capitale che il prodotto
per unità di lavoro effettivo sono costanti.
In stato stazionario il capitale ed il prodotto per unità
di lavoro effettivo presentano entrambi un tasso di
crescita zero.
Se la popolazione cresce ad un tasso pari a g N ed il
K Y
progresso tecnologico ad un tasso pari a g A ,
e
N N
cresceranno ad un tasso pari a g A .
34
Y/NA
(d+gN ’+g A)(K/NA)
(d+gN +g A)(K/NA)
f(K/NA)
(Y/NA)
sf(K/NA)
(Y/NA)’
K/NA
(K/NA)’
(K/NA)
d)
Nel caso in cui g A =0, l’unica cosa che cambia rispetto al
K Y
punto c) è che
cresceranno ad un tasso nullo e
e
N N
graficamente
cambierà
l’inclinazione
della
curva
dell’investimento necessario.
4)
Considerate l’economia del paese di Matita è descritta da
una funzione con rendimenti di scala costanti e rendimenti
marginali decrescenti per entrambi i fattori produttivi:
Yt = f (K , AN )
Considerate i seguenti dati:
s = 0.30
δ = 0 .1
g N = 0.03
g A = 0.06
35
a) Determinate e calcolate i tassi di crescita del
prodotto totale g Y , del prodotto per addetto g Y e del
N
prodotto per unità di lavoro effettivo g
Y
AN
.
b) Determinate il tasso di crescita del capitale totale
g K , del capitale per addetto g K e del capitale per
N
unità di lavoro effettivo g
K
AN
.
⎛ K ⎞
Yt = f (K , AN ) = 3 ⎜
calcolate
⎟,
⎝ AN ⎠
capitale per unità di lavoro effettivo.
c) Ipotizzate
che
il
d) Considerate che il paese confinante con Matita, Gomma,
abbia i seguenti valori:
s = 0.40
δ = 0 .1
g N = 0.05
g A = 0.05
Considerando la stessa funzione di produzione del paese
di Matita, calcolate il capitale per unità di lavoro
effettivo.
e)Ipotizzate che il paese di Gomma voglia modificare il
tasso di risparmio affinché ottenga lo stesso capitale
per unità di lavoro effettivo del paese di Matita.
Calcolate la variazione.
SOLUZIONE
a)
In Stato Stazionario:
g Y = g A + g N = 0.06 + 0.03 = 0.09
g Y = g A + g N − g N = g A = 0.06
N
g
Y
AN
=0
36
b)
In Stato Stazionario:
g K = g A + g N = 0.06 + 0.03 = 0.09
g K = g A + g N − g N = g A = 0.06
N
g
K
AN
=0
c)
Considerando la condizione di stato stazionario:
K
⎛ K ⎞
= sf ⎜
⎟
AN
⎝ AN ⎠
(δ + g A + g N )
(0.1 + 0.06 + 0.03)
K
⎛ K ⎞
= 0.3 × 3 ⎜
⎟
AN
⎝ AN ⎠
1
K
⎛ K ⎞3
0.19
= 0.3⎜
⎟
AN
⎝ AN ⎠
1
0.19 ⎛ K ⎞ 3 ⎛ K ⎞
=⎜
⎟
⎟ ×⎜
0.3 ⎝ AN ⎠ ⎝ AN ⎠
−1
2
⎛ AN ⎞ 3
0.63 = ⎜
⎟
⎝ K ⎠
3
(0.63) 2 = AN
K
AN
0 .5 =
K
K
=2
AN
Capitale per
Matita.
unità
di
lavoro
37
effettivo
per
il
paese
d)
Per quanto riguarda il paese Gomma:
(δ + g A + g N )
K
⎛ K ⎞
= sf ⎜
⎟
AN
⎝ AN ⎠
(0.1 + 0.05 + 0.05)
K
⎛ K ⎞
= 0.4 × 3 ⎜
⎟
AN
⎝ AN ⎠
1
K
⎛ K ⎞3
0.20
= 0.4⎜
⎟
AN
⎝ AN ⎠
1
0 .2 ⎛ K ⎞ 3 ⎛ K ⎞
=⎜
⎟
⎟ ×⎜
0.4 ⎝ AN ⎠ ⎝ AN ⎠
−1
2
⎛ AN ⎞ 3
0 .5 = ⎜
⎟
⎝ K ⎠
3
(0.5) 2 = AN
K
AN
0.35 =
K
K
= 2.86
AN
Capitale per
Gomma.
unità
di
lavoro
e)
38
effettivo
per
il
paese
Per calcolare la variazione del tasso di risparmio
affinché il capitale tra i due paesi sia identico,
partiamo sempre dalla condizione di stato stazionario:
(δ + g A + g N )
K
⎛ K ⎞
= sf ⎜
⎟
AN
⎝ AN ⎠
(0.1 + 0.05 + 0.05)
K
⎛ K ⎞
= s ×3 ⎜
⎟
AN
⎝ AN ⎠
K
=2
AN
(0.1 + 0.05 + 0.05) × 2 = s × 3 2
0.2 × 2 = s × 1.26
0.4
=s
1.26
s = 0.32
Sostituiamo
Il tasso di risparmio si è ridotto da 0.40 a 0.32 di
0.08.La variazione negativa era evidente dal fatto che
nel paese di Gomma, il capitale per unità di lavoro
effettivo
era
maggiore
data
la
diversa
struttura
economica (tassi di crescita e tasso di risparmio).
39
PARTE TERZA – ASPETTATIVE
1)
Nel Paese di Futurland, la struttura a termine dei tassi di
interesse per i prossimi 3 anni è la seguente:
i1t
10%
i2t
12%
i3t
14%
Dopo un comunicato del governatore della Banca Centrale, la
nuova struttura a termine dei tassi diventa:
i1t
10%
i2t
11%
i3t
9%
a) Quale è l’impatto del comunicato sulla corrispondente
curva dei tassi attesi ad un anno?
b) Considerate di conoscere il prezzo di un titolo a due
anni, P2t=70. Calcolate il rendimento annuale del
titolo.
40
SOLUZIONE
a)
Considerando le seguenti formule:
i1et +1 = 2i2t − i1t
dato
i2t =
(
1
i1t + 1et +1
2
)
i1et + 2 = 3i3t − 2i2t
dato
i 3t =
(
1
i1t + i1et +1 + i1et + 2
3
)
Avremo
Prima del comunicato:
i1t
10%
ie1t+1
14%
ie1t+2
18%
ie1t+1
12%
ie1t+2
5%
Dopo il comunicato:
i1t
10%
Notiamo che l’effetto fa sì che i1et +1 si riduca meno del tasso
effettivo, invece nel caso di i 1et + 2 , notiamo che dopo il
comunicato, il tasso a tre anni si riduce di 5 punti
percentuali, invece il tasso atteso si riduce addirittura
di 13 punti percentuali. Quindi il comunicato ha un
notevole effetto sul tasso a tre anni.
b)
Usando la formula:
41
100
(1 + i )2
100
70 =
(1 + i )2
P2t =
70(1 + i ) = 100
2
i=
100
− 1 = 0.1952
70
2)
Il nuovo presidente del governo del paese di Antaravia
aveva promesso durante la campagna elettorale di diminuire
le tasse sul reddito e di aumentare la spesa pubblica. I
cittadini
dello
stesso
paese
credono
alle
promesse
elettorali fatte.
a) Utilizzando un modello IS-LM con solo due periodi (t =
oggi; t+1 = futuro) e un’inflazione attesa nulla, sia
oggi che in futuro, determinate l’impatto sulla
produzione corrente e sul livello corrente dei tassi
di interesse, nel caso in cui la Banca Centrale del
Paese non intervenga.
b) Utilizzando un modello IS-LM con solo due periodi (t =
oggi; t+1 = futuro) e un’inflazione attesa nulla, sia
oggi che in futuro, determinate l’impatto sulla
produzione corrente e sul livello corrente dei tassi
di interesse, nel caso in cui la Banca Centrale del
Paese intervenga con una politica monetaria atta a
prevenire
qualsiasi
variazione
sulla
produzione
futura.
c) Quale è l’impatto della manovra della Banca Centrale
sulla struttura a termine dei tassi di interesse?
SOLUZIONE
a) Consideriamo
la posizione ed il movimento delle curve
IS ed LM nel periodo futuro (t+1), in seguito a T ′ ↓ e G’↑
dove:
IS: Y ′ = A(Y ′, T ′, r ′) + G ′
LM:
M′
= Y ′L(r ′)
P′
42
r
IS'
IS
LM
E'
E
Y'
T ′ ↓ e G’↑ quindi la curva IS si sposta a destra; se la
banca centrale non muta la politica monetaria, la curva LM
non si muove; l'equilibrio passa dal punto E al punto E':
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
r′ ↑ ,
Y′ ↑,
T′ ↓;
G’ ↑
Nel periodo t avremo diverse forze che agiscono sulla curva
IS, mentre la LM rimane ferma: in particolare, T ′ ↓ G’ ↑ e
Y ′ ↑ spingono verso destra la curva IS; mentre r ′ ↑ spinge
verso sinistra la curva IS (infatti un aumento nel tasso di
interesse futuro atteso riduce la spesa privata).
Osservando
la
rivisitazione
della
curva
IS
con
le
aspettative:
IS: Y ′ = A Y ′, T ′, r ′, Y 'e , T 'e , r 'e + G ′
Il reddito atteso aumenta grazie alle manovre sulla spesa
pubblica e sulle tasse, ma il tasso di interesse atteso che
si riduce, implica una riduzione del reddito.
(
)
r
IS
LM
43
Y
L'effetto netto delle due opposte tendenze non può essere
stabilito a priori con una semplice analisi qualitativa:
per sapere se la curva IS si sposterà verso destra o verso
sinistra,
si
devono
conoscere
con
precisione
la
specificazione delle equazioni IS e LM e l'ammontare della
variazione delle imposte.
Fate attenzione: in questo caso abbiamo due forze positive
su T e su G, rispettivamente, ed una negativa su r,
potremmo avanzare anche l’ipotesi che l’effetto finale è
comunque positivo…
b) Osserviamo la posizione
delle curve nel periodo t+1,
ipotizzando che, in seguito a T ′ ↓ e G’ ↑ , la BCE agisca per
prevenire qualsiasi variazione della produzione futura:
IS'
r'
LM'
IS
E'
LM
E
Y'
T ′ ↓ e G’ ↑ quindi la curva IS si sposta a destra: la banca
centrale muta la propria politica monetaria in senso
restrittivo, per mantenere Y invariato, e la curva LM si
muove verso sinistra; l'equilibrio si sposta dal punto E al
punto E':
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
r ′ ↑ e la crescita è maggiore rispetto al caso precedente,
Y′ =,
T′ ↓;
G’ ↑
44
Nel periodo t avremo diverse forze che agiscono sulla curva
IS, mentre la LM rimane ferma: in particolare T ′ ↓ G’ ↑
spinge verso destra la curva IS; mentre r ′ ↑ spinge verso
sinistra la curva IS.
Osservando
la
rivisitazione
della
curva
IS
con
le
aspettative:
IS: Y ′ = A Y ′, T ′, r ′, Y 'e , T 'e , r 'e + G ′
Le tasse attese si riducono, il reddito atteso è invariato
e il tasso di interesse atteso diminuisce.
(
)
r
IS
LM
Y
Anche in questo caso
forze è indeterminato.
l'effetto
netto
delle
due
opposte
c) In t+1 il mix di politiche economiche mantiene il
reddito
Y
al
suo
livello
precedente.
Tuttavia
la
restrizione monetaria comporta un aumento del tasso di
interesse r’ molto al di sopra del suo livello precedente.
I mercati finanziari si aspettano quindi un aumento del
tasso di interesse a breve.
La curva dei rendimenti si sposta verso l’alto.
L’inclinazione della nuova curva sarà parallela a quella
originaria se l’aumento dei tassi a breve si mantiene
costante nel tempo, ma potrebbe invece modificarsi se ci si
aspetta un graduale ritorno ai livelli originari
(diventando più piatta).
45
i
t
tempo
t+1
PER
UNA
MIGLIORE
COMPRENSIONE
DELL’ARGOMENTO
SULLA
ASPETTATIVE E MODELLO IS-LM, SI CONSIGLIA DI SVOLGERE
ASSOLUTAMENTE L’ESERCIZIO 18 DELL’ESERCIZIARIO.
3)
a) Date la definizione di tasso di interesse nominale e
tasso di interesse reale. Esprimete la relazione tra i
due tassi tramite la definizione di inflazione attesa.
b)
Supponete che in un’economia Pt = 1, Pt+1e = 1,05,
i = 15%. Calcolate il tasso di interesse reale.
c)
Se nel periodo t+1 il tasso di interesse reale sarà
pari al 12%, quanto saranno i prezzi attesi per il periodo
t+2 sapendo che il tasso di interesse nominale è invariato
e Pt+1 = 1,05?
SOLUZIONE
a)
TASSO DI INTERESSE NOMINALE = tasso di interesse in termini
di moneta
TASSO DI INTERESSE REALE = tasso di interesse in termini di
un paniere di beni
46
rt =
1 + it
−1
1 + π te
it ≅ rt + π te
dove
π te =
Pt e+1 − Pt
Pt
b)
Πet = 1.05-1/1 = 0.05
rt = 0.15 – 0.05 = 0.10 Î
Tasso di interesse reale 10%.
c)
it ≅ rt + π te
Î
π te =
Pt e+1 − Pt
Pt
Î 15% = 12% + x
x = 0.03 inflazione attesa.
Î 0.03=(x-1.05)/1.05 Î x = Pt+2e = 1.0815
4)
Assumete che i titoli abbiano come rendimento un tasso di
interesse nominale del 9% e che l’inflazione attesa sia
inizialmente pari a zero. Ricordate che la moneta paga un
tasso di interesse nominale nullo.
a) Qual è il costo opportunità di detenere moneta?
b) Quando πe=0, qual è il tasso di interesse reale sui
titoli? Qual è il tasso di interesse reale sulla moneta?
c) Per ognuno dei seguenti valori dell’inflazione attesa,
calcolate i tassi di rendimento reale sui titoli e sulla
moneta: 1%, 3%, 7% e 9%
d) All’aumentare dell’inflazione attesa, come varia il
costo opportunità, misurato in termini nominali, di
detenere moneta?
e) Dato il tasso di interesse nominale del 9%, come varia
il costo opportunità di detenere moneta, misurato in
termini reali, quando l’inflazione attesa aumenta? Spiegate
brevemente.
47
f) Date la vostra analisi ai punti c), d), e), che cosa
accade alla domanda di moneta al variare dell’inflazione
attesa o del tasso di interesse reale? Spiegate.
SOLUZIONE
a)Il costo opportunità di detenere moneta è il tasso di
interesse nominale del 9%.
b) Il tasso di interesse reale sui titoli è del 9%. Il
tasso di interesse reale sulla moneta è pari a 0.
c) Il tasso di rendimento reale dei titoli (r = i- πe) è,
rispettivamente, 8%, 6%, 2% e 0. Il tasso di rendimento
reale della moneta (0 - πe) è rispettivamente: -1%, -3%, -7%
e
-9%.
d)Il costo opportunità non varia, rimane fisso al 9%.
e) Il costo opportunità di detenere moneta, misurato in
termini reali (= rendimento reale sui titoli – rendimento
reale sulla moneta) è: 8%-(-1%)= 9%, 6% - (-3%) = 9%,
2% - (-7%) = 9%, 0 - (-9%) = 9%. Al crescere di πe, il costo
opportunità di detenere moneta in termini reali non varia.
e) Non accade nulla. Ciò che determina il costo opportunità
di detenere moneta è il tasso d’interesse nominale.
Variazioni nell’inflazione attesa non modificano il costo
opportunità di detenere moneta perché fanno variare nella
stessa misura il tasso di rendimento reale sulla moneta e
sui titoli.
5)
Un’azione paga un dividendo atteso di
anno, e il valore reale del dividendo
del 3% per anno, per sempre.
Si determini il prezzo corrente delle
interesse reale rimanesse costante al
48
1000 $ il prossimo
si aspetta che cresca
azioni se il tasso di
5%, 8%.
SOLUZIONE
Se r è il tasso di interesse reale, g il tasso di crescita
dei dividendi, il prezzo dell’ azione è dato da:
1000/(1+r) + 1000(1+g)/(1+r)2 + 1000(1+g)2/(1+r)3 + …. =
[1000/(1+r)] [1+(1+g)/(1+r) + (1+g) 2/(1+r) 2….] =
1000/(r-g)
a)
50000; 20000
1000/(r-g)= 1000/(0.05-0.03)=50000
1000/(r-g)= 1000/(0.08-0.03)=20000
6)
Supponete che un’università inglese introduca un piano di
pagamento che prevede di scegliere tra: (i) effettuare un
unico pagamento all’inizio del primo anno; oppure (ii)
pagare £20.000 all’inizio del primo anno, £22.000
all’inizio del secondo anno, £25.000 all’inizio del terzo
anno e £28.000 all’inizio del quarto. Supponete che si
preveda un tasso di interesse costante del 10% per i
prossimi 4 anni.
a) supponete che sia il primo giorno di classe del primo
anno. Calcolate (separatamente) il valore attuale di
ciascun pagamento annuale.
b) Sulla base della vostra analisi in a., se uno studente
sceglie di effettuare un unico pagamento all’inizio del
primo anno, qual è il valore massimo che dovrebbe
pagare.
49
SOLUZIONE
a) I Valori attuali dei pagamenti del primo, del secondo,
del terzo e del quarto anno sono, rispettivamente,
20000, 20000, 20661, 21000 (vedi formula del valore
attuale per calcolarli)
V1=20000
V2=22000
V3=25000
V3=25000
1
=20000
1 + 0 .1
1
(1 + 0.1)2
1
(1 + 0.1)3
=20661
=21000
b) Il valore attuale dello schema di pagamento in 4 anni è
(sommando i pagamenti di cui al punto a.) 81968. Questo
rappresenta anche il max valore che uno studente che
sceglie il pagamento in un unico anno dovrebbe pagare.
Se il pagamento in un unico anno è maggiore di 81.698,
lo studente dovrebbe scegliere il pagamento in 4 anni.
7)
Supponete che nell’isola di Robinson, l’unico bene presente
come ricchezza finanziaria è la noce di cocco. Tutti gli
abitanti dell’isola nascono senza nessuna noce di cocco e
vivono per tre periodi: gioventù, maturità ed anzianità.
Tutti gli abitanti lavorano per i primi due periodi e vanno
in pensione nell’ultimo periodo. Il reddito per il primo
periodo è rappresentato da 12 noci di cocco, nel secondo
periodo da 30 noci di cocco e nel terzo periodo nessun
reddito viene percepito.
a) Quale è il valore attuale del futuro reddito da lavoro
all’inizio della vita? Quale è il più alto livello di
consumo sostenibile tale che il consumo è uguale in
ognuno dei tre periodi?
b) Per ogni gruppo di età, quale è l’ammontare di
risparmi che permette ai consumatori di mantenere il
livello costante di consumi trovato in a)?
50
c) Si supponga ci siano N persone nate in ogni periodo.
Quali sono i risparmi aggregati?
d) Quale è la ricchezza totale finanziaria nell’economia?
Si supponga ora che a causa di alcune restrizioni sul
mercato dei prestiti, i giovani non possano più prendere a
prestito. Si determini quale è il più alto livello di
consumo sostenibile tale che il consumo è uguale in ognuno
dei tre periodi. Tuttavia, se è maggiore del loro reddito
più la ricchezza che possiedono, allora consumeranno
esattamente
il
loro
reddito
più
la
ricchezza
che
possiedono.
e) Si derivi il consumo
Differenze con a.?
in
ogni
periodo
della
vita.
f) Si derivino i risparmi totali. Differenze con c.?
g) Si derivi la ricchezza finanziaria totale. Differenze
con d?
h) La liberalizzazione finanziaria può essere buona per
le persone, ma può contribuire alla diminuzione
dell’accumulazione totale di capitale. Commenta!
SOLUZIONE
Attenzione: questo esercizio è una semplificazione di un
modello
economico
detto
a
generazioni
sovrapposte
(overlapping generation model, OLG). Tale modello è
utilizzato
per
risolvere
problemi
riguardanti
il
trasferimento di reddito tra le diverse generazioni ed
anche per quanto riguarda problemi riguardanti il sistema
pensionistico.
a) Valore attuale del reddito futuro = 12 + 30+0 = 42;
consumo=42/3=14
b) S(giovani)= 12-14=-2;
S(maturi)= 30-14=16;
S(vecchi)= 0-14=-14
c) N*(-2) + N*(16) + N*(-14)= 0 = risparmi aggregati
51
d)
-14+12=-2
0
G
M
-14+30-2=14
V
In questo caso, ragionate all’inizio di ogni periodo:
prima che inizi la gioventù, gli individui detengono 0
noci, prima che inizi la maturità, gli individui detengono
12 noci ma ne consumano 14 in gioventù, quindi sono a
debito di 2, all’inizio della vecchiaia, gli individui
hanno 30 noci come reddito, ne consumano 14, nella
maturità, e poi devono ripagare il debito contratto nel
periodo precedente.
N*(0) + N*(-2) + N*(14) = 12*N
e) C(giovani)=12; C(maturi)= 15; C(vecchi)=15. I giovani
ora diminuiscono il loro consumo poiché non possono
prendere a prestito. I maturi ed i vecchi lo
incrementano però.
f) S(giovani)= N*(0); S(maturi)=N*(15); S(vecchi)= N*(15); risparmi totali= 0 come prima.
52
g)
0
0
G
30-15=15
M
V
In questo caso, ragionate all’inizio di ogni periodo:
prima che inizi la gioventù, gli individui detengono 0
noci, gli individui non possono contrarre debiti e
detengono 0, all’inizio della vecchiaia, gli individui
hanno 30 noci come reddito, ne consumano 15 durante la
maturità.
N*(0) + N*(0) + N*(15) =15*N; La ricchezza totale è piu
grande rispetto al caso precedente.
h) Permettendo alle persone di prendere a prestito quando
sono giovani (al fine di consumare il paniere
desiderato), l’accumulazione di capitale (ricchezza in
questo caso) diminuisce. Ciò puo causare una
diminuzione dello stock di capitale ed una successiva
diminuzione dell’output di lungo periodo.
53
8)
Una copisteria nel paese Arcobaleno deve decidere se
acquistare una nuova stampante a colori al costo di 5000€.
Ogni anno la stampante si deprezza del 5% e genera
singolarmente profitti reali pari a 2000€ a partire da
quest’anno, diventando improduttiva dopo il terzo anno.
a) Considerando che il tasso di interesse nominale del
sistema economico in questione è pari al 10% ed il
prezzo di un paniere di beni sia Pt = 1. Calcolate rt(il
tasso reale di interesse) nel caso in cui il prezzo
atteso del paniere sia Pt+1e=1.
b) Usando il tasso di interesse reale, determinate se
l’acquisto della stampante è conveniente.
c) Ipotizzate che il tasso di inflazione sia pari al 3% e
che
la
stampante
sia
utilizzata
per
tre
anni.
L’acquisto è ancora conveniente?
d) Ipotizzate di voler valutare un acquisto alternativo,
un’altra stampante che costa 3000€ e che frutti un
reddito di 1700€ per 2 anni al massimo, ad un tasso di
deprezzamento
dell’8%
(considerate
un
tasso
di
inflazione pari al 3% ed un tasso di interesse nominale
pari al 10%).
Quale stampante è più conveniente?
SOLUZIONE
a)
rt =
1 + it
−1
1 + π te
it ≅ rt + π te
dove
π te =
Pt e+1 − Pt
Pt
Quindi in questo caso:
Pe − P 1−1
π te = t +1 t =
= 0 Î rt = it = 10%
Pt
1
54
b)
Facendo riferimento alla teoria della q di Tobin si hanno:
V=5000€ costo d’acquisto
VALORE ATTUALE DEI PROFITTI
1
(1 − δ )π te+1 + 1 2 (1 − δ )π te+ 2 = 2000 + (1 − 0.05) 2000 + (1 − 0.052) 2000 =
VARt (Π ) = π t +
(1 + rt )
1 + 0.1
(1 + 0.1)
(1 + rt )
= 2000 + 1727.27 + 1570.25 = 5297.52
La stampante sarà acquistata se solo se
VARt (Π ) - Vt > 0
VARt (Π )
>1
Vt
5297.52-5000=297.52>0 Î l’acquisto è conveniente.
c)
In questo caso il nuovo tasso di interesse reale è pari al
7%.
VARt (Π ) = π t +
1
(1 − δ )π te+1 + 1 2 (1 − δ )π te+ 2 = 2000 + (1 − 0.05) 2000 + (1 − 0.05)2 2000 =
(1 + rt )
1 + 0.07
(1 + 0.07)
(1 + rt )
= 2000 + 1775.70 + 1659.53 = 5435.23
L’acquisto è ancora conveniente, anzi è più conveniente in
caso in cui il tasso di interesse reale sia minore!
5435.23-5000=435.23>0
d)
In questo caso:
VARt (Π ) = π t +
1
(1 − δ )π te+1 = 1700 + 1 − 0.08 1700 = 3161.68
(1 + rt )
1 + 0.07
3161.68-3000=161.68>0
Anche in questo caso, l’acquisto è conveniente, ma se
consideriamo i profitti scontati confrontati con il costo
della stampante, nel primo caso (sia senza inflazione che
nel caso di inflazione), la differenza tra VAR e V è
maggiore che nel secondo caso. Inoltre, la seconda
stampante, genera profitti inferiori ogni anni e può essere
utilizzata solo per 2 anni.
55
9)
Un famoso calciatore brasiliano guadagna 1 Milione di Euro
all’anno e si aspetta che il suo salario cresca in termini
reali del 30% all’anno nei prossimi 3 anni. Al termine di
questo periodo, il calciatore deciderà di abbandonare il
calcio e di trascorrere il periodo della pensione a Rio de
Janeiro. Ipotizzate che il calciatore detenga 500 000€ in
titoli, 1 Milione di Euro in appartamenti. Il tasso di
interesse nominale è pari al 12% ed il tasso di inflazione
è peri al 4%.
a) Definite e calcolate la ricchezza totale e la
ricchezza umana del calciatore tra 4 anni, ovvero
prima di abbandonare il calcio.
b) Ipotizzate che l’anno prossimo il calciatore decida di
cambiare squadra, con uno stipendio annuo pari a 2
Milioni di Euro, ma potrà giocare solo per 2 anni ( e
poi si ritirerà dall’attività calcistica) ed il suo
salario non subirà variazioni. In termini di ricchezza
totale (tenendo conto che al calciatore è indifferente
giocare 2 o 3 anni prima della pensione), il
calciatore sceglierà di cambiare squadra, oppure
deciderà di rimanere nella vecchia squadra?
c) Se il calciatore si aspetta di vivere altri 50 anni
dopo il pensionamento ed all’inizio della pensione la
sua ricchezza effettivamente a disposizione è pari
all’80% di quella calcolata precedentemente (il 20% è
stato consumato durante gli anni precedenti), quanto
potrebbe spendere ogni anno per mantenere un consumo
costante?
d) Se dopo l’attività agonistica, il calciatore decidesse
di intraprendere la carriera di allenatore per 20
anni, percependo uno stipendio medio di 500 000€
annue. Come cambierà il consumo nei 30 anni di
pensione (tenendo sempre conto che all’inizio della
pensione
il
calciatore
dispone
dell’80%
della
ricchezza
totale
effettiva,
tenuto
conto
della
ricchezza umana sia di giocatore che di allenatore)?
56
SOLUZIONE
a)
La ricchezza totale di un individuo è pari alla somma
della sua ricchezza umana, definita come il valore attuale
del reddito da lavoro, e della sua ricchezza non umana,
costituita
dalla
ricchezza
finanziaria
e
da
quella
immobiliare.
RICCHEZZA UMANA:
Y1=1 000 000
1 + 0 .3
Y2=1 000 000
=1203704
1 + 0.08
(1 + 0.3) 2
Y3=1 000 000
=1448903
(1 + 0.08) 2
Y4=1 000 000
(1 + 0.3) 3
=1744050
(1 + 0.08) 3
Totale ricchezza umana=Y1+Y2+Y3+Y4=1 000 000+1 203 704+1
448 903+1 744 050=5 396 657 €
RICCHEZZA FINANZIARIA:
RF=500 000+1 000 000=1 500 000 €
RICCHEZZA TOTALE:
5 396 657 + 1 500 000=6 896 657 €
b)
La ricchezza finanziaria
ricchezza umana.
non
cambia,
cambia
invece
la
Y1=1 000 000 (reddito percepito nella sua vecchia squadra,
dato che il trasferimento avverrà l’anno prossimo)
1
Y2=2 000 000
=1 851 852
1 + 0.08
Y2=2 000 000
1
(1 + 0.08)2
=1 714 678
Totale ricchezza umana = 1 000 000+1 851 852+1 714 678=
4 566 530€
La ricchezza totale sarà pari a 6 066 530 €.
Il calciatore sceglierà di rimanere nella sua vecchia
squadra.
57
c)
La ricchezza totale effettiva all’inizio del pensionamento:
6 896 657x80%=5 517 326.
Ipotizzando che il calciatore vivrà 50 anni dopo aver
abbandonato l’attività calcistica, il suo consumo per ogni
anno sarà:
5 517 326/50=110 347 €
d)
Nel caso in cui decidesse
calciatore per 20 anni:
di
svolgere
l’attività
di
Ricchezza umana totale= (20 x 500 000)+ 5 396 657=10 000
000 + 5 396 657=15 396 657
Ricchezza totale= 15 396 657+ 1 500 000=16 896 657.
Ricchezza totale effettiva= 16 896 657 x 80%=13 517 326.
Consumo costante per 30 anni=13 517 326/30=450 578.
10)
Considerate che il tasso di interesse corrente sia pari al
7% e che i mercati finanziari si aspettino che il tasso
aumenti l’anno prossimo del 2% e che poi decresca tra 2
anni del 3%.
a)
b)
c)
Calcolate il rendimento alla scadenza di un titolo
annuale, biennale e triennale.
Disegnate commentate la struttura a termine dei tassi
di interesse.
Supponete che il tasso a 3 anni sia effettivamente
quello calcolato al punto a). Quale sarà il prezzo di
un titolo che promette di pagare 100€ tra 3 anni?
SOLUZIONE
a) Il rendimento alla scadenza di un titolo a n anni è
quel tasso di interesse costante che uguaglia il prezzo
del titolo oggi al valore attuale dei pagamenti futuri.
Da questa definizione, si può dimostrare che il rendimento
alla scadenza è approssimativamente uguale alla media del
tasso corrente a un anno e dei tassi futuri attesi a un
anno, per i successivi (n-1) anni.
Quindi:
58
i1t = 7%
i1t + i1et +1 0.07 + 0.09
=
= 8%
2
2
0.07 + 0.09 + 0.06
i + ie + ie
= 1t 1t +1 1t + 2 =
= 7.3%
3
3
i2t =
i3t
b)
La struttura dei rendimenti per scadenza è graficamente
rappresentata tramite la curva dei rendimenti, che esprime
la relazione tra rendimento (sull'asse delle ordinate) e
maturità (sull'asse delle ascisse) dei titoli emessi in un
anno. Il rendimento associato ad un titolo a scadenza
annuale è 7%, quello associato ad un titolo biennale è 8%,
quello associato ad un titolo triennale è 7.3%.
La curva in questione è prima positivamente inclinata, ed
in seguito decresce, possiamo concludere:
• i rendimenti alla scadenza sono crescenti al crescere
della maturità del titolo, fino al secondo anno, in
seguito la curva è decrescente e di conseguenza i
rendimenti sono decrescenti
• i mercati finanziari si aspettano che i tassi di
interesse a breve termine aumentino in futuro fino al
secondo anno, in seguito c’è un’attesa alla diminuzione
dei tassi di interesse a breve.
i
8%
7.3%
7%
1
2
3
59
t
c)
Usando la formula del rendimento dei titoli:
P3t =
100
(1 + 0.073)3
= 80.95
11)
Spiegate
perché
una
curva
dei
rendimenti
inclinata
negativamente può indicare l’imminenza di una recessione.
Che cosa indica una curva dei rendimenti ripida circa
l’inflazione futura?
SOLUZIONE
Una curva dei rendimenti negativa implica che il tasso di
interesse atteso futuro è più basso del tasso di interesse
corrente. Queste aspettative potrebbero crearsi a causa del
fatto che gli investimenti desiderati diminuiscono, quindi
la IS si sposterà a sinistra nel futuro (e Y e i
diminuiranno).
Per l’effetto di Fisher (Irving Fisher, 1867-1947) quando
l’inflazione aumenta il tasso di interesse nominale aumenta
nella stessa misura (i = r + πe). Se i tassi di interesse
nominali futuri attesi sono molto alti (i’e =r’e + π’e )
oppure bassi allora i partecipanti dei mercati finanziari
credono che l’inflazione futura sarà, rispettivamente,
elevata o bassa.
60
12)
Usando il modello IS – LM determinate l’impatto sui prezzi
azionari (se l’effetto è ambiguo, spiegate le informazioni
aggiuntive che sarebbero necessarie per poter dare una
risposta) di:
1) una
politica
monetaria
espansiva
inattesa
senza
cambiamenti di politica fiscale;
2) una
politica
monetaria
espansiva
attesa
senza
cambiamenti di politica fiscale;
3) una politica monetaria espansiva attesa insieme a una
politica fiscale espansiva inattesa.
SOLUZIONE
1)
Tale politica causerebbe uno spostamento verso
il basso della curva LM. Infatti, si crea una caduta
inattesa nel tasso di interesse ed un incremento del
reddito
e
di
conseguenza
il
prezzo
delle
azioni
aumenta.
2)
Tale
politica
non
implicherebbe
nessun
cambiamento nel prezzo delle azioni.
3)
In questo caso l’effetto è ambiguo sui prezzi
azionari.
La
politica
fiscale
espansiva
inattesa
implica che il tasso di interesse è più alto di quello
atteso e lo stesso vale per il reddito. Quindi il tasso
di
interesse
invece
quindi
tende
l’effetto
non
a
ridurre
dell’output
possiamo
dare
sull’effetto finale.
61
il
tende
una
prezzo
ad
azionario,
aumentarlo
risposta
e
certa
13)
Il governo di un paese sta valutando l’efficacia di diverse
politiche economiche sul mercato azionario. Descrivete
l’impatto di ciascuna delle seguenti politiche sul prezzo
delle azioni, indicando come risolvere le eventuali
situazioni ambigue:
a) Una politica monetaria restrittiva inattesa.
b) Una politica fiscale restrittiva inattesa accompagnata
da una politica monetaria che lasci invariato il livello
di produzione.
Soluzione
Il prezzo delle azioni è uguale al valore presente scontato dei
dividendi futuri (con π e = 0 ⇒ r = i ):
$Qt =
$ Dte+1
$ Dte+ 2
+
+ ...
1 + i1t (1 + i1t )(1 + i1et +1 )
b) Nel caso di una politica monetaria restrittiva inattesa (senza
MS
↓ , la
variazioni della politica fiscale), in seguito a
P
curva LM trasla verso sinistra,
i ↑ , gli investimenti
diminuiscono, facendo diminuire, via il moltiplicatore,
reddito: nel nuovo equilibrio (E') Y ↓ e i ↑ .
i
il
LM’
IS
LM
E
E
Y
Dalla teoria sappiamo che maggiori tassi di interesse e minori
dividendi provocheranno entrambi una diminuzione del prezzo delle
azioni:
ƒ Y ↓⇒ profitti ↓⇒ dividendi ↓⇒ $Qt ↓ ,
ƒ
i ↑⇒ $Qt ↓ .
b) Nel caso di una politica fiscale restrittiva inattesa con una
politica monetaria che lascia invariato il livello del reddito,
62
A ↓ , la curva IS trasla parallelamente verso sinistra, con una
riduzione della produzione e del tasso di interesse, mentre la
curva LM trasla parallelamente verso destra, per effetto della
politica monetaria espansiva: l'equilibrio si sposterà dal
punto E al punto E', con un livello del reddito invariato ed
una riduzione del tasso di interesse
LM
i
LM’
E
E’
IS
IS’
Y
La riduzione del tasso di interesse ha un effetto positivo sul
prezzo delle azioni, mentre il reddito non varia e non ha alcun
effetto:
ƒ Y =⇒ profitti =⇒ dividendi =⇒ $Qt = ,
ƒ i ↓⇒ $Qt ↑ .
L'effetto netto è così certo: le due politiche combinate
comportano un aumento del prezzo delle azioni.
63